专题09 实数与二次根式 11大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题09 实数与二次根式 11大高频考点概览 考点01 无理数 考点02 平方根与立方根 考点03 无理数与数轴 考点04 无理数的估算 考点05 二次根式有意义 考点06 最简二次根式 考点07 二次根式的运算 考点08 二次根式的非负性与化简 考点09 二次根式的化简求值 考点10 分母有理化 考点11 新定义与探究问题 地 城 考点01 无理数 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)下列各数中：，0，，，，，0.101001中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，0，，，，，0.101001中，是无理数的有：，，，共3个； 故选B． 2．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)下列实数是无理数的是（    ） A． B．π C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，“无限不循环小数叫做无理数”．根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：是整数，不是无理数；是有限小数，不是无理数；是分数，不是无理数； π是无理数， 故选：B． 3．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)在（相邻两个8之间6的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：无理数有（相邻两个8之间6的个数逐次加1）共3个， 故选：B． 4．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)下列实数：，其中无理数为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义和算术平方根，无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．(24-25八上·辽宁本溪·期末)下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无限不循环小数叫无理数是解题的关键． 根据无理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A． 是无理数，符合题意；     B． 是有理数，不符合题意；     C． 是有理数，不符合题意；     D． 是有理数，不符合题意． 故选A． 6．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D．3.14 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像…，等有这样规律的数．根据无理数的定义得出即可． 【详解】解：是整数，是分数，3.14是小数，他们都是有理数， 是无理数，故选项A符合题意； 故选：A． 7．(24-25八上·辽宁锦州·期末)下列各数是无理数的是（   ） A． B．2 C． D．0.2 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记无理数的定义进行解题．无限不循环小数为无理数． 根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意； B．2是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：C． 8．(24-25八上·辽宁丹东·期末)在实数，，，中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，熟练掌握无理数的定义是解答本题的关键．根据无理数的定义解答即可，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如 （0的个数一次多一个） 【详解】有理数有：，，； 无理数有： 故选：D 9．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)下列各实数中，不是无理数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，根据无理数定义解答是解题的关键．据此判断每个选项即可． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、是无理数，不符合题意； C、是无理数，不符合题意； D、是整数，为有理数，符合题意． 故选：D． 10．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)下列数中是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，有规律但是不循环的数，含的数；据此逐个判断即可． 【详解】解：A、0是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：C． 11．(24-25八上·辽宁实验中学·期末)下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：，，0是有理数； 是无理数． 故选：B． 12．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)在下列实数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数， 故选：D． 地 城 考点02 平方根与立方根 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根．根据平方根及算术平方根的意义，逐一判断即可得． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、没有意义，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和平方根，正确理解题意是解题的关键． 先求出，再求9的平方根即可． 【详解】解：， 则9的平方根为， 故选：D． 3．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：选项A正确； 选项B中，，故选项B错误； 选项C中，故选项C错误； 选项D中，，故选项D错误. 故选A. 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 4．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根，依次计算出各选项的结果即可． 【详解】A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C． 5．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 6．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)下列等式一定正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质和算术平方根的定义逐项化简即可得出答案． 【详解】A．，故该选项错误，不符合题意． B．，故该选项错误，不符合题意． C．，故该选项正确，符合题意． D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质和算术平方根的定义，正确的化简各数是解题的关键． 7．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，绝对值．根据二次根式的性质和绝对值依次进行计算即可得． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 8．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 9．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根．根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：的平方根为； 故答案为：． 10．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是， 答案为： 11．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)一个正数的两个平方根分别是和，则该正数值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． ∴该正数值为． 故答案为：16 12．(24-25八上·辽宁锦州·期末)64的算术平方根是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了对算术平方根定义的应用，根据算术平方根的定义，求出即可． 【详解】64的算术平方根是8． 故答案为：8． 13．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据定义求即可． 【详解】 的平方根即为的平方根 的平方根 的平方根是 故答案为：． 14．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)一个正数的两个平方根分别是3与，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质； 根据一个正数的两个平方根互为相反数求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是3与， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)立方根等于本身的数是 ． 【答案】，0，1 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：，，． 故答案为：，0，1． 【点睛】本题考查有理数的乘方，立方根的定义，属于基础题，掌握立方根的定义是解题的关键． 16．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)计算：= ． 【答案】﹣2 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 地 城 考点03 无理数与数轴 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)如图，数轴上A，B两点所对应的实数分别是，1．若线段，则点C所表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点C表示的数为m，根据数轴上A，B两点所对应的实数分别是，1，则，．根据线段，得，计算即可． 本题考查了数轴上的点表示数，两点间的距离，解方程，熟练掌握解方程，两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为m，根据数轴上A，B两点所对应的实数分别是，1，则，．根据线段，得， 解得． 故选：C． 2．(24-25八上·辽宁实验中学·期末)如图，在中，，点B，C在数轴上对应的数分别是0，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键．先利用勾股定理求得，进而根据数轴可求得． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点B对应的数是0， ∴与点D对应的数为， 故选：D． 3．(24-25八上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期末)在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，先根据已知条件可以确定线段的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设点C所表示的数为x，列出方程即可解决． 【详解】解：设点C所表示的数为x， ∵数轴上A、B两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点是点C， ∴， 根据题意， ∴， 解得． 故选：D． 4．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期末)如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（   ） A．0.8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 故选：D． 二、填空题 5．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先用夹逼法估算，再根据点M，N表示两个连续整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵点M，N表示两个连续整数， ∴点N表示的数是4， 故答案为：4． 6．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)如图所示，数轴上A、B两点所表示的数是，0，与数轴垂直，且，连结，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意易得，然后根据勾股定理可得的长，进而问题可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D， ∴， ∴点D表示的数是：． 故答案为：． 7．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是1和2．过点作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，，再由勾股定理求出，则，然后求出，即可得出结论． 【详解】解：点和分别对应的实数是1和2， ，， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， 即点对应的实数是， 故答案为：． 地 城 考点04 无理数的估算 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案． 【详解】解：4＜5＜9， ∴2＜＜3， ∴1＜1＜2， ∴＜＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 2．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)在下列四个数中，最大的实数是（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握如何估算无理数大小是解题的关键． 先估算的大小，然后根据正数大于0，0大于负数，比较各个选项中的这4个数的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这4个数中最大的是． ∴A、C、D选项均不符合题意，B选项符合题意． 故选：B． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)的整数部分是，小数部分是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ 故选A． 4．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)若x＝﹣4，则x的取值范围是(　　) A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【答案】A 【分析】根据36＜37＜49，则有6＜＜7，即可得到x的取值范围． 【详解】∵36＜37＜49， ∴6＜＜7， ∴2＜﹣4＜3， 故x的取值范围是2＜x＜3． 故选A． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 5．(24-25八上·辽宁丹东·期末)下列四个实数中，最小的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用实数大小的比较方法，按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是 故选：B 6．(24-25八上·辽宁本溪·期末)若、是连续的两个整数，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的大小，确定出a和b的值，然后计算的值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵、是连续的两个整数， ∴，， ∴， 故选：D． 7．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)估算的值在( ) A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】由可知56，即可解出． 【详解】∵， ∴56， 故选C． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键． 二、填空题 8．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是找出，，解此类题型时，根据无理数的大致范围找出代数式的整数和小数部分是关键. 首先得出a，b的值，进而代入原式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， 故答案为： 9．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)用“”，“”或“”填空： 1． 【答案】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，无理数的估算，根据无理数的估算得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)设为正整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 11．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 【答案】． 【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可. 【详解】∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，b=﹣3， ∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=． 故答案为． 【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键. 三、解答题 12．(24-25八上·辽宁本溪·期末)解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下： 面积为110的正方形的边长是 设，其中， 画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为 ， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． (1)求的整数部分； (2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，据此即可解答． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为3． （2）解：根据题意画出示意图，标注数据如下： 面积为13.8的正方形的边长是，且， 设，其中， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． 13．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． (1)填空：的整数部分的值为　　； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)12.54 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； （2）解：如图，图中正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得， 解得， ∴． 地 城 考点05 二次根式有意义 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再逐个判断即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，必须， 解得：， ∵，，，， ∴只有选项A符合题意，选项B、选项C、选项D都不符合题意， 故选：A． 2．(24-25八上·辽宁大连甘井子区·期末)若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：A． 3．(24-25八上·辽宁大连甘井子区第七十六中学·期末)当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 4．(24-25八上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的意义“二次根式中被开方数是非负数”．根据被开方数即可求解． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 5．(24-25八上·辽宁阜新阜新蒙古族自治县·期末)如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【详解】解：如果二次根式有意义，那么， 解得， 故选：C． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)使二次根式有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴≥0，即≤， 故答案为：≤ 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0． 7．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键． 【详解】解：∵使代数式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 8．(24-25八上·辽宁大连金普新区·期末)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 9．(24-25八上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且，． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件．根据被开方数为非负数，分式的分母不能为0，零指数幂的底数不能为0解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵有意义， ∴，，， ∴且，． 故答案为：且，． 10．(24-25八上·辽宁鞍山·期末)使在实数范围内有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：， 即在实数范围内有意义的的取值范围是． 故答案为：． 地 城 考点06 最简二次根式 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁大连金普新区·期末)下面各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足以上条件的二次根式是最简二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、，不是最简二次根式，该选项不合题意． 故选：． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)下列各数，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故A不符合题意； B．是最简二次根式，故B不符合题意；     C．是最简二次根式，故C不符合题意；     D．，故不是最简二次根式，故D符合题意； 故选：D． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，最简二次根式的判定，理解最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简，分母有理化的计算，根据最简二次的概念“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数中不含分母”进行判定即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B ． 4．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，最简二次根式的判定，理解最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行判定即可求解． 【详解】解：，不是最简二次根式，不符合题意； B，是最简二次根式，符合题意； C，，不是最简二次根式，不符合题意； D，，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列命题是假命题的是（  ） A．是最简二次根式 B．若点在直线，则 C．三角形的外角一定大于它的内角 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】对每个选项进行判断后找到不正确的命题即为假命题． 【详解】解：是最简二次根式，则选项A正确，故不是假命题； 由知，随的增大而减小，，∴，则选项B正确，故不是假命题； 任意三角形的外角一定大于和它不相邻的任意一个内角， 则选项C不正确，故是假命题； 同旁内角互补，两直线平行，则选项D正确，故不是假命题． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是命题与定理的知识，正确的掌握这些知识点是解题的关键． 6．(24-25八上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数的因数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母或小数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意； B、不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．(24-25八上·辽宁大连瓦房店·期末)下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握和运用最简二次根式的定义是解决本题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．逐一分析选项即可确定答案． 【详解】A．是三次根式，不属于二次根式，故本选项不符合题意； B．，被开方数可写为，被开方数，需中含有分母，有理化为，故不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，被开方数是质数，无平方因数，无法再化简，符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； D．，，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．(24-25八上·辽宁抚顺望花区·期末)下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号． 【详解】解：选项A：．被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式． 选项B：．被开方数，不含完全平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式的条件． 选项C：．被开方数为分数，分母含根号，化简后为，故不是最简二次根式． 选项D：．被开方数，分母含根号，化简后为，故不是最简二次根式． 综上，只有选项B满足条件． 故选：B． 地 城 考点07 二次根式的运算 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根、立方根、合并同类二次根式，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 利用算术平方根、立方根、合并同类二次根式等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 2．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和乘法法则． 根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质、立方根的定义、同类二次根式，分别判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； D．∵不是同类二次根式，不能合并， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可． 【详解】A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算．根据二次根式的性质以及二次根式运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、3与不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 5．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、不能合并，选项错误； 故选C． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁大连甘井子区·期末)计算： ． 【答案】0.3/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质和，计算即可得到结果。 【详解】解： ， ， ， 故答案为： 三、解答题 7．(24-25八上·辽宁丹东·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据立方根定义，二次根式性质，二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据分母有理化法则，二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．(24-25八上·辽宁大连甘井子区·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再进行加减运算，即可作答． （2）先运算乘除，再根据二次根式的性质进行化简，再进行加减运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)计算： (1)； (2) ； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、零指数幂等知识，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）首先根据二次根式的化简法则将各数进行化简，然后进行二次根式的加减法计算法则进行计算； （2）根据二次根式的化简法则、0次幂的计算法则和去绝对值法则将各数进行化简，最后根据加减法计算； （3）分别根据完全平方公式，平方差公式计算，最后根据加减法计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 10．(24-25八上·辽宁锦州·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式进行计算，再进行除法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先算乘除，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）利用多项式乘以多项式的法则展开再进行加减法即可； （2）先计算括号内的减法，再计算除法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： （2） 13．(24-25八上·辽宁大连甘井子区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算和平方差公式等知识点，先利用平方差公式，二次根式的乘除法则计算，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】 ． 14．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)计算： (1)； (2) (3)解方程组： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）由二次根式的性质和乘法运算进行化简，然后再计算加减运算即可； （2）先完全平方公式和平方差公式计算，在算加减即可； （3）整理方程组然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：解方程组 原方程组变形得 得， ， 将代入①得， 该方程组的解为. 15．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则及解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质、乘方的意义、二次根式的乘法法则、绝对值的性质化简，再算加减即可； （2）先整理方程组为，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：方程组整理为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 则方程组的解为． 16．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程组的求解． （1）根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． （2）根据代入消元法即可求出答案． 【详解】解：（1） ； （2） 由②得：③， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， ∴方程组的解为：． 地 城 考点08 二次根式的非负性与化简 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如果，那么的值是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【分析】本题考查的是偶次方的非负性，算术平方根的非负性，乘方的运算，根据两个非负数相加得0，则每个加数均为0，得到，，求出x，y值，代入结论即可求解． 【详解】解：根据题意：，， 解得：， 则， 解得：， ∴． 故选：D． 2．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到，则，再根据若两个实数a、b满足，那么a就叫做b的平方根进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故选：B． 3．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)函数，则的值为（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x，y的值，再代入中即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故x=2， ∴y=2， ∴ 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是得出x，y的值． 4．(24-25八上·辽宁抚顺望花区·期末)实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 5．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)实数a，b的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根，先根据数轴推出，再化简绝对值和计算算术平方根后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据平方根的定义解答． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， ∴， ∴， ∵20的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 7．(23-24八上·辽宁朝阳建平县·期末)已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简： ． 【答案】a 【分析】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，立方根定义，解题关键在于确定a，，，的符号，然后根据二次根式的性质分别去掉根号和绝对值符号． 利用数轴得出，，，，进而化简各式得出答案． 【详解】解：由题中数轴可知，，，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点09 二次根式的化简求值 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁鞍山海城协作体·期末)计算： (1)； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算二次根式的乘除，再合并同类二次根式即可； （2）求出的值，将代数式变形后，整体代入法进行求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 2．(24-25八上·辽宁葫芦岛连山区·期末)计算 (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简及混合运算，平方差公式，求代数式的值，掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则是解题的关键． （1）先把各个二次根式进行化简，再进行二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式即可； （2）先算出的值，再利用平方差公式算出的值，最后用完全平方公式把即可求解． 【详解】（1）解： （2） ， ． 3．(24-25八上·辽宁阜新阜新蒙古族自治县·期末)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键． 地 城 考点10 分母有理化 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)______． (2)（n为正整数）=______． (3)化简：______． (4)化简下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)9 (4) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）利用分母有理数，进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ； （4） ． 2．(23-24八上·辽宁辽阳·期末)数学活动课上，同学们以“分母有理化”为主题开展探究活动． 【发现问题】在进行二次根式的化简时，有时会碰上如这样的式子，其分母中含有无理数． 【提出问题】在进行二次根式的化简时，分母中含有无理数如何化简． 【分析问题】同学们认为要想把分母中的无理数去掉，可根据所学公式和来解决． 【解决问题】一部分同学认为可以如下方法化简： ． 另一部分同学认为还可以如下方法化简： ． 以上这两种化简的步骤叫做分母有理化． (1)选择合适的方法化简：（n为正整数）； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用第一种方法即可求解； （）把提出来，利用第一种方法分母有理化，再进行运算即可求解； 本题考查了分母有理化，二次根式的加法运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ， ， ， ． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期末)阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 4．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期末)阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)①比较大小： （填，或） ②已知，，则的值为 ； (2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 【答案】(1)①；②62 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法． （1）①根据题意得出，然后比较与的大小即可； ②先算出，，再将变形后代入求解即可． （2）先分母有理化，再移项变形得到，接着根据有理数和无理数的性质得到，然后解方程组即可． （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． ②∵，， ∴， ， 则． （2）解：∵， ， 即， ， 解得：． （3）解： ． 地 城 考点11 新定义与探究问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)定义一种新的运算：对于任意实数，有，则)的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 二、填空题 2．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为．例如：，所以的“雅区间”为，无理数的“雅区间”是 ； 【答案】 【分析】本题考估算无理数的大小，不等式的性质，根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间” 【详解】解：∵ ∴， ∴的“雅区间”是， 故答案为： 三、解答题 3．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】(1)证明见解析，最大算术平方根是12 (2)a的值为81 【分析】本题主要考查了新定义问题，算术平方根， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），分三种情况讨论得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2、18、8这个三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，，得：（舍去）； ②当时，，得：（舍去）； ③当时，，得：． 综上所述，a的值为81． 4．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)【阅读材料】 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，且，则． 并给出了证明：和为相邻的两个整数，， ， ， ， 请利用小明的结论和方法解决以下问题： (1)若和为两个相邻整数，求a的值； (2)若和为相差4的两个整数，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，等式的性质，完全平方公式，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并正确应用是解题的关键． （1）结论列式解答即可； （2）利用材料的解答方法解答即可． 【详解】（1）解：∵和为两个相邻整数， ∴由材料的结论可知：， ∴， ∴； （2）解：∵和为相差4的两个整数， ∴， 等式两边同时平方得：， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09实数与二次根式 ☆1大高频考点概览 考点01无理数 考点02平方根与立方根 考点03无理数与数轴 考点04无理数的估算 考点05二次根式有意义 考点06最简二次根式 考点07二次根式的运算 考点08二次根式的非负性与化简 考点09二次根式的化简求值 考点10分母有理化 考点11新定义与探究问题 考点01 无理数 一、单选题 1.(24-25八上辽宁铁岭期末)下列各数中： 22 0，子8.-27 3 0.101001中，无理数有 41 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(24-25八上辽宁沈阳皇姑区·期末)下列实数是无理数的是() A.-2025 B.π C.3.14159 D. 1 2025 3.(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)在2T 号，-8，-27,3.143.8686866-（相邻两个8之间6的 2 个数逐次加1)中，无理数的个数是()个 A.2 B.3 C.4 D.5 2425八上辽宁沈阳和平区期末下列实数：，0,3,16，其中无理数为 1/16 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A. B.0 3 e D.16 5.(24-25八上·辽宁本溪·期末)下列各数是无理数的是() A.π B.3.14 C.2.5 . 0 6.(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列实数中是无理数的是() A.2 B.-8 c.7 D.3.14 7.(24-25八上·辽宁锦州期末)下列各数是无理数的是() x日 B.2 C.V2 D.0.2 8.(24-25八上辽宁丹东期末)在实数0.3,27，-2,5中，是无理数的是() A.0.3 B.27 C.-2 D.V5 9.(24-25八上·辽宁沈阳期末)下列各实数中，不是无理数的是(). A.V21 B.π C.0.101001… D.V9 10.(2425八上·辽宁沈阳浑南区·期末)下列数中是无理数的是() A.0 B. 1 C.3 D.3-125 11.(24-25八上辽宁实验中学期末)下列各数中，是无理数的是() A.2.5 B.10 C.1 D.0 6 12.(24-25八上·辽宁阜新太平区期末)在下列实数中，属于无理数的是（) 22 π A.0 B. > C.V9 D.2 考点02 平方根与立方根 一、单选题 1.(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)下列式子中，正确的是() A.V36=±6B.-36=-6 C.V36=6 D.±36=6 2.(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)只81的平方根是() A.9 B.9和-9 C.3 D.3和-3 3.(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)下列式子中，正确的是() 2/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.±5=5 B.-57=±5 c.(-V5)2=25 D.-（-V252=25 4.(24-25八上·辽宁丹东凤城期末)下列各式中，计算正确的是() A.-32=-3B.V25=±5 C.-23=-2 D.-22=-2 5.(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为() A.-10 B.10 C.10 D.1000 6.(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学期末)下列等式一定正确的是（) A.9=3B.--27=2C.5=5 D.(-3=-3 7.(24-25八上·辽宁辽阳·期末)下列等式一定成立的是() A.--22=2 B.3-2=3-2 C.16=±4 D.V25-16=1 8.(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列计算正确的是() A.-22=-2B.16=±4 c.23=22 D.V6.4=0.8 二、填空题 A 9.(24-25八上辽宁辽阳：期末)的平方根是一 10.(24-25八上辽宁沈阳沈河区·期末)-16的算术平方根是一· 11.(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学期末)一个正数的两个平方根分别是3m+2和2-m,则该正数值为 12.(24-25八上·辽宁锦州期末)64的算术平方根是一 13.(24-25八上辽宁丹东凤城期末)只81的平方根是. 14.(24-25八上辽宁沈阳于洪区·期末)一个正数的两个平方根分别是3与a+2,则a的值为 15.(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)立方根等于本身的数是一 16.(24-25八上辽宁沈阳期末)计算：-8=-· 3/16 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点03 无理数与数轴 一、单选题 1.(24-25八上辽宁阜新太平区·期末)如图，数轴上A,B两点所对应的实数分别是-π，1.若线段 CB=2AB,则点C所表示的实数是() C B 01→ A.π+1 B.-2π C.-2π-1 D.-2π-2 2.(24-25八上·辽宁实验中学·期末)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=1,点B,C在数轴上对应的数分 别是0，AB长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D,则与点D对应的数为() -2D-1 0(B)1 A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.(24-25八上·辽宁本溪第十二中学教育集团期末)在数轴上，点A表示的数为-3，点B表示的数为5， 点B关于点A的对称点为C,则C所表示的数为() A.V5-3 B.5-4 C.-5-4 D.-5-6 4.(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期末)如图，点B,C在数轴上表示的数分别是2,11，点A在数 轴上，且AB=BC,则点A表示的数是() B -3-2-10 1 3745→ A.0.8 B.11-3 C.11-2 D.4-11 二、填空题 5.(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，数轴上点M,N表示两个连续整数，点A表示的数是13，则 点N表示的数是· MAN→ 6.(24-25八上·辽宁铁岭期末)如图所示，数轴上A、B两点所表示的数是-2,0，BC与数轴垂直，且 BC=1,连结AC,以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D,则点D所表示的数为一 4/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -3-2-1 12 7.(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是1和2.过点A 作射线AD⊥OA,以点O为圆心，OB长为半径画弧，交AD于点C;以点A为圆心，AC长为半径画弧， 交数轴的正半轴于点E,则点E对应的实数是 D B 目目 考点04 无理数的估算 一、单选题 1.(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的 距离与头顶到下巴的距离之比约为5-1， 2 下列估算正确的是() 40s6子51c51v.611 2 522 22 2 2.(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)在下列四个数中，最大的实数是（) A.-3 B.2 D.0 5/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.24-25八上辽宁沈阳第一八四中学·期末910 的整数部分是X小数部分是y则yx+10的值是 () A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)若x=37-4,则x的取值范围是( A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 5.(24-25八上辽宁丹东·期末)下列四个实数中，最小的是() A.-3 B.-5 c. D.0 6.(24-25八上·辽宁本溪·期末)若a、b是连续的两个整数，且a<10<b,则a+b的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 7.(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)估算30的值在() A.3和4之间B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 二、填空题 8.(4-25八上辽宁沈阳沈河区期末)已知6+1的整数部分为a,小数部分为，则a+2b 的值是· 2a 9.(24-25八上辽宁沈阳和平区期末)用“乙”，“(”或“元”填空： 5 2 1 10.(24-25八上辽宁丹东风城期末)设n为正整数，且n<53<n+1,则n的值为 11.(24-25八上·辽宁沈阳期末)已知a,b分别是13的整数部分和小数部分，则2a-b的值为 三、解答题 12.(24-25八上·辽宁本溪·期末)解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究110的近 似值的过程如下： .V100<110<121 ∴.10<110<11 ,:面积为110的正方形的边长是110 ∴.设110=10+x,其中0<x<1, 画出示意图，如图所示.根据示意图，可得图中正方形的面积为 S正方形ABcD=10+2×10x+x2, 6/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 又：S正方形ABCD=110, .10+2×10x+x2=110, 当0<x<1时，可忽略x2,得100+20X≈110，解得X≈0.5， ∴.110≈10.5： 10 Hx D 10 100 10x 10 E F 10x x2 B 10 GxC (1)求V13.8的整数部分： (2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求13.8的近似值（结果保留1位小数），（要求：画出示意图，标 注数据，并写出求解过程) 13.(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)小李同学探索86的近似值的过程如下： .面积为86的正方形的边长是86，且9<86<10， ∴.设V86=9+x,其中0<x<1,画出示意图，如图所示. 根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形=81+2×9x+x2, 又.S正方形=86，.81+2×9x+x2=86 当x2<1时，可忽略x2,得81+18x≈86，解得x≈0.28，∴.V86≈9.28. 9 81 9x 9x x2 (1)填空：V157的整数部分的值为 (2)仿照上述方法，探究157的近似值（结果精确到0.01） (答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程) 考点05 二次根式有意义 一、单选题 1.(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)若二次根式2-x有意义，则x的值不可以是（) 7/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.3 B.2 C.1 D.0 2.(24-25八上·辽宁大连甘井子区·期末)若a-5在实数范围内有意义，则a的取值范围是() A.a≥5 B.a≤5 C.a>5 D.a≠5 3.(24-25八上·辽宁大连甘井子区第七十六中学·期末)当a是怎样的实数时，2a+3在实数范围内有意义 () A.as-3 B.a×-3 2 C.a≥-3 3 D.a≥ 2 4.(24-25八上·辽宁大连甘井子区博伦中学期末)若二次根式x+3有意义，则x的取值范围是() A.X>-3 B.x≥-3 C.X←3 D.X≤-3 5.(24-25八上·辽宁阜新阜新蒙古族自治县·期末)如果二次根式2x+8有意义，那么x应满足的条件是 () A.X≥0 B.X≥-2 C.X≥-4 D.X←4 二、填空题 6.(24-25八上·辽宁铁岭·期末)使二次根式V1-3x有意义的x的取值范围是一、 7.24-25八上辽宁阜新太平区期未要使代数式8X+1有意义，则x的取值范周是一 3 8.(24-25八上辽宁大连金普新区·期末)若式子Vx-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是一· 9.(24-25八上辽宁灯塔五里镇里仁中学期末)若式子2x+ +x有意义，则x的取值范围是· X-4 1 10.(24-25八上·辽宁鞍山期末)使 x-5 在实数范围内有意义的x的取值范围是一· 考点06 最简二次根式 一、单选题 1.(24-25八上·辽宁大连金普新区·期末)下面各式中，是最简二次根式的是() B.0.5 C.2 D.45 2.(24-25八上·辽宁沈阳期末)下列各数，不是最简二次根式的是() A.3 B.V15 C.2V6 D. 8 2 3.(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)下列属于最简二次根式的是() 8/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.8 B.5 C.4 D. 4.(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)下列属于最简二次根式的是() A.8 B.95 C.4 5.(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列命题是假命题的是() A.21是最简二次根式 B.若点A(-1,a),B(2,b)在直线y=-2x+1,则a>b C.三角形的外角一定大于它的内角 D.同旁内角互补，两直线平行 6.(24-25八上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)下列式子中，属于最简二次根式的是() A.7 c.0.3 D.V12 7.(24-25八上辽宁大连瓦房店·期末)下列各式是最简二次根式的是() A.9 B.0.2 c.5 D.V18 8.(24-25八上·辽宁抚顺望花区·期末)下列二次根式是最简二次根式的是() A.12 B.V15 C.2 D.V0.3 考点07 二次根式的运算 一、单选题 1.(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)下列运算中，正确的是() A.3V3+23=5V6 B.V(-52=-5 C.V9=±3 D.-64=-4 2.(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)下列计算正确的是() A.2×3=V6 B.-62=-6 C.-43=4 D.V5-V3=V2 3.(24-25八上·辽宁铁岭·期末)下列计算正确的是() A.(-52=±5B.35-5=2V5C.(-52=-5D.V8÷2=4 9/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)下列各式中，运算正确的是() A.-27=-2 B.33-3=3 C.3+V2=3V2 D.V27:3=3 5.(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)下列计算正确的是() A.232=6B.-37=±3C.3×2=6 D.5-3=2 二、填空题 6.(24-25八上辽宁大连甘井子区期末)计算：102+-V0.22=元_ 三、解答题 7.(24-25八上辽宁丹东·期末)计算： 08×3月2 20+85-920. ( V5 8.(24-25八上·辽宁大连甘井子区·期末)计算： (1)9V12+20+V3-V5 (2)V3×V27+5V6-80+40÷5 9.(24-25八上辽宁阜新太平区·期末)计算： (1)V24+36-3×127: (2)/(-2}+(π-2024)°-dc-5-2V: (3)(V3-12-(2+3)(2-3). 10.24-25八上辽宁锦州期末)计算： 0时西-2+份 10/16