第五章 统计与概率（高效培优单元测试·提升卷）数学人教B版2019高一必修第二册

第五章 统计与概率（高效培优单元测试卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知甲、乙投篮命中的概率分别为，且甲、乙投篮命中的结果相互独立．甲、乙各投篮1次，则两人共命中1次的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设“甲投篮1次命中”为事件A，“乙投篮1次命中”为事件B，“甲、乙各投篮1次，两人共命中1次”为事件C， 由题意，则， 又， 所以. 故选：C 2．如图是某地100户居民的月均用水量的频率分布直方图，估计众数与中位数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由频率分布直方图可得众数为； 因中位数是频率为时对应的样本数据，由，而， 故中位数在第二组，中位数为. 故选：D. 3．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 【答案】B 【详解】方法一、因为事件A与B互斥，所以，则（U为全集），所以是必然事件． 方法二、利用图形来看，如图所示，C是A的补集，D是B的补集，因此是全集，故是必然事件． 故选：B. 4．一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令样本数据总个数为 对于A，，A不是； 对于B，，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D不是. 故选：C 5．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，由， 得，又， 则当时，， 所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是. 故选：C 6．已知集合，，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，从集合A中任取3个不同的元素，有4种可能， 分别为：，，，，其中最小的元素a的取值分别为1，2． 从集合B中任取3个不同的元素，有10种可能，分别为： ，，，，，，，，，， 其中最大的元素b的取值分别为3，4，5． 当时，有3种情况，此时有3种情况， 当时，有6种情况，此时有1种情况， 所以有种情况， 所以． 故选：C 7．设、及分别为某组数的平均数、分布域（极差）及方差，而、及分别为这组数的平均数、分布域（极差）及方差．下列何者必为正确？（　　） I． II． III． A．只有I及II B．只有I及III C．只有II及III D．I、II及III 【答案】A 【详解】假设， 则中，最小，最大， 则， ， ，I对； ，II对； ，III错， 故选：A 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（    ） A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 【答案】BCD 【详解】因为点与点关于点对称， 所以，则， 又，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 所以，，，，这组数的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 故BCD正确，A错误. 故选：BCD 10．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 【答案】ACD 【详解】设盒子里两个红球为，，两个白球为，， 从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，共12个. 事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，所以； “第1次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “第2次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “两个球颜色不同”，包含，，，，，，，共8个基本事件，所以. 因为,故,对立，故A正确； 因为事件包含，2个基本事件，所以事件，可以同时发生，故事件，不互斥，故B错误； 因为事件包含，2个基本事件，所以, 又，所以，所以事件，相互独立，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D．当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，采用单次传输方案，收到两个译码恰好有一个正确的概率为 ，故A错误； 对于B，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”， 则译码为1的概率为，故B正确； 对于C，采用单次传输方案，则收到的译码为1的概率为 ，故C正确； 对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”， 所以收到译码为0的概率； 若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为， 由，且， 则，即，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得， 将数据排序得，，，，， ，则这组数据的第百分位数为第和第位数的平均数，即. 故答案为：. 13．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为 . 【答案】12.4 【详解】甲同学抽取的样本占总样本的比例为， 乙同学抽取的样本占总样本的比例为， 总平均数为， 总方差为：， 故答案为： 14．甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷次，乙掷次，设甲投掷出现偶数点的次数为，乙投掷出现奇数点的次数为，则 . 【答案】/ 【详解】可以先考虑甲、乙各抛掷次的情形， ①如果甲投掷出现偶数点的次数等于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为， 则第次甲必须再抛掷出偶数点，才能使得甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数； ②如果甲投掷出现偶数点的次数小于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为， 则第次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然不大于乙投掷出现奇数点的次数； ③如果甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为， 则第次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然大于乙投掷出现奇数点的次数； 由对称性可知 故，而由于， 故. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）人工智能算力是驱动时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30台服务器的单机均值算力数据（单位：），数据范围在之间（模拟数据排序如下）． ， ． (1)计算这组数据的极差，众数； (2)实验室增加2台服务器，收集算力数据分别是a和b，通过计算发现，平均值210和上四分位数都不变，求的值； (3)经过调研发现，该地区有人工智能企业200家，其服务器算力能力分为三类，A类企业有80家，其算力均值为类企业有80家，其算力均值为类企业有40家，其算力均值为150．根据上述信息，从总体均值角度分析，你认为该人工智能实验室调查分析是否符合分层随机抽样调查，并说明理由． 【答案】(1)极差为，众数为220； (2)68； (3)答案见解析，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）观察已知数据，得极差为，众数为220. （2）增加前，由，得上四分位数为244， 增加后，，， 而，记第24，25个数为，则， 当时，，则， 当时，，则， 因此，所以. （3）由（2）知，样本数据的平均数为， 按分层抽样算力的平均值为， 认为符合分层抽样调查，因为分层抽样均值210，等于实验平均值210. 认为不符合分层抽样调查，因为实验具有随机性，不能说明. 16．（15分）从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 (1)根据上表补全所示的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 【答案】(1)答案见解析 (2)平均数为，方差为，中位数为99.7 (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1） 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 则频率分布直方图如下图所示： （2）质量指标值的样本平均数为： ， 质量指标值的样本方差为： ， ∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104． 第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38， ∵，， ∴中位数落在第三组内，设中位数为x， 则，解得， 因此，中位数为99.7； （3）质量指标值不低于95的产品所占比例约为， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定． 17．（15分）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； (2)若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】 【详解】（1）根据题意可知在第一轮比赛中甲，乙两人都失败的概率， 所以在第一轮比赛中，甲，乙至少有一人胜出的概率. （2）①记事件为甲在第轮胜出，事件为乙在第轮胜出，， 由题意相互独立，且，，，， 若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为， 则 ， ， 整理得， 所以， 将代入得，解得或， 当时；当时，不满足， 综上，； ②甲没有两轮都胜出的概率， 乙没有两轮都胜出的概率， 所以甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率， 所以至少有一人两轮都胜出的概率为. 18．（17分）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分分）选取名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： (1)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于的概率； (2)现有体育成绩在分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有、、、共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得、、、四个等级的概率分别是、、、；乙在每科笔试中取得、、、四个等级的概率分别是、、、，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得，，解得. 从得分在内的学生中抽取人， 人中成绩不低于分的人数为人，记为、、， 成绩低于分的人数为，记为、， 从人中抽取两人进行测试， 样本空间为， 则， 记“至少有一人得分不低于分”为事件， 则， 即， 因此. （2）记甲能参加国庆营的概率为，乙能参加国庆营的概率为， 由题意可得，， 由于考试互不影响，所以甲、乙能否参加国庆营相互独立， 则甲、乙能同时参加国庆营的概率为. 19．（17分）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为. 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为. 故所求概率为. （2）分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为. 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为. 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为. 故所求概率为. （3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 故所求概率为 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 统计与概率（高效培优单元测试卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知甲、乙投篮命中的概率分别为，且甲、乙投篮命中的结果相互独立．甲、乙各投篮1次，则两人共命中1次的概率是（　　） A． B． C． D． 2．如图是某地100户居民的月均用水量的频率分布直方图，估计众数与中位数分别是（    ） A． B． C． D． 3．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 4．一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（   ） A． B． C． D． 5．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记，则等于（   ） A． B． C． D． 7．设、及分别为某组数的平均数、分布域（极差）及方差，而、及分别为这组数的平均数、分布域（极差）及方差．下列何者必为正确？（　　） I． II． III． A．只有I及II B．只有I及III C．只有II及III D．I、II及III 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（    ） A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 10．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D．当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为 . 13．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为 . 14．甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷次，乙掷次，设甲投掷出现偶数点的次数为，乙投掷出现奇数点的次数为，则 . 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）人工智能算力是驱动时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30台服务器的单机均值算力数据（单位：），数据范围在之间（模拟数据排序如下）． ， ． (1)计算这组数据的极差，众数； (2)实验室增加2台服务器，收集算力数据分别是a和b，通过计算发现，平均值210和上四分位数都不变，求的值； (3)经过调研发现，该地区有人工智能企业200家，其服务器算力能力分为三类，A类企业有80家，其算力均值为类企业有80家，其算力均值为类企业有40家，其算力均值为150．根据上述信息，从总体均值角度分析，你认为该人工智能实验室调查分析是否符合分层随机抽样调查，并说明理由． 16．（15分）从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 (1)根据上表补全所示的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 17．（15分）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； (2)若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 18．（17分）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分分）选取名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： (1)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于的概率； (2)现有体育成绩在分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有、、、共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得、、、四个等级的概率分别是、、、；乙在每科笔试中取得、、、四个等级的概率分别是、、、，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率． 19．（17分）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $