江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（5）

内容：必修二＋选择性必修一第1~3章 时间：2025.10.22 2024级高二第一学期数学周测（5） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 1.已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2.已知双曲线过点，渐进线方程为，则双曲线的标准方程是(    ) A. B. C. D. 3.开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点距离太阳最近的点距太阳中心亿公里，远日点距离太阳最远的点距太阳中心亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为(    ) A. B. C. D. 4.已知△ABC的两个顶点A，B坐标是(-5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积为m，则“m<0”是“点C的轨迹为椭圆（去掉点A，B）”的（ ） A. 充要条件 B. C. D. 既不充分也不必要条件 5.已知，则(    ) A. B. C. D. 6.已知直线与，过点的直线被两直线、所截得的线段恰好被点平分，则三条直线围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(－2，0)，(0，2)，则（ ） A．圆C的半径大于2 B．圆心C不可能在第一象限 C．当圆心C在x轴上时，圆C的周长为4π D．当圆心C在第四象限时，圆C截y轴所得的弦长大于8 8.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. 的面积的最大值为 D. 椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9.已知三棱锥中，，，两两相互垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为          ． 10.已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为          ． 11.已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分.设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中，，且甲在A，B两点投篮的结果互不影响.已知甲在一轮投篮后得0分的概率为，得2分的概率为. （1）求p，q的值； （2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分概率. 13.已知双曲线为等轴双曲线，虚轴长为4. 求的标准方程； 斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，． 求的取值范围； 若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期数学周测（5） 时间：50分钟 满分：87分 1、 单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1.已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等式整理可得，即可计算出. 【详解】将整理可得， 所以； 可得. 故选：D 2.已知双曲线过点，渐进线方程为，则双曲线的标准方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查双曲线的几何性质和标准方程，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为，将点代入其中可得，解得的值即可求解． 【解答】 解：根据题意，双曲线的渐进线方程为， 则可以设其方程为， 又由其过点，则有， 解可得：， 则双曲线的标准方程为：； 故选C． 3.开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点距离太阳最近的点距太阳中心亿公里，远日点距离太阳最远的点距太阳中心亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了椭圆离心率的求解，属于基础题． 根据题意可知，，进而可以求出离心率． 【解答】 【分析】本题考查了椭圆离心率的求解，属于基础题． 根据题意可知 ，，进而可以求出离心率． 【解答】解： 由题意知：，， 则该行星运动轨迹的离心率， 故选： 4.已知△ABC的两个顶点A，B坐标是(-5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积为m，则“m<0”是“点C的轨迹为椭圆（去掉点A，B）”的（ ） A. 充要条件 B. C. D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 5.已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了三角恒等变换，也考查了运算求解能力，属于基础题． 由题意，利用三角恒等变换求出的值，再求的值即可． 【解答】 解：由， 得， 化简得， 所以， 所以 故选： 6.已知直线与，过点的直线被两直线、所截得的线段恰好被点平分，则三条直线围成的三角形面积为 A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查两条直线的交点坐标、点到直线的距离、两点间的距离公式，属于中档题． 设直线与直线，的两个交点为，，设，则，代入直线，即可得点，进而可得到直线的方程，再求，交点到的距离，利用面积公式计算即可． 【解答】 解：设直线与直线，的两个交点为，，且设， 则由题意可知，点关于点的对称点在上， 所以，解得， 所以，， 所以． 因为直线过点，， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即． 联立，，解得，的交点坐标为， 所以到直线的距离为， 所以这三条直线，，围成的三角形面积为． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(－2，0)，(0，2)，则 A．圆C的半径大于2 B．圆心C不可能在第一象限 C．当圆心C在x轴上时，圆C的周长为4π D．当圆心C在第四象限时，圆C截y轴所得的弦长大于8 【答案】BD 【考点】圆的综合应用 【解析】由题意可设M(－2，0)，N(0，2)，对于选项A，MN＝＝4，则圆C的半径≥2，故选项A错误；对于选项B，MN的中垂线方程为x＋y＋2＝0，可知该直线不过第一象限，且圆心C在该直线上，所以圆心C不可能在第一象限，故选项B正确；对于选项C，当圆心C在x轴上时，可令直线x＋y＋2＝0中的y＝0，解得x＝－，即C(－，0)，则其半径为2－＝，所以周长为2πr＝π，故选项C错误；对于选项D，因为直线x＋y＋2＝0过定点(0，－2)，且圆心C在第四象限，所以圆心的纵坐标小于－2，则圆C截y轴所得的弦长大于8，故选项D正确；综上，答案选BD． 8.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. 的面积的最大值为 D. 椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理和椭圆定义可求得，进而得到的面积，即可判断A；设点，利用平面向量的数量积求得，结合的范围，即可判断B；当点为椭圆的短轴顶点时，面积的最大，求出最大面积即可判断C；验证讨论的三个内角是否为直角的情况，即可判断D． 【详解】在椭圆中，，且， 对于A，在中，由余弦定理可得， 即①， 又，即② 由②－①解得8， ∴的面积为，故A错误； 对于B，设点，则， ， ， ∵，，∴， ∴的取值范围为，故B正确； 对于C，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，当点位于椭圆上、下顶点时，，，则，所以不可能为直角； 当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形； 当时，，此时点位于第一或第四象限，有2个直角三角形． 所以椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9.已知三棱锥中，，，两两相互垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题，求出球的半径是解答的关键． 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也内接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可． 【解答】 解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直， 所以把它扩展为长方体， 它也外接于球，对角线的长为球的直径，， 它的外接球半径是， 外接球的表面积是， 故答案为． 10.已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义，属于基础题． 【解答】 解：双曲线的标准方程是， ，， 假设点到左焦点的距离为， 双曲线上一点到右焦点的距离为， 由双曲线定义知：， 解得或． ，则不符合题意， 点到右焦点的距离是． 故答案为：． 11.已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出到渐近线的距离，求出，根据求出的取值范围. 【详解】 设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点， 则到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以，因为， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分.设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中，，且甲在A，B两点投篮的结果互不影响.已知甲在一轮投篮后得0分的概率为，得2分的概率为. （1）求p，q的值； （2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据甲在一轮投篮后得0分的概率为，得2分的概率为，列出方程，即可求出. （2）甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的情况共3种，第一轮3分，第二轮5分；第一轮5分，第二轮3分；第一轮5分，第二轮5分；求出三种情况概率之和即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 每轮投篮结束后，甲得分可能为0，2，3，5. 记甲第一轮投篮得分为i分的事件为，第二轮投篮得分为i分的事件为 ，则，相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则，且，，彼此互斥. 易得，， 所以. 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为. 13.已知双曲线为等轴双曲线，虚轴长为4. 求的标准方程； 斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，． 求的取值范围； 若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点． 【答案】解：标准方程为：． 设直线，，， 由，消去可得，， 则，，， 因为直线与双曲线交于两支，所以且，即 解得：； 设，令， 当时，， 即直线过定点． 当时，直线也过定点． 综上所述，直线过定点．  【解析】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，需要注意根与系数的关系的运用，属于较难题． 根据题意可列出两个关于的方程，解出，再根据的关系求出，即可得到的标准方程； 设直线，，，联立直线方程与椭圆方程，由且，即可求出的取值范围；设，令，将的值代入即可求出，从而可知直线过定点，从而得证 学科网（北京）股份有限公司 $