河北省八校2025-2026学年高三上学期期中联考数学试题

2025—2026学年上学期期中高三调研考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则（ ） A. 74 B. 76 C. 78 D. 80 4. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 5. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 6. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，直线恒过定点，且与交于，两点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 10. 分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 11. 已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为______． 13. 已知，则______． 14. 已知正方体的表面积为6，三棱柱为正三棱柱，若，，且在正方体的表面上，则当三棱柱的体积取得最大值时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处的切线垂直于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 16. 如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． （1）若，求的长； （2）求异面直线与所成角余弦值的最小值． 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 18. 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． （1）求第1轮试验成功的概率； （2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； （3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19. 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 2025—2026学年上学期期中高三调研考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】-1 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）5 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2），0.782． （3） 依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为， 则，发生有两种可能， 第一种可能为直接摸出白球，概率为， 第二种可能为摸出黑球后再摸出白球， 概率为， 所以， 则， 因此. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【19题答案】 【答案】（1） （2）①证明：由题意将与双曲线联立，，化简得， ， ，同理将与双曲线联立，，同理可得， ， ，同理， ， ，．从而可证． ②由（1）可知，当时，且， 直线方程为：，且， 则到的距离， ， 令，则， 令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递增， ， ，又因为时，， ．从而可证． AI 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $