16.3.2完全平方公式 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

完全平方公式 人教版八年级上册 复习回顾 回 顾旧知 公式的结构特征: 左边是 a2 − b2; 两个二项式的乘积 平方差公式 应用平方差公式的注意事项: 对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。 (a+b)(a−b)= 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差. ☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:  在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不弄错符号、当第a,b是单项式或多项式且被平方时 要注意添括号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。 导入新课 我们班原来都有一块边长 为a米的正方形卫生责任区 咦，你们两个人的要求不是一样的吗？ ？？？ 11班要求再增加一块边长为b米的正方形卫生区。 7班要求将原卫生区的边长增加b米,扩充为一个边长为（a+b)米的大正方形。 11班 7班 a2+b2 (a+b)2 ≠ b a b a b a b a 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释. 灵活应用完全平方公式进行计算. 了解（a+b）2=a2+2ab+b2的几何背景，发展几何直观观念. 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 一块边长为a米的正方形实验田 做一做 图 a 因需要将其边长增加 b 米。 形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. a b b 法一 直 接 求 总面积= (a+b) ； 2 法二 间 接 求 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. (a+b)2= a2+ ab + b2. 你发现了什么? 探索: 2 公式: 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= . p2–2p+1 (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= . m2–4m+4 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 问题1： 问题2： 完全平方公式 动脑筋 (1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗? 想一想 (a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a+b)2 = 推证  (a+b) (a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2; (2) a2 −2ab+b2. 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2  (a−b)2=  她是怎么想的? 利用两数和的 完全平方公式  推证公式  (a−b)2= [a+(−b)]2 = 2 + 2 + 2 a a (−b) (−b) = a2 2ab − b2. + 你能继续做下去吗? 的证明 想一想 (ɑ-b)2=？ 方法3：利用几何图形推导 方法2：将(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2 = ɑ2 +2ɑ(-b) +(-b)2 [ɑ+(-b)]2 方法1：利用多项式的乘法推导 = ɑ2 -2ɑb +b2 转化 思想 b b a a (a+b)² a² b² ab ab + + 完全平方和公式： 完全平方公式 的图形理解 a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a+b)2= . a2+2ab+b2 和的完全平方公式： a a b b (a-b)² a² ab ab b² b b 完全平方差公式： 完全平方公式 的图形理解 a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 . = (a−b)2 a−b a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 (a-b)2= . a2-2ab+b2 差的完全平方公式： (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 完全平方公式 我的 口诀 怎么 样啊 首平方，尾平方．首尾之积２倍中间放,符号与前是一样。 这样可以加快做题速度哦！ (a+b)2 = a2+2ab+b2 . (a−b)2 = a2− 2ab+b2 . a a b b a2 ab ab b2 结构特征: 左边是 的平方; 二项式 右边是 (两数和 ) (差) (a+b)2= a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 . = (a−b)2 a−b a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 a2+2ab+b2 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍. (a−b)2 = a2−2ab+b2 几 何 解 释: 用自己的语言叙述上面的公式 语言表述: 两数和 的平方 等于 这两数的平方和 加上 这两数乘积的两倍. (差) (减去) 公式特征： 公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式. 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 两数和（或差） 的平方 与公式中a对应的项 与公式中b对应的项 写成a2±2ab+b2的形式 计算结果 2x m ab 3 c 练习反馈 强化目标 例 运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2； (a + b)2= a2 + 2ab + b2 (4m)2 +2•(4m) •n +n2 +8mn +n2； 素养考点 利用完全平方公式进行计算 (2) (a – b)2 = a2– 2ab + b2 y2 =y2 –y + 解： = + –2•y• 请大家分成四人小组进行讨论！ (2) (a - b)2 与 (b - a)2 、 (-b +a)2 与(-a +b)2 (1) (-a -b)2 与(a+b)2 相等 相等 探索发现:(a+b)2___(-a-b)2 ,（a-b）2 ___（-a+b）2 发现规律: 当所给的二项式的符号相同时，就用_________________； 当所给的二项式的符号不同时，就用__________________。 和的完全平方公式 差的完全平方公式 = = = = (ɑ+b)2=(-ɑ-b)2 (ɑ-b)2=(b-ɑ)2 总结 总结归纳 强化目标 简化 运算 利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2； (3)(–3a＋b)2. (3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2. 解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2； (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； 怎样计算1022 ，1972 更简单呢？ （1）1022 ； （2）1972 ． 知识点 完全平方公式的运用 解： （1）1022=(100+2)2 = 1002+2×100×2+22 = 10000+400+4 =10404； （2）1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809． (1) 1042； =10000 -200+1 解： 1042 = (100+4)2 =10000+800+16 =10816. (2) 992. = (100 –1)2 992 =9801. 例 运用完全平方公式计算： 方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 利用完全平方公式进行简便计算 素养考点 利用乘法公式计算： (1)982–101×99； (2)20162–2016×4030＋20152. ＝(2016–2015)2＝1. 解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1) ＝1002–400＋4–1002＋1＝–395； (2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152 例 已知x–y＝6，xy＝–8. 求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝36 –16＝20； 解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8. (x–y)2＝x2＋y2–2xy ∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy (2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8. ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20 –16＝4. 素养考点 利用完全平方公式的变形求整式的值 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy. (1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____. 52 对应训练. (2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，则k=________ . 18或–18 (3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______. 1 添括号法则 a+(b+c) = a+b+c; a– (b+c) = a – b – c. a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去括号： 把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号： 知识点 2 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”). 添括号法则 例 运用乘法公式计算: (1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)] 解: (1) (2)原式= [(a+b)+c]2 = x2–(2y–3)2 = x2–(4y2–12y+9) = x2–4y2+12y–9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 素养考点 添括号法则的应用 计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)． ＝1–4x2＋4xy–y2. 解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc； (2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 1. 将9.52变形正确的是(　　) A．9.52=92+0.52 B．9.52=(10+0.5)(10–0.5) C．9.52=102–2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52 2. 若x2+2(m–3)x+16是关于x的完全平方式，则m=　 ． C –1或7 我们一起来 吧! 2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( ) A．(a–b)2 B．(–a–b)2 C．–(a＋b)2 D．–(a–b)2 1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(　　) A．a2–4a+4 B．a2–2a+4 C．a2–4 D．a2–4a–4 A D 基础巩固题 3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_______________；(2) (4x–3y)2=_______________ ； (3) (2m–1)2 =_______________；(4)(–2m–1)2 =_______________. 36a2+60ab+25b2 16x2–24xy+9y2 4m2+4m+1 4m2–4m+1 4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________． 25 5.利用完全平方公式计算： (1) 0.982 (2) 10012 解：(1) 原式 = （ 1 − 0.02）2 = 12 − 2 ×1×0.02 + 0.022 = 1 − 0.04 + 0.0004 = 0.9604 （2）原式 = （ 1000 + 1 ）2 = 10002 + 2 × 1000×1 + 12 = 1000000 + 2000 + 1 =1002001 6.运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] 解: (1) (2)原式 = [(a+b)+c]2 = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 7.若a+b=5，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值． 解：当a+b=5，ab=2时. a2+b2=（a+b）2﹣2ab =52﹣2×2 =21 （a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab =52﹣4×2 =17． 1.计算2 0182﹣4 036×2 017+2 0172的结果是 . 2.已知（2 018﹣a）2+（2 017﹣a）2=1，则（2 018﹣a）（2 017﹣a）= ． 1 0 解析：因为[（2018-a）-(2017-a) ]2 =（2018-a）2+(2017-a)2-2(2018-a)(2017-a) 所以（2018-a）2+(2017-a)2=[（2018-a）-(2017-a) ]2 +2(2018-a)(2017-a)， 即1 + 2(2018-a)(2017-a)=1，所以2(2018-a)(2017-a)=0. 所以(2018-a)(2017-a)=0 能力提升题 3.计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)． (2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)] 解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)] ＝(3a)2–(b–2)2 ＝9a2–b2＋4b–4.　 ＝(x–y)2–(m–n)2 ＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2. 能力提升题 1.若a+b=5，ab=–6， 求a2+b2，a2–ab+b2. 2.已知x+y=8，x–y=4，求xy. 解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37； a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43. 解：∵x+y=8， ∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①; ∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②; 由①–②得 4xy=48 ∴xy=12. 拓广探索题 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数. 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行. 常用 结论 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面) a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab; 4ab=(a+b)2–(a–b)2. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢 谢 再 见 下课了! 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 $