精品解析：广东省中山市共进联盟2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷

中山市共进联盟2025-2026学年九上数学期中试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”党的十八大以来，我国航天事业不断刷新纪录，进入创新发展“快车道”、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 用配方法解一元二次方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 根据下表判断方程的一个解的取值范围是（ ） … … … … A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是弧上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计15分） 11. 一元二次方程的解是____________． 12. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 13. 如图，要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要_______mm． 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 __________________cm． 15. 如图，在四边形中,，以D为圆心,为半径的弧恰好与相切，切点为 E，若，则阴影部分的面积是____________． 三、解答题（16-18每小题7分，19-21 每小题9分， 22题13分，23题14分） 16. 芳芳用因式分解法解一元二次方程时，她的做法如下： 解：移项，得（第一步） 化简，得（第二步） 方程两边同时除以，得（第三步） 解得（第四步） （1）芳芳的方法___________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，她是从___________步开始错的； （2）请你写出正确的解题过程． 17. 如图，为的直径，弦于E，已知，．求的直径． 18. 山东潍坊杨家埠木版年画有“画乡”之称．某校社团准备制作一张长方形年画《瑞虎迎春》，长和宽分别记为、（单位：）．已知、是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，这张年画恰好是正方形？ （2）若制作时要求四周各留的空白边（即实际画面长，宽），且满足，求的值． 19. 如图，是由绕坐标原点顺时针旋转后得到的，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求出旋转过程中，点所经过的路径长（结果保留）． 20. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． （1）求的值； （2）求的面积； （3）P是第四象限内直线上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点，当时，求点的坐标． 21. “山东舰”是中国第一艘完全自主设计，自主建造的国产航空母舰，2019年12月正式服役．某航模商店购进了“山东舰”模型玩具，某学校利用星期天开展社会实践活动，调查某种规格的“山东舰”模型玩具销售情况．下表是“山东舰军迷”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． ××学校社会实践记录表 团队名称 “山东舰军迷”小组 活动时间 2025.10．28 团队成员 小明等10名同学 地点 航模商店 实践内容 调查“山东舰”模型玩具销售行情，利用二次函数知识，帮助商店解决销售利润问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 “山东舰”模型玩具的进价为40元/个． 当“山东舰”模型玩具售价为50元/个，每天可销售100个． 单价每涨价1元，每天少卖2个． 解决问题 问题1 设涨价元，一天卖“山东舰”模型玩具的利润为元，请写出与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 问题2 要使销售“山东舰”模型玩具的利润为1350元且让顾客得到实惠，求“山东舰”模型玩具单个售价． 22. 圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． （1）如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； （2）如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； （3）如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 23. 如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点． （1）①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． （2）①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围． （3）若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市共进联盟2025-2026学年九上数学期中试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”党的十八大以来，我国航天事业不断刷新纪录，进入创新发展“快车道”、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；据此即可求解； 【详解】解：由中心对称图形的定义可知，B为中心对称图形； 故选：B ． 2. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断一元二次方程根的情况，通过计算判别式的值来判断根的情况即可得出答案． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 用配方法解一元二次方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和添加平方项将方程化为完全平方形式即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ （移项）， ∴ （添加一次项系数一半的平方）， ∴ （化简）， ∴ 变形后结果为 ， 故选B． 5. 根据下表判断方程的一个解的取值范围是（ ） … … … … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，看0在相对应方程的哪两个值之间，那么近似解就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 故选：B． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，熟记二次函数顶点式求顶点坐标的方法是解决问题的关键．根据二次函数图像与性质直接求解即可得到答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是 ． 故选：B． 7. 若抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．平移的规律：左加右减，上加下减．根据规律求函数解析式即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为， 故选：D． 8. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 由圆周角定理得到，据此即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴根据圆周角定理得，． 则的度数为， 故选：B． 9. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 10. 如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是弧上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 先根据圆周角定理判断点Q在以为直径的圆上，连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定Q的运动轨迹是解答的关键． 【详解】解：如图：连接、， ∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，以为直径作， 如图:连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共计15分） 11. 一元二次方程的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程．用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 或， ， 故答案为：，． 12. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为求解，关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要_______mm． 【答案】 【解析】 【详解】如图所示： 设正多边形的中心是O，其一边是AB， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四边形ABCO是菱形， ∵AB=12mm，∠AOB=60°， ∴cos∠BAC=， ∴AM=12×， ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， ∴AM=MC=AC， ∴AC=2AM=mm． 故答案为： 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 __________________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图的半径，根据题意建立方程．根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可． 【详解】解：圆锥的底面周长， 由题意可得，解得， 所以该圆锥的母线长为， 故答案为． 15. 如图，在四边形中,，以D为圆心,为半径的弧恰好与相切，切点为 E，若，则阴影部分的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了梯形面积、圆的切线性质及扇形面积的计算，解题的关键是利用切线性质得到，结合勾股定理求出的长度，进而计算阴影部分的面积（梯形面积减去扇形面积）． 连接，由切线性质得且；利用梯形面积的两种表示方法求出的长度；通过勾股定理求出；最后计算梯形与扇形的面积差得到阴影面积． 【详解】解：连接、． ∵是的切线， ∴，． ∵， ∴，梯形的面积． 又梯形面积， ∴，解得． 在中，，， ∴，解得． 扇形的面积， 梯形面积， 阴影面积． 故答案为：． 三、解答题（16-18每小题7分，19-21 每小题9分， 22题13分，23题14分） 16. 芳芳用因式分解法解一元二次方程时，她的做法如下： 解：移项，得（第一步） 化简，得（第二步） 方程两边同时除以，得（第三步） 解得（第四步） （1）芳芳的方法___________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，她是从___________步开始错的； （2）请你写出正确的解题过程． 【答案】（1）不正确，三 （2） 解：， ， ， ， ， 即或， ∴，． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键． （1）两边除以时，要考虑其是不是0即可判断； （2）先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：芳芳的方法不正确；当时，等式成立，所以从第三步开始出现错误； 故答案为：不正确，三； 【小问2详解】 略 17. 如图，为的直径，弦于E，已知，．求的直径． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 连接，设圆O的半径为r，则，然后根据垂径定理得出，然后在中利用勾股定理进一步求解即可. 【详解】解：连接，设半径为r， ∵为的直径，弦于E，，． ∴，， 在中， ∵， 即， 解得， ∴． 18. 山东潍坊杨家埠木版年画有“画乡”之称．某校社团准备制作一张长方形年画《瑞虎迎春》，长和宽分别记为、（单位：）．已知、是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，这张年画恰好是正方形？ （2）若制作时要求四周各留的空白边（即实际画面长，宽），且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及正方形的判定与性质．熟练掌握正方形的判定和根的判别式是解题的关键． （1）根据正方形的性质，可知方程有两个相等的实数根，所以，，即可求出答案； （2）根据根与系数的关系得，，代入，即可求出答案． 【小问1详解】 解：当张年画恰好是正方形，则方程有两个相等的实数根， ∴，， 解得； 【小问2详解】 解：∵、是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 19. 如图，是由绕坐标原点顺时针旋转后得到的，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求出旋转过程中，点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及弧长公式， 连接，过点B作轴交于点D，过点作轴交于点E，则，根据旋转的性质得，即可证明，则，结合点坐标即可求得点B坐标； 根据勾股定理求得，利用弧长公式即可求的点所经过的路径长． 【小问1详解】 解：连接，过点B作轴交于点D，过点作轴交于点E， 则， 根据旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点； 【小问2详解】 解：∵点， ∴， ∴点所经过的路径长． 20. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． （1）求的值； （2）求的面积； （3）P是第四象限内直线上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养． （1）把分别代入一次函数和二次函数解析式，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）设点，则点，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数与一次函数， 联立上述两个函数表达式得：， 解得：， ∴， 设直线交y轴于点H，则， 则的面积； 【小问3详解】 解：设点，则点， ∴， 解得：（舍去）或， 即点． 21. “山东舰”是中国第一艘完全自主设计，自主建造的国产航空母舰，2019年12月正式服役．某航模商店购进了“山东舰”模型玩具，某学校利用星期天开展社会实践活动，调查某种规格的“山东舰”模型玩具销售情况．下表是“山东舰军迷”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． ××学校社会实践记录表 团队名称 “山东舰军迷”小组 活动时间 2025.10．28 团队成员 小明等10名同学 地点 航模商店 实践内容 调查“山东舰”模型玩具销售行情，利用二次函数知识，帮助商店解决销售利润问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 “山东舰”模型玩具的进价为40元/个． 当“山东舰”模型玩具售价为50元/个，每天可销售100个． 单价每涨价1元，每天少卖2个． 解决问题 问题1 设涨价元，一天卖“山东舰”模型玩具的利润为元，请写出与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 问题2 要使销售“山东舰”模型玩具的利润为1350元且让顾客得到实惠，求“山东舰”模型玩具单个售价． 【答案】问题1：；问题2：55元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： 问题1：根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； 问题2：令，解一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：问题1：由题意，； 问题2：由题意得， 解得，，． 帮助模型店解决销售问题的同时，为顾客谋实惠， 舍去． “山东舰”模型玩具单个售价为（元） 答：若想一天销售“山东舰”模型玩具的利润为1350元，且让顾客得到实惠，模型玩具单个售价为55元． 22. 圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． （1）如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； （2）如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； （3）如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案； （2）首先利用勾股定理求出和、的长，再分类讨论，第一种情况是，第二种情况是，结合三角函数以及勾股定理进行列式作答即可； （3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的直径，，， ∴， ①当时，连接，如图： ∵，为的直径， ∴， ∴，垂直平分． ∴ ∴； ②当时，连接，过点作，交于点．如图： 此时为等腰直角三角形，． 在中，∵，， ∴ ∴ 在中，∵，， ∴， ∴． 综上可知，或； 【小问3详解】 如图，连接，． ∵，， ∴垂直平分 ∵为中点， ∴为的中位线，有，． 设， 则，，， 在中， 在中， 于是有： 整理得，， ∴ 当时， 【点睛】本题是圆的综合题，涉及勾股定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、三角函数、三角形中位线定理等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点． （1）①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． （2）①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围． （3）若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2）①；②或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意数形结合是解题的关键． （1）①根据待定系数法直接求解即可；②根据二次函数的图象性质即可求解； （2）①先根据反转的性质求出点坐标，再根据待定系数法求解析式即可；②根据的图象性质求解即可； （3）结合图像，分两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：①∵抛物线经过和两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式， ②， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴二次函数的最小值为． 【小问2详解】 解： ①当时，，由对称性可得， 当时，， 解得，， ，， 设图象的解析式为， 将代入，得， ， ， 图象位于线段上方部分对应的函数关系式为， ∴图象的解析式为； ②对于，对称轴为，时，随增大而增大； 对于，对称轴为，时，随增大而增大， ∴随增大而增大时的取值范围是或． 【小问3详解】 解：如图，直线与图象有个交点时，有两种情况， 一种情况是直线过点，把代入，得，解得； 另一种情况是直线与相切， 联立方程，消去得，即， 令判别式，解得； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $