5.3.1函数的单调性与导数教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“函数的单调性与导数”，通过复习导数定义、几何意义及单调性定义搭建知识支架，引导学生从变化率角度建立两者联系，实现从“形”到“数”的认知升华。 亮点在于采用发现式、启发式教学，从一次函数探究到指对函数检验再到一般函数抽象，渗透特殊到一般思想，培养数学思维与推理意识。例题规范步骤结合数形结合，助力学生主动建构知识，教师可直接借鉴提升课堂效率与素养培养。

函数的单调性与导数教学设计 一、设计思路 1、背景介绍。 在学习本节课之前，学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。 函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图像、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基础，因此，本节《导数与函数的单调性》具有承上启下的作用。 2、学情分析。 教授的学生为高二年级学生，从整体上看，学生的基础不是很扎实对于函数单调性定义已经模糊，从而导致对函数单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚刚接触的知识，学生对于函数的求导较为熟悉，但是如何将函数的单调性与导数进行联系，是本节课的一个难点。 学生已熟练地掌握函数求导、导数几何意义等相关知识，但初步接触导数在几何中的应用，因此对导数应用仅仅停止于表面，本节课着重让学生从特殊函数研究到一般函数的研究过程来探究利用导数如何来判断函数的单调性 3、教学目标。 理解单调性的导数定义，并会利用导数解决函数的单调性； 通过利用导数研究函数单调性的过程中，体会从特殊到一般、数形结合等数学思想方法； 在利用导数研究函数单调性的过程中，体会数学知识间的内在联系，认识到数学是一个整体同时理解借助导数求解函数单调性的步骤，使得复杂的问题变得有据可循，能进行简单函数单调性的求解，从而认识到导数的实用价值。 4、教学重、难点。 重点：利用求导的方法判断函数的单调性 难点：如何建立导数与单调性之间的联系 二、教学准备 1、制作课件。 首先复习导数的定义及其几何意义，函数单调性的定义，通过对比发现，两者都是刻画函数变化的，那导数与函数单调性之间有何联系，从而引入课题，首先呢，从最基本的一次函数出发，让学生求导求斜率研究函数单调性得到导数斜率与单调性之间的关系，利用指数函数对数函数进行检验，看导数与函数单调性这种关系是否成立，对于，一般的函数而言，利用函数图像以及导数的几何意义研究导数与函数单调性之间的关系，从而得出结论并总结利用导数求函数的单调性求解方法，巩固练习。 2、教学方法。 发现式、启发式。 三、教学过程 教学过程 师生活动 设计目的 复习旧知 1、导数的定义及其几何意义是什么？ 2、单调递增、单调递减函数的定义是什么？ （学生思考回答，教师完善学生的回答） 导数刻画的是y在x处瞬时变化率，函数增减性也刻画y随x的变化是如何变化的，两者均是刻画函数的变化，那么导数与函数的单调性之间有何联系。（引入课题，书写板书） 从定义入手引导学生认识将变化率到单调性的转变，从“形”到“数”的升华。 新知讲授 计算下列函数的导数、斜率，及函数的单调 （1）y=x （2）y=2x+3 （3）y=-4x+5 思考：一次函数的导数与函数单调性之间的具有什么关系？ 假设猜想： 在某区间（a，b）内 如果恒有 ，在（a，b）内单调递增。 如果恒有 ，在（a，b）内单调递减。 一次函数有上述结果，对于任意一个函数是否也具有上述的结果？ 分析：下函数是否具有假设猜想的结论 （1） （2） （3） （4） 思考： （1）对于函数而言，当其在区间（a，b）内单调递增，任取一点x其导数的正负？ （2）对于函数而言，当其在区间（a，b）内单调递减，任取一点x其导数的正负？ （学生回答，教师讲解并总结，由导数的几何意义出发，从倾斜角斜率导数） 抽象概括： 在某区间（a，b）内 如果恒有 ，在（a，b）内单调递增。 如果恒有 ，在（a，b）内单调递减。 由上述计算过程可知一次函数的单调性与斜率k有关，k>0，函数为增函数；k<0，函数为减函数，但一次函数的斜率与导数相等从而引发相应的思考。 让学生自主思考计算，发现指数函数、对数函数都具有上述猜想，尤其在确定对数函数是否具有上述结论时，让学生体会定义域在求函数单调性中的重要性。 从一次函数出发（猜想结果）指数函数、对数函数（检验猜想）一般函数（得出结论）逐层研究，从简单到复杂，让学生体会数学中特殊一般的数学思想，从而高度概括出导数与函数单调性的联系。 例题解析 例1、求函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的单调区间。 解：f(x)=2x3-3x2-36x+16的定义域是R =6x2-6x-36=6（x2-x-6）=6（x+2）（x-3） >0即6（x+2）（x-3）>0得x<-2或x>3 <0即6（x+2）（x-3）<0得-2<x<3 所以函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的单调递增区间为（），（），单调递减区间为（-2,3） （板演书写过程，为学生提供书写解题格式，规范学生的书写） 解题步骤： 1、求定义域 2、求 3、>0与定义域求交集得单调递增区间；>0与定义域求交集得单调递减区间。 规范步骤使内容有据可循 巩固练习 练一练：求下列函数的单调区间 （1） （2） （3） （4） 本练习题设计为了让学生利用导数与函数的单调性之间的关系完成上述内容的求解，让学生上讲台板书，第一规范学生的求解步骤，第二查看学生的理解和掌握程度 总结 1、导数与函数单调性的关系 2、借助导数求函数单调区间的步骤 板书设计 导数与函数单调性的定义 例题评析课堂练习 小结归纳 利用导数求函数单调性的步骤 作业布置 四、教学反思 1、复习引入时，应复习一下导数的几何意义，这对学生自主学习和教材阅读有帮助。教学不应局限在课堂内容上，还应延伸到课堂之外的； 2、在新知探究中引用的例题对所教授的学生难度跨度较大，可酌情改为二次函数，重方法和知识技能本身的传授，应对学情要在计算上降难度； 3、学生参与积极主动，练习过程中也能快去完成，但是在指对函数的处理上耗时太多，今后还需要额外抽时间进行巩固练习。 4、本节课重心围绕数与形的联系进行探究，让学生从“学会”向“会学”转变，通过问题引导意识地为学生营造一个较自由的思维空间，使学生能主动去观察、猜想、发现、验证，积极动手、动口、动脑，使学生学知识的同时并能抽象概括得出结论，这是本节课的亮点； 5、课堂小结，最好让学生来总结完成，教师纠正补充完善，以后还是要在实践上下功夫，敢于相信学生，让学生会学数学； 总体而言，本节课的设计思路较好，讲解过程及学生状态良好，板书设计合理，字迹工整，唯一不足就是练习中跨度较大部分学生用时较多，因此今后对教材例题与习题的引用还需要根据学情斟酌。 学科网（北京）股份有限公司 $