4.3.2 课时4 错位相减法求和、裂项相消法求和 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2 课时4 错位相减法求和、裂项相消法求和 【基础巩固】 1．已知数列的通项公式为，则其前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 故前20项和为. 故选：C. 2．已知数列的通项公式为，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，则， 两式作差，有， 所以. 故选：B. 3．已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意， 则， 因为，又，， 则的最大值为. 故选：C. 4．已知数列的前项和为，，数列的前项和为，则下列结论中不正确的是（ ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】B 【解析】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确、B错误； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：B. 5．（多选）已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则（ ） A． B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】设等差数列的公差为，已知，， 令，则． 所以，即，解得． 所以． ，故A选项正确． 已知，， 设等比数列的公比为，则，所以， 则， 所以（常数）， 所以数列是等差数列，故B选项正确． 已知． 设数列的前项和为，则 ，故C选项错误． 已知．设数列的前项和为， 则 所以 所以，故D选项正确． 故选：ABD． 6．若，则______． 【答案】 【解析】设， 则. 所以. 所以，. 所以. 故答案为：. 7．数列的前项和______． 【答案】 【解析】令， 则 . 故答案为：. 8．已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】见解析 【解析】(1)由， 得. 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列. (2)由(1)可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ； 故. 【能力拓展】 9．已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 当为偶数时，， 且时，； 当为奇数时，， 且时，； 由对任意，， 故当为偶数时，；当为奇数时，， 则实数只能为. 故选：B. 10．在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前项和为，利用上述方法求_______． 【答案】 【解析】设， 左右对照可得，解得 所以， 则数列的前项和为： ， 故． 故答案为：． 11．已知函数，点在曲线上且 (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记，求 【答案】见解析 【解析】(1)因为点在曲线上，所以且 ， 所以，结合题设，故数列是首项、公差均为的等差数列． (2)由(1)及，知，则． 因为 ，所以，则， 故． 【素养提升】 12．（多选）已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是（ ） A．若是递增数列，则数列的前项和为 B．若是递增数列，则数列的前项和为 C．若各项均为正数，则 D．存在无穷多个不同的数列，使得 【答案】BCD 【解析】由，， 当时，，解得或（舍去）； 当时，， 则， 整理得，. 对于A，因为是递增数列，且， 所以，则，即， 所以数列为等差数列，首项为，公差为， 则， 则， 则数列的前项和为： ，故A错误； 对于B，由A知，，则， 当为偶数时，数列前项和为： ， 当为奇数时，数列前项和为： ， 综上所述，数列前项和为，故B正确； 对于C，因为各项均为正数，则，即， 即，所以数列为等差数列，首项为，公差为， 设，，① 则，② ②①得，，故C正确； 对于D，由，，， 得或，， 即或，， 即从起，每一项是“前一项的相反数”或是“前一项加”. 若，则或， 由于，从起每项是“前一项加”，则到第项则为，符合题意. 由，从起每项加至少要到第项，所以不符合题意. 但对于数列，第项及之后的项也不确定，故D正确. 故选：BCD. 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 课时4 错位相减法求和、裂项相消法求和 【基础巩固】 1．已知数列的通项公式为，则其前项和为（ ） A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式为，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 3．已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和为，，数列的前项和为，则下列结论中不正确的是（ ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 5．（多选）已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则（ ） A． B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 6．若，则______． 7．数列的前项和______． 8．已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【能力拓展】 9．已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 10．在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前项和为，利用上述方法求_______． 11．已知函数，点在曲线上且 (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记，求. 【素养提升】 12．（多选）已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是（ ） A．若是递增数列，则数列的前项和为 B．若是递增数列，则数列的前项和为 C．若各项均为正数，则 D．存在无穷多个不同的数列，使得 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $