专题08 反比例函数 10大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题08反比例函数 ☆10大高频考点概览 考点01反比例函数的定义 考点02反比例函数上点的坐标特点 考点03反比例函数的图象 考点04反比例函数的性质 考点05K的几何意义 考点06求反比例函数的表达式 考点07反比例函数与一次函数综合 考点08反比例函数的实际应用 考点09反比例函数与几何综合 考点10新定义问题 考点01 反比例函数的定义 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)下列函数不是反比例函数的是() A.y=3x B.xy=3 C.y=-3 2.(24-25九上辽宁营口大石桥第二初级中学.期末)下列关系式中，y是x的反比例函数的为() Ay登 B.y=2 C.y=x2 3.(23-24九上·辽宁葫芦岛绥中县·期末)下列关系式中，y是x的反比例函数的是() A.y=4x B.y=2 C.y=x2-1 D.y=文 1 二、填空题 4.(23-24九上·辽宁铁岭银州区朝鲜族中学期末)若y=m-2xm-5是反比例函数，那么m的值是一· 目目 考点02 反比例函数上点的坐标特点 一、单选题 1.(2425九上辽宁铁岭铁岭县·期末)已知反比例函数y=kk≠0的图象经过点-1,6，那么该反比例函 1/43 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 数图象也一定经过点() A.3,2 B.1,6 C.-2,3 D.-1,-6 2.24-25九上辽宁抚顺新抚区：期末)若反比例函数y=的图象经过点3，-6，则k的值为() A.-18 B.18 C.-2 D.2 3.24-25九上辽宁铁龄期未)反比例函数y=-10 的图象一定经过的点是（) A.1,10 B.-2,5 C.2,5 D.2,8 4.(2425九上辽宁铁岭期末)已知点P-2,3在反比例函数y=kk≠0的图象上，则k的值为() A.-6 B.6 C.5 D.1.5 5.2425九上辽宁大连弘文中学期末利已知点2,3在反比例函数y=k的图象，则下列各点也在该图象上 X 的是() A.-1,6 B.1,5 C.V2,2V2 D.3,2 6.2425九上辽宁大连高新技术产业园区：期未下列各点在反比例函数y=6的图象上的是《) A.1,6 B.-6,1 C.-3,2 D.2,-3 7.(24-25九上辽宁沈阳大东区·期末)反比例函数y=二6的图象一定经过的点是（) A.1,6 B.-1,-6 C.2,-3 D.3,2 二、填空题 8.2425九上辽宁忧阳大东区期末已知点P2n在反比例函数)=只的图象上，物=&一 9.(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学期末)若点Aa,b在反比例函数y=二的图象上，则代数式 ab-3的值为一· 目目 考点03 反比例函数的图象 单选题 1.(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)矩形的面积为6，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为 () 2/43 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 2.(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)反比例函数y=二的图象位于() A.第一、第二象限 B.第一、第三象限 C.第二、第三象限 D.第二、第四象限 3.2425九上辽宁朝阳建平县期末)下列图象中，函数y=x+k与y=kk≠0在同一坐标系中的图象可 能是() B 4.(24-25九上辽宁辽阳灯塔第一初级中学期末)函数y=k和y=一kx+2k≠0)在同一平面直角坐标系中 的大致图象可能是() 3/43 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 入风 5.(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：F=pS,当压力F一定 时，另外两个变量的函数图像能是() D 6.(24-25九上·辽宁鞍山期末)某品牌蓄电池的电压为48V,使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定 函数关系，则电流I(单位：A)关于电阻R(单位：2)函数图象大致是() 个I(A) 个IA) 个I/(A) A(A) A R/(2)B. R/()C R/2)D. R2) 7.(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.现测得不同时刻的y与x 的数据如表： 时间xi分钟乙 0 2 46 8 10 12 16 20 含药量yi毫克飞 01.5 34.5 6 4.84 3 2.4 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是( B o 4/43 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 8.(23-24九上·辽宁锦州太和区第二初级中学期未若ab>0,则一次函数y=ax+2与反比例函数y=2b在 同一平面直角坐标系中的大致图象可能是() 9.(23-24九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k(0)与 y=kk≠0的图象可能是（) 10.(23-24九上辽宁铁龄昌图县期末)反比例函数y=一k与一次函数y=k:x-3在同一坐标系中的大致图 X 象可能是() 5/43 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.23-24九上辽宁辽阳期未)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x一k与反比例函数y=k的图象 可能是() 目目 考点04 反比例函数的性质 一、 单选题 1.(24-25九上辽宁沈阳和平区期末若点-4，y小、←2，y,小3，y都在反比例函数y=k(k<0)的图 象上，则有() A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 2.24-25九上辽宁辽阳灯塔第一初级中学期未)反比例函数y=《的图象与函数y=2x的图象没有交点， X 若点一2，y小、一1，y,小、1，y,在这个反比例函数y=k的图象上，则下列结论中正确的是（) A.y1>y2>y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 6143 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.(24-25九上·辽宁沈阳沈河区：期末)关于反比例函数y=二3 下列结论正确的是() X A.图象位于第一、三象限 B.点(1，-3)和(-1,3)都在该图象上 C.当x>-3时，y>1 D.y随x的增大而增大 4.2425九上辽宁沈阴皇站区期未已知反比例函数y=3k中图象的两分支分别在第二、四象限肉，则 k的取值范围是() A.k>-1 3 B.K>1 3 C.k 3 D.ks1 3 6 5.(24-25九上辽宁沈阳铁西区·期末)若点Ax1,一1，BX2,1,CX3,5都在反比例函数y=的图象上， 则X1,X2,X3的大小关系是() A.X1<X2<X3 B.X1<X3<X2 C.X3<X2<X1 D.X2<X1<X3 6.(24-25九上辽宁盘锦大注区期末关于x的反比例函数y=一二3 ，下列结论正确的是() X A.其图象位于第一、三象限 B.其图象与y轴有交点 C.其图象所在的每一个象限内，y随着x的增大而增大 D.若其图象经过(a,a-4),则a=-1 7.(Q4-25九上辽宁丹东东港期末)若反比例函数y=二k-3 的图象位于一、三象限，则k的取值范围是 X () A.k>3 B.k>-3 C.k<3 D.k←3 8.(2425九上辽宁丹东期末已知三个点-3，y2,y,5,y在反比例函数y=2的图象上，则下列结 论正确的是() A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 9.(24-25九上·辽宁阜新实验中学期末)已知x1,y1x2,y2x3,y3是反比例函数y=一的图象上的三点， X 且x1<0<x2<X3,则y1,y2,y3的大小关系是() A.y2<y3<0<y1 B.y1<0<y3<y2 7/43 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.y3<y2<0<y1 D.y1<0<y2<y3 10.(24-25九上：辽宁辽阳期末)若点A-3,y,B-1,y和C2,y,都在反比例函数y=《k<0的图象 上，则下列结论正确的是() A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<yiy 11.(24-25九上·辽宁大连博伦中学·期末)下列说法正确的是（) 2 ①反比例函数y=二中自变量x的取值范围是x≠0： X ②点P-3,2在反比例函数y=二6 的图象上： 3 ③反比例函数y=二的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大. X A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 12.(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)已知反比例函数y k+1的图像上有三点A-2,y1,B-1,y2, C1,y3,则y1,y2,y3的大小关系为() A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y3<y1 二、填空题 13.2425九上辽宁葫芦岛期末若点一2，y,(-1,y,4,y都在反比例函数y=4的图象上，则y, X y2,y3的大小关系为一· 14.24-25九上：辽宁沈阳铁西区·期末)在平面直角坐标系中，函数y=二4 的图象与直线x=5的交点个数 是一· 三、解答题 15.(24-25九上辽宁大连沙河口区期末)已知反比例函数y=k-2 X (1)若该函数经过1,3，求k的值： (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围. 8/43 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2 16.(24-25九上·辽宁丹东凤城期末)九年级某数学兴趣小组研究了函数y= 的图象与性质，其探究过程 如下： 4 3 2 B y=2 -3-2-10 234 3 图1 图2 (1)绘制函数图象，如图1. 列表：如表是x与y的几组对应值，其中m=(; -1 … -3 -2 -1 2 2 3 2 2 3 m 3 描点：根据表中各组对应值X,y,在平面直角坐标系中描出了各点： 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象.请你把图象补充完整： (2)通过观察图1，写出该函数的两条性质： ① ② (3)观察发现：如图2，若直线y=2(直线y=2是过点0,2且平行于x轴的一条直线)交函数y= A的图 象于A,B两点，连接OA,OB,则SAOAB=(: 2 (4)知识迁移：当x>0时，函数y= x 的图象与函数y=一x+3的图象交于点C、D,直接写出SAOCD=元 17.(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)【问题提出】 在物理课上，小明同学用一固定电压为28V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯 9/43 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 U 泡L亮度的实验，如图，已知串联电路中，电流与电阻R、灯丝的阻值R之间关系为I=R十R,'通过实 验得出如下数据： R(2) 1 2 3 4 6 28 14 7 14 (A) 5 3 2 R A (1)填空：R的值为 ,a的值为 【问题探究】 根据以上实验，构建出函数y= 28x≥0，结合表格信息，探究函数y=28X20的图象与性质： X+4 X+4 28 (2)①在平面直角坐标系中画出对应函数y= X+4 x≥0的图象； 9 8 7 6 4 3 2 1 01234567893 ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是() A.不断增大B.不断减小C.先增大后减小D.先减小后增大 【问题升华】 （3)结合(2)中函数图象分折，当x≥0时，28≤名×-3x+7的解集为 (结果精确到0.1) x+48 考点05 K的几何意义 单选题 10/43 专题08 反比例函数 10大高频考点概览 考点01 反比例函数的定义 考点02 反比例函数上点的坐标特点 考点03 反比例函数的图象 考点04 反比例函数的性质 考点05 K的几何意义 考点06 求反比例函数的表达式 考点07 反比例函数与一次函数综合 考点08 反比例函数的实际应用 考点09 反比例函数与几何综合 考点10 新定义问题 地 城 考点01 反比例函数的定义 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种基本表达形式是解题的关键． 根据形如的函数是反比例函数解答即可． 【详解】解：是反比例函数，是反比例函数，是反比例函数，是正比例函数， 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)下列关系式中，y是x的反比例函数的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的定义是：形如（k是常数，的函数，叫反比例函数，根据以上知识点逐个判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B．是反比例函数，故本选项符合题意； C．是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； D．不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．(23-24九上·辽宁葫芦岛绥中县·期末)下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义． 形如，k是常数，的函数，叫反比例函数，根据以上知识点逐个判断即可． 【详解】解：．是正比例函数，故本选项不符合题意； ．，是反比例函数，故本选项符合题意； ．，是二次函数，故本选项不符合题意； ．，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 4．(23-24九上·辽宁铁岭银州区朝鲜族中学·期末)若是反比例函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如的函数，其中k为常数；掌握此概念是解题的关键；由题意知，结合即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； 故答案为：． 地 城 考点02 反比例函数上点的坐标特点 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式， ∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为， A、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； B、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、，该点在反比例函数的图象上，符合题意； D、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B．18 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接把点代入，然后求出k即可． 【详解】解：把点代得：，． 故选：A． 3．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 4．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C．5 D．1.5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，是数形结合的体现． 把点P的坐标代入反比例函数解析式中即可求得k的值． 【详解】∵点在反比例函数的图象上 ∴ ∴ 故选：A． 5．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)已知点在反比例函数的图象，则下列各点也在该图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，先把点代入反比例函数，求出的值，再根据为定值对各选项进行逐一检验即可，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 、∵， ∴此点不在函数图象上； 、∵， ∴此点不在函数图象上； 、∵， ∴此点不在函数图象上； 、∵， ∴此点在函数图象上， 故选：． 6．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可得，据此逐项判断即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 、∵， ∴点在反比例函数的图象上，该选项符合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， 点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 故选：． 7．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，若点在函数的图象上，则．逐一验证各选项的横纵坐标乘积即可． 【详解】解：∵， ∴四个点中，只有点在反比例函数的图象上， 故选：C． 二、填空题 8．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 9．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点，代数式求值．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 由题意知，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 反比例函数的图象 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)矩形的面积为6，它的长与宽之间的关系用图象大致可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是理解现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．由长方形的面积公式得，且，，据此即可得出结果． 【详解】解：， ，， 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)反比例函数的图象位于（   ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数中，当时，图象在第一、第三象限；当时，图象在第二、第四象限，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， 反比例函数的图象位于第一、第三象限， 故选：B． 3．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解答的关键．分别根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，函数的图象在第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限， 选项B正确，符合题意； 故选：B． 4．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 5．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：，当压力F一定时，另外两个变量的函数图像能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】压力F一定时，p与S成反比，图像是双曲线，由此可得答案． 本题考查了反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】压力F一定时，p与S成反比，图像是双曲线，同时自变量是正数． 故选：C． 6．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)某品牌蓄电池的电压为，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据电流与电阻之间函数关系可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案． 【详解】∵反比例函数的图象是双曲线，且，， ∴图象是第一象限双曲线的一支． 故选：A． 7．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将 代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图象D正确． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 8．(23-24九上·辽宁锦州太和区第二初级中学·期末)若，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意； B、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意； C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，则，不满足，则此项不符合题意； D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，满足，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键． 9．(23-24九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)在同一平面直角坐标系中，函数（k≠0）与(的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分k＞0和 k＜0两种情形判断即可． 【详解】当k＞0时，一次函数的图像分布在一、二、三象限，反比例函数的图像分布在一、三象限，故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意； 当k＜0时，一次函数的图像分布在二、三、四象限，反比例函数的图像分布在二、四象限，故D不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的图像分布，熟练掌握图像分布与比例系数的关系是解题的关键． 10．(23-24九上·辽宁铁岭昌图县·期末)反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限． 【详解】解：由反比例函数y=与一次函数y=kx-3可知， 当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限， 当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 11．(23-24九上·辽宁辽阳·期末)在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数、一次函数综合问题；分两种情况讨论：当时，当时，分别得出两个函数的大致图像，即可求解． 【详解】解：当时，反比例函数过一、三象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过一、三、四象限，故B、D不正确； 当时，反比例函数过二、四象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一、二、三四象限， 故A不正确，C正确 故选：C． 地 城 考点04 反比例函数的性质 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大， 点都在反比例函数的图象上，且， 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图像与性质，判断出解题的关键．先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】函数的图象经过一，三象限， 且反比例函数的图象与函数的图象没有交点， 反比例函数的图象经过二，四象限， ， 点、、在的图象上， 点、在第二象限，在第四象限， 在第二象限内，反比例函数随的增大而增大， 且， ， 在第四象限， ， ， 故选：C． 3．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)关于反比例函数，下列结论正确的是（） A．图象位于第一、三象限 B．点和都在该图象上 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数的性质对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、， 图象位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； B、，， 点和都在该图象上，正确，符合题意； C、， 图象位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， 当时，， 时，，原说法错误，不符合题意； D、， 图象位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，原说法错误，不符合题意， 故选：B． 4．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象位于第二，四象限，可得，求出解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， 解得． 故选：C． 5．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选B． 6．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)关于的反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．其图象位于第一、三象限 B．其图象与轴有交点 C．其图象所在的每一个象限内，随着的增大而增大 D．若其图象经过，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据解析式得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，， A、图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； B、函数图象与y轴没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； C、在每一象限内，y随x的增大而增大，故该选项正确，符合题意； D、由的图象经过点，得或，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 7．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)若反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由反比例函数经过一、三象限，则，求出的取值范围即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 8．(24-25九上·辽宁丹东·期末)已知三个点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键． 根据反比例函数的图象可得，再根据反比例函数的增减性可得． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象在第一、第三象限，y随x增大而减小， ∵点在反比例函数的图象上，点在第三象限，和在第一象限， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)已知是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质以及函数在象限内的增减性求解即可． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 10．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)若点，和都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．y 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵，和都在反比例函数的图象上， ∴，在第二象限，在第四象限， ∵， ∴，， ∴， 故选：． 11．(24-25九上·辽宁大连博伦中学·期末)下列说法正确的是（　　） ①反比例函数中自变量x的取值范围是； ②点在反比例函数的图象上； ③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图象与性质可直接进行判断求解． 【详解】解：①反比例函数中自变量x的取值范围是，正确； ②把代入反比例函数得：， ∴点在反比例函数的图象上，正确； ③由反比例函数可得，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，错误； ∴说法正确的有①②； 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 12．(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)已知反比例函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质判断出函数图像所在的象限以及每一个象限内的增减性即可求解即可． 【详解】解：∵， ∴此反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵，，在此反比例函数的图像上，且， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟知反比例函数的增减性是解答的关键． 二、填空题 13．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较简单，要知道，反比例函数图象上的点的坐标符合函数解析式． 将A，B和分别代入反比例函数，求出，、的值，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， 故答案为：． 14．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)在平面直角坐标系中，函数的图象与直线的交点个数是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可把代入反比例函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意可把代入反比例函数得：； ∴函数的图象与直线的交点个数是1个； 故答案为1． 三、解答题 15．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)已知反比例函数． (1)若该函数经过，求k的值； (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求解； （2）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把代入解析式， 得，， 解得，； （2）解：函数图象的每一支，y随x的增大而减小， ， 解得，． 16．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末)九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中______； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； (3)观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______； (4)知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______． 【答案】(1)1，图见解析 (2)①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3)2 (4) 【分析】本题考查反比例的图象和性质． （1）把代入得，，即可得到m的值，根据表格中的数据补全函数图象即可； （2）根据函数图象，从对称性、增减性等方面写出该函数的两条性质； （3）当时，即，解得，得到点A、B的坐标分别为、，则，即可得到答案； （4）联立求得点C、D的坐标，求得直线与交于点E的坐标，根据求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 补全图象如图所示：     故答案为：1； （2）解：由图象可知：①函数的图象关于轴对称； ②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 故答案为：①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（答案不唯一） （3）解：当时，即，解得， 故点A、B的坐标分别为、，则， 则； 故答案为：1； （4）解：当时，联立得， 整理得， 解得或， 当时，；当时，； 如图，设直线与交于点E， 则、，， ∴， 故答案为：． 17．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)【问题提出】 在物理课上，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L亮度的实验，如图，已知串联电路中，电流与电阻R、灯丝的阻值之间关系为通过实验得出如下数据： ··· 1 2 3 4 6 ··· ··· a ··· ； （1）填空：的值为 Ω，a的值为 ； 【问题探究】 根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质； （2）①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是（） A．不断增大 B．不断减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【问题升华】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ．（结果精确到0.1） 【答案】（1）4，4；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的性质，不等式的解集，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题． （1）由已知列出方程，即可解得，的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，， ， ， 故答案为：4，4； （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：； （3）如图： 由函数图象知，当或时， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 地 城 考点05 K的几何意义 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，若的面积为，则该反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比函数解析式的几何意义，根据反比函数解析式的几何意义求解，理解的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，的面积为， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴该反比例函数的解析式为， 故选：． 2．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A． 3．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是7，则k的值（    ） A． B．10 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解答． 【详解】解：如图，连接，，与y轴交于点M， ∵轴，点A双在曲线上，点B在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数中比例系数的几何意义：过双曲线上任意一点作 轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为．据此列式解答即可． 【详解】解：如图，设交轴于点， ∵四边形是矩形，且顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上， ∴，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵矩形面积为， ∴， ∴． 故选：A． 5．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，矩形的面积为36，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出．过D点作，，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知，由于D点在矩形的对角线上，可知矩形矩形，并且相似比为，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象在第二象限，即可算出k的值． 【详解】解：过D点作，，垂足为E、F， ∵D点在双曲线上， ∴， ∵D点在矩形的对角线上， ∴矩形矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵双曲线在第二象限， ∴， 故选：D． 6．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)函数和在第一象限内的图象如图所示，点是的图象上一动点，作轴于点，交的图象于点，作轴于点，交的图象于点，给出如下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积大小不会发生变化；④，其中正确的结论序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】设点P的坐标为（m，）（m＞0），则A（m，），C（m，0），B（ ，）D（0，）．①根据反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ODB=S△OCA，该结论正确；②由点的坐标可找出PA=，PB=，由此可得出只有m=2是PA=PB，该结论不成；③利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k的几何意义即可得知该结论成立；④结合点的坐标即可找出PA=，AC= ，由此可得出该结论成立．综上即可得出正确的结论为①③④． 【详解】解：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则A（m，），C（m，0），B（ ，），D（0，）． ①S△ODB=×1=，S△OCA=×1=， ∴△ODB与△OCA的面积相等，①成立； ②PA=-=，PB=m-=， 令PA=PB，即=， 解得：m=2． ∴当m=2时，PA=PB，②不正确； ③S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=4--=3． ∴四边形PAOB的面积大小不会发生变化，③正确； ④∵PA=-=，AC=-0=， ∵=3×， ∴PA=3AC，④正确． 综上可知：正确的结论有①③④． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及利用分割图形法求图形面积，解题关键是找出各点坐标再结合反比例函数系数k的几何意义逐项分析各结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标． 7．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，轴，轴，双曲线经过点D，若正方形的面积为12，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了反比例的图象和性质、正方形的性质等知识．根据正方形的性质得到四边形的面积为，根据反比例函数的图象和性质即可得到k的值． 【详解】解：如图， ∵以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，正方形的面积为12， ∴四边形的面积为， ∵双曲线经过点D， ∴， 故选：A 二、填空题 8．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形面积公式和反比例函数，熟练掌握三角形面积公式和反比例函数是解题的关键． 根据题意设点为，由题目中的图可知，则可得到答案. 【详解】解：设A点的坐标为， 则x，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，点A，点B分别在函数和的图象上，轴，点C为x轴上一点，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查已知值求面积，连接，设与轴交于点，根据平行线间的距离处处相等，以及值的几何意义，得到，求解即可． 【详解】解：设与轴交于点，连接， ∵轴，且点A，点B分别在函数和的图象上， ∴； 故答案为：． 10．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 11．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，，是函数与的图象的两个交点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义．根据题意平行四边形的对角线将四边形分为四个小三角形即可求出面积． 【详解】解：根据正比例函数和反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故答案为：2． 12．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)如图，的顶点A，C在反比例函数的图象上，点B和点D在y轴上，垂直于y轴，若的面积为12，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，运用割补法，得出平行四边形的面积，明确，是解题关键．根据，得出结论． 【详解】解：由图形可知，， 解得， 解得， 反比例函数的图象在第二、四象限， ， ． 故答案为：． 13．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用相似三角形性质得到相似比是关键．作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：作轴，垂足为，轴，垂足为， 点在函数图象上，点在反比例函数图象上， ，， ， ，， ∴， ， ， ，又因为，函数图象在第二象限，， ． 故答案为：． 14．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末)如图，已知是一块含有角的直角三角板，点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，则k的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 由是一块含有角的直角三角板可得，如图：过点A作轴于C，过点B作轴于D，证明可得，设，则；根据反比例函数图象上点的坐标特征得，据此求解即可． 【详解】解：∵是一块含有角的直角三角板， ∴， ∴， 如图：过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点， ∴， ∴． 故答案为：． 15．(24-25九上·辽宁锦州·期末)如图，点A在反比例函数的图象上，点在轴的负半轴上，交轴于点，且满足，轴于点，点在轴正半轴上，交于点，若，，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，设，则，易证可得，再根据和等高可得，最后根据反比例函数k的几何意义即可解答． 【详解】解：如图：连接，设，则， ∵， ∴， ∴，即，则， ∵和等高， ∴，即，解得：， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵函数图象在第一象限， ∴． 故答案为：16． 三、解答题 16．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)如图，反比例函数和的图象如图所示，点是x轴正半轴上一动点，过点C作x轴的垂线，分别与和的图象交于点． (1)当时，线段，求两点的坐标及的值． (2)小伟同学提出了一个猜想：“当k值一定时，的面积随a值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形面积，一次函数的性质等知识点，其中理解反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意可知，点C的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，再将代入计算即可求解． （2）根据题意列出的关系式，再根据公式代入化简即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点C的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为 当时，点的坐标为 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ． （2）解：不正确．理由：由题意可知， 值一定． 的面积一定， 小明的猜想不正确． 地 城 考点06 求反比例函数的表达式 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点、、的坐标得到轴，，，，再根据旋转的性质得，，，接着确定点坐标，设，利用两点间的距离公式得到①，②，然后解方程组求出和得到点坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求的值． 【详解】解：，，， 轴，，， ， 将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上， ，，， 在中，， ， 设， ①，②， ①②得③， 把③代入①整理得，解得（舍去），， 当时，， ， 把代入得． ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是利用两点间的距离公式建立方程组． 二、填空题 2．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边轴，垂足为E，顶点A在第二象限，，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由点C的横坐标为5，可知菱形的边长为5，设出DE 的长，表示BE的长，根据勾股定理可求出DE、BE，再设出点C的纵坐标，表示点C、D的坐标，代入反比例函数关系式求出k的值． 【详解】解：由题意得，AB＝BC＝CD＝DA＝5， 设DE＝x，则BE＝2x，AE＝5﹣x， 在RtABE中，由勾股定理得， （5﹣x）2+（2x）2＝52， 解得x＝0 （舍去），x＝2， 即DE＝2，BE＝4， 设点C（5，y），则D（2，y+4）， ∵反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过点C、D． ∴5y＝2（y+4）＝k， 解得：y＝， ∴k＝5y＝， 故答案为：． 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理等知识，求出反比例函数图象上某个点的坐标是解决问题的关键． 3．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在函数的图象上，，两点在轴上，，若点的横坐标为4，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，利用直线解析式求出正方形边长是关键．根据正方形的性质得到，，由点的横坐标为4，得到，设，，得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点的横坐标为4， ， ， 设，， ， ， ， ， 故答案为：12． 4．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，全等三角形的判定与性质，涉及到正方形的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标． 5．(24-25九上·辽宁本溪·期末)如图所示在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点B和点D分别在x轴和y轴上，，反比例函数过点C，则反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】如图，过作轴于,过作轴于,过作轴于,设与轴交于,得到,,根据矩形的性质得到,根据勾股定理得到,求得,根据全等三角形的性质得到,根据矩形的性质得到,求得,根据相似三角形的性质得到,设反比例函数解析式为,将代入即可得解. 【详解】解：如图，过作轴于,过作轴于,过作轴于,设与轴交于, , ,, 四边形是矩形， , , , , , , ， , , , 四边形是矩形, , , , , , , , , 设反比例函数解析式为, , 反比例函数解析式为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 6．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据，的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表示的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】四边形是平行四边形， ,的纵坐标相同， ， 的纵坐标是， 点在反比例函数图象上， 将代入函数表达式中，得到， ， ， ，的纵坐标是， ， 即， 解得． 故答案为：． 7．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点 C刚好在x轴上，点D在反比例函数 的图象上，则 ． 【答案】 【分析】由绕点A逆时针旋转得到，可得为等边三角形，再通过点A的坐标为可求得，最后过点D作轴构造直角三角形求出点D坐标即可求解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到， ，，， 为等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， 点A的坐标为， ， 设则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 过点D作轴如图： ∴， ∴， ，，， 点D坐标为， 点D在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，等边三角形的判定及性质，角直角三角形的性质，解答本题的关键是铅锤法构造直角三角形求点的坐标，利用数形结合的思想解答． 8．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 9．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，正方形的边落在x轴正半轴上，A，D在第一象限，点D的坐标为（3，2），连接，射线绕点A逆时针旋转90°交于点E，点E在反比例函数的图象上． (1)求的长； (2)求k的值． 【答案】(1)5 (2)15 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由点D的坐标得，求得，根据勾股定理得到结论； （2）根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到 ，求得，，得到，于是得到结论． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵点D的坐标为（3，2）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）解：射线绕点A逆时针旋转90°交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴． 地 城 考点07 反比例函数与一次函数综合 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2，点的横坐标为，当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查由函数图像解不等式，根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为2，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 2．(24-25九上·辽宁朝阳一中联盟校·期末)如图，直线与双曲线相交于A、B两点，与x轴相交于点C， ．若将直线沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线有且只有一个交点，则n的值为 ． 【答案】1 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及即可得出点B的纵坐标，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后联立方程组，整理得，由题意，即，解方程即可求得． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∵直线沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线有且只有一个交点， ∴有唯一的解， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，（不符合题意，舍去） 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键． 二、解答题 3．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【详解】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． （2）在一次函数中，令，则， ， ； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 4．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为. （1）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点在线段上，且，求点的坐标. 【答案】（1）或；（2），；（3） 【分析】(1) 观察图象得到当或时，直线y=k1x+b都在反比例函数的图象上方，由此即可得； (2)先把A(-1，4)代入y=可求得k2，再把B(4，n)代入y=可得n=-1，即B点坐标为(4，-1)，然后把点A、B的坐标分别代入y=k1x+b得到关于k1、b的方程组，解方程组即可求得答案； (3)设与轴交于点，先求出点C坐标，继而求出，根据分别求出，，再根据确定出点在第一象限，求出，继而求出P点的横坐标，由点P在直线上继而可求出点P的纵坐标，即可求得答案. 【详解】(1)观察图象可知当或，k1x+b>； (2)把代入，得， ∴， ∵点在上，∴， ∴， 把，代入得 ，解得， ∴； (3)设与轴交于点， ∵点在直线上，∴， ， 又， ∴，， 又，∴点在第一象限， ∴， 又，∴，解得， 把代入，得， ∴. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 5．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，已知点，是一次函数图潒与反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，自变量x的取值范围________． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法确定函数解析式；解题的关键是求出表达式． （1）把代入反比例函数，得出的值，然后求出，再把，代入一次函数的解析式，运用待定系数法求其解析式； （2）根据图象，分别观察交点的哪一侧能够使一次函数的值小于反比例函数的值，从而求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∴这个反比例函数的解析式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵点，在一次函数图象上， ∴． ∴． ∴一次函数解析式； （2）解：由图象可得，当或时，直线在双曲线下面 ∴当时，自变量x的取值范围或． 6．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，在平面直角坐标系中有，，，、，点B、C在第二象限内． (1)点B的坐标__________． (2)将以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某时刻t，使在第一象限内点B、C两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求由此时t的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，将向下平移m个单位，当直线与的图象有且只有一个公共点，请求出m的值． 【答案】(1)（-5，1） (2)t=11，反比例函数解析式为： (3)， 【分析】（1）构造全等三角形，利用“K型全等”解题； （2）利用平移用含有t的式子表示点B′、C′的坐标，利用反比例函数k=xy，求出t，再求出反比例函数解析式； （3）根据（2）中得出的结论，利用待定系数法求得直线的关系式，则平移后的一次函数的解析式为，消去y得到：，根据Δ=0求出m的值即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E， 则：∠DCA+∠DAC=90°， ∵∠CAB=90°， ∴∠CAC+∠BAE=90°， ∴∠DCA=∠BAE， ∵∠CDA=∠AEB=90°，AC=AB， ∴△ACD≌△BAE（AAS）， ∴CD=AE，AD=BE， ∵C（-9，3），A（-8，0）， ∴AE=CD=3，BE=AD=1， ∴B（-5，1）． 故答案为：（-5，1）． （2）解：由题意得：点B′（-5+t，1）、C′（-9+t，3）， ∵点B′、C′正好落在反比例函数（k≠0）的图象上， ∴-5+t=3（-9+t）， 解得：t=11， ∴B′（6，1）、C（2，3）， ∴k=6， ∴t=11，反比例函数解析式为：． （3）解：设直线B′C的关系式为， ∵B′（6，1）、C′（2，3）， ∴， 解得． ∴一次函数的关系式为． ∴平移后的一次函数的解析式为， 由题意得：， 化简得， ∵直线与的图象有且只有一个公共点， ∴Δ=0， ∴， ∴，． ∴将向下平移或个单位时，直线与的图象有且只有一个公共点． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的应用、平移的性质及一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会数形结合的思想的应用是解题的关键． 7．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在第二象限内，根据图象直接写出的解集； (3)将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)1.5 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题． （1）先将点A坐标代入直线，求出m的值，再将所得点A的坐标代入反比例函数解析式即可解决问题； （2）在第二象限内，根据图象直接写出反比例函数的图象在一次函数图象的上方时取值范围，即可解决问题； （3）连接，先求出点B的坐标，然后求出平移后的直线解析式，进而可得，即可求得的面积，再由平移的性质得，继而得，即可解决问题． 【详解】（1）解：把点代入直线解析式中， 得， 解得， 所以，点， 把点代入反比例函数解析式中， 得， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）得点， 由函数图象可知， 当时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：； （3）解：连接， 把点代入反比例函数的解析式中， 有， 所以点坐标为， 设直线向上平移后的解析式为， 把点代入，有， 解得， 所以平移后的解析式为， 当时，， 所以，， ， 由平移可知， 所以, 即的面积为1.5． 8．(24-25上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．    (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到，，，再由为的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可； （2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与交于点和点， ， 反比例函数的表达式为 四边形是矩形， ，， 点，且点为的中点． ， ∴点D的横坐标为3， 在中，， ； （2）解：当直线经过点时，则， 解得； 当直线经过点时，则， 解得； ∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合） ∴． 9．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得：，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 10．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)如图，已知点，点在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点，连接且轴． (1)求的值： (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，难度较低： （1）将点，点代入即可求解； （2）由（1）得，，由轴，得到,再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：，； （2）解：由（1）得，， ∵轴， ∴, 将代入，得， 解得：， ∴解析式为：． 11．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)当时，x的范围为 ． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，数形结合求不等式的解集，难点是根据图形面积的和差来求的面积． （1）将点代入反比例函数表达式可求出，进而可得反比例函数表达式，再将代入已求出的反比例函数表达式求出，进而得点，然后再将点，代入一次函数的表达式可求出，，进而可得一次函数的表达式； （2）先求出点，可得，然后根据即可得出答案； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）将点代入，得：， 反比例函数的表达式为：， 将代入，得：， 点的坐标为， 将，代入， 得：，解得：， 一次函数的表达式为：． （2）对于，当时，， 点， ， ； （3）由图象可知，当时，的范围为或． 故答案为：或． 12．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在第二象限内，根据图象直接写出的解集； (3)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 【答案】(1)y＝ (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点与一元一次不等式解集的关系，三角形的面积求法，以及一次函数与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）观查函数图象可知，当时，反比例函数的图象不在一次函数图象的上方，即可求解； （3）根据直线的平移规律设直线的解析式为：，由同底等高的两三角形面积相等可得与面积相等，根据的面积为，列出方程，解出的长，即的值，进而得出直线的解析式 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：，解得， 所以点的坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得，， 所以反比例函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知， 当时，反比例函数的图象不在一次函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：． （3）连接， 由平移可知，， 所以， 所以， 解得， 所以点的坐标为， 令直线的解析式为， 将点C坐标代入得，， 所以直线的函数解析式为． 13．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末)如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，    (1)求反比例函数的关系式； (2)根据图像，当时x的取值范围为：______； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； (4)若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）先把点代入中求出a得到，然后把A点坐标代入中求出k，即可得到反比例函数的表达式； （2）根据图象得出取值范围即可； （3）连接，，设直线与x轴交于点C，由，又，得，设，则，所以，求解即可． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得， ∴ 由（1）知，， 根据图象可知，当时，或， ∴当时，x的取值范围为或； （3）解：连接，，设直线与x轴交于点C，如图，    ∵， 又∵， ∴ 设，则， ∴ 解得：或， ∴或． （4）解：设， 当时，如图，    ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴，此时与点A重合，不是平行四边形，故舍去； 当时，连接交于D，如图，    ∵ ∴点D是与的中点， ∴ 解得：， ∴， 当时，过Q作于N，过点B作于D，过点A作于S，如图，    ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 综上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时， Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题，平行四边形的性质，此题属反比例一次函数、几何图形综合题目，综合性较强，熟练掌握反比例函数图象性质、一次函数图象性质，平行四边形性质是解题的关键． 地 城 考点08 反比例函数的实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意首先求出反比例函数解析式,进而利用电器的限制不能超过12A,求出电器的可变电阻应控制的范围. 【详解】设反比例函数关系式为：I＝， 把（2，3）代入得：k＝2×3＝6， ∴反比例函数关系式为：I＝， 当I≤6时，则≤6， R≥1， 故选C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键. 2．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（    ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可． 【详解】根据电压电流电阻，设， 将点代入得，解得， ； 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是， 故选A． 3．(24-25九上·辽宁锦州·期末)固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，发现的值即为糖水中含糖固体质量成为解题的关键． 根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定甲瓶糖水中含糖固体质量最少，丙瓶糖水中含糖固体质量最多，乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点甲在反比例函数图象下面，点丙在反比例函数图象上面， ∴甲瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多． 故选∶C． 4．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（    ） A．这个反比例函数解析式为 B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由减压到，则气体体积增加了 D．若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式可判断A；根据图象可判断B；求出压强为和时的函数值可判断C；求出压强为时的函数值，结合反比例函数的性质可判断D． 【详解】解：A．设P与V的函数关系式为：， 则， 解得， ∴函数关系式为，故A正确； B．由图象可知，当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小，故B正确； C．将代入得，将代入得，，故C正确； D．将代入得， ∵当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的减小而增大，球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应大于，故D不正确． 故选D． 5．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（    ） A．150N B．90N C．75N D．60N 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．依据题意，根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答即可得解． 【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设方程为：， 从表中取一个有序数对， 可取代入， ． ． 把代入上式， ． 故选：C． 6．(24-25九上·辽宁丹东·期末)物理实验课上，某小组的同学通过移动滑动变阻器控制小灯泡电流的变化．如图是该小灯泡的电流与电阻的关系图象，该图象经过点，根据图象可知，下列说法正确的是（   ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，是解题的关键． 根据图象设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式，再根据函数的增性对各选项即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：A、设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是， 故A不正确； B、∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 故B不正确； C、当时，， 故C不正确； D、当时，， 故D正确． 故选：D． 二、填空题 7．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)小王同学用爸爸遗弃的充电宝和报废手机液晶屏，自制了一个亮度可调节的台灯．已知充电宝电压为5，液晶屏的电阻 ，如图的串联电路中，电流与滑动变阻器电阻，之间关系为 ，当电流表的读数 时，滑动变阻器电阻 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了欧姆定律、反比例函数的应用等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．将，，代入，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，，， 代入，可得， 解得， 所以，滑动变阻器电阻． 故答案为：． 8．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 9．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． 当气球内的气压超过时，气球会爆炸． 由此可判断时，气球 爆炸．（用“会”或“不会”填空）    【答案】不会 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．设，将代入求出，求得，由时，气球将爆炸，得到，即，求得．因为，于是得到气球不会爆炸． 【详解】解：设，将代入求出， ， 当时，气球将爆炸， ，即，解得， ， 气球不会爆炸， 故答案为：不会． 三、解答题 10．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而发生变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中线段轴，为双曲线的一部分）．        (1)分别求出线段和双曲线所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围 (2)如果一道数学题需要讲20分钟，为了学生听课效果更好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生听课效果更好的状态下讲完这道题？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)教师应该安排在上课5分钟到25分钟时间内，就能在学生注意力指数不低于40的状态下讲完这道题 【分析】此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）用待定系数法分别求出线段和双曲线的函数解析式即可； （2）把分别代入（1）中解析式即可求值． 【详解】（1）解：设线段的解析式为：， 把和代入得，， 解得， 直线的解析式为：； 设双曲线的函数关系式为：， 把代入得，， ， 双曲线的函数关系式为：． （2）解：当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ． 教师应该安排在上课5分钟到25分钟时间内，就能在学生注意力指数不低于40的状态下讲完这道题． 11．(24-25九上·辽宁锦州·期末)图1为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升13，加热到100，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至60时，饮水机处于恒温保温状态，若要再次加热，启动加热开关即可，当前水温为22，接通电源开始加热，水温（）与通电时间（）之间的关系如图2所示． (1)求反比例函数表达式； (2)若沏茶的最佳水温不低于80，求从当前水温22开始加热，到饮水机处于恒温保温状态的过程中，最佳沏茶的时间有多久？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）先求出加热到 需要的时间，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出 所需要的时间，代入反比例函数即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得（）， 当时，， 设反比例函数表达式为，将，代入，即， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：由题意得（）， 将代入，即， ， 最佳沏茶的时间为（）， 答：最佳沏茶的时间为 ． 12．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为．设小汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为 t h． (1)求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)； (2)若这条公路限速为，李老师需要不超过从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平均速度ν的取值范围． 【答案】(1) (2)李老师从乙地返回甲地的平均速度的取值范围是 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）将代入v关于t的函数表达式，再结合题意即可得小汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：由题意可得从甲地到乙地路程为：， 与的关系式为：； （2）解：在中， 令， ，当时，随的增大而减小， ， 又此公路限速， 答：李老师从乙地返回甲地的平均速度的取值范围是． 13．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． (1)求材料停止加热后与的函数关系式． (2)根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，得，计算时，反比例函数的值，其差即为所求． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：将代入， 解得， ∴， 当时，； 故加工的时长为． 14．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求t的值； (2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 【答案】(1)20 (2)分钟 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可； （2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：． ∴． ∴． 当时，， ∴． （2）解：设一次函数函数的关系式为． 把代入，得：，解得：， ∴， 当在温度下降过程中，， 解得：， 当在温度上升过程中，， 解得：， ∴， ∴一次循环过程中有属于有效制冷时间． 15．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【答案】(1) (2)提前10天 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，正确列出反比例函数关系式是解题的关键． （1）根据工作效率=工作量÷工作时间，列出关系式即可； （2）将和代入（1）中求得的解析式，求出t值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， （2）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， ∵(天)， ∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程． 16．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2)，且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为 【分析】本题考查了反比例函数的应用：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求反比例函数，即可作答； （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：点在反比例函数上， ， 解得：， ， 且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为． 17．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)密闭容器内有一定质量的某种气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知关于体积V与密度的部分数据如下表：    体积 1 2 3 4 5 6 … 密度 10 5 2.5 2 … (1)利用表中的数据，在如图的坐标系内画出相应的函数图象，并求出函数解析式； (2)求当时，的取值范围． 【答案】(1)图象见解析，函数解析式为 (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义和相关性质． （1）根据表格描点，画出图象即可，由待定系数法可得函数解析式； （2）由得，代入，可求出的取值范围． 【详解】（1）解：描点，连线得，    由函数图象可知该函数近似反比例函数模型，即， 将点代入得：， ∴， 将其余各点分别代入计算，例如，可得，故符合反比例函数模型， ∴函数解析式为； （2）解：∵函数解析式为， ∴， ∵， ∴ 解得，． 地 城 考点09 反比例函数与几何综合 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)如图，点在双曲线上，点在直线上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①；②当时，；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出，当时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点代入直线，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算，继而判断④错误． 【详解】解：直线， 当时，， ， ， 四边形是菱形， ， 与关于轴对称，设交x轴于点D， ， 在中，， ，故①错误； 在双曲线上， ， 当时，，故②正确； 与关于轴对称，， ， 点在直线上， ， 解得，故③正确； ，故④错误； 综上，正确结论的序号是②③，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)的值为________，的值为________； (2)点在轴正半轴上，，求点的坐标； (3)点在轴上，为锐角，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、勾股定理、两点之间的距离公式、一元二次方程的应用等知识，较难的是题（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）将点代入反比例函数的解析式即可求出的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入正比例函数的解析式即可求出的值； （2）先求出点的坐标，再设点的坐标为，从而可得的值，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得； （3）先求出的值，再找出两个临界：点在轴正半轴和负半轴上，且，利用勾股定理建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， ∴， 将点代入正比例函数得：，解得， 故答案为：，． （2）解：由题意，设点的坐标为， 联立，解得或， ∴， 由（1）已得：， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． （3）解：∵，，， ∴，，， 如图，有两个临界位置：点在轴正半轴和负半轴上，且， ∴，即， 解得或， ∴要使为锐角，则或． 3．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，中心对称，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，得出，根据的面积为8，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴， ∴的函数解析式为； （2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C， ∴点C的坐标为， ∵过点A作轴交函数的图象于点B， ∴点B的坐标为， ∴， ∵的面积为8， ∴， 解得：． 4．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标分别为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，掌握利用待定系数法求函数解析式和数形结合的思想是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，从而可求出，进而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线得， 解得：， 一次函数的解析式为； 把点代入得， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入，得：， ∴点的坐标为， ． ， ，     ． 当代入，得， 当代入，得 ∴点的纵坐标为，则， 点的坐标为或． 5．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，在中，，点是上的一点，反比例函数（）的图象经过点D，交于点C，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)当，时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质；求得点的坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得函数关系式； （2）求得点的坐标，进而求得点的坐标，然后根据即可求得结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数的解析式为：； （2）在中，，， ， ， 将代入，得， ， ． 6．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点 (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接、，交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)m的值为1或 【分析】（1）将点代入反比例函数，于是得到结论； （2）由轴，得到，根据点C是的中点，得到，得到点B和点D横坐标相等，将代入得到，求得点B坐标为，解方程得到的解析式，得到点F坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①当M在y轴正半轴时，如图1，在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I，得到，，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到负值舍去，求得，，，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到点B坐标，解方程得到；②当M在y轴负半轴时，如图2在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到负值舍去，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：轴， ， 点C是OD的中点， ， 轴于点D， 点B和点D横坐标相等， 将代入得， 点B坐标为， 设的解析式为， 将代入得， 解得， 的解析式为， 将代入，得， 点F坐标为， ， ； （3）解：①当M在y轴正半轴时，如图1， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得， 过点N作轴于点I， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得 ， 即， 解得负值舍去， ，，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， 点N坐标为， 为反比例函数图象上的点， ， 即，解得或， 为整数且在y轴正半轴上， ； ②当M在y轴负半轴时，如图2 在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得， 过点N作轴于点R， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得， 即， 解得负值舍去， ，，， 同理可证：， ，， 在中，， ， ， ， ， 点坐标为， 为反比例函数上的点， ， 即，解得或， 为整数且在y轴负半轴上 综上所述，m的值为1或 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1)，（） (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合知识点，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，以及利用三角形面积公式建立等式求解点的坐标． （1）已知反比例函数图象过点，将点坐标代入反比例函数中，可求出的值，进而得到反比例函数解析式．再把点代入已求出的反比例函数解析式，求出点坐标．最后将，两点坐标代入一次函数，通过解方程组得到一次函数的k，b的值，从而确定一次函数解析式． （2）先求出直线与轴交点的坐标，再根据已知条件求出点坐标为．设点坐标为，利用三角形面积公式，根据的面积等于的面积列出方程，求解得出点坐标． 【详解】（1）反比例函数（）经过点， 将点代入中得，， 反比例函数解析式为（）， 的图象经过点， ，点坐标为， 将，两点代入中得， 解得， 一次函数解析式为 （2）对于函数，令，得， 解得， ， ，，轴，轴， 点坐标为， ，，， ， 点是反比例函数（）上一点， 可设点坐标为， ， 解得， 点坐标为． 8．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)从下面A，B两题中任选一题作答． A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标； B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)8 (3)A．，， B．,,, 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出，利用反比例函数求点B的坐标为，将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可； （2）过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，先求出点C的坐标，再利用即可求出的面积； （3）A：先确定点A、B、P的坐标，设点D的坐标为，当是边时，利用平移可得，或，，求出s、t，当是对角线时，由中点公式得：，求即可； B：由直线求点，由点A、C的坐标求，设点Q的坐标为，点M的坐标为，当为边时，则或，即或，求出s、m，当是对角线时，则且的中点即为的中点，则，解方程组即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 得， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点B的坐标为， 将点和的坐标分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为． （2）解：在中，当时， 点C的坐标为， 过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，如图所示： 的面积为8． （3）解：能，理由： A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、， 设点D的坐标为, 当是边时， 则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P）， 则，或，， 解得或； 当是对角线时， 由中点公式得：，, 解得； 故点D的坐标为或或． B：由直线的表达式知，点，由点A、C的坐标知， 设点Q的坐标为，点M的坐标为， 当为边时， 则或， 即或， 解得或8（舍去）或4， 即或4； 当是对角线时， 则且的中点即为的中点， 则， 解得， 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，平行四边形性质，菱形性质，本题综合性强，难度较大，灵活掌握知识是解题关键． 9．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴，y轴分别相交于点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)点P在线段上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在上确定点A的坐标，再确定反比例函数解析式，计算即可． （2）根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，整理得，解答即可． 本题考查了图象的交点，解方程，待定系数法，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∴，解得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：根据点P在线段上，设，根据题意得，由得， 整理得， 解得，（舍去）； 故点Q的坐标为：． 10．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标． 【答案】（1）y=-；（2）点P（﹣6，0）或（﹣2，0） 【分析】（1）利用点A在y=x+4上求a，进而代入反比例函数求k． （2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标． 【详解】（1）把点A（﹣1，a）代入y=x+4，得a=3， ∴A（﹣1，3）， 把A（﹣1，3）代入反比例函数， ∴k=﹣3， ∴反比例函数的表达式为 （2）联立两个函数的表达式得：， 解得：或， ∴点B的坐标为B（﹣3，1）， 当y=x+4=0时，得x=﹣4， ∴点C（﹣4，0）， 设点P的坐标为（x，0）， ∵， ∴， 解得x1=﹣6，x2=﹣2 ∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0） 【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达． 11．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)过点C作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，求图形面积，正确理解图象是解题的关键． （1）先将点A，B的坐标代入得到m，n的值，再根据待定系数法求出直线的表达式； （2）先求出点C的坐标，根据平行得到点D的纵坐标，由此求出点D的坐标，即可求出的面积． 【详解】（1）解：分别将点、点代入中， 即， 解得：， 点坐标为点坐标为， 把点坐标点坐标分别代入， 即，解得 一次函数表达式为． （2）解：把代入，得点坐标为， 轴， 点，点纵坐标相等； 把代入中，得， 点坐标为， ． 12．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接    (1)求值； (2)计算图形阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．涉及菱形的性质，扇形的面积． （1）直接将点代入解析式求值即可； （2）利用分割法得到，求解即可． 正确的求出函数解析式，掌握相关图形的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）∵点在反比例函数图象上， ； （2）连接交于点．     ∵四边形是菱形   ∴与相互垂直平分,， ∴，， ∴是等边三角形 ， 又 ． 地 城 考点10 新定义问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)在矩形中，，，当时，我们把这个矩形叫做“等和积矩形”．根据此定义，解答下列问题： (1)如图1，若矩形是“等和积矩形”，且，请直接写出a的值； (2)分别以矩形的边，所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，点D在第一象限，点B与点O重合，若“等和积矩形”的面积为8，求点D的坐标； (3)从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为x，y（）． ①请直接写出y与x之间的函数关系式： ②研究①中的函数关系式，就会发现该函数的图象可以通过反比例函数的图象经过平移得到，请直接在图2中画出1中函数的图象，观察图象，写出该函数的两条性质； ③如果将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②图见解析，性质∶ 当时，y随x的最大而减小(答案不唯一)；③将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”，理由见解析 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）根据，，求a、b值，即可求解； （3）①根据得；②由平移的性质画出函数图象即可，观察函数图象得到函数性质；③由，，则当时， ，当时， ，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得：，(舍去)， ∴； （2）解：由题意，得，， 则， ∴ 解得：，， ∴或， ∴或， ∵点D在第一象限， ∴点D的坐标或． （3）解：①∵ ∴； ②通过反比例函数图象向右平移1个单位向上平移1个单位平移得到的图象，如图所示， 从函数图象看， 当时，y随x的增大而减小． ③将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形” 理由：∵ ∴， 当时， ， 当时， ， ∴将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”． 【点睛】本题考查新定义，图象的平移，矩形的性质，点的坐标，反比例函数的性质，作函数图象等，有一定的综合性，难度适中． 2．(24-25九上·辽宁锦州·期末)定义：对于平面直角坐标系内的点和反比例函数，若，则称点是反比例函数的“双曲点”． 已知点和反比例函数． (1)判断点是否为反比例函数的“双曲点”，并说明理由； (2)如图1，过点作轴，轴，分别与反比例函数的图象交于点和，将直线右侧的图象沿翻折，交轴于点，将直线下方的图象沿翻折，翻折后的曲线相交于点． ①求点到轴和轴的距离比； ②如图2，若点位于点上方，过点作轴，交轴左侧曲线于点，交轴右侧曲线（实线部分）于点．若，求的值． 【答案】(1)点是反比例函数的“双曲点”，见解析 (2)①；②或4 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，“双曲点”的定义，关于直线对称的点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）将计算出，即可进行判断； （2）①设点的坐标为，设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为．得到，，将，代入反比例函数中，得到，即可求出答案； ②设点关于直线的对称点为，分另种情况进行讨论，当点在点下方时，设点关于直线的对称点为，根据反比例函数的图像和性质得到，，列出式子进行求解；当点在点上方时，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：，， 点是反比例函数的“双曲点”； （2）解：①设点的坐标为， 如图1，设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为． ， 依题可知点，都在反比例函数图象上， ． ，即点到轴和轴的距离比为；     　　　　　 ②轴，， ． 设点关于直线的对称点为， 如图2，当点在点下方时， 设点关于直线的对称点为， ，， 将和代入得，，． ． ，． ， ． 解得，（舍） 如图3，当点在点上方时， ， ，． ， 综上，的值为或4． 3．(24-25九上·辽宁丹东·期末)定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)①，②6 (2)①见解析②36③ 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理解题意是解答本题的关键． （1）①先判断函数的图象经过点B，求出m的值，设点D的坐标为，代入可得，从而可得点D的坐标；②求出点C的坐标为，可判断点A，点C在反比例函数图象上，从而可得结论； （2）①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形； ②由可求出点B的坐标，根据中心对称的性质可得出点C的坐标，过点A作于点E，过点B作于点F，根据可得结论； ③根据两点间距离公式求出的长，根据得出，结合求出的值即可． 【详解】（1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，； ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴； ②∵四边形是平行四边形， ，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时； （2）解：①如图，即为所画；    ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ； ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得，，或（舍去） ∴． 4．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，求b的值． (2)①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． (3)在（2）的条件下，平面内找一点G，使O，E，F，G四点组成平行四边形，直接写出G点坐标． 【答案】(1)不是；4 (2)18； (3)或或 【分析】（1）分计算矩形的周长和面积，然后结合“美好点”的定义，即可判断点是否为“美好点”；分计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得，然后求解即可； （2）①分计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得求解即可确定点，再将其代入双曲线解析式，求解即可；②首先确定点，过点作轴，垂足为，然后由求解即可； （3）设，分为对角线、为对角线和为对角线三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：如下图， ∵， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴矩形的周长，矩形的面积， 又∵， ∴点不是“美好点”； 如下图， ∵， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴矩形的周长，矩形的面积， 若点是“美好点”， 则有，解得， ∴． 故答案为：不是；4； （2）解：①∵点为“美好点”， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴矩形的周长，矩形的面积， 则有，解得， ∴， ∵点在双曲线的图像上， ∴，解得， 故答案为：18； ②由①可知，该双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， 则有，即， 如下图，过点作轴，垂足为， 则，，，， ∴， ∴ ； （3）解：如下图， 设， ∵，，， 若以为对角线， 则有，， 解得：，， ∴； 若以为对角线， 则有，， 解得，， ∴； 若以为对角线， 则有，， 解得，， ∴． 综上所述，G点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“美好点”、坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数的应用等知识，综合性强，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 5．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)如果点，分别在正比例函数和反比例函数的图象上，且点，关于轴对称，则称点与点为“正反等值对称点”．例如，在平面直角坐标系内，点在的图象上，点在的图象上，则点与点为“正反等值对称点”． (1)如果点在的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，则________； (2)点在正比例函数的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，点． ①如图1，若，四边形为平行四边形，求的值； ②如图2，过点作轴的垂线，与的图象交于点，点在轴的正半轴上，且，过点作轴的垂线，交的图象于点（点在线段上方），交线段于点，连接，，设的面积为，求关于（点横坐标）的函数表达式； ③在②的条件下，连接，，点在轴的正半轴上，以，为邻边构造矩形，使，的长是关于（点横坐标）的函数，直线与轴相交于点，与函数的图象相交于点，与函数的图象相交于点，当点是线段中点时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）设，则，根据“正反等值对称点”的意义求出，即可得解； （3）①根据平行四边形性质得，根据“正反等值对称点”的意义得点的横坐标为，点的横坐标为，继而得到点的坐标为，点的坐标为，即可得解； ②根据“正反等值对称点”的意义确定，再根据即可得解； ③根据，确定，再画出图形，确定，继而得出，，，，再根据，求解即可。 【详解】（1）解：∵点在的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上， 设，则 ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点在正比例函数的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上， ∴点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴的值为； ②∵点在轴的正半轴上，且， ∴，， ∵，点作轴的垂线，与的图象交于点， ∴， ∵点在正比例函数的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上， ∴， ∴，，轴 ∴反比例函数的解析式为， ∵点在轴的正半轴上，过点作轴的垂线，交的图象于点（点在线段上方）， ∴当时，，即，， ∴，且， ∴，且， ∴关于（点横坐标）的函数表达式为； ③如图， 由②知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵直线与轴相交于点，与函数的图象相交于点，与函数的图象相交于点，如图， 当时，， ∴， 当时，，得：， ∴， ∴， 当时，，得：， ∴， ∴， ∵点是线段中点， ∴，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解且符合题意， 综上所述，的值为。 【点睛】本题属于一次函数和反比例函数的综合题，考查了“正反等值对称点”的意义，轴对称的性质，函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，列函数关系式，中点的定义，分式方程及一元二次方程的应用等知识点。正确理解“正反等值对称点”的意义是解题的关键。 6．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”． 【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数 ， 的图象交于A，B两点． (1)如图1，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，求双曲线的解析式； (2)如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，； ①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交 于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N，证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质求出的面积，进而求出比例系数即可； （2）按照（1）的方法求出反比例函数解析式，再求出点C和点A坐标，①根据点D到点A关于点O的“度比坐标”求出点D坐标即可；②根据表示出平移后与反比例函数交点坐标，代入反比例函数解析式即可． 【详解】（1）解：过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴， ∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A在图象上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， 过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为H、G， 类似（1）的方法可知，且相似比是1， ∴，， ∴反比例函数解析式为， ∵点C到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴， ∴， ∵， ∴，， 则点A坐标为，点B坐标为， 由点A坐标和点B坐标求得直线的解析式为， 当时，， ， 点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴，， 过点D作的垂线，垂足为L， ∴， ∵， ∴，， 四边形的面积为， ②存在某一位置使； 过点E、点F作x轴的垂线，垂足分别为Q、R， 因为直线向右平移，分别交 于点E，交于点F， 所以， 设，则，，，，， ，， ， ∴， 解得，，（舍去）， ， 所以点E坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数和新定义，解题关键是准确理解“度比坐标”，熟练运用反比例函数的性质和相似三角形的性质求解． 7．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”． 若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”． (1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数（）的图象经过点 ，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由． 【答案】(1)或（答案不唯一） (2)是，理由见解析 【分析】本题考查求反比例函数、一次函数解析式，图形与坐标； （1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可； （2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数    是正方形的“函数”． 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时， ， 解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 当一次函数图象过，时， ， 解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：或（答案不唯一）． （2）解：当点时，代入中得：， 解得， ， 把代入得， 点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数是正方形的“函数”． 8．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”． (1)求函数的“等距点”； (2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”， ①点的坐标为 ； ②点的坐标是，连接，求的面积； (3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②6 (3)4 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，涉及到反比例函数和一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）①由，即可求解；②由的面积，即可求解； （3）由题意得，“等距点”所在的函数表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：或，则且或且，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，“等距点”所在的函数表达式为：， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， 解得：， ∴， 即函数的“等距点”为； （2）解：①将点的坐标代入函数表达式得：， 则函数的表达式为：，与直线有交点， 则，即， 解得：， ∵时， 则点， 故答案为：； ②根据函数的对称性， 则的面积； （3）解：由题意得“等距点”所在的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：或， 则或， 解得：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $