第一章二次函数 专项培优习题课件 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

第1章 二次函数 专题1 求二次函数表达式的类型 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－2x＋8与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上． (1)抛物线的函数表达式为______________； y＝－x2＋2x＋8 2 返回 2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，y和x的取值如下表所示： x … －1 0 2 4 5 … y … n －2 m －2 p … 7 (1)若n＝－7，求二次函数的表达式； 8 (2)用含a的代数式表示m； 9 (3)若nmp≤0，求a的取值范围． 返回 10 3．[2025北京理工大附中模拟]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(3，0)，当x＝1时，函数的最小值为－4. (1)求该二次函数的表达式； 11 【解】∵当x＝1时，函数的最小值为－4， ∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标为 (1，－4)． ∴二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4. ∵该二次函数的图象过点(3，0)，∴0＝(3－1)2a－4. ∴a＝1.∴二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4， 即y＝x2－2x－3. (2)直线x＝m与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和直线y＝x－3的交点分别为点C，点D. ①当m＝－1时，CD＝________； 4 13 ②结合函数的图象，当CD≥4时，m的取值范围为____________． m≤－1或m≥4 15 16 返回 17 4．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点． 18 (1)求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； 【解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，∴y＝a(x－1)(x＋3)＝ax2＋2ax－3a. ∴－3a＝3.∴a＝－1. ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴顶点坐标为(－1，4)． 19 (2)连接PB，PO，PC，BC，OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，求点D的坐标． 【解】如图，过点D作DM⊥y轴于点M.在y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∴OC＝3.∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，∴CD∶BD＝1∶2.易知DM∥BO，∴CD∶BD＝CM∶OM＝1∶2.∴OM＝2. 20 返回 5．如图，抛物线L：y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，D为抛物线L的顶点． 22 (1)求抛物线L的表达式； 23 返回 6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c分别交x轴于A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C(0，－3)． 28 (1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标； 【解】由题意可得抛物线的表达式为 y＝a(x＋1)(x－3)，将点C(0，－3)的坐标代入，得a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝(x＋1)(x－3)＝ x2－2x－3＝(x－1)2－4. ∴顶点P的坐标为(1，－4)． 29 (2)将该抛物线绕点(4，0)旋转180°，求旋转后的抛物线的表达式． 30 返回 ∵旋转前后图象的形状不变，开口方向相反， ∴易得旋转后的抛物线的表达式为y＝－(x－7)2＋4. 32 (1)AC的长为________． 7 33 (2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 【解】 x＝6. 返回 【点拨】对于y＝－2x＋8，令x＝0，得y＝8；令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(4，0)．将A，B两点的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋8. (2)点C是直线AB上方抛物线上的一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D，E.当DE＝AB时，求点C的坐标． 【解】∵点C是直线AB上方抛物线上的一点，CD∥x轴，CE∥y轴，∴易得△AOB∽△ECD.∴＝. ∵B(4，0)，∴OB＝4.∵DE＝AB，∴CD＝OB＝. 设点C的坐标为(m，－m2＋2m＋8)(0<m<4)，则易得点D的坐标为， ∴CD＝m－＝－m2＋2m. ∴－m2＋2m＝，解得m＝1或3. ∴当m＝1时，－m2＋2m＋8＝9； 当m＝3时，－m2＋2m＋8＝5. ∴点C的坐标为(1，9)或(3，5)． 【解】由题意得解得 ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－2. 【解】∵当x＝0时，y＝－2；当x＝4时，y＝－2. ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，y＝ax2＋bx－2. ∴－＝2.∴b＝－4a.∴y＝ax2－4ax－2.又∵抛物线过点(2，m)，∴m＝4a－8a－2＝－4a－2. 【解】∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴(－1，n)，(5，p)关于直线x＝2对称．∴n＝p.∴np＝n2≥0. ∵nmp≤0，∴m≤0.∴－4a－2≤0.∴a≥－. 又∵a≠0，∴a≥－且a≠0. 【点拨】当m＝－1时，解方程组得∴点C的坐标为(－1，0)．解方程组得∴点D的坐标为(－1，－4)． ∴CD＝4. 【点拨】由①可知，当m＝－1时，如图①，CD＝4. 由图象可得，当m≤－1时，CD≥4；当－1＜m≤3时，CD＜4.当m＞3时，如图②，解方程组 得 ∴点C的坐标为(m，m2－2m－3)． 解方程组得 ∴点D的坐标为(m，m－3)．∴CD＝(m2－2m－3)－(m－3)＝m2－3m.当CD＝4时，m2－3m＝4，解得m1＝4，m2＝－1(不合题意，舍去)．∴由图象可得，当m≥4时，CD≥4.综上所述，当CD≥4时，m的取值范围是m≤－1或m≥4. 设直线BC的表达式为y＝kx＋m，将点B(－3，0)，C(0，3)的坐标分别代入，可得 解得 ∴直线BC的表达式为y＝x＋3. 在y＝x＋3中，当y＝2时，x＝－1， ∴点D的坐标为(－1，2)． 【解】把点A(－2，0)，C(0，3)的坐标分别代入 y＝ax2＋x＋c中，得 解得 ∴抛物线L的表达式为y＝－x2＋x＋3. (2)将抛物线L向右平移，平移后所得的抛物线L′与x轴交于点A′，B′，交y轴于点C′，顶点为D′.若S△A′B′C′＝S△ABD′，求抛物线L′的表达式． 【解】∵抛物线L的表达式为y＝－x2＋x＋3＝－(x－2)2＋4，∴D(2，4)，抛物线L的对称轴为直线x＝2. 又∵A(－2，0)，∴B(6，0)．∴AB＝8.设抛物线L向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线L′，∴D′(2＋m，4)，A′B′＝8. ∴抛物线L′的表达式为y＝－(x－2－m)2＋4. 在y＝－(x－2－m)2＋4中，令x＝0，则y＝－×(0－2－m)2＋4＝－(m＋2)2＋4＝－m2－m＋3， ∴C′. ∵S△A′B′C′＝S△ABD′，∴A′B′·|yC′|＝×AB·|yD′|. ∴×8＝××8×4.∴＝. ∴－m2－m＋3＝或－m2－m＋3＝－. ∴m2＋4m－5＝0或m2＋4m－19＝0，解得m＝1或m＝－5(舍去)或m＝－2＋或m＝－2－(舍去)．∴抛物线L′的表达式为y＝－(x－3)2＋4或y＝－(x－)2＋4. 【解】设旋转后抛物线的顶点为Q(m，n)． 根据题意得点P(1，－4)和Q(m，n)关于点(4，0)成中心对称，∴＝4，＝0，解得m＝7，n＝4. ∴点Q的坐标为(7，4)． 7． [2025吉林]如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°.动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动．点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B 始终在边AC同侧．设点P的运 动时间为x(s)(x>0)，正方形APDE 与△ABC重叠部分图形的面积为y. 【解】当D在线段AB上运动时， y＝AP·DP＝x2(0<x≤3)， 当D在线段AB的延长线上运动时，如图． 过点B作BH⊥AC于点H，DP交BC于点F，则易得AP＝x，CH＝4，AH＝BH＝3，∴CP＝7－x，PH＝x－3. 易得△CFP∽△CBH，∴＝.∴＝， 解得FP＝， ∴y＝S△ABH＋S梯形HPFB＝×32＋×(x－3)＝－(x－7)2＋10.5(3<x≤7)．∴y＝ $ 第1章 二次函数 专题2 二次函数的图象与系数的关系 返回 A 2 2．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＜”“＝”或“＞”) ＝ 返回 < > 3 返回 A 4 4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴交于(－1，0)，(x1，0)，其中2<x1<3.结合图象给出下列结论： ①ab>0；②a－b＝－2； ③当x>1时，y随x的增大而减小； 5 【答案】C 返回 3 9 返回 返回 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　　) A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 B 11 B 返回 12 8．[2025安徽]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则(　　) A．abc<0 B．2a＋b<0 C．2b－c<0 D．a－b＋c<0 13 返回 当x＝－1时，y＝a－b＋c>0，选项D错误．当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝0，∵a－b＋c>0，∴4a－4b＋4c>0.∴(4a＋2b＋c)－(4a－4b＋4c)<0.∴2b－c<0，选项C正确．故选C. 【答案】 C 9．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx＋n与抛物线y2＝ax2＋bx－3相交于点A，B.结合图象，判断下列结论：①当－2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的一个根；③若(－1，t1)，(4，t2)是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2＋bx－3，当－2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5. 其中正确结论的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 16 返回 【答案】 B 19 1．在“探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系(如图)中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3)．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 3．已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是(　　) A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2 ④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0)的另一个根是－；⑤b的取值范围为1<b<. 其中正确结论的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【点拨】由题图可知，a<0，－>0，∴b>0.∴ab<0，故结论①错误；∵二次函数y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴交于(－1，0)，∴a－b＋2＝0，即a－b＝－2，故结论②正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴交于(－1，0)，(x1，0)，其中2<x1<3，∴<－<1.又∵抛物线开口向下，∴当x>1时，y随x的增大而减小，故结论③正确； ∵二次函数y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴交于(－1，0)，(x1，0)，∴－1，x1是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根． ∴－1·x1＝.∴x1＝－.∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0)的另一个根是－， 故结论④正确； ∵a－b＋2＝0，∴a＝b－2.∴y＝(b－2)x2＋bx＋2.∵2<x1<3，∴易得解得1<b<，故结论⑤正确．故选C. 5．二次函数y＝(3－m)x2－x＋n＋5的图象如图所示，则＋－|m＋n|的值为________． 【点拨】由题图可知解得∴m－3＜0，m＋n＜－2.∴＋－|m＋n|＝3－m－n＋m＋n＝3. 7．一次函数y＝x＋c(ab≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 【点拨】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向上，∴a>0.∵对称轴为直线x＝－>0，∴<0.又∵a>0，∴b<0.∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴c<0.∴abc>0，选项A错误．由题图易知图象的对称轴在直线x＝1左边，∴－<1.又∵a>0，∴－b<2a.∴2a＋b>0，选项B错误． 【点拨】由题图可知当－2＜x＜3时，直线y1＝mx＋n在抛物线y2＝ax2＋bx－3的上方，∴当－2＜x＜3时，y1＞y2，故①正确．由题图可知抛物线y2＝ax2＋bx－3与x轴交于点(3，0)，∴x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的一个根，故②正确． 将(－2，5)，(3，0)的坐标代入y2＝ax2＋bx－3，得解得∴抛物线对应的表达式为y2＝x2－2x－3.当x＝－1时，y2＝t1＝0，当x＝4时，y2＝t2＝5，∴t1＜t2，故③正确． 易知抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.将x＝1代入抛物线的表达式，得y2＝－4，结合图象知，当－2＜x＜3时，y2的取值范围为－4≤y2＜5，故④错误．故选B. $ 第1章 二次函数 专题4 用二次函数解实际问题的基本类型 1. 如图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱顶部O与水面之间的距离． 2 (2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1 m. ①求出其中一条钢缆所在抛物线的表达式； 4 返回 ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带的最小长度． 6 2． 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长OA＝12 m，宽OB＝4 m． 7 (1)求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离． 8 (2)一辆货车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【解】由题意得货车最外侧与地面OA的交点为(1.8，0)或(10.2，0)，当x＝1.8或x＝10.2时，y＝7.06＞6，∴这辆货车能安全通过． 10 (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 返回 11 3．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积比为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形与墙平行的一边长为x m(如图)． 当x＝________时，矩形养殖场的 总面积最大，最大为________． 12 返回 【点易错】在实际问题中，求二次函数的最值时，不要盲目地认为顶点的纵坐标就是函数的最值．要结合实际意义确定自变量的取值范围，根据二次函数增减性求出该范围内的最值． 16 (1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式． 17 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ 18 19 (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？(注：利润＝销售额－成本) 返回 20 5. 【发现问题】掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 21 【分析问题】明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(m)与竖直高度y(m)的数据如上表，根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． 22 【解决问题】 (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______m，实心球在空中的最大高度是______m. (2)二次函数的表达式为____________________． 2 3.6 y＝－0.1(x－4)2＋3.6 23 (3)根据中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7 m时，即可得满分10分，明明在此次考试中能否得到满分？ 【解】明明在此次考试中能得到满分．理由如下： 把y＝0代入y＝－0.1(x－4)2＋3.6，得－0.1(x－4)2＋ 3.6＝0，解得x1＝10，x2＝－2(不符合题意，舍去)， ∵10 m>9.7 m，∴明明在此次考试中能得到满分． 24 25 返回 【解】根据题意可知点F的坐标为(6，－1.5)， 设桥拱所在抛物线的表达式为y1＝a1x2. 将点F(6，－1.5)的坐标代入y1＝a1x2，得－1.5＝36a1， 解得a1＝－，∴y1＝－x2.当x＝12时，y1＝－× 122＝－6.∴桥拱顶部O与水面之间的距离为6 m. 【解】由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，设其表达式为y2＝a2(x－6)2＋1.将点H(0，4)的坐标代入 y2＝a2(x－6)2＋1，得4＝a2(0－6)2＋1，解得a2＝.∴右边钢缆所在抛物线的表达式为y2＝(x－6)2＋1.易知左边钢缆所在抛物线的表达式为y3＝(x＋6)2＋1.(求出一个即可) 【解】设彩带的长度为L m，则L＝y2－y1＝ (x－6)2＋1－＝x2－x＋4＝(x－4)2＋2. ∵>0，∴当x＝4时，L最小＝2. 答：彩带的最小长度是2 m. 按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且当抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为 m．为安全起见，隧道正中间有宽为0.4 m的隔离带． 【解】根据题意得B(0，4)，C， 把B(0，4)，C的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋4＝－(x－6)2＋10. ∴D(6，10)，∴拱顶D到地面OA的距离为10 m. 【解】令y＝8，则－(x－6)2＋10＝8， 解得x1＝6＋2，x2＝6－2，则x1－x2＝4， ∴两排灯的水平距离最小是4 m. m2 【点拨】根据题意知，较大矩形与墙平行的一边长为 2x m，则与墙垂直的一边长为＝(8－x)m.设矩形养殖场的总面积是y m2.∵墙的长度为10 m， ∴0<3x≤10，即0＜x≤.根据题意，得y＝(x＋2x) (8－x)＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48. ∵－3＜0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为－3×＋48＝.∴当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大为 m2. 4． 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为y1＝5x；成本y2(万元)与销 售量x(吨)的函数图象是如图所示的 抛物线的一部分，其中是其顶点． 【解】由题意，可设抛物线的表达式为y2＝a＋. ∵抛物线过点(2，4)，∴a×＋＝4，解得a＝1. ∴成本y2关于销售量x的函数表达式为y2＝＋. 【解】由题知，当销售量为吨时，成本最低为万元． ∵当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为y1＝5x， ∴当x＝时，销售额y1＝5x＝5×＝2.5. ∴此时利润为2.5－＝0.75(万元)． 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元． 【解】由题意，得利润＝y1－y2＝5x－＝ －x2＋6x－2＝－(x－3)2＋7.∵－1<0， ∴当x＝3时，利润取最大值，最大值为7. 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润， 最大利润是7万元． (4)若抛物线上有点A(0，2)，B(4，3.6)，点C是第一象限内抛物线上的一个动点，使得tan∠BAC＝，请直接写出点C的坐标． 【解】点C的坐标为. 【点拨】如图所示．过点B作BE⊥AC，过点E作ED⊥y轴交y轴于点D，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F.∵tan∠BAC＝，∴＝.∵BE⊥AC，∴∠AED＋∠BEF＝90°. ∵AD⊥DE，∴∠AED＋∠DAE＝90°.∴∠DAE＝∠BEF.又∵∠ADE＝∠F＝90°，∴△BEF∽△EAD.∴＝＝.设E(x，y)，∵A(0，2)，B(4，3.6)，∴BF＝3.6－y，EF＝4－x，DE＝x，AD＝2－y.∴＝＝，解得∴E(3.84，1.68)． 设A(0，2)，E(3.84，1.68)所在直线的表达式为y＝kx＋b，∴ 解得 ∴AE所在直线的表达式为y＝－x＋2.联立得方程组 整理得6x2－53x＝0，解得x＝0(舍去)或x＝，将x＝代入y＝－x＋2＝，∴点C的坐标为. $ 第1章 二次函数 专题3 二次函数与几何图形的综合 1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)． 2 (1)求抛物线和直线BD的表达式； 【解】∵抛物线的顶点坐标为C(1，4)，∴抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4，将点B(3，0)的坐标代入， 得0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1. ∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. 令x＝0，则y＝3，∴点D的坐标为(0，3)． 3 设直线BD的表达式为y＝kx＋3. 将点B(3，0)的坐标代入，得0＝3k＋3，解得k＝－1. ∴直线BD的表达式为y＝－x＋3. 4 (2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值． 5 返回 2. 如图，已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx＋b(k≠0)经过A，C两点． (1)直线AC的表达式为____________． y＝x－3 7 (2)点P为第四象限抛物线上的一个动点，过点P作PF∥y轴交直线AC于点F. ①线段PF的最大长度是多少？ 8 ②点P到直线AC的最大距离是多少？ 9 返回 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，连接AB，AM. 11 (1)求这条抛物线的表达式和顶点M的坐标； 【解】∵抛物线y＝－x2＋bx＋3与y轴交于点B， 令x＝0，得y＝3，∴B(0，3)．∴OB＝3. 又∵OA＝OB，∴OA＝3.∴A(3，0)．把A(3，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋3，得－9＋3b＋3＝0，解得b＝2，∴这条抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点M的坐标为(1，4)． 12 (2)求sin∠BAM的值； 13 (3)如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标． 14 返回 4．如图，顶点坐标为(1，4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，3)，D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接AD交抛物线的对称轴于点E. 16 (1)求抛物线的表达式； 【解】由题意得y＝a(x－1)2＋4， 将点C(0，3)的坐标代入上式，得a＋4＝3，解得a＝－1. ∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. 17 (2)连接AC，CE，当△ACE的周长最小时，求点D的坐标； 【解】如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D′，连接AD′，ED′，则ED′＝CE，D′(2，3)，∴△ACE的周长＝AC＋CE＋AE＝AC＋AE＋D′E≥AC＋AD′， ∴当点D在点D′时，△ACE的周长最小， 此时点D的坐标为(2，3)． 18 (3)过点D作DH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，连接AF.在点D运动过程中，是否存在△ACF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】存在． 令y＝0，则－(x－1)2＋4＝0，解得x＝－1或x＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)． 易得直线BC的表达式为y＝－x＋3. 19 设点F(m，－m＋3)(0<m<3)， 易得AC2＝10，AF2＝(m＋1)2＋(－m＋3)2，CF2＝2m2. 当AC＝AF时，10＝(m＋1)2＋(－m＋3)2， 解得m＝0(舍去)或m＝2，即F(2，1)； 当AF＝CF时，(m＋1)2＋(－m＋3)2＝2m2， 解得m＝2.5，即F(2.5，0.5)； 返回 22 返回 24 (1)求抛物线的表达式； 25 (2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与点B，C重合)，是否存在点P，使得四边形COBP的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形COBP面积的最大值；若不存在，请说明理由． 26 返回 【解】设点P的坐标为(m，－m＋3)，则M(m，－m2＋2m＋3)，∴PM＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－＋.∵点P在第一象限，∴0<m<3.∵－1＜0， ∴当m＝时，线段PM长度有最大值，最大值为. 【解】设点P的坐标为(m，m2－2m－3)，则点F的坐标为(m，m－3)．∴PF＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m＝－＋(0<m<3)，∴当m＝时，PF的长度最大，为. 【解】如图，过点P作PG⊥AC于点G.易知OC＝OA＝3，∵∠COA＝90°，∴∠ACO＝45°.∵PF∥y轴，∴∠PFG＝ ∠ACO＝45°.∴PG＝PF.由①可知PF 的最大长度为，∴点P到直线AC的 最大距离是×＝. 【解】连接BM.∵A(3，0)，B(0，3)，M(1，4)， ∴易得BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20.∴BM2＋AB2＝AM2. ∴△ABM是直角三角形，且∠MBA＝90°. ∴sin∠BAM＝＝＝. 【解】∵OA＝OB，∠BOA＝90°，∴∠OAB＝45°. ∵∠MAQ＝45°，∴∠BAM＝∠OAQ.∵sin∠BAM＝，∴sin∠OAQ＝.∴易得tan∠OAQ＝. ∴＝＝.∴OQ＝1.∴Q(0，1)． 当AC＝CF时，2m2＝10，解得m＝－(舍去)或m＝，即F(，3－)． 综上，点F的坐标为(，3－)或(2.5，0.5)或(2，1)． 5．如图，已知抛物线y＝x2－3x与直线y＝2x交于O，A两点．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线，与直线 OA交于点C，E，以BC，BE为边构 造矩形BCDE，设点D的坐标为(m， n)，则m关于n的函数表达式是 ______________． m＝n2－n 【点拨】∵直线OA的表达式为y＝2x，点D的坐标为(m，n)，∴易得点E的坐标为，点C的坐标为(m，2m)．∴点B的坐标为.把点B的坐标代入y＝x2－3x，可得2m＝n2－n，∴m关于n的函数表达式为m＝n2－n. 6. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，4)． 【解】∵抛物线的顶点坐标为(1，)， ∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋. 又∵抛物线过点C(0，4)，∴a＋＝4.∴a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋. 【解】存在． 如图，连接OP. 令y＝0，则－(x－1)2＋＝0， 解得x＝－2或x＝4. ∴B(4，0)．∴OB＝4. ∵C(0，4)，∴OC＝4.设P(m，－(m－1)2＋)(0＜m＜4)， ∴S四边形COBP＝S△OBP＋S△OCP＝OB·[－(m－1)2＋]＋OC·m＝－(m－1)2＋9＋2m＝－(m－2)2＋12. ∵－1＜0，0＜m＜4，∴当m＝2时，S四边形COBP取得最大值，最大值为12，此时P(2，4)． $ 第1章 二次函数 综合与实践 汽车能通过隧道吗？ 某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 他们对一个截面为抛物线且设有两条(双向)行车道的隧道进行研究(行车道分界线的宽度忽略不计， 行驶车辆不能越过分界线)，建立如图① 所示的平面直角坐标系，并画出了隧道 截面图． 2 【实践应用】 已知隧道的路面宽为10 m，隧道顶部最高处点P距地面‘’ 6.25 m，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5 m．现有一辆宽3 m、高3.5 m的厢式货车计划从隧道驶过． 3 (1)求该抛物线的表达式； 【解】根据题意可知此抛物线的顶点坐标为(5，6.25)，∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋6.25. ∵抛物线过点(0，0)，∴0＝a(0－5)2＋6.25， 解得a＝－0.25， ∴抛物线的表达式为y＝－0.25(x－5)2＋6.25. 4 (2)厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【解】厢式货车能顺利通过隧道．理由如下： 当宽3 m、高3.5 m的厢式货车从隧道驶过时， ∵5－3＝2(m)， ∴当x＝2时，y＝－0.25×(2－5)2＋6.25＝4. ∵4－3.5＝0.5(m)，∴厢式货车能顺利通过隧道． 5 【问题探究】 该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： (3)如图②，在抛物线内作矩形ABCD， 使顶点C，D落在抛物线上，顶点A， B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为 l m，求l的最大值． 6 【解】设AO＝x m，可得AB＝(10－2x) m， ∴AD＝[－0.25(x－5)2＋6.25]m. ∵矩形ABCD的周长为l m， ∴l＝2[－0.25(x－5)2＋6.25]＋2(10－2x)＝ －0.5x2＋x＋20＝－0.5(x－1)2＋20.5. ∴当x＝1时，l的最大值为20.5. (4)在(3)的条件下，如图③，在矩形ABCD的周长最大时，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数． 【解】旋转角α的度数为90°或135°或315°. 8 【点拨】在(3)的条件下，当矩形ABCD的周长最大时，x＝1，y＝－0.25×(1－5)2＋6.25＝2.25，∴AB＝CD＝8 m，D(1，2.25)，∴C(9，2.25)． 当∠PDC2＝90°时，α＝∠CDC2＝45°＋90°＝135°；当∠PDC3＝90°时，α＝360°－∠CDC3＝360°－(∠PDC3－∠PDC)＝360°－45°＝315°.综上所述，旋转角α的度数为90°或135°或315°. 如图，∵P(5，6.25)，∴DM＝MC＝4 m，MP＝6.25－2.25＝4(m)．∴∠PDM＝45°，DP＝MP＝4 m．分以下三种情况：当∠DPC1＝90°时，根据旋转的性质得DC1＝DC＝8 m，由勾股定理得C1P＝＝4 m，∴DP＝C1P.∴∠PDC1＝45°.∴α＝∠CDC1＝45°＋45°＝90°； $ 第1章 二次函数 全章热门考点整合应用 返回 B 2 2．已知二次函数y＝(k－1)xk2－3k＋4＋2x－1，当x＝0.5时，y的值为________． 返回 3 3．[2025上海普陀区月考]在同一平面直角坐标系中，画出直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx，这个图形可能是(　　) 返回 D 4 4． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象与y轴交于点(0，9)．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象以x轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数表达式为(　　) A．y＝2(x－2)2＋1 B．y＝－2(x－2)2－1 C．y＝－2(x＋2)2－1 D．y＝－2(x＋2)2＋1 B 返回 5 5．在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是二次函数y＝－x2＋4x－1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1________y2(填“＞”或“＜”)；若对于m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2＜m＋2，m＋2＜x3＜m＋3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是______________． ＞ 6 【点拨】∵y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝2.∵0＜x1＜1，x2＞4，∴|x1－2|<|x2－2|.∴y1>y2.∵m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2<m＋2，m＋2＜x3＜m＋3，∴x1<x2<x3.∵存在y1<y3<y2，∴x1<2，x3＞2，且A(x1，y1)离对称轴最远，B(x2，y2)离对称轴最近．∴2－x1>x3－2>|x2－2|.∴x1＋x3＜4，且x2＋x3＞4. 返回 6．[2025福建]在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t)． 9 10 11 13 返回 7．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集为(　　) A．x＞－1 B．x＜3 C．－1＜x＜3 D．x＜－3或x＞1 C 返回 16 17 返回 【答案】 B 9．利用长为12 m的墙和40 m长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于6 m，有下列结论： ①垂直于墙的一边长可以为15 m； ②矩形苗圃园的最小面积是102 m2，最大面积是200 m2； ③垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为128 m2. 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 21 【点拨】设垂直于墙的一边的长度为x m，则平行于墙的一边的长度为(40－2x) m，由题意知6≤40－2x≤12，解得14≤x≤17，∴垂直于墙的一边长可以为15 m，故①正确；设矩形苗圃园的面积为y m2，则y＝x(40－2x)＝－2x2＋ 40x＝－2(x－10)2＋200.∵－2＜0，∴当x＞10时，y随x的增大而减小，∴当x＝14时，y取得最大值，最大值为168，当x＝17时，y取得最小值，最小值为102，即矩形苗圃园的最小面积是102 m2，最大面积是168 m2，故②错误； 22 当矩形苗圃园的面积为128 m2时，由题意得x(40－ 2x)＝128，解得x1＝16，x2＝4.∵14≤x≤17，∴x＝16，∴当垂直于墙的一边长为16 m时，满足矩形苗圃园面积为128 m2，故③错误．故选B. 返回 【答案】 B 23 10. 每年5月的第三个星期日为全国助残日．某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． 24 (1)求y与x的函数表达式，每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 25 (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 返回 27 11．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线形，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 28 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m， AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝ 2 m(桥塔的粗细忽略不计)． 29 (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式； 【解】由题易得顶点P的坐标为(50，2)，点A的坐标为(0，17)， 设缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝a(x－50)2＋2， 把A(0，17)的坐标代入，得17＝a(0－50)2＋2， 30 (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长． 31 返回 12．[2025嘉兴期末]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝1.有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)(m≠1)；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的为(　　) A．①② B．③④ C．③⑤ D．④⑤ 33 【点拨】∵二次函数图象开口向下，∴a＜0.∵对称轴在y轴的右侧，∴a与b异号．∴b＞0.∵二次函数图象与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵二次函数图象与x轴交于不同的两点，∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故②错误；∵当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，故③正确； 34 ∵对称轴为直线x＝1，∴x＝1时函数有最大值，∴当x＝1时的y值大于当x＝m(m≠1)时的y值，即a＋b＋c＞am2＋bm＋c，∴a＋b＞m(am＋b)(m≠1)成立，故④正确；将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，若与直线y＝1有四个交点，则由图象的轴对称性知，关于对称轴对称的两个交点的横坐标的和为2，∴方程的四个根的和为4，故⑤错误．综上，③④正确． 返回 【答案】 B 35 【解】存在．如图，过点B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，过点A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于点M2，连接AM1，BM2. 易得对称轴为直线x＝1，∴可设 M1(1，n)，则AM12＝(0－1)2＋ (－2－n)2＝n2＋4n＋5，BM12＝ (4－1)2＋(0－n)2＝n2＋9. 在Rt△ABM1中，AB2＋BM12＝AM12. 易得AB2＝22＋42＝20. ∴20＋n2＋9＝n2＋4n＋5， 解得n＝6.∴M1(1，6)； ∴易得直线 BM1 的表达式为y＝－2x＋8. 易得AM2∥BM1， 又∵直线AM2经过点A(0，－2)， ∴易得直线 AM2 的表达式为y＝－2x－2. ∴当x＝1时，y＝－2×1－2＝－4.∴M2(1，－4)． 综上所述，点M的坐标为(1，6)或(1，－4)． 返回 14．[2025北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点O和点A(3，3a)． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； 【解】将点O(0，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c， 可得c＝0，∴该抛物线的表达式为y＝ax2＋bx， 将点A(3，3a)的坐标代入y＝ax2＋bx， 可得3a＝9a＋3b，解得b＝－2a. (2)过点P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N. ①若a＝1，t＝4，求MN的长； 【解】若a＝1，则该抛物线及直线的表达式分别为y＝x2－2x，y＝x， 当t＝4时，点P的坐标为(4，0), 如图①，∵PM⊥x轴，∴xM＝xN＝4. 将x＝4代入y＝x2－2x，可得y＝42－2×4＝8， 即M(4，8)， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N(4，4)， ∴MN＝8－4＝4. ②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【解】在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中， ∵PM⊥x轴，P(t，0)，∴xM＝xN＝t. 将x＝t代入y＝ax2－2ax，可得y＝at2－2at，即M(t，at2－2at)， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N(t，at)， ∴MN＝|at2－2at－at|＝|at2－3at|. 令MN＝0，即at2－3at＝0，解得t＝0或t＝3. 若a>0，则2a>0，即点B在y轴右侧，如图②， 当0<t≤3时，有MN＝－at2＋3at，其图象开口向下，对称轴为直线t＝， ∵MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大， 返回 1．[2025保定月考]下列函数： ①y＝(m－1)2x2；②y＝1－x2；③y＝(x－2)2－x2； ④y＝x2＋；⑤y＝(x－1)(x＋5)． 其中，一定为二次函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 －＜m＜1 ∵2m＋2<x1＋x3<2m＋4，2m＋3＜x2＋x3＜2m＋5， ∴2m＋2<4，且2m＋5>4，解得－<m <1. (1)求的值； 【解】因为二次函数y＝ax2＋bx－2的图象的对称轴为直线x＝－，点A(1，t)，B(2，t)在该函数的图象上， 所以－＝.所以＝－3. (2)已知二次函数y＝ax2＋bx－2的最大值为1－a2. ①求该二次函数的表达式； 【解】由(1)可得b＝－3a， 所以该函数的表达式为y＝ax2－3ax－2. 所以函数图象的顶点坐标为. 因为函数的最大值为1－a2， 所以a<0，且－a－2＝1－a2， 解得a＝－1或a＝4(舍去)． 所以该二次函数的表达式为y＝－x2＋3x－2. ②若M(x1，m)，N(x2，m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：＝. 【证明】因为点M(x1，m)在函数y＝－x2＋3x－2的图象上，所以m＝－x12＋3x1－2.由①知，点M(x1，m)，N(x2，m)关于直线x＝对称，不妨设x1<x2， 则x2－＝－x1，即x1＋x2＝3. 所以－＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝0. 所以＝. 8．已知方程ax2＋bx＋c＝0有两实根x1＝－1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有(　　) ①2a＋b＝0； ②抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为； ③a＜0； ④若m(am＋b)＜4a＋2b，则0＜m＜1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【点拨】∵ax2＋bx＋c＝0有两实根x1＝－1，x2＝3， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝＝1.∴－＝1.∴易得2a＋b＝0，故①正确． 易得抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(1，a＋b＋c)．∵2a＋b＝0，a－b＋c＝0，∴3a＋c＝0，即a＝－.∴b＝－2a＝c.∴a＋b＋c＝c.∴抛物线的顶点坐标为，故②正确．∵3a＋c＝0，∴c＝－3a.又∵b＝－2a，abc＞0，∴abc＝a·(－2a)·(－3a)＝6a3＞0.∴a＞0，故③错误． ∵m(am＋b)<4a＋2b，∴am2＋bm＋c<4a＋2b＋c.∴对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝m时的函数值小于当x＝2时的函数值．∵a＞0，抛物线的对称轴是直线x＝1，∴抛物线上的点离对称轴x＝1越近函数值越小．∴|m－1|<2－1.∴－1<m－1<1.∴0<m<2，故④错误．综上，正确的有①②，共2个． 【解】由题意，得y＝(200－x)＝ －x2＋20x＋12 000. ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴200－x≥180.∴x≤20. ∵y＝－x2＋20x＋12 000＝－(x－25)2＋12 250， ∴当x＜25时，y随x的增大而增大． ∴当x＝20时，每天的销售利润最大，最大利润为－×(20－25)2＋12 250＝12 240(元)．答：每辆轮椅降价 20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元． 【解】当y＝12 160时，－x2＋20x＋12 000＝12 160， 解得x1＝10，x2＝40(不合题意，舍去)， ∴60＋×4＝64(辆)．答：这天售出了64辆轮椅． 解得a＝，∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝(x－50)2＋2. 【解】∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，且缆索L1所在抛物线的函数表达式为 y＝(x－50)2＋2， ∴缆索L2所在抛物线的函数表达式为y＝(x＋50)2＋2. ∵EF＝2.6 m，∴把y＝2.6代入，得2.6＝(x＋50)2＋2， 解得x1＝－40，x2＝－60.∴FO＝40 m或FO＝60 m. 易知OD＝50 m，∵FO＜OD，∴FO的长为40 m. 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－x－2与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2)．在抛物线的对称轴上是否存在 一点M，使得△MAB是以AB为一条 直角边的直角三角形？若存在，请求 出点M的坐标；若不存在，请说明 理由． ∴2a≤，解得a≤. 易知当t>3时，不符合题意； 若a<0，则2a<0，即点B在y轴左侧，如图③， 当t<0时，有MN＝－at2＋3at， 其图象开口向上，对称轴为 直线t＝， ∵MN的长随OP的长的增大而增大， 即MN的长随t的减小而增大， ∴2a≤，解得a≤，∴a<0恒成立． 综上所述，a的取值范围为a≤且a≠0. $