专题06 概率初步 3大高频考点（期末真题汇编，云南专用）九年级数学上学期

专题06 概率初步 3大高频考点概览 一、考点01 随机事件与概率 二、考点02 列举法求概率 三、考点03 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件与概率 1．（24-25八年级下·云南·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．2021年全年有402天 B．打开电视，正在播放广告 C．刚出生的婴儿体重 D．明天太阳从东边升起 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中 B．投掷一次骰子，向上一面的点数是2 C．任意画一个四边形，其内角和是 D．打开电视，正在播放足球比赛 3．（24-25九年级上·云南昭通·期末）在一个密封的不透明的袋子里装了个红球、个白球，露露伸手任意抓个球，抓到红球的可能性是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·云南普洱·期末）下列说法正确的是（    ） A．“概率为0.0001”的事件是不可能事件 B．“种瓜得瓜，种豆得豆”在生物学上是必然事件 C．任意投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 D．“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 5．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）下列说法正确的是（   ） A．任意画一个圆既是轴对称图形又是中心对称图形是必然事件 B．在单词（数学）中任选一个字母，选中字母为“a”是不可能事件 C．从2，3，4这三个数中，任意抽取两个数，积为偶数是随机事件 D．随意翻到一本数学书的某页，这页的页码是奇数是不可能事件 6．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．画一个三角形，其内角和一定等于 B．打开电视，正在播放《云南新闻》 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．小明跑完800米所用的时间恰好为1分钟 7．（24-25九年级上·云南昭通·期末）下列事件为随机事件的是（   ） A．13个人里至少有2个人的生日在同一个月份 B．从地球上看，太阳从西边升起 C．车辆在任意时刻到达某一路口时遇到绿灯 D．线段绕它的中点旋转后与它本身重合 8．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）下列事件中，为必然事件的是（    ） A．校园拔河比赛，九年级一班获得冠军 B．四边形的内角和是 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十九号载人飞船发射实况 9．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·贵州·模拟预测）有6张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上（背面花色均相同），若从中随机抽取3张，则下列事件是必然事件的是（    ） A．3张扑克牌中有♥（红心） B．3张扑克牌都是♣（梅花） C．3张扑克牌都是♥（红心） D．3张扑克牌中有♣（梅花） 11．（24-25九年级上·云南昭通·期末）从中随机选一个数，选到正数的概率是 ． 12．（2023·江苏泰州·二模）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ．      地 城 考点02 列举法求概率 13．（24-25九年级上·云南昭通·期末）“2024昭通马拉松”比赛于2024年12月15日在昭通举行，比赛起点设在昭通中心体育馆，比赛路线沿途经过昭阳区、鲁甸县；该项赛事设有马拉松（42.195km），半程马拉松（21.0975km），健康跑（7.5km），欢乐跑（3.5km）四个类别，共有约12000人参加该项赛事． (1)甲同学是本次赛事的志愿者，将被随机分配到马拉松、半程马拉松、健康跑、欢乐跑四个类别的其中一类进行志愿服务，甲被分配到“马拉松”进行志愿服务的概率是多少？ (2)本次赛事设有多个能量补给站，乙、丙两名同学将分别在10公里，15公里，20公里，25公里四个能量补给站中各随机选一个进行志愿服务．请用列表或画树状图的方法表示乙、丙的选择可能出现的结果，并求乙、丙选同一能量补给站的概率． 14．（24-25九年级上·云南昆明·期末）云南民族博物馆于2022年5月18日至5月20日正式发布首套云南民族文化数字文创藏品，全套共3件数字文创藏品：A．吉祥瑞兽——瓦猫、B．民族头饰“头顶的太阳”——瑶族银顶盘、C．民族团结见证——华永宁边区夷务指挥印章．甲、乙两个班级均计划从3件数字文创藏品中随机选择一件，在主题班会上讲述民族文物背后的故事．假设两个班级选择到哪件数字文创藏品不受其他任何因素影响，每一件藏品被选到的可能性相同． (1)用列表法或画树状图法，列出所有可能出现的情况； (2)求两个班级选到同一件数字文创藏品的概率． 15．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）“珠江之源，爨乡福地”，据文物考古证明：以曲靖为腹地的南盘江流域，早在十万年前就有人类活动的足迹可寻，蕴含着三种文化，即“爨文化”、“青铜文化”、“美食文化”．我市某社区举行曲靖文化交流会，小明被推荐为讲解员，需要选取两个文化进行讲解．规则如下：在一个不透明的纸箱中装有分别标有A，B，C的三个小球（A代表“爨文化”、B代表“青铜文化”、C代表“美食文化”，除标号外，其余均相同），小明从中随机摸出两个小球，小球上的标号所代表的就是小明要讲解的文化． (1)用列表法或画树状图法，列举小明所有可能选到讲解文化的结果； (2)求小明选到讲解“爨文化”和“美食文化”的概率． 16．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，两个标有数字的轮子分别被等分为4部分和3部分，它们可以分别绕其轮子中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．同时转动两个轮子，分别记录轮子停止时箭头所指的数字．请解答下列问题． (1)请用列表或画树状图的方法，求所有可能出现的结果． (2)轮子停止时，求箭头所指的两个数字的和为偶数的概率 17．（24-25九年级上·云南大理·期末）某校一年级开设人数相同的，，三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． (1)请用画树状图法或列表法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 18．（24-25九年级上·云南昭通·期末）小华和小智计划在寒假里各自前往景洪市、绿春县、绥江县三个地区里的一个地区进行社会实践调查．记景洪市为、绿春县为、绥江县为，假设小华和小智选择去哪个地区不受任何因素影响，且每个地区被选到的可能性相等．记小华的选择为，小智的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小华和小智选择到同一地区的概率． 19．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）为有效落实“双减”政策，引导学生将书本知识与生活经验深度融合，我县各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某校七年级年级组准备从嶍峨古镇、临江公园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从嶍峨古镇、临江公园、中共滇中地委觅池冲旧址三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择嶍峨古镇为A，选择临江公园为B，选择中共滇中地委觅池冲旧址为C．记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y． (1)请用列表法或画树状图中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P． 20．（24-25九年级上·云南·期末）云南，这个被誉为"彩云之南"的地方，不仅有壮丽的自然风光，更有让人魂牵梦萦的美食，例如“过桥米线”、“汽锅鸡”、“野生菌火锅”、“宜良烤鸭”等，每一道菜都蕴含着浓厚的地方特色和文化底蕴． (1)睿睿想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“野生菌火锅”的概率为________； (2)某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用，，，分别表示“过桥米线”、“汽锅鸡”、“野生菌火锅”、“宜良烤鸭”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“汽锅鸡”和“宜良烤鸭”的概率． 21．（23-24九年级上·江西九江·月考）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面文字依次是文､明､自､由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ； (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 22．（2024·云南昆明·二模）数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》、《几何原本》、《世界数学通史》、《古今数学思想》（依次用A、B、C、D表示）四本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两名同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率． 23．（2022·江苏淮安·中考真题）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． (1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； (2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 地 城 考点03 用频率估计概率 24．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）在学习了“用频率估计概率”一节后，数学老师提出了这样一个问题：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，骰子落下后，“朝上的一面的点数是5”的频率最可能接近（   ） A． B． C． D．1 25．（24-25九年级上·云南昭通·期末）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红白两种小球共40个，搅拌均匀后，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球1000次，有401次摸到红球，则袋中白球的个数大约有（   ） A．30个 B．24个 C．16个 D．12个 26．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（    ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 27．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（    ） A．8 B．12 C．0.4 D．0.6 28．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）数学兴趣小组做抛掷一枚硬币的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 硬币正面朝上次数 27 53 107 161 263 527 1056 1587 2655 硬币正面朝上频率 0.540 0.530 0.535 0.537 0.526 0.527 0.528 0.529 0.531 根据以上实验数据可以估计出“正面朝上”的概率约为 ．（精确到） 试卷第4页，共7页 试卷第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率初步 3大高频考点概览 一、考点01 随机事件与概率 二、考点02 列举法求概率 三、考点03 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件与概率 1．（24-25八年级下·云南·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．2021年全年有402天 B．打开电视，正在播放广告 C．刚出生的婴儿体重 D．明天太阳从东边升起 【答案】B 【分析】此题考查了随机事件的定义， 根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，逐一分析各选项． 【详解】选项A：2021年是平年，全年有365天，不可能有402天，属于不可能事件． 选项B：打开电视时，可能播放广告，也可能播放其他内容，结果不确定，属于随机事件． 选项C：刚出生婴儿体重正常范围约为，远超合理范围，属于不可能事件． 选项D：太阳东升是自然规律，必然发生，属于必然事件． 故选：B． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中 B．投掷一次骰子，向上一面的点数是2 C．任意画一个四边形，其内角和是 D．打开电视，正在播放足球比赛 【答案】C 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，不合题意； B. 投掷一次骰子，向上一面的点数是2，是随机事件，不合题意； C. 任意画一个四边形，其内角和是是不可能事件，符合题意； D. 打开电视，正在播放足球比赛，是随机事件，不合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·云南昭通·期末）在一个密封的不透明的袋子里装了个红球、个白球，露露伸手任意抓个球，抓到红球的可能性是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，掌握概率公式是解答本题的关键． 根据题目中总的球的个数和红球个数，可以计算出从袋中任意摸出一个球为红球的概率． 【详解】解：露露伸手任意抓个球，抓到红球的可能性是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·云南普洱·期末）下列说法正确的是（    ） A．“概率为0.0001”的事件是不可能事件 B．“种瓜得瓜，种豆得豆”在生物学上是必然事件 C．任意投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 D．“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 【答案】B 【分析】本题考查了不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义，理解并掌握相关定义是解题关键．根据不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义（即根据事件发生的可能性大小）逐项判断即可． 【详解】解：A、“概率为0.0001”是随机事件，本选项不符合题意； B、“种瓜得瓜，种豆得豆”在生物学上是必然事件，本选项符合题意； C、任意投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，本选项不符合题意； D、“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，本选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）下列说法正确的是（   ） A．任意画一个圆既是轴对称图形又是中心对称图形是必然事件 B．在单词（数学）中任选一个字母，选中字母为“a”是不可能事件 C．从2，3，4这三个数中，任意抽取两个数，积为偶数是随机事件 D．随意翻到一本数学书的某页，这页的页码是奇数是不可能事件 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类．在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件；必然不会发生的事件叫不可能事件；有可能发生也有可能不发生的事件叫随机事件，据此可得答案． 【详解】解：A、任意画一个圆既是轴对称图形又是中心对称图形是必然事件，原说法正确，符合题意； B、在单词（数学）中任选一个字母，选中字母为“a”是随机事件，原说法错误，不符合题意； C、从2，3，4这三个数中，任意抽取两个数，积为偶数是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、随意翻到一本数学书的某页，这页的页码是奇数是随机事件，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．画一个三角形，其内角和一定等于 B．打开电视，正在播放《云南新闻》 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．小明跑完800米所用的时间恰好为1分钟 【答案】C 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义逐项判断即可得． 本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件，掌握理解各定义是解题关键． 【详解】解：A、“画一个三角形，其内角和一定等于”是不可能事件，此项不符题意； B、“打开电视，正在播放《云南新闻》”是随机事件，此项不符题意； C、“三角形任意两边之和大于第三边”是必然事件，此项符合题意； D、“小明跑完800米所用的时间恰好为1分钟”是随机事件，此项不符题意； 故选：C． 7．（24-25九年级上·云南昭通·期末）下列事件为随机事件的是（   ） A．13个人里至少有2个人的生日在同一个月份 B．从地球上看，太阳从西边升起 C．车辆在任意时刻到达某一路口时遇到绿灯 D．线段绕它的中点旋转后与它本身重合 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件，解决本题的关键是弄清楚以上事件的定义；必然事件：每次随机试验中一定会出现的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、13个人里至少有2个人的生日在同一个月份，是必然事件，故不符合题意； B、从地球上看，太阳从西边升起，是不可能事件，故不符合题意； C、车辆在任意时刻到达某一路口时遇到绿灯，是随机事件，故符合题意； D、线段绕它的中点旋转后与它本身重合，是必然事件，故不符合题意． 故选：C． 8．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）下列事件中，为必然事件的是（    ） A．校园拔河比赛，九年级一班获得冠军 B．四边形的内角和是 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十九号载人飞船发射实况 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、校园拔河比赛，九年级一班获得冠军，是随机事件，故此选不符合题意； B、四边形的内角和是，是必然事件，故此选项符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故此选不符合题意； D、打开电视，正在播放神舟十九号载人飞船发射实况，是随机事件，故此选不符合题意； 故选：B． 9．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键． 利用指针落在阴影区域内的概率阴影部分面积总面积，分别求出概率比较即可． 【详解】解：A，指针落在阴影区域内的概率为； B，指针落在阴影区域内的概率是； C，指针落在阴影区域内的概率为； D，指针落在阴影区域内的概率为， ， ∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是B选项． 故选：B． 10．（2024·贵州·模拟预测）有6张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上（背面花色均相同），若从中随机抽取3张，则下列事件是必然事件的是（    ） A．3张扑克牌中有♥（红心） B．3张扑克牌都是♣（梅花） C．3张扑克牌都是♥（红心） D．3张扑克牌中有♣（梅花） 【答案】A 【分析】本题考查了可能性的大小，熟练掌握求可能性大小是解题的关键．根据可能性大小判断即可． 【详解】解：6张牌中，红心有4张，梅花有2张， 抽到的3张扑克牌有♥（红心）是必然事件， 故选：A 11．（24-25九年级上·云南昭通·期末）从中随机选一个数，选到正数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等可能事件的概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵中有2个正数， ∴选到正数的概率， 故答案为：． 12．（2023·江苏泰州·二模）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ．      【答案】 【分析】利用图形的对称性质，图形黑色部分与白色部分面积相等，等于圆面积的一半，根据几何概率的计算公式计算即可． 【详解】解：∵太极图是中心对称图形， ∴黑色部分与白色部分面积相等，即黑色阴影区域占圆的面积的一半， ∴在太极图中随机取一点，此点取自黑色部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率=几何图形面积比是解题的关键． 地 城 考点02 列举法求概率 13．（24-25九年级上·云南昭通·期末）“2024昭通马拉松”比赛于2024年12月15日在昭通举行，比赛起点设在昭通中心体育馆，比赛路线沿途经过昭阳区、鲁甸县；该项赛事设有马拉松（42.195km），半程马拉松（21.0975km），健康跑（7.5km），欢乐跑（3.5km）四个类别，共有约12000人参加该项赛事． (1)甲同学是本次赛事的志愿者，将被随机分配到马拉松、半程马拉松、健康跑、欢乐跑四个类别的其中一类进行志愿服务，甲被分配到“马拉松”进行志愿服务的概率是多少？ (2)本次赛事设有多个能量补给站，乙、丙两名同学将分别在10公里，15公里，20公里，25公里四个能量补给站中各随机选一个进行志愿服务．请用列表或画树状图的方法表示乙、丙的选择可能出现的结果，并求乙、丙选同一能量补给站的概率． 【答案】(1) (2)结果见解析， 【分析】此题考查了列表法与树状图法以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：甲被分配到“马拉松”进行志愿服务的概率为； （2）解：分别记10公里，15公里，20公里，25公里四个能量补给站为 ， 由题意列表如下： 乙 丙 （a， a） （a， b） （a， c） （a， d） （b， a） （b， b） （b， c） （b， d） （c， a） （c， b） （c， c） （c， d） （d， a） （d， b） （d， c） （d， d） 由表可知，共有16等可能的结果，其中乙、丙选同一能量补给站的结果为 共4种． 所以乙、丙选同一能量补给站的概率． 14．（24-25九年级上·云南昆明·期末）云南民族博物馆于2022年5月18日至5月20日正式发布首套云南民族文化数字文创藏品，全套共3件数字文创藏品：A．吉祥瑞兽——瓦猫、B．民族头饰“头顶的太阳”——瑶族银顶盘、C．民族团结见证——华永宁边区夷务指挥印章．甲、乙两个班级均计划从3件数字文创藏品中随机选择一件，在主题班会上讲述民族文物背后的故事．假设两个班级选择到哪件数字文创藏品不受其他任何因素影响，每一件藏品被选到的可能性相同． (1)用列表法或画树状图法，列出所有可能出现的情况； (2)求两个班级选到同一件数字文创藏品的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意列表，即可得出所有等可能的情况数； （2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中两个班级选到同一件数字文创藏品的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： 乙甲 （2）解：由（1）表可知，共有9种等可能出现的情况，其中两个班级选到同一件数字文创藏品的情况有3种，分别是：，，， （两个班级选到同一件数字文创藏品）， 答：两个班级选到同一件数字文创藏品的概率是． 15．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）“珠江之源，爨乡福地”，据文物考古证明：以曲靖为腹地的南盘江流域，早在十万年前就有人类活动的足迹可寻，蕴含着三种文化，即“爨文化”、“青铜文化”、“美食文化”．我市某社区举行曲靖文化交流会，小明被推荐为讲解员，需要选取两个文化进行讲解．规则如下：在一个不透明的纸箱中装有分别标有A，B，C的三个小球（A代表“爨文化”、B代表“青铜文化”、C代表“美食文化”，除标号外，其余均相同），小明从中随机摸出两个小球，小球上的标号所代表的就是小明要讲解的文化． (1)用列表法或画树状图法，列举小明所有可能选到讲解文化的结果； (2)求小明选到讲解“爨文化”和“美食文化”的概率． 【答案】(1)，，，，， (2) 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率： （1）根据题意画出对应的树状图即可得到答案； （2）根据（1）所求得到所有等可能性的结果数，再找到明选到讲解“爨文化”和“美食文化”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由画树状图法可得： 由树状图可知，小明所有可能选到讲解文化的结果为6种等可能情况，分别为，，，，，． （2）解：由（1）可知，共有6种等可能的结果，其小明选到讲解“爨文化”和“美食文化”的结果记为事件M，结果有：，，共有2种， ． 16．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，两个标有数字的轮子分别被等分为4部分和3部分，它们可以分别绕其轮子中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．同时转动两个轮子，分别记录轮子停止时箭头所指的数字．请解答下列问题． (1)请用列表或画树状图的方法，求所有可能出现的结果． (2)轮子停止时，求箭头所指的两个数字的和为偶数的概率 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查列表法或画树状图的方法求概率，以及概率公式，解题的关键在于根据题意列出表格． （1）根据题意列出表格，即可解题； （2）根据表格中的情况数，找出箭头所指的两个数字的和为偶数的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：列表如下． 3 6 7 2 （2，3） （2，6） （2，7） 4 （4，3） （4，6） （4，7） 5 （5，3） （5，6） （5，7） 8 （8，3） （8，6） （8，7） 由表格知，所有可能出现的结果有12种，且每一种结果出现的可能性相等． （2）解：由（1），可知共有12种等可能结果，其中轮子停止时，箭头所指的数字的和为偶数的有5种，分别为（5，3），（2，6），（4，6），（8，6），（5，7）， 箭头所指的两个数字的和为偶数的概率为． 17．（24-25九年级上·云南大理·期末）某校一年级开设人数相同的，，三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． (1)请用画树状图法或列表法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】(1)见解析，共有9种等可能的结果，，，，，，，， (2) 【分析】此题考查了树状图法求概率． （1）根据题意画出树状图，即可得到所有等可能的结果； （2）甲、乙两位新生分到同一个班的有3种结果，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：画树状图： 共有9种等可能的结果，，，，，，，，； （2）解：甲、乙两位新生分到同一个班的有3种结果：，，， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 18．（24-25九年级上·云南昭通·期末）小华和小智计划在寒假里各自前往景洪市、绿春县、绥江县三个地区里的一个地区进行社会实践调查．记景洪市为、绿春县为、绥江县为，假设小华和小智选择去哪个地区不受任何因素影响，且每个地区被选到的可能性相等．记小华的选择为，小智的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小华和小智选择到同一地区的概率． 【答案】(1)9种 (2) 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率的问题，解题的关键是画出树状图或列出表格． （1）根据题意列出表格，即可得到答案； （2）根据（1）列出的情况，找到小华和小智选择到同一地区的情况，得出概率即可． 【详解】（1）解：由题意列表如下： 由题意画树状图如下： 由表格或树状图可知，所有可能出现的结果总数为以上9种，且每种结果出现的可能性相同． （2）解：由（1）知，小华和小智选择到同一地区的结果有3种，即、． ， 小华和小智选择到同一地区的概率为． 19．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）为有效落实“双减”政策，引导学生将书本知识与生活经验深度融合，我县各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某校七年级年级组准备从嶍峨古镇、临江公园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从嶍峨古镇、临江公园、中共滇中地委觅池冲旧址三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择嶍峨古镇为A，选择临江公园为B，选择中共滇中地委觅池冲旧址为C．记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y． (1)请用列表法或画树状图中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P． 【答案】(1)共有6种等可能的结果 (2) 【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图． （1）根据题意列出表格（或画出树状图），即可解题； （2）根据根据（1）列出的情况，找出该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下：            A B C A B 由表格可知，共有6种等可能的结果； （2）七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的结果有： ，，，共4种， ∴该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的率． 20．（24-25九年级上·云南·期末）云南，这个被誉为"彩云之南"的地方，不仅有壮丽的自然风光，更有让人魂牵梦萦的美食，例如“过桥米线”、“汽锅鸡”、“野生菌火锅”、“宜良烤鸭”等，每一道菜都蕴含着浓厚的地方特色和文化底蕴． (1)睿睿想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“野生菌火锅”的概率为________； (2)某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用，，，分别表示“过桥米线”、“汽锅鸡”、“野生菌火锅”、“宜良烤鸭”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“汽锅鸡”和“宜良烤鸭”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单的概率公式计算即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了简单的概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：共有4种等可能的结果，其中选中“野生菌火锅”的有1种， ∴选中“野生菌火锅”的概率． （2）解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“汽锅鸡”和“宜良烤鸭”的有2种， ∴恰好选中“汽锅鸡”和“宜良烤鸭”的概率． 21．（23-24九年级上·江西九江·月考）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面文字依次是文､明､自､由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ； (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有4张卡片，卡片上的文字是“文”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为： （2）解：解法一：画树状图下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种， 两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词． 解法二：列表如下： 文 明 自 由 文 （文，明） （文，自） （文，由） 明 （明，文） （明，自） （明，由） 自 （自，文） （自，明） （自，由） 由 （由，文） （由，明） （由，自） 由表可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词． 22．（2024·云南昆明·二模）数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》、《几何原本》、《世界数学通史》、《古今数学思想》（依次用A、B、C、D表示）四本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两名同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率． 【答案】(1)16种 (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率的问题，解题的关键是列出表格或画出树状图． （1）根据题意列出表格或树状图，即可得到答案； （2）根据（1）列出的情况，找到甲、乙两名同学选择阅读同一本名著的情况，得出概率． 【详解】（1）根据题意列表如下： A B C D A B C D 共有以上16种等可能结果． （2）其中甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的结果有4种： 甲、乙两位同学都选择到同一本名著的概率为． 23．（2022·江苏淮安·中考真题）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． (1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； (2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 【答案】(1) (2)两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数， ∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 故答案为：. （2）解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：，共4种， ∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为. 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 地 城 考点03 用频率估计概率 24．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）在学习了“用频率估计概率”一节后，数学老师提出了这样一个问题：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，骰子落下后，“朝上的一面的点数是5”的频率最可能接近（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据概率公式计算概率等知识点，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键． 先求出“朝上的一面的点数是5”的概率，然后根据频率与概率之间的关系即可得出答案． 【详解】解：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子落下后，“朝上的一面的点数”一共有6种等可能的结果，即：1，2，3，4，5，6，其中“朝上的一面的点数是5”的结果有1种， （朝上的一面的点数是5）， 随着抛掷次数的增多，频率会在概率附近摆动，因而“朝上的一面的点数是5”的频率最可能接近其概率， 故选：． 25．（24-25九年级上·云南昭通·期末）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红白两种小球共40个，搅拌均匀后，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球1000次，有401次摸到红球，则袋中白球的个数大约有（   ） A．30个 B．24个 C．16个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为，然后根据概率公式可求得白球的个数． 【详解】解：摸到白球的概率为， 袋中白球的个数有（个）， 即袋中白球的个数大约有24个． 故选：B． 26．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（    ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算出白球个数，再求黄球数即可． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，得： ， 解得：， 则（个）， 即布袋中黄球可能有个， 故选：B． 27．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（    ） A．8 B．12 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为12， 故选：B． 28．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）数学兴趣小组做抛掷一枚硬币的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 硬币正面朝上次数 27 53 107 161 263 527 1056 1587 2655 硬币正面朝上频率 0.540 0.530 0.535 0.537 0.526 0.527 0.528 0.529 0.531 根据以上实验数据可以估计出“正面朝上”的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了频率估算概率，理解表格信息是解题的管家． 根据表格信息，随着试验次数的增加，事件发生的频率会趋近于其真实的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，“正面朝上”的概率约为， 故答案为： ． 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $