第二章 圆-直线与圆的位置关系 习题课件 2025-2026学年湘教版数学九年级下册

该初中数学单元复习课件聚焦“直线与圆的位置关系”核心内容，系统梳理位置关系判定、圆心到直线距离计算、动态问题分析等知识，通过基础选择、填空到综合解答题的梯度设计，串联概念理解与实际应用，构建完整知识网络。 其亮点在于以“日出情境”引入激发兴趣，设计动态移动圆与直线相切等探究题，结合平行四边形、坐标系等综合场景，培养学生几何直观与推理能力。分层练习覆盖基础巩固到拓展提升，助力学生精准突破难点，也为教师提供清晰复习脉络，提升教学针对性。

第2章　圆 2．5 直线与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 1. “海日生残夜，江春入旧年”，如图是日出时的美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 返回 B 2 2. 在平面直角坐标系xOy中，以点(3，4)为圆心，方程x2－3x－4＝0的一个根为半径的圆一定(　　) A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 C 返回 3 3．在▱ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝20.如果以顶点C为圆心，BC长为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 返回 B 4 4. 已知⊙O的直径为10 cm，⊙O与直线l有两个交点，则圆心O到直线l的距离可能为________________． 4 cm(答案不唯一) 返回 5 5．如图，在直线l上有相距12 cm的两点A和O(点A在点O的右侧)，以点O为圆心，2 cm为半径作圆，过点A作直线AB⊥l.将⊙O以2 cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上)，则经过________s时，⊙O与直线AB相切． 5或7 6 返回 【点拨】∵点O到直线AB的距离为12 cm，∴当⊙O向右移动(12－2) cm或(12＋2) cm时，⊙O与直线AB相切．∵(12－2)÷2＝5(s)，(12＋2)÷2＝7(s)，∴经过5 s或7 s时，⊙O与直线AB相切． 6. 在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm. (1)若以点C为圆心，2 cm为半径画⊙C，判断直线AB与⊙C的位置关系； 【解】∵AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm， ∴AC2＋BC2＝AB2. ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. 8 (2)若直线AB与半径为r cm的⊙C相切，求r的值； 【解】由(1)知CD⊥AB，CD＝2.4 cm. ∴当r＝2.4时，直线AB与半径为r cm的⊙C相切． 10 返回 (3)若线段AB与半径为r cm的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围． 【解】线段AB与半径为r cm的⊙C有唯一公共点，分两种情况：①当⊙C与AB相切时，即r＝2.4； ②当点A在⊙C内部，点B在⊙C上或在⊙C外部时，即3<r≤4.综上，r的取值范围是3<r≤4或r＝2.4. 11 12 【答案】C 返回 8．已知直线y＝kx(k≠0)经过点(12，－5)，将直线向上平移m(m＞0)个单位，若平移后得到的直线l与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点)，则m的取值范围为____________． 15 返回 19 (1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标； 20 (2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围． 返回 【解】当－1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交； 当x＜－1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离． 【解】当－1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交； 当x＜－1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离． 22 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6.点E为CD边上的一个动点(不与C，D重合)，⊙O是△BCE的外接圆． 23 (1)若CE＝2，⊙O交AD于点F，G，求FG的长度； 【解】如图①，过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，则∠DMN＝90°，FM＝GM. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴BE是⊙O的直径． 24 ∵∠C＝∠D＝∠DMN＝90°， ∴四边形MNCD是矩形， ∴MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，∴BN＝CN. ∵OB＝OE，∴ON是△BCE的中位线， (2)若CE的长度为m，⊙O与直线AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与直线AD的位置关系及对应的m的取值范围． 【解】如图②，当⊙O与直线AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N. 27 返回 11. 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2＋bx＋c＝0的几何解法：如图①，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(－b，c)，以AB为直径作⊙P.若⊙P交x轴于点 M(m，0)，N(n，0)，则m，n为 方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根． 29 【探究】 (1)由勾股定理得AM2＝12＋m2，BM2＝c2＋(－b－m)2，AB2＝(1－c)2＋b2.在Rt△ABM中，AM2＋BM2＝AB2，所以12＋m2＋c2＋(－b－m)2＝(1－c)2＋b2.化简得m2＋bm＋c＝0.同理可得________________．所以m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根； n2＋bn＋c＝0 30 【点拨】连接AN，BN，则AN2＝12＋n2，BN2＝c2＋(－b－n)2，AB2＝(1－c)2＋b2.在Rt△ABN中，AN2＋BN2＝AB2，∴12＋n2＋c2＋(－b－n)2＝(1－c)2＋b2，化简得n2＋bn＋c＝0. 【运用】 (2)在图②中的x轴上画出以方程x2－3x－2＝0两根为横坐标的点M，N； 32 (3)已知点A(0，1)，B(6，9)，以AB为直径作⊙C.判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由； 【解】⊙C与x轴相切．理由： 由题意得方程为x2－6x＋9＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0， ∴方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根． ∴⊙C与x轴只有一个交点，即⊙C与x轴相切． 34 【拓展】 (4)在平面直角坐标系中，已知两点A(0，a)，B(－b，c)，若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是____________． x2＋bx＋ac＝0 返回 35 过点C作CD⊥AB于点D. 易得CD＝＝2.4 cm>2 cm. ∴若以点C为圆心，2 cm为半径画⊙C，直线AB与⊙C的位置关系是相离． 7．如图，已知在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝，点E是BC边上的动点，当以CE为半径的圆C与边AD不相交时，半径CE的取值范围是(　　) A．0＜CE≤8 　　 B．0＜CE≤5 C．0＜CE≤3或5＜CE≤8 　　 D．3＜CE≤5 【点拨】如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝5.∴AM＝CN.∵AB＝5，cos B＝＝， ∴BM＝4.∵BC＝8，∴CM＝4＝BM. ∵AM⊥BC，∴AC＝AB＝5.由勾股定理得AM＝CN＝＝3，∴当以CE为半径的圆C与边AD不相交时，半径CE的取值范围是0＜CE≤3或5＜CE≤8.故选C. 0<m< 【点拨】把点(12，－5)的坐标代入y＝kx(k≠0)，得－5＝12k，∴k＝－.则直线y＝－x向上平移m(m＞0)个单位后得到的直线l所对应的函数表达式为y＝－x＋m(m＞0)． 设直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，如图所示，当x＝0时，y＝m；当y＝0时，x＝m，∴A，B(0，m)，即OA＝m，OB＝m. 在Rt△OAB中，AB＝＝ ＝m. 过点O作OD⊥AB于点D.∵S△ABO＝OD·AB＝OA·OB，∴OD·m＝×m×m，解得OD＝m.由直线与圆的位置关系可知m＜6，解得m＜，∴0<m<. 9． 如图，P为正比例函数y＝x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)． 【解】∵⊙P与直线x＝2相切，⊙P的半径为3， ∴点P到直线x＝2的距离是3. 当点P在直线x＝2右侧时，点P的横坐标是2＋3＝5， 将x＝5代入y＝x，得y＝.∴P； 当点P在直线x＝2左侧时，点P的横坐标是2－3＝－1， 将x＝－1代入y＝x，得y＝－.∴P. 综上所述，点P的坐标为或. ∴ON＝CE＝1，∴OM＝4－1＝3. 在Rt△BCE中，BE＝＝2， ∴OG＝BE＝. ∴在Rt△OMG中，MG＝＝1. ∴FG＝2MG＝2. 同(1)易得BN＝CN＝3，ON＝CE＝m，∴OB＝OM＝4－m.在Rt△BON中，ON2＋BN2＝OB2，即＋32＝，解得m＝，∴当0<m<时，⊙O与直线AD相离；当m＝时，⊙O与直线AD相切； 当<m<4时，⊙O与直线AD相交． 【解】先在坐标系内找到点A(0，1)，B(3，－2)，连接AB，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，连接两弧的交点与AB交于点P， 以点P为圆心，AB为直径画⊙P， ⊙P与x轴的交点即为点M，N.如图所示． $ 第2章　圆 2．5 直线与圆的位置关系 *2.5.3　切线长定理 1．如图，已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中错误的是(　　) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．AB平分OP 返回 D 2 2．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　) A．56° B．60° C．68° D．70° C 返回 3 3．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝8，则△PCD的周长为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 4 【点拨】 ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED.∴PC＋CD＋PD＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋AC＋BD＋ PD＝PA＋PB＝8＋8＝16，即△PCD的周长为16. 返回 【答案】 C 4．将刻度尺、含60°角的直角三角尺和量角器如图摆放(无重叠部分)，若三角尺60°角的顶点A在刻度尺上的读数是5 cm，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是7 cm，量角器与三角尺的接触点为B. 该量角器的直径长为________cm. (结果保留根号) 返回 6 5. 我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．四面开门，门外纵横各有十字大道……其东南十字道头定为巽地……或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是： 7 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，已知AC＝48步，BC＝90步，AB与⊙O相切于点D，CA，CB分别与⊙O相切于点E，F，求⊙O的半径．根据题意，⊙O的半径是________步． 120 8 【点拨】如图，连接OD，OE，OF.∵CA，CB是⊙O的切线，E，F为切点，∴OF⊥CF，OE⊥CE.∴∠F＝∠E＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形OECF是矩形．∵OE＝OF，∴四边形OECF是正方形．设OE＝OF＝EC＝FC＝r步，则BF＝FC－BC ＝(r－90)步，AE＝EC－AC＝ (r－48)步． 返回 6．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，连接OB，OC. 11 (1)求证：OB⊥OC； 12 (2)若OB＝6，OC＝8，求CG－BE的值． 14 返回 16 【点拨】如图，连接OM，OC.∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.∵MA，MC分别为⊙O的切线，∴MA＝MC，且∠MAO＝∠MCO＝90°. 返回 【答案】 A 8．如图，在△ABC中，BC＝5，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P的半径为4，△ABC的面积为13，则△ABC的周长为________． 19 返回 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________． 22 【点拨】如图，连接OE，OF，ON，OG.∵在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝5.∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.∵EO＝FO＝GO， ∴四边形AFOE，FBGO是正方形， ∴易知AF＝BF＝AE＝BG＝2， ∴DE＝3. 23 返回 24 10．如图，在△ABC中，AO平分∠BAC交BC于点O，以点O为圆心，BO长为半径的⊙O与AB相切于点B，与BC相交于点D. 25 (1)求证：AC是⊙O的切线； 【证明】过点O作OE⊥AC，垂足为E.∵以点O为圆心，BO长为半径的⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB.∵AO平分∠BAC，∴OE＝OB，∴OE是⊙O的半径．又∵OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线． 26 返回 11. 如图，AB是⊙O的直径，点D，F是⊙O上异于A，B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF，与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM·BM＝AB·MN.点H在直径AB上， ∠AHD＝90°，E是线段DH的中点． 29 (1)求∠AFB的度数； 【解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°. 30 (2)求证：直线CM与⊙O相切； 31 ∵∠NAM＋∠MAB＝180°， ∴∠NAM＝∠MAB＝90°. ∴OA⊥CM. ∵OA为⊙O的半径，∴直线CM与⊙O相切． (3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE＋EB＜CB，CE＋EB＝CB，CE＋EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由． 33 【解】正确的结论为CE＋EB＝CB.理由： 连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，如图． 返回 ∵CA＝CD，∴GH＝GD.∴G是线段DH的中点． 又∵E是线段DH的中点，∴点G与点E重合． ∴线段BC经过点E.∴CE＋EB＝CB. 4 ∵AB，AE，BF是⊙O的切线，∴BD＝BF＝(r－90)步，AD＝AE＝(r－48)步．∵AB＝＝102步， ∴AD＋BD＝102步．∴r－48＋r－90＝102.∴r＝120.∴⊙O的半径是120步． 【证明】∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G， ∴由切线长定理可得BE＝BF，CF＝CG， ∠OBC＝∠OBA＝∠ABC，∠OCB＝∠OCD＝∠DCB. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝90°. ∴∠BOC＝90°.∴OB⊥OC. 【解】如图，连接OF. 在Rt△BOC中，BC＝＝＝10. ∵BC是⊙O的切线，∴OF⊥BC. ∴S△BOC＝OB·OC＝OF·BC. ∴6×8＝10·OF.∴OF＝. ∴BF＝＝＝. ∴BE＝，CF＝BC－BF＝. ∴CG＝.∴CG－BE＝－＝. 7．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连接CB.若∠ABC＝30°，则AM的长是(　　) A. B. C. D. 在Rt△AOM和Rt△COM中， ∴Rt△AOM≌Rt△COM.∴∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝30°. 在Rt△AOM中，OA＝AB＝1，∠AOM＝30°， ∴tan 30°＝，即＝，解得AM＝.故选A. 【点拨】如图，设⊙P与BC相切于点E，与AC，AB的延长线分别相切于点F，G，连接PE，PF，PG，AP，由题意可知∠PEC＝∠PFA＝∠PGA＝90°， ∴S△PBC＝BC·PE＝×5×4＝10. 由切线长定理可知CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，∴易得S△PFC＋S△PBG＝S△PBC＝10，∴S四边形AFPG＝S△ABC＋S△PFC＋S△PBG＋S△PBC＝33.易知S△APG＝S四边形AFPG＝，∴＝AG·PG.∴AG＝.∴△ABC的周长为AC＋AB＋CE＋BE＝AC＋AB＋CF＋BG＝AF＋AG＝2AG＝. ∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG， ∴CM＝BC－BG－GM＝5－2－MN＝3－MN.在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋NM)2＝42＋(3－NM)2，∴NM＝，∴DM＝3＋＝. (2)若AB＝5，AC＝13，设△ABO的面积为S1，△ABC的面积为S2，m＝.求常数m的值． 【解】由(1)知OB⊥AB，∴∠ABC＝90°.根据勾股定理得BC＝＝＝12.∵AB，AC均为⊙O的切线，切点分别为B和E，∴AE＝AB＝5，∴CE＝AC－AE＝13－5＝8. 设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，∴OC＝BC－OB＝12－r.在Rt△COE中，根据勾股定理得OC2＝CE2＋OE2，即(12－r)2＝82＋r2，解得r＝，即BO＝， ∴m＝＝＝＝. 【证明】∵AM·BM＝AB·MN，∴＝. 又∵∠AMN＝∠ABM，∴△AMN∽△ABM. ∴∠NAM＝∠MAB. 在△OAC和△ODC中， ∴△OAC≌△ODC.∴∠OAC＝∠ODC. 由(2)知OA⊥CM，∴∠OAC＝90°. ∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD. 又∵OD为⊙O的半径，∴CK为⊙O的切线． ∵BK为⊙O的切线，∴DK＝BK，BK⊥AB. ∵DH⊥AB，CA⊥AB，∴AC∥DH∥BK. ∴△BHG∽△BAC，△CDG∽△CKB，＝.∴＝，＝.∴＝，＝＝.∴＝. $ 第2章　圆 2．5 直线与圆的位置关系 2．5.2　圆的切线 第1课时 切线的判定 返回 D 1．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A的切线的是(　　) A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B－∠C＝∠A C．AB2＋BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC的中点 2 2．[2025天津南开区期末]如图，⊙O的半径为3，A为⊙O上一点．按以下步骤作图：①连接OA；②以点A为圆心，3为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC＝OB；④连接AC.则下列说法中错误的是(　　) A．∠AOB＝60° B．AC为⊙O的切线 C．AC＝6 D．∠ACO＝30° C 返回 3 3. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC并延长至点T，连接AT，AC，要使直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是______________________．(写一个条件即可) 返回 ∠TAC＝∠B(答案不唯一) 4 4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F.求证：EF是⊙O的切线． 5 【证明】如图，连接OD，AD. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BD＝CD. 又∵OA＝OB，∴OD为△BAC的中位线． ∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. 又∵OD为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线． 返回 6 5．如图，在坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，与该圆弧相切的是(　　) A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1) 返回 B 7 6. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是其示意图． 8 点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D.若AB＝12，OB＝5，则下列结论正确的是(　　) A．FC＝2 　　 B．当AB与⊙O相切时，EA＝4 C．EF＝12 　　D．当OB⊥CD时，EA＝AF 9 【点拨】由题意可得AB＝CE＝DF＝12，AB＋BO＝OE＝17，OC＝OB＝OD＝5.∴FC＝FD－CD＝12－5－5＝2，故A正确．∴EF＝CE－CF＝12－2＝10，故C错误． 返回 【答案】 AB 7．如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，延长AB，DC交于点E，连接BC，CF. 13 (1)求证：CD是⊙O的切线； 【证明】如图，连接OC.∵CD⊥AF，∴∠D＝90°. ∵AC平分∠BAF，∴∠BAC＝∠CAD. ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC. ∴∠OCA＝∠CAD.∴OC∥AD. ∴∠OCE＝∠D＝90°.∴OC⊥CD. 又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． 14 (2)若AD＝6，DE＝8，求BE的长； 15 (3)求证：AF＋2DF＝AB. 【证明】如图，过C作 CG⊥AE于点G，则∠BGC＝∠AGC＝90°＝∠ADC. 16 返回 如图①，当AB与⊙O相切时，∠ABO＝90°.∴AO＝＝13.∴EA＝EO－AO＝17－13＝4，故B正确． 如图②，当OB⊥CD时，∠AOB＝90°.∴AO＝＝.∴EA＝EO－AO＝17－，AF＝AO－FC－OC＝－2－5＝－7.∴EA≠AF，故D错误． 【解】∵AD＝6，DE＝8，∴在Rt△ADE中， AE＝＝10.∵OC∥AD.∴△OCE∽△ADE.∴＝.设⊙O的半径为r，则 ＝，解得r＝.∴BE＝10－2×＝. 在△ACG与△ACD中， ∴△ACG≌△ACD.∴AG＝AD，CG＝CD. ∵∠BAC＝∠DAC，∴＝.∴BC＝CF. 在Rt△BCG与Rt△FCD中， ∴Rt△BCG≌Rt△FCD.∴BG＝FD. ∴AF＋2DF＝AD＋DF＝AG＋GB＝AB. $ 第2章　圆 2．5 直线与圆的位置关系 2．5.2　圆的切线 第2课时 切线的性质 返回 B 1．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为(　　) A．35°　　 B．40° C．50°　　 D．55° 2 3 【点拨】A.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴AD⊥BC.故A正确；B.∵AC是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，∴CA⊥AB，即∠CAB＝90°.故B正确； 【答案】 ABD 返回 3．[2025福建]如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 6 【点拨】如图，连接OA，OB，则OA＝OB＝OC.∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP.∵∠P＝30°，∴∠POA＝90°－30°＝60°.∵AB∥PC，∴∠POA＝∠OAB＝60°.∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝180°－∠POA－∠AOB＝60°， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠BCP＝60°.故选C. 【答案】 C 返回 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB.若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为________． 105° 返回 8 5．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为________． 3 9 返回 6. “板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD. 11 (1)求证：∠ADC＝∠DBC； 【证明】如图，连接OD.∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠DBC＝∠ADB＋∠OAD＝90°＋ ∠OAD， ∠ADC＝∠ODC＋∠ODA＝90°＋∠ODA， ∴∠ADC＝∠DBC. 12 13 返回 7．如图，AB是圆O的直径，PQ切圆O于点E，AC⊥PQ于点C，AC交圆O于点D，若OA＝5，EC＝4，则AD的长为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 15 【答案】C 返回 17 【点拨】如图，连接OA，OB，BD，OE，延长EO交AB于点F，则∠AOB＝120°.∵CD与⊙O相切于点E，∴EF⊥CD.易得CD∥AB，DB⊥AB.∴EF⊥AB.∴易得四边形BDEF是矩形，AF＝BF.∴BD＝EF. 返回 【答案】C 20 【点拨】如图，作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接DE.∵AB∥CD，AD⊥AB，∴∠FAD＝∠ADC＝∠F＝90°，∴四边形ADCF为矩形，∴AF＝DC，AD＝CF.∵以D为圆心，AD为半径的 弧恰好与BC相切，切点为E， ∴DE⊥BC.∴易得AB＝BE. 设AB＝BE＝a(a>0)，CE＝x(x>0)，∴CD＝3a，BC＝BE＋CE＝a＋x，∴BF＝AF－AB＝CD－AB＝2a.∵DE＝AD＝CF，在Rt△DEC中，DE2＝CD2－CE2＝(3a)2－x2，在Rt△BFC中，CF2＝BC2－BF2＝(a＋x)2－(2a)2，∴(3a)2－x2＝(a＋x)2－(2a)2，解得x1＝2a，x2＝－3a(舍)， 返回 【答案】B 10. 如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为________． 24 【点拨】如图，记直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于A，K两点，连接QM，PM，KM.当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＋4＝0，解得x＝－4.∴K(0，4)，A(－4，0)．又∵M(4，0)，∴OA＝OK＝OM＝4.∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形． ∴∠AKO＝∠MKO＝45°. ∴∠AKM＝90°.∴MK⊥AK. 25 返回 26 11．如图①是一段圆柱形的树干的示意图，已知树干的半径r＝10 cm，AD＝45 cm，该圆柱的侧面展开图如图②所示，蝉N在半径为10 cm的⊙O上运动，⊙O与BC相切，点O到CD的距离为20 cm，螳螂M在线段AD上运动，连接MN，MN即为螳 螂捕蝉时螳螂爬行的距离， 若要使MN与⊙O总是相切， 则MN的长度范围为 _____________________．(π取3) 27 28 返回 29 12. 【阅读资料】我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切角，如图①中∠PAB所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，若弦AC经过圆心O，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB＝∠P(如图②)． 30 证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB＝90°.∵AC是直径，∴∠P＝90°.∴∠CAB＝∠P. 【问题拓展】若AC不经过圆心O，如图③，当圆心O在∠PCA的内部时，∠CAB＝∠P还 成立吗？如图④，当圆心O在 ∠PCA的外部时，∠CAB＝∠P 还成立吗？请说明理由． 31 【解】当圆心O在∠PCA的内部时，∠CAB＝∠P成立．理由如下：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，如图①，则∠D＝∠P. ∵AD为直径，∴∠ACD＝90°， ∴∠D＋∠CAD＝90°. ∵AB切⊙O于点A，∴AD⊥AB， ∴∠CAB＋∠CAD＝90°.∴∠CAB＝∠D＝∠P. 当圆心O在∠PCA的外部时，∠CAB＝∠P成立． 理由如下： 连接AO并延长交⊙O于点D′，连接PD′， 如图②，则∠C＝∠D′， 易知∠PAD＝∠D′，∴∠PAD＝∠C. 又∵∠C＋∠PAC＋∠CPA＝180°，∠PAD＋∠PAC＋∠CAB＝180°，∴∠CAB＝∠CPA. 【知识运用】如图⑤，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC. 34 【证明】如图③，连接DF. ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵经过点A的⊙O与BC相切于点D， ∴易得∠CDF＝∠CAD.∴∠BAD＝∠CDF. ∵∠BAD＝∠DFE，∴∠CDF＝∠DFE，∴EF∥BC. 返回 【点归纳】(1)弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切角． (2)弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 36 2. 如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD的延长线相交于点B，若AB＝AC，则下列结论正确的是(　　) A．AD⊥BC B．∠CAB＝90° C．DB＝AB D．AD＝BC C.∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°.∵AD⊥BC，∴BD＝AB.故C错误；D.∵AC＝AB，AD⊥BC， ∴CD＝BD.∵∠CAB＝90°，∴AD＝BC，故D正确． 【点拨】连接AB，如图．∵AE是⊙O的切线，∴半径OA⊥AE.∵OA⊥CB，∴BC∥AE，∠CDO＝90°.∵∠AOC＝60°，∴∠OCD＝90°－60°＝30°.∵∠ABC＝∠AOC＝30°， ∴∠ABC＝∠OCD，∴AB∥CE， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴AE＝BC＝3. (2)若测得CD＝2，tan C＝，求BD的长． 【解】由(1)可知∠ODC＝90°，在Rt△ODC中，tan C＝ ＝＝，∴OD＝1，∴OA＝1，AB＝2.在Rt△ODC中，由勾股定理得OC＝＝＝3，∴CA＝4. ∵∠ACD＝∠DCB，∠ADC＝∠DBC，∴△ACD∽△DCB，∴＝＝＝，∴AD＝DB，∴设 BD＝x，则AD＝x.又∵AB＝2，∴x2＋(x)2＝22，解得x＝(负值已舍去)．∴BD的长为. 【点拨】连接BD交OE于点F.∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠FDC＝90°.∵PQ切圆O于点E，∴OE⊥PQ，∴∠OEC＝90°.∵AC⊥PQ于点C，∴∠ACE＝90°. ∴四边形CDFE为矩形，∴DF＝CE＝4，∠DFE＝90°，∴OF⊥BD，∴BF＝DF＝4，∴BD＝BF＋DF＝8.∵AB＝2OA＝10，∴在Rt△ABD中，AD＝＝＝6.故选C. 8．如图，⊙O的半径为2，弦AB向上平移得到CD(AB与CD位于点O两侧)，且CD与⊙O相切于点E.若所对圆心角的度数为120°，则AD的长为(　　) A．4 B．2 C. D．3 ∵OA＝OB，OF⊥AB，∴∠AOF＝∠AOB＝60°. ∴∠OAF＝30°.∴OF＝OA＝×2＝1. ∴AF＝＝＝， EF＝2＋1＝3.∴AB＝2，BD＝3. ∴AD＝＝＝. 9．[2025武汉月考]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若＝，则＝(　　) A.　 B.　 C.　 D. ∴CE＝2a， ∴DE＝＝＝a＝AD，∴＝＝.故选B. 2 ∵PQ与⊙M相切，∴∠PQM＝90°.∴在Rt△PQM中，PQ＝.∵QM＝2是定值，∴当PM最小时，PQ最小．当PM⊥AK，即点P与点K重合时，PM取得最小值，最小值为KM. 在Rt△OKM中，由勾股定理，得KM＝＝4.∴PQ的最小值为＝2. 10 cm≤MN≤5 cm 【点拨】如图，连接OM，ON，OA，过O作OH⊥AB于点H.由题意，得AB＝×2π×r≈30 cm，ON＝10 cm.易知HB＝10 cm，∴AH≈20 cm.∵点O到CD的距离为20 cm，AD＝45 cm，∴OH＝45－20＝25(cm)． 在Rt△OAH中，由勾股定理可得 OA＝≈＝5(cm)． 易知当OM与AD垂直时，MN最小，此时OM＝AH，∴MN＝＝≈＝10(cm)；当点M与点A重合时，MN最大，此时MN＝≈＝5(cm). 综上，MN的长度范围为10 cm≤MN≤ 5 cm. $ 第2章　圆 2．5 直线与圆的位置关系 2.5.4　三角形的内切圆 返回 C 1．下列说法错误的是(　　) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 2 2. 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在绿地ABC内建一个休息点O，使它到AB，BC，AC三边的距离相等，下列作法正确的是(　　) D 返回 3 3．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为(　　) A．37° B．20°　 C．16° D．14° 返回 C 4 5 【点拨】根据点D是△ABC的内心，画出△ABC的内切圆⊙D，如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DH⊥AC，垂足分别为点E，F，H，连接AD，CD.根据内切圆的性质可知，垂足E，F，H也是△ABC三边与⊙D的切点，∴DE＝DF＝DH， AE＝AH，BE＝BF，CF＝CH. 【答案】 C 返回 5. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形的内切圆半径为2，大正方形的面积为169，则小正方形的面积为________． 49 8 返回 6．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI，BI，延长AI分别交BC和⊙O于点D，E，连接BE. 10 (1)求证： EB＝EI； 【证明】∵I是△ABC的内心， ∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC. ∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI. ∵∠BIE＝∠BAE＋∠ABI，∠IBE＝∠IBD＋∠EBD，∠CBE＝∠CAE，∴∠BIE＝∠EBI.∴EB＝EI. 11 (2)若AB＝8，AC＝6，BE＝4，求AI的长． 12 返回 14 【点拨】如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，△ABC的内切圆和外接圆是同心圆．设圆心为O，连接AO并延长，交BC于点D.易知AD⊥BC.设AC与△ABC的内切圆相切于点E，连接OE， 则OE⊥AC，根据题意得OE＝OD＝r， AO＝R，AD＝h，∴h＝R＋r，故A 正确，不符合题意； 【答案】 C 返回 18 返回 【答案】 C 24 21 22 设OE＝OC＝x，则AD＝AC＝14－x，BD＝BE＝13－x，∴13－x＋14－x＝15，解得x＝6.∴点P的坐标为(6，4)．∴k＝6×4＝24. 返回 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为________． 24 【点拨】如图，在AB上取点F，使BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H.∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC.∴∠ABD＝∠CBD.又∵BP＝BP，BF＝BE，∴△BFP≌△BEP. ∴PF＝PE.∴PE＋PC＝ PF＋PC≥CF. 25 返回 11．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 4)，点B的坐标为(3, 0)，点P是Rt△OAB内切圆的圆心，将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第1次滚动后圆心为P1，第2次滚动后圆心为P2，…，以此规律递推，第2 025次后，Rt△OAB内切圆的圆心P2 025的 坐标为____________． (8 101，1) 27 返回 ∴P3(3＋5＋4＋1，1)，即P(13，1)，每滚动3次为一个循环．∵2 025÷3＝675，∴第2 025次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2 025的横坐标是675×(3＋5＋4)＋1＝8 101，∴P2 025的坐标为(8 101，1)． 12．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3. 30 (1)求CE的长； 【解】∵AD是边BC上的中线，CE∥AD， ∴AD为△BCE的中位线．∴CE＝2AD＝6. 31 (2)求证：△ABC为等腰三角形； 【证明】∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE. ∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E.∴AE＝AC. 由(1)知AD为△BCE的中位线，∴AB＝AE.∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形． 32 (3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． 【解】如图，作△ABC的内切圆⊙Q和外接圆⊙P，连接BP，BQ，CP，CQ，易得∠ADB＝∠BDP＝90°，A，Q，D，P四点共线． 33 34 返回 35 13. 使用“面积法”解决下列问题： (1)若Rt△ABC的两条直角边长分别为3和4，则它的内切圆半径为________； 1 (2)如图①，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD是BC边上的高，求AD的长及△ABC的内切圆半径； 【解】设BD＝x，则CD＝14－x，设△ABC的内切圆半径为r，在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝152－x2， (3)若△ABC的周长为l，面积为S，内切圆⊙O的半径为r，直接写出r与S，l之间的关系； (4)若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图②，且四边形ABCD的面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式； (5)如图③，在四边形ABCD中，半径为r1的⊙O1与半径为r2的⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O1与△ABD的三边分别相切于点E，F，G，若∠ADB＝90°，AE＝8，BC＋CD＝20，S△DBC＝36， r2＝2，求r1的值． 返回 4． 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，点D是△ABC的内心，则BD的长度为(　　) A．2 B．3 C. D. ∵∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，∴AB＝＝4.设BE＝BF＝x，则AH＝AE＝AB－BE＝4－x，CH＝CF＝5－x.∵AH＋CH＝AC，∴4－x＋5－x＝3.∴x＝3，即BE＝3.设DE＝DF＝DH＝r.∵S△ABC＝S△ADB＋S△BDC＋S△ADC，∴×3×4＝r×(3＋4＋5)．∴r＝1.∴DE＝1.∴在Rt△BDE中，BD＝＝.故选C. 【点拨】设直角三角形的面积为S，三边长分别为a，b，c(c2＝a2＋b2)，其内切圆半径为r，则S＝ab＝r(a＋b＋c)．∵r＝2，∴ab＝2(a＋b＋c)．∵大正方形的面积为169，∴c2＝169，∴c＝13，a2＋b2＝169.① ∴ab＝2(a＋b＋13)．②　由①②可得ab＝60或ab＝0(不符合题意，舍去)，∴S＝ab＝30.∴小正方形的面积为169－4S＝49. 【解】如图，连接EC.∵∠BAE＝∠CAE，∴＝.∴EC＝BE＝4.∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，∴△ADB∽△CDE.∴＝＝＝＝2. 设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n.同理可证△ADC∽△BDE，∴＝.∴＝.∴n∶m＝3∶2.设n＝3k，则m＝2k.∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，∴△ECD∽△EAC.∴＝，即EC2＝ED·EA.∴42＝m·(m＋2n)．∴42＝2k(2k＋6k)，解得k＝1或k＝－1(舍去)．∴DE＝2，AD＝6.∴AE＝8.∵EI＝BE＝4，∴AI＝AE－EI＝4. 7. 如图，设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是(　　) A．h＝R＋r B．R＝2r C．r＝a D．R＝a ∵AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°.∴在Rt△AOE中，R＝2r，故B正确，不符合题意；易知AE＝AC＝a，∴＋r2＝(2r)2.∴r＝(负值已舍去)，故C错误，符合题意；∵R＝2r，∴R＝a，故D正确，不符合题意． 【点易错】作出等边三角形的高，构造出直角三角形是关键，等边三角形的内切圆半径∶外接圆半径∶高∶边长＝1∶2∶3∶2，不符合这一比例关系的式子都是错误的． 8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2.25，点D是BC边上的一点，AD＝BD＝2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么的值为(　　) A．2 B．1.25 C．1.5 D. 【点拨】设⊙O1与△ABD内切于点E，F，G， ∴DG＝DF，AE＝AG，BE＝BF.∵DA＝DB，∴BF＝AG＝BE＝AE.∵AB＝3，AE＝BE＝BF＝AG＝1.5. 设DF＝DG＝m.∵AD＝2DC，∴CD＝(m＋1.5)．∵S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC＝2∶1，C△ABD＝AB＋AD＋BD＝6＋2m， C△ADC＝CD＋AD＋AC＝(m＋1.5)＋1.5＋m＋2.25＝1.5m＋4.5，∴＝，整理得＝，∴r1∶r2＝3∶2＝1.5.故选C. 9．如图，点A(14，0)，点B(5，12)，⊙P为△OAB的内切圆，若反比例函数y＝的图象经过点P，则k＝________. 【点拨】如图，过点B作BQ⊥OA于点Q，则OQ＝5，BQ＝12，∴OB＝＝13，AQ＝9.∴AB＝＝15.设⊙P的半径为r，则r＝＝4.设⊙P与△OAB三边的切点分别为 C，D，E，连接CP，则PC⊥OA，PC＝4， OC＝OE，BE＝BD，AC＝AD. 2 当C，P，F三点共线时，PE＋PC的值最小，最小值为CF的长．∵FH⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°.∴BH＝BF＝1.∴FH＝＝，CH＝BC－BH＝7.∴CF＝＝2.∴PE＋PC的最小值为2. 【点拨】∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，∴OA＝4，OB＝3.∴AB＝＝5.易得Rt△OAB内切圆的半径为＝1，∴点P的坐标为(1，1)．∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第1次滚动后圆心为P1，第2次滚动后圆心为P2，…， 设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中，PD＝R－3，PB＝R，BD＝BC＝4，∴(R－3)2＋42＝R2，解得R＝.∴PD＝.在Rt△ABD中，AB＝＝＝5＝AC. ∵S△ABQ＋S△BCQ＋S△ACQ＝S△ABC，∴AB·r＋BC·r＋AC·r＝r＋r＋r＝×3×8，解得r＝，即QD＝.∴PQ＝PD＋QD＝＋＝.∴△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为. 在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，则AD＝12.∵S△ABC＝BC·AD＝(AB＋BC＋AC)·r，∴r＝＝4. 【解】r＝. 【解】设四边形ABCD内切圆的圆心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，则S＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCD＋S△OAD＝AB·r＋BC·r＋CD·r＋AD·r＝(a＋b＋c＋d)·r，∴r＝. 【解】∵S△DBC＝36，r2＝2，∴BC＋CD＋BD＝＝36.∵BC＋CD＝20，∴BD＝16.∵⊙O1是△ABD的内切圆，E，F，G是切点，∴AE＝AG＝8，BE＝BF，DF＝DG.∴DG＋BE＝DF＋BF＝BD＝16.∴设DG＝x，则BE＝16－x.∵∠ADB＝90°，∴AD2＋BD2＝AB2，即(8＋x)2＋162＝(8＋16－x)2，解得x＝4. ∴AD＝AG＋DG＝8＋4＝12.∴S△ABD＝AD·BD＝×12×16＝96.∵AD＋AB＋BD＝AG＋AE＋(DG＋BE)＋BD＝8＋8＋16＋16＝48，∴r1＝＝＝4. $