专题05 直线和圆的位置关系与弧长和扇形面积 4大高频考点（期末真题汇编，云南专用）九年级数学上学期

专题05 直线和圆的位置关系与弧长和扇形面积 4大高频考点概览 一、考点01 证明某直线是圆的切线 二、考点02 切线的性质和判定综合 三、考点03 求弧长 四、考点04求圆锥的侧面积 地 城 考点01 证明某直线是圆的切线 1．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作．将绕点顺时针旋转得，使点的对应点落在边上，交于点，连接交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期末）年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟十一号遥四运载火箭，成功将武汉一号卫星、超低轨技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．若设武汉一号卫星为点，地球为．如图所示，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：是的切线． 3．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）如图，为的外接圆，为的直径，的外角平分线交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 4．（24-25九年级上·云南大理·期末）已知：如图所示，是⊙O的直径，是⊙O上一点，平分交⊙O于，过作于． (1)求的度数； (2)求证：与⊙O相切； (3)若是中点，过作交于，若，与的交点为且，求的半径． 5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 地 城 考点02 切线的性质和判定综合 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．    (1)求证：； (2)连接，若，，，求阴影部分的面积． 14．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，点在上，经过点，分别与、相交于点D、E，与相切于点于点，连接交于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，求图中阴影部分的面积． 15．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知为的直径，点D为上一点，连接于点E、且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 16．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 17．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与___________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 18．（2023·湖北襄阳·二模）如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 19．（23-24九年级上·云南德宏·期末）如图所示，是的直径，点在上，点在上，，的延长线交于点． (1)在的延长线上取一点，使，求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 20．（23-24九年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，，D为上一点，以为直径的交于点E，连接AE，且AE平分∠CAB． (1)求证：是的切线． (2)连接，若，求的值． 21．（22-23九年级下·四川南充·期中）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长； 22．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，点E是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线， (2)若，求的长． 23．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 地 城 考点03 求弧长 24．（24-25九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角是，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 25．（2023·河北保定·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 26．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的圆弧的长度为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（    ） A． B． C． D． 28．（2020·云南·中考真题）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）    A． B．1 C． D． 29．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）下图是《清——竹加彩花鸟纹折扇》，折扇的骨柄的长为，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为 ． 30．（2024·云南昆明·二模）如图，在矩形纸片中，，若以点为圆心，为半径，剪出扇形．若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则所围成圆锥的底面圆的半径为 ． 31．（2022·湖南永州·一模）如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ． 32．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，正六边形内接于，，则的长为 ． 地 城 考点04 求圆锥的侧面积 6．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图所示，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·云南昆明·期末）“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的母线长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 9．（2024·山东东营·模拟预测）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·云南临沧·期末）图是一种道路交通隔离警戒设施交通锥，将其抽象成几何图形，近似地看成圆锥（如图），测得底面半径，母线，则圆锥的侧面积是 ．（结果保留） 11．（24-25九年级上·云南昭通·期末）云南十八怪是云南省特有的民间传说，“草帽当锅盖”是其中之一．当地人制作的草帽锅盖呈圆锥形，具有良好的透气性和保温性，使食物更加清香．一个草帽锅盖的母线长为30厘米，底面圆的半径为20厘米，这个草帽锅盖的侧面积为 平方厘米． 12．（10-11九年级·浙江绍兴·阶段练习）已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则此圆锥的侧面积为 .（结果保留） 试卷第10页，共10页 试卷第2页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线和圆的位置关系与弧长和扇形面积 4大高频考点概览 一、考点01 证明某直线是圆的切线 二、考点02 切线的性质和判定综合 三、考点03 求弧长 四、考点04求圆锥的侧面积 地 城 考点01 证明某直线是圆的切线 1．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作．将绕点顺时针旋转得，使点的对应点落在边上，交于点，连接交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用证明，推出，即可证明结论成立； （2）利用勾股定理求得，证明得到，利用等积法求得和的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：绕点旋转得， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：在中，，，， ， 由旋转可知：，，， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理：． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期末）年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟十一号遥四运载火箭，成功将武汉一号卫星、超低轨技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．若设武汉一号卫星为点，地球为．如图所示，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由切线的性质得，则，因为，所以 ，则，所以是等边三角形； （）由等边三角形的性质得，因为，所以，而，，即可根据“”证明，则，即可证明是的切线． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵交于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形及是解题的关键． 3．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）如图，为的外接圆，为的直径，的外角平分线交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质、勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可推导出，利用切线的判定即可证明结论； （2）延长交于点F，证明四边形是矩形，则由垂径定理可得，设，则，则，在中，由勾股定理可得，解方程可求出，再证明，可由勾股定理得到，求出，则由勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ∴， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：延长交于点F， 是的直径， ， 由（1）知：， 四边形是矩形， ， ， 在矩形中，设， ， ， ， 在中，，， ∴， 解得：（舍去），； ， 是的直径，且， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， 在中，， ， 的长为． 4．（24-25九年级上·云南大理·期末）已知：如图所示，是⊙O的直径，是⊙O上一点，平分交⊙O于，过作于． (1)求的度数； (2)求证：与⊙O相切； (3)若是中点，过作交于，若，与的交点为且，求的半径． 【答案】(1) (2)见解析 (3)16 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角求出结果即可； （2）连接，根据角平分线的性质及圆的半径相等的性质得到，推出，根据即可得到，由此得到结论； （3）连接，设与的交点为，根据设，可求，根据角平分线的性质及圆的半径相等的性质得到，推出，根据求出，即可得到半径． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． （2）解：证明：连接．   平分， ， ， ， ， ， ， ∴， 与相切； （3）解：连接， ∵，， ∴可设，， ∴，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径． 【点睛】此题考查切线的判定定理，圆周角定理的推论，角平分线的定义，平行线的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 地 城 考点02 切线的性质和判定综合 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．    (1)求证：； (2)连接，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得，结合，可推出，再根据直径所对的圆周角为，可推出，得到，最后根据，得到，即可证明； （2）过点作于点，由，可得，推出是等边三角形，得到，进而得到，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， 又， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作于点， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ．    【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，扇形的面积公式，掌握相关知识是解题的关键． 14．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，点在上，经过点，分别与、相交于点D、E，与相切于点于点，连接交于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接．证明．由是的半径，即可得到结论； （2）设的半径为，连接．证明四边形是正方形．得到．在中，，即，解得，利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵ ∴． ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． ∵是的半径， 直线与相切． （2）设的半径为，连接． ∵与AB相切于点 ∴． ，且 ∴四边形是正方形． ∵ ∴． 在中，，即， 解得（负值舍去）． ∵是正方形的对角线， 是等腰直角三角形． ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、扇形面积公式、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，证明直线与相切是解题的关键． 15．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知为的直径，点D为上一点，连接于点E、且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，由可得，由可得，从而得到； （2）根据，，可得是等边三角形，由勾股定理得，解得，根据是的中位线，解得，根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． ， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：为的直径， ． 在中， ． 是等边三角形， ， ． 由勾股定理得，即，解得． 是的中点． 是的中点， 是的中位线， ． ， ． 【点睛】本题考查了圆切线的判定，涉及了圆周角定理，扇形面积的计算，切线的判定定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 16．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)②正确，理由见解析 【分析】（1）首先证明，易得，由切线长定理可知，，进而证明，然后由勾股定理求解即可； （2）首先根据勾股定理可得，再由（1）知，进而可得，由切线长定理可知，易得，然后证明结论； （3）延长至，使得，连接，首先证明，易得，再证明，易得，即可证明． 【详解】（1）解： 是直径，、是切线， ∴， ， 由切线长定理可知，， ， ， ， ； （2）证明： 是直径， 、 是切线， ， ， 由 （1）知 ， ， 由切线长定理可知 ， ， ， 即 ， ； （3）我认为正确，理由如下： 如下图，延长至，使得，连接， 由垂径定理知，垂直平分， ， ， 在四边形中，， 又 ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理等知识，综合性质强，综合运用相关知识是解题关键． 17．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与___________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】(1)（或） (2)见解析 (3) 【分析】本题属于圆的综合题，主要全等三角形判定与性质，垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形． （1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答； （2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明； （3）利用（2）中规律得到，，再设，半径为r，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图①， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：（或）； （2）证明：∵，， ∴，，，， ∵、是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， 在和中 ， ∴； （3）解：解：连接，，如图③， ∵N、Q分别为、的中点， ∴，，，， ∵、是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为r，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 18．（2023·湖北襄阳·二模）如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，先根据圆周角定理得出，再证明，从而得出，即可得证； （2）连接，先利用圆心角、弧、弦的关系，得出，由圆周角定理得出，证明为等边三角形，再根据图中阴影部分的面积，计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，为的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：如图，连接， ，为的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 19．（23-24九年级上·云南德宏·期末）如图所示，是的直径，点在上，点在上，，的延长线交于点． (1)在的延长线上取一点，使，求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定、扇形面积公式、圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理正确进行推理是解题的关键． （1）根据圆周角定理、等边对等角、对顶角相等、三角形内角和定理等知识可以证明，又由是的半径，即可得到结论； （2）连接，证明，则，根据扇形面积公式和直角三角形面积公式即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，且是的半径， 是的切线． （2）解：如图所示，连接， ， ， ， ，， ， ， ， 图中阴影部分的面积为：． 20．（23-24九年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，，D为上一点，以为直径的交于点E，连接AE，且AE平分∠CAB． (1)求证：是的切线． (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，而，则，则，即可证明是的切线； （2）由是的直径，得，因为，所以则，所以，由勾股定理得，所以即可求得 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 的值为 【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键. 21．（22-23九年级下·四川南充·期中）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长； 【答案】(1)证明见继续 (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，垂径定理先证明，进而证明，则，由此即可证明是的切线； （2）利用勾股定理在中求出，同理求出，，设，则，，然后利用勾股定理建立等式解答即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， 平分弦，平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 是的切线； （2）解：，， ∴，， 在中，， ∴，， 在中，， 在中，， 设，则，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 22．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，点E是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线， (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）首先根据等量代换得到，然后根据同角的余角相等得到，进而证明即可； （2）连接，首先根据点D是的中点得到，然后根据勾股定理求出，最后利用角直接三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，      ∴，即：， ∵是的半径， ∴CE是的切线， （2）连接， ∵点D是的中点，AC是的直径， ∴， ∴，， 在中，设， 由勾股定理可得：，， 解得：， ∴， ∵，， ∴，则有， 故的长为4． 【点睛】此题考查了切线的证明，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【分析】（1）连接OA，根据等边对等角得出∠ODA＝∠OAD，进而得出∠OAD＝∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝4cm，根据垂径定理得出DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径． 【详解】 （1）证明：连结OA． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD．    ∵DA平分∠BDE， ∴∠ODA＝∠EDA． ∴∠OAD＝∠EDA， ∴EC∥OA．   ∵AE⊥CD， ∴OA⊥AE．         ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F． ∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°， ∴四边形AOFE是矩形． ∴OF＝AE＝4cm． 又∵OF⊥CD， ∴DF＝CD＝3cm． 在Rt△ODF中，OD＝＝5cm， 即⊙O的半径为5cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 地 城 考点03 求弧长 24．（24-25九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角是，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了求弧长，求圆锥的底面半径， 先求出扇形的弧长，可得圆锥的底面周长，再根据周长公式求出半径． 【详解】解：扇形的弧长， 即圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为． 故选：A． 25．（2023·河北保定·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算以及弧长的计算，设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为8尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 26．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的圆弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，根据圆饼的直径为得圆饼的半径为，根据圆弧的圆周角为得圆弧的圆心角为，根据弧长公式进行计算即可得；掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵圆饼的直径为， ∴圆饼的半径为， ∵圆弧的圆周角为， ∴圆弧的圆心角为， ∴圆弧的长度为：， 故选：D． 27．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴， 解得， 即扇形的圆心角为． 故选：C． 28．（2020·云南·中考真题）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解． 【详解】∵正方形的边长为4 ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴ ∴圆锥底面周长为，解得 ∴该圆锥的底面圆的半径是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键． 29．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）下图是《清——竹加彩花鸟纹折扇》，折扇的骨柄的长为，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了弧长．利用弧长公式，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得的长， 故答案为：． 30．（2024·云南昆明·二模）如图，在矩形纸片中，，若以点为圆心，为半径，剪出扇形．若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则所围成圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】先计算扇形的弧长为，设圆锥底面圆的半径为r，根据底面圆的周长等于扇形弧长，建立等式计算即可． 本题考查了弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据题意，得扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：2． 31．（2022·湖南永州·一模）如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程求出r即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为 根据题意得 解得 即该圆锥底面圆的半径为 故答案为：． 32．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，正六边形内接于，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，代入弧长公式即可求解，作出辅助线，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长， 故答案为：． 地 城 考点04 求圆锥的侧面积 6．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图所示，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．由图可知：阴影的面积=半圆的面积的面积-扇形的面积，可根据各自的面积计算方法求出阴影的面积． 【详解】解：在中，， ∴， ∴，，； 所以阴影面积， 故选：B． 7．（24-25九年级上·云南昆明·期末）“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：此草锅盖的侧面积为：． 故选：C． 8．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的母线长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即圆锥的母线长为， 故选：B． 9．（2024·山东东营·模拟预测）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3， ∴母线长为， ∴圆锥模型的侧面积为． 故选：B． 10．（24-25九年级上·云南临沧·期末）图是一种道路交通隔离警戒设施交通锥，将其抽象成几何图形，近似地看成圆锥（如图），测得底面半径，母线，则圆锥的侧面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积．根据圆锥的侧面积解答即可． 【详解】解：圆锥的侧面积是 故答案为：． 11．（24-25九年级上·云南昭通·期末）云南十八怪是云南省特有的民间传说，“草帽当锅盖”是其中之一．当地人制作的草帽锅盖呈圆锥形，具有良好的透气性和保温性，使食物更加清香．一个草帽锅盖的母线长为30厘米，底面圆的半径为20厘米，这个草帽锅盖的侧面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】此题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面积公式，其中r是底面圆的半径，l是母线长，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可得，（平方厘米） 故答案为： 12．（10-11九年级·浙江绍兴·阶段练习）已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则此圆锥的侧面积为 .（结果保留） 【答案】 【分析】先求出底面圆的周长，即为弧长，圆锥的侧面积为扇形的面积，由扇形的面积公式求解即可得出答案． 【详解】解：底面圆的半径为3， 底面圆的周长为，即圆锥的侧面展开图的弧长为， 圆锥的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】此题考查圆锥的侧面积，解题关键在于掌握运算公式． 试卷第4页，共37页 试卷第1页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $