专题14.2三角形全等的判定(14大题型+知识点梳理+题型精讲) 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题14.2三角形全等的判定 1.三角形全等的SSS判定方法 2.SSS判定与三角形全等性质的综合应用 3.三角形全等的SAS判定方法 4.SAS判定与三角形全等性质的综合应用 5.三角形全等ASA,AAS判定方法 6.ASA/AAS判定与三角形全等性质的综合应用 7.直角三角形全等的HL判定方法 8.HL判定与全等三角形性质的综合应用 9.全等三角形判定的条件补充(综合) 10.全等三角形判定方法的灵活选择 11全等三角形:.倍长中线模型 12.全等三角形综合问题 13.尺规作图:作一个角等于已知角 14.尺规作图:过直线外一点作直线的平行线 【知识点01】全等三角形的定义 核心定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 关键补充： 1.“完全重合” 的本质：形状（对应角全相等）和大小（对应边全相等）完全一致，可通过平移、翻折、旋转（全等变换）实现重合； 2.元素：重合的顶点（对应顶点）、边（对应边）、角（对应角）； .3规范表示：用 “≌”（读作 “全等于”），对应顶点字母按顺序书写（如△ABC≌△DEF，明确 A↔D、B↔E、C↔F）； 4.定义逆用：若两三角形所有对应边、对应角均相等，则必全等（判定定理的基础）。 【知识点02】全等三角形的性质 全等三角形的性质均源于 “能够完全重合” 的核心定义，可分为基本性质和衍生性质，具体如下： 一、基本性质（直接由 “完全重合” 推导） 1.对应边相等 全等三角形中互相重合的边（对应边）长度完全相等。 2.对应角相等 全等三角形中互相重合的角（对应角）大小完全相等。 3.对应线段相等 全等三角形中对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线分别相等 二、衍生性质（由基本性质进一步推导） 1.周长相等 全等三角形的三边对应相等，因此周长（三边之和）必然相等。 2.面积相等 全等三角形的形状、大小完全一致，因此面积（底 × 高 ÷2）必然相等（对应底和对应高分别相等）。 3.对应位置关系一致 全等三角形的对应边、对应角的位置关系保持不变（如原三角形中某两边垂直 / 平行，全等三角形的对应边也垂直 / 平行）。 【知识点03】三角形全等的判定定理 判定定理的核心：通过有限的边、角相等条件，唯一确定三角形全等（排除形状 / 大小差异），分为通用定理（所有三角形）和专属定理（仅直角三角形）。 一、通用判定定理（适用于任意三角形） 1. SSS（边边边） *核心内容：三边分别相等的两个三角形全等。 *关键逻辑：三角形具有稳定性，三边确定则形状、大小唯一。 *符号语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，BC=EF，AC=DF ⇒ △ABC≌△DEF（SSS）。 2. SAS（边角边） *核心内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 *关键强调：必须是两边的 “夹角”（两条边的公共角），非夹角则为 SSA（不能判定）。 *符号语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，∠A=∠D（AB 与 AC 的夹角），AC=DF ⇒ △ABC≌△DEF（SAS）。 3. ASA（角边角） *核心内容：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 *关键强调：必须是两角的 “夹边”（两个角的公共边）。 *符号语言：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，AB=DE（∠A 与∠B 的夹边），∠B=∠E ⇒ △ABC≌△DEF（ASA）。 4. AAS（角角边） *核心内容：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 *关键关联：由三角形内角和（180°）可转化为 ASA（已知两角则第三角必相等）。 *符号语言：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（∠A 的对边） ⇒ △ABC≌△DEF（AAS）。 二、专属判定定理（仅适用于直角三角形） HL（斜边、直角边） *核心内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 *前提条件：必须先明确为直角三角形（标注直角顶点）。 *关键逻辑：勾股定理推导（斜边 + 一直角边相等 ⇒ 另一直角边必相等，本质为 SSS）。 *符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE（斜边），BC=EF（直角边） ⇒ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 绝对不能判定全等的情况（明确避坑） 1.AAA（角角角）：仅能判定相似（形状相同，大小可不同），无法判定全等。 2.SSA（边边角）：非夹角的角无法固定三角形形状，存在两种不同三角形的可能（直角三角形中 SSA 转化为 HL 除外）。 【知识点04】全等三角形辅助线做法 辅助线的核心作用是构造全等三角形或暴露隐含条件，将分散的边、角集中到可证明的图形中。以下按 “作法类型 + 原理 + 适用题型 + 示例” 梳理，精准对应解题需求： 一、连接两点 —— 构造公共边 作法 *连接两个关键点（如顶点与顶点、顶点与对边中点、对角线），形成公共边作为全等的桥梁。 核心原理 *公共边天然为两个三角形的相等边，结合已知条件匹配 SSS/SAS/ASA/AAS 判定。 适用题型 1.四边形中证明三角形全等（如平行四边形、梯形、不规则四边形）； 2.分散的边 / 角需通过公共边关联的题目。 二、作垂线 —— 构造直角三角形 作法 *过某点作已知直线的垂线（如过角平分线上一点作角两边的垂线，过顶点作对边的高），形成直角（90°）。 核心原理 *直角相等为全等提供隐含条件，可匹配 HL/AAS/ASA 判定；角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）需通过垂线体现。 适用题型 1.涉及角平分线的证明题（证线段相等、角相等）； 2.需构造直角三角形用 HL 判定的题目； 3.已知垂直关系或需证明垂直的题目。 三、倍长中线 —— 构造 SAS 全等 作法 *延长中线至某点，使延长部分与中线长度相等（如 AD 是△ABC 的中线，延长 AD 到 E，使 DE=AD），连接对应顶点（如 BE）。 核心原理 中线定义（BD=CD）+ 对顶角相等（∠ADC=∠EDB）+ 延长的相等线段（AD=DE），可证△ADC≌△EDB（SAS），实现线段 / 角的转移。 适用题型 1.涉及三角形中线的证明题（证线段和差、相等，角相等）； 2.需将分散的边转移到同一三角形的题目（如证明 AB+AC>2AD）。 四、截长补短 —— 构造相等线段 作法 *截长：在长线段上截取一段等于短线段（如证 AB=CD+BE，在 AB 上截取 AF=CD）； *补短：延长短线段至与长线段相等（如证 AB=CD+BE，延长 CD 到 F，使 DF=BE）。 核心原理 通过截取 / 延长制造相等线段，结合已知条件构造全等，将线段和差问题转化为线段相等问题。 适用题型 1.证明线段和差关系（如 “a=b+c”“a-b=c”）； 2.线段分散无法直接证明相等的题目。 五、作角平分线 —— 构造角相等 作法 *作已知角的角平分线（如作∠BAC 的平分线 AD），或作一个角等于已知角（如作∠ADE=∠ABC）。 核心原理 角平分线提供相等角，结合已知边相等，可匹配 SAS/ASA/AAS 判定；构造等角可将分散的角集中。 适用题型 1.需证明角相等或利用等角证全等的题目； 2.已知角的关系但无明确角平分线的题目。 六、平移 / 旋转 / 翻折 —— 构造全等变换 作法 *平移：将某条线段沿特定方向平移，使端点与已知点重合； *旋转：将三角形绕某点旋转一定角度（如 60°、90°），使相等边重合； *翻折：将三角形沿某条直线翻折，构造对称的全等三角形。 核心原理 平移、旋转、翻折均为全等变换，变换后的三角形与原三角形全等，可将分散的边 / 角整合到同一图形。 适用题型 1.图形中边 / 角分散，无法直接证明全等的复杂题目；. 2.涉及等边三角形、等腰直角三角形的旋转类题目。 辅助线作法核心总结 1.目的导向：缺什么条件补什么 2.定理匹配：根据目标判定定理（SSS/SAS/HL 等）选择辅助线（如用 HL 则作垂线造直角）； 3.隐含条件：辅助线需结合共边、对顶角、直角相等、三角形内角和等隐含条件。 【知识点05】全等三角形综合应用 1. 基础应用：证明边 / 角相等 *核心思路：证明包含待证边 / 角的两个三角形全等，再利用全等性质推导。 2. 进阶应用：证明线段平行 / 垂直 *核心思路：先证全等→对应角相等→利用平行线 / 垂直的判定定理推导。 平行判定：同位角相等 / 内错角相等→两直线平行； 垂直判定：夹角为 90°→两直线垂直。 3.拓展应用：证明线段和差 / 倍数关系 *核心思路：通过截长补短、倍长中线等辅助线构造全等，将线段转化为相等关系。 4.实际应用：测量不可直接到达的距离 *原理：利用全等三角形的对应边相等，构造与目标距离相等的可测量线段。 5. 综合压轴：全等与其他几何知识结合 *结合知识点：平行线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、四边形（平行四边形、矩形、菱形）、勾股定理等； *核心思路：分解图形，先证局部三角形全等，再利用全等性质推导其他结论。 高频易错点 1. 概念类易错点 *混淆 “对应边” 与 “对边”：对应边是全等三角形中重合的边，对边是三角形中某角所对的边； *书写全等时对应顶点顺序错误：如△ABC≌△FED（正确应为△ABC≌△DEF）； *误将 HL 用于非直角三角形：如锐角三角形用 HL 判定全等。 2. 定理类易错点 *SAS 中忽略 “夹角”：将非夹角的角当作夹角使用（如 AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，误用 SAS）； *混淆 ASA 与 AAS：将 AAS 中的对边当作 ASA 中的夹边； *认为 AAA/SSA 可以判定全等：忽略 AAA 只能判定相似，SSA 无唯一性。 3. 证明过程类易错点 *无依据的相等关系：如未证明∠A=∠D，直接在证明中使用 “∠A=∠D”； *辅助线作法描述不清晰：如 “作垂线 AD”（未说明 AD 垂直于哪条直线）； *遗漏关键步骤：如证明全等后，未利用全等性质推导最终结论。 题型1.三角形全等的SSS判定方法 【典例】如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用直尺和圆规作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角及全等三角形的判定与性质是解题的关键．连结，，由作图可知，，，，即可根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质，即可证明，即可判断答案． 【详解】解：连结，， 由作图可知，，，， ， ． 故选：D． 【跟踪训练1】如图， 已知，，则图中全等三角形共有（   ） 对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，证明得出，，进而证明，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 在中， ∴ 在中， ∴ 综上所述，图中全等三角形共有对 故选：C． 【跟踪训练2.】雨伞截面示意图如图所示，伞骨，支撑杆．当沿滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭过程中，与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 与相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中进行证明，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等． 【详解】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． 故答案为：． 题型2.SSS判定与全等三角形性质的综合应用 【典例】如图，在四边形中，，．请你写出一个正确的结论： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 连接，根据题意可得，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图： 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪训练1】如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据题意证明，得出，结合求得，根据，即可解题． 【详解】解：，， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪训练2】用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则叙述正确的个数有（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查对尺规作图作一个角等于已知角的理解．利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作图知：，， ∴，∴， 不能得到和， ∴叙述正确的是③和④，共2个， 故选：B． 题型3.三角形全等的SAS判定方法 【典例】如图所示的的正方形网格中，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，根据全等三角形的判定与性质得到，则有，同理可证，，，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证：，， ∴， 故选：B． 【跟踪训练1】如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．若，则的度数是 ． 【答案】/96度 【分析】根据SAS证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 【跟踪训练2】如图，点A、E、B、D在同一条直线上，，，若利用“SAS”来判定，则需补充一个条件： ． 【答案】或 【分析】本题主要考查添加条件利用“SAS”来判定三角形的全等，利用已知可得，结合条件再找到一组对边相等即可，若添加或即可证明． 【详解】解：补充一个条件为：或． 证明：∵， ∴， 若，则，即， 在与中， ∵， ∴． 故答案为：或． 题型4.SAS判定与全等三角形性质的综合应用 【典例】如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 要使，需要当时，计算得出． 【详解】解：，且 当时， 在和中， 、 ． 故选：B． 【跟踪训练1】如图，在四边形中，平分，，若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形面积计算；在上截取，连接，易得，得到，即可求出. 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：B. 【跟踪训练2】如图，在与中，点F在上，，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 故答案为：． 题型5.三角形全等的ASA..AAS判定方法 【典例】调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，看哪块可以符合三角形全等的条件即可． 【详解】解：根据“两角一夹边对应相等，两个三角形全等”可得，带③去就可以， 故选：D． 【跟踪训练1】某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，将题目中的实际问题转化为数学问题，是本题求解的关键． 首先根据已知条件，证明和全等，得到，进而得到答案． 【详解】解：由题意知，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河的宽度是米． 故选：B． 【跟踪训练2】如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长交于点F，由且平分，证得，可得，再根据，，，证得，进一步证明，则可得，从而得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， 且平分， ，， ， ， ， ，，， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：3． 题型6.ASA/AAS判定与全等三角形性质的综合应用 【典例】如图所示，是小明和小红跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小红（点）到地面的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明得到，再加上的长度即可求解． 【详解】解：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， ∵的长度为， ∴小红（点）到地面的距离为， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，已知，，于，且，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据同角的余角相等求出，再利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． ∴． 故答案为：3． 【跟踪训练2】如图，已知中，，，H是高和的交点，，则的面积为（    ） A．13 B．15 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，准确分析证明是解题的关键． 根据已知条件证明，得到，再根据三角形面积计算即可； 【详解】解：是边上的高， ， ， ， 是边上的高， ， 在中，， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选． 题型7.直角三角形全等的HL判定方法 【典例】如图，于点，，，则可以直接判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ， 在和中 ， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】如图，，能直接根据“”判定，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要依据“HL”判定直角三角形全等，已知两个三角形是直角三角形且有公共直角边，需找斜边相等的条件．本题主要考查直角三角形全等的“HL”判定定理，熟练掌握“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ）及准确识别直角三角形斜边、直角边是解题关键． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形，且（公共边）． 根据“HL”，需斜边相等．在与中，斜边为和． 当时， ∵， ∴． 选项A，，结合，是“SAS”条件，非“HL”； 选项B，，结合已知角与公共边，是“AAS”条件，非“HL”； 选项D，，无法直接判定全等． 故选： ． 【跟踪训练2】小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 题型8.HL判定与全等三角形性质的综合应用 【典例】如图，，，，则 度． 【答案】55 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：55． 【跟踪训练1】如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等． 【答案】2或6或8 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， 这时在点未动，因此时间为0秒，不合题意，应舍去； ②当在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ③当在上，时， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ④当在上，时，，， ∴点的运动时间为（秒）， 故答案为：2或6或8． 【跟踪训练2】如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证明，推出，通过，得到，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 题型9.全等三角形判定的条件补充(综合) 【典例】如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪训练1】如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．求出，根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：， ， 即， A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．， ， ，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意． 故选：D． 【跟踪训练2】如图，已知，添加条件 ，使．    【答案】或或（答对一个即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是判定方法的选择； 根据已知结合图形及判定方法即可填加条件. 【详解】解：由题意得：， 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为：或或（答对一个即可） ． 题型10.全等三角形判定方法的灵活选择 【典例】如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再利用全等三角形的判定与性质证明即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 【跟踪训练1】在和中，，，．下列条件中不能确定与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法，结合图形，逐一判断，即可得到结果． 【详解】解：A.∵， ， 和都是直角三角形， ∵，， ， 故该选项不符合题意； B.如图， ∵，，，， 和可以一个为钝角、一个为锐角， 和分别是钝角三角形和锐角三角形， 和不全等， 故该选项符合题意； C.， ， ∵，， ， ， ， ， 又∵， ， 故该选项不符合题意； D.，， 和分别是和中较大的角，如图， 在和分别作，， 在和中， ，，， ， ，， 又， ， ， ， ，， ， 故该选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪训练2】下列命题：①三角形的一个外角等于两个内角的和；②有两角和一边分别相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边的中线分别相等的两个三角形全等；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．其中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质、全等三角形的判定、三角形高的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据三角形的外角性质、全等三角形的判定依次对每个命题进行分析判断，确定其对错即可． 【详解】解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并非两个内角的和（这里“两个内角”表述不准确，应强调“不相邻”），故命题①错误． 有两角和一边分别相等的两个三角形全等（符合“”或“”判定定理），故命题②正确． 有两条边和第三条边的中线分别相等的两个三角形全等（可通过中线倍长法等证明），故命题③正确． 三角形的高所在的直线交于一点，这一点可能在三角形内（锐角三角形）、三角形外（钝角三角形）或三角形的顶点上（直角三角形直角顶点），并非“不在三角形内就在三角形外”，故命题④错误． 综上，正确的命题是②③， 故选：B． 题型11.全等三角形:倍长中线模型 【典例】已知AD是△ABC中BC边的中线，若AB＝4，AD＝3，则AC的长可以是（  ） A．11 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长AD至E，使DE=AD=3，连接CE． ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE=AB=4． 在△ACE中，AE=2AD=6，CE=4 AE-CE＜AC＜AE+CE， 即6-4＜AC＜6+4， ∴2＜AC＜10． ∴AC的长可以是9 故选：D． 【点睛】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 【跟踪训练1】在中，，是边的中线，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪训练2】在中，，则的中线取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，证明三角形全等是解题的关键．延长到F，使，连接，则易证明，有；利用三角形三边不等关系得，由此即可求得中线取值范围． 【详解】解：如图，延长到F，使，连接， 则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 题型12.全等三角形综合问题 【典例】下列条件能确定的形状与大小的是（    ） A．，，. B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此题的关键．根据三角形全等的判定定理，若条件能唯一确定三角形，则对应全等条件，据此一一分析即可求解． 【详解】解：A、仅三个角角度，缺少边长，三角形大小不确定，故不符合题意； B、已知和，但缺少角度或其他边，等腰三角形形状和大小不确定，故不符合题意； C、，，，的形状和大小不能确定，故不符合题意； D、，，，在直角三角形中，斜边和直角边已知，满足全等条件，能唯一确定三角形，故符合题意． 故选：D． 【跟踪训练1】如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】本题考查网格与全等三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 根据网格特点证得即可得出答案． 【详解】解：如图，取网格点E，设交于点F， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【跟踪训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用三角形全等的判定方法，当，，而为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为，当，，为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为或． 【详解】解：如图， ∵点，， ∴，， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为或， 综上所述，C点坐标为或或． 故答案为：或或． 题型13.尺规作图:作一个角等于已知角 【典例】如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图——作一个角等于已知角，根据尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知，，的，， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪训练1】如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 【答案】/140度 【分析】本题考查的知识点是尺规作等角的方法及角的和差运算；通过尺规作图得，再利用已知角的度数，结合角的和差关系求出所求角的度数． 【详解】解：由尺规作图可知，(以为圆心画弧，再以为圆心、长为半径画弧得到点，这种作图方法是作角平分线的方法)， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，掌握基本的尺规作图是解题的关键．根据基本的尺规作图判断，本题的尺规作图是作一个角等于已知角，据此判断即可． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，此选项符合题意； B、∵，即，故该选项正确，此选项不符合题意； C、，故该选项正确，此选项不符合题意； D、，故该选项正确，此选项不符合题意； 故选：A． 题型14.尺规作图:过直线外一点作直线的平行线 【典例】如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【答案】B 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】在作图痕迹中，弧是以为圆心，为半径的弧． 故选：B． 【跟踪训练1】如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图的原理，考查推理能力、几何直观，熟练掌握过直线外一点作已知直线的平行线的作法是解题关键．根据作图原理逐一分析即可． 【详解】解：该作图过程中，弧①的半径长度为任意长；弧②、③的半径长度相等，且大于的长；弧④以的长度为半径．只有C选项正确， 故选：C． 【跟踪训练2】如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定等知识，根据作角平分线，一个角等于已知角，平行线的判定逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、如图，由作图可知，， ∵， ∴， ∴，故不符合题意； 、如图， 由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、由作图可知，不能说明，故符合题意； 故选：． 一.单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．同一平面内则 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定、平行公理、三角形外角性质及角的计算，需逐一分析各选项的正确性. 【详解】解：同位角相等，两直线平行， 根据平行线判定定理，同位角相等时，两直线必定平行，故选A正确； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行， 平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；若该点在已知直线上，则不存在平行线，选项未限定“直线外一点”，故选项 B错误； 三角形的一个外角等于两个内角的和， 三角形外角性质为一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，选项未强调“不相邻”，表述不完整，故选项C错误； 同一平面内则， 若在外部，；若在内部，则，因位置未明确，结论不唯一，故选项 D错误。 综上，故选项为：A. 2．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 3．如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 4．如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据由作图可知，利用三角形的外角的性质得出，进而结合，判断即可． 【详解】解：由作图可知， ，， ． 故选：B． 5．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 6．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 二.填空题 7．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 8．如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论： （填序号）． 【答案】选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据，可知由①②④，可得出，由全等三角形的对应角相等可得出③，根据，可知由②③④，可得出，由全等三角形的对应边相等可得出①． 【详解】解：选择①②④，得出③， 在和中， ， ∴， ∴， 选择②③④，得出①， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 9．在中，，边上的中线，则边的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 延长至，使，连接，则，证明和全等得，在中，根据三角形三边之间得，由此即可得出边的取值范围． 【详解】解：延长至，使，连接，如图所示： ， ， ， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， 在中，根据三角形三边之间得：， ，， ， ， 即， 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系和全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点分别作轴，轴于点和点，构造全等三角形，先根据已知条件利用角边角证得，再根据全等三角形的性质得到，最后通过等量代换将换成即可得出答案． 【详解】解：如图， 过点分别作轴，轴于点和点，则， 点的坐标为， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，，经过原点O的直线与交于点C，动点M从点A出发沿A→O→B路径以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同一时刻动点N从点B出发沿B→O→A路径以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当点N与点A重合时，点N停止运动，点M继续运动，直至点M到达终点B时计时结束．在运动过程中分别过点M和点N作于点E，于点F，则当点M的坐标为 时，与全等． 【答案】或或 【分析】根据点、所在的位置本题，分四种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得的长即可得出结论． 本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴当时，与全等， 设当运动时间为秒时，， 点运动到时间为秒，点运动到时间为秒， 点运动到时间为秒，点运动到时间为秒， ①当时，点在上，在上，，， ∴，解得：， ∴， ∴点坐标为， ②当时，点在上，在上，，， ∴，解得：， ∴， ∴点坐标为， ③当时，点在上，在上，，， ∴，解得：（不合题意，舍去）， ④当时，点在上，在点上，，， ∴，解得：， ∴， ∴点坐标为， 综上所述：点坐标为，，. 12．如图，直角中，斜边，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，如图所示，根据直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半，以及含的直角三角形性质：所对直角边是斜边的一半，再根据旋转性质得到，从而，结合两个三角形全等的判定定理得到，进而有，即当取最小值时，有最小值，根据点到直线最短距离是垂直时得到可知当时，有最小值，从而利用直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：取中点，连接，如图所示： ∵，点是中点，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即当取最小值时，有最小值， 当时，有最小值，此时，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及直角三角形斜边中线等于斜边一半，含的直角三角形性质，旋转性质、全等三角形的判定与性质、点到直线最短距离等知识，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键． 13．如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是上的点，且，则下列结论正确的有 ． ①；②；③；④平分． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； 根据已知条件不能推出，故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ， ∵， ∴平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 三.解答题 14．如图，已知，请用尺规作图在下方作出，使得（在图上保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了尺规作角等于已知角，掌握尺规作图的方法是关键，先画出射线，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交的两边于点，然后以点为圆心，以的长度为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，以的长度为半径画弧，交前弧于点，连接，则在射线上，即可作答． 【详解】解：如图所示： 15.【教材呈现】教材第33页：两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“”）． 【思考问题】两个三角形满足“两边和其中一边的对角分别相等”，它们是否全等呢？ 【操作】（1）如图1，，线段，线段，作，使，，．图2是已经作出的一部分，请你完成作图． 【发现】（2）作出的点有________个，符合条件的三角形有________个，说明“两边和其中一边的对角分别相等”的两个三角形________（填“一定”或“不一定”）全等． 【答案】（1）见解析（2）2；2；不一定 【分析】本题主要考查作三角形和全等三角形的判定，正确作出三角形是解答本题的关键． （1）以点B为圆心，为半径，画弧，交的另一边于两点，如图所示； （2）根据图形解答即可． 【详解】解：（1）如图，点C即为所作； （2）作出的点有2个，符合条件的三角形有2个，说明“两边和其中一边的对角分别相等”的两个三角形不一定全等． 故答案为：2；2；不一定 16．如图，在中，，D，E分别为，上的点，连接，．已知，． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质． （1）利用边边边证明和全等，根据全等三角形的性质即可求证； （2）由（1）可求出，，求得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：由（1）知， ，，， ，， ， ， ． 17．如图，点A、C在的边上，点B、D在的边上，且，，连接，交于点P，连接，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的定义．利用可得，则；再利用线段的和差关系得到，结合 证得，则；然后利用得到，再利用全等三角形的性质，结合角平分线的定义可完成证明． 【详解】证明：在和中 ， ， ， ∵，， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ， 平分． 18．我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为________；    【理解探究】 （2）如图2，已知为直角三角形，，以，为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； （3）如图3，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有________组偏等积三角形； 【综合运用】 （4）如图4，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为．计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）3；（2）与是偏等积三角形，证明见解析；（3）6；（4）42000元 【分析】（1）过作交的延长线于，先由与是偏等积三角形，得，再证明，得，，由三角形的三边关系得，而是正整数，则； （2）作，交的延长线于，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； （3）延长到点，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再跟进偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，，过点作，交的延长线于，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，与是偏等积三角形，且与在边上的高相等， ， 过作交的延长线于，   ， 在和中， ， ， ，， ，且，， ， ， ∴ 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3； （2）证明：作，交的延长线于，   四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ， 与为偏等积三角形； （3）解：延长到点，使得，连接，   ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ∴，， ， ， ∴， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， ∴偏等积三角形有与，与，与，与，与，与， ∴共有6组． 故答案为：6； （4）解：由（3）同理得，，    过点作，交的延长线于， ， 点为的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2三角形全等的判定 1.三角形全等的SSS判定方法 2.SSS判定与三角形全等性质的综合应用 3.三角形全等的SAS判定方法 4.SAS判定与三角形全等性质的综合应用 5.三角形全等ASA,AAS判定方法 6.ASA/AAS判定与三角形全等性质的综合应用 7.直角三角形全等的HL判定方法 8.HL判定与全等三角形性质的综合应用 9.全等三角形判定的条件补充(综合) 10.全等三角形判定方法的灵活选择 11全等三角形:.倍长中线模型 12.全等三角形综合问题 13.尺规作图:作一个角等于已知角 14.尺规作图:过直线外一点作直线的平行线 【知识点01】全等三角形的定义 核心定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 关键补充： 1.“完全重合” 的本质：形状（对应角全相等）和大小（对应边全相等）完全一致，可通过平移、翻折、旋转（全等变换）实现重合； 2.元素：重合的顶点（对应顶点）、边（对应边）、角（对应角）； .3规范表示：用 “≌”（读作 “全等于”），对应顶点字母按顺序书写（如△ABC≌△DEF，明确 A↔D、B↔E、C↔F）； 4.定义逆用：若两三角形所有对应边、对应角均相等，则必全等（判定定理的基础）。 【知识点02】全等三角形的性质 全等三角形的性质均源于 “能够完全重合” 的核心定义，可分为基本性质和衍生性质，具体如下： 一、基本性质（直接由 “完全重合” 推导） 1.对应边相等 全等三角形中互相重合的边（对应边）长度完全相等。 2.对应角相等 全等三角形中互相重合的角（对应角）大小完全相等。 3.对应线段相等 全等三角形中对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线分别相等 二、衍生性质（由基本性质进一步推导） 1.周长相等 全等三角形的三边对应相等，因此周长（三边之和）必然相等。 2.面积相等 全等三角形的形状、大小完全一致，因此面积（底 × 高 ÷2）必然相等（对应底和对应高分别相等）。 3.对应位置关系一致 全等三角形的对应边、对应角的位置关系保持不变（如原三角形中某两边垂直 / 平行，全等三角形的对应边也垂直 / 平行）。 【知识点03】三角形全等的判定定理 判定定理的核心：通过有限的边、角相等条件，唯一确定三角形全等（排除形状 / 大小差异），分为通用定理（所有三角形）和专属定理（仅直角三角形）。 一、通用判定定理（适用于任意三角形） 1. SSS（边边边） *核心内容：三边分别相等的两个三角形全等。 *关键逻辑：三角形具有稳定性，三边确定则形状、大小唯一。 *符号语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，BC=EF，AC=DF ⇒ △ABC≌△DEF（SSS）。 2. SAS（边角边） *核心内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 *关键强调：必须是两边的 “夹角”（两条边的公共角），非夹角则为 SSA（不能判定）。 *符号语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，∠A=∠D（AB 与 AC 的夹角），AC=DF ⇒ △ABC≌△DEF（SAS）。 3. ASA（角边角） *核心内容：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 *关键强调：必须是两角的 “夹边”（两个角的公共边）。 *符号语言：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，AB=DE（∠A 与∠B 的夹边），∠B=∠E ⇒ △ABC≌△DEF（ASA）。 4. AAS（角角边） *核心内容：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 *关键关联：由三角形内角和（180°）可转化为 ASA（已知两角则第三角必相等）。 *符号语言：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（∠A 的对边） ⇒ △ABC≌△DEF（AAS）。 二、专属判定定理（仅适用于直角三角形） HL（斜边、直角边） *核心内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 *前提条件：必须先明确为直角三角形（标注直角顶点）。 *关键逻辑：勾股定理推导（斜边 + 一直角边相等 ⇒ 另一直角边必相等，本质为 SSS）。 *符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE（斜边），BC=EF（直角边） ⇒ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 绝对不能判定全等的情况（明确避坑） 1.AAA（角角角）：仅能判定相似（形状相同，大小可不同），无法判定全等。 2.SSA（边边角）：非夹角的角无法固定三角形形状，存在两种不同三角形的可能（直角三角形中 SSA 转化为 HL 除外）。 【知识点04】全等三角形辅助线做法 辅助线的核心作用是构造全等三角形或暴露隐含条件，将分散的边、角集中到可证明的图形中。以下按 “作法类型 + 原理 + 适用题型 + 示例” 梳理，精准对应解题需求： 一、连接两点 —— 构造公共边 作法 *连接两个关键点（如顶点与顶点、顶点与对边中点、对角线），形成公共边作为全等的桥梁。 核心原理 *公共边天然为两个三角形的相等边，结合已知条件匹配 SSS/SAS/ASA/AAS 判定。 适用题型 1.四边形中证明三角形全等（如平行四边形、梯形、不规则四边形）； 2.分散的边 / 角需通过公共边关联的题目。 二、作垂线 —— 构造直角三角形 作法 *过某点作已知直线的垂线（如过角平分线上一点作角两边的垂线，过顶点作对边的高），形成直角（90°）。 核心原理 *直角相等为全等提供隐含条件，可匹配 HL/AAS/ASA 判定；角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）需通过垂线体现。 适用题型 1.涉及角平分线的证明题（证线段相等、角相等）； 2.需构造直角三角形用 HL 判定的题目； 3.已知垂直关系或需证明垂直的题目。 三、倍长中线 —— 构造 SAS 全等 作法 *延长中线至某点，使延长部分与中线长度相等（如 AD 是△ABC 的中线，延长 AD 到 E，使 DE=AD），连接对应顶点（如 BE）。 核心原理 中线定义（BD=CD）+ 对顶角相等（∠ADC=∠EDB）+ 延长的相等线段（AD=DE），可证△ADC≌△EDB（SAS），实现线段 / 角的转移。 适用题型 1.涉及三角形中线的证明题（证线段和差、相等，角相等）； 2.需将分散的边转移到同一三角形的题目（如证明 AB+AC>2AD）。 四、截长补短 —— 构造相等线段 作法 *截长：在长线段上截取一段等于短线段（如证 AB=CD+BE，在 AB 上截取 AF=CD）； *补短：延长短线段至与长线段相等（如证 AB=CD+BE，延长 CD 到 F，使 DF=BE）。 核心原理 通过截取 / 延长制造相等线段，结合已知条件构造全等，将线段和差问题转化为线段相等问题。 适用题型 1.证明线段和差关系（如 “a=b+c”“a-b=c”）； 2.线段分散无法直接证明相等的题目。 五、作角平分线 —— 构造角相等 作法 *作已知角的角平分线（如作∠BAC 的平分线 AD），或作一个角等于已知角（如作∠ADE=∠ABC）。 核心原理 角平分线提供相等角，结合已知边相等，可匹配 SAS/ASA/AAS 判定；构造等角可将分散的角集中。 适用题型 1.需证明角相等或利用等角证全等的题目； 2.已知角的关系但无明确角平分线的题目。 六、平移 / 旋转 / 翻折 —— 构造全等变换 作法 *平移：将某条线段沿特定方向平移，使端点与已知点重合； *旋转：将三角形绕某点旋转一定角度（如 60°、90°），使相等边重合； *翻折：将三角形沿某条直线翻折，构造对称的全等三角形。 核心原理 平移、旋转、翻折均为全等变换，变换后的三角形与原三角形全等，可将分散的边 / 角整合到同一图形。 适用题型 1.图形中边 / 角分散，无法直接证明全等的复杂题目；. 2.涉及等边三角形、等腰直角三角形的旋转类题目。 辅助线作法核心总结 1.目的导向：缺什么条件补什么 2.定理匹配：根据目标判定定理（SSS/SAS/HL 等）选择辅助线（如用 HL 则作垂线造直角）； 3.隐含条件：辅助线需结合共边、对顶角、直角相等、三角形内角和等隐含条件。 【知识点05】全等三角形综合应用 1. 基础应用：证明边 / 角相等 *核心思路：证明包含待证边 / 角的两个三角形全等，再利用全等性质推导。 2. 进阶应用：证明线段平行 / 垂直 *核心思路：先证全等→对应角相等→利用平行线 / 垂直的判定定理推导。 平行判定：同位角相等 / 内错角相等→两直线平行； 垂直判定：夹角为 90°→两直线垂直。 3.拓展应用：证明线段和差 / 倍数关系 *核心思路：通过截长补短、倍长中线等辅助线构造全等，将线段转化为相等关系。 4.实际应用：测量不可直接到达的距离 *原理：利用全等三角形的对应边相等，构造与目标距离相等的可测量线段。 5. 综合压轴：全等与其他几何知识结合 *结合知识点：平行线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、四边形（平行四边形、矩形、菱形）、勾股定理等； *核心思路：分解图形，先证局部三角形全等，再利用全等性质推导其他结论。 高频易错点 1. 概念类易错点 *混淆 “对应边” 与 “对边”：对应边是全等三角形中重合的边，对边是三角形中某角所对的边； *书写全等时对应顶点顺序错误：如△ABC≌△FED（正确应为△ABC≌△DEF）； *误将 HL 用于非直角三角形：如锐角三角形用 HL 判定全等。 2. 定理类易错点 *SAS 中忽略 “夹角”：将非夹角的角当作夹角使用（如 AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，误用 SAS）； *混淆 ASA 与 AAS：将 AAS 中的对边当作 ASA 中的夹边； *认为 AAA/SSA 可以判定全等：忽略 AAA 只能判定相似，SSA 无唯一性。 3. 证明过程类易错点 *无依据的相等关系：如未证明∠A=∠D，直接在证明中使用 “∠A=∠D”； *辅助线作法描述不清晰：如 “作垂线 AD”（未说明 AD 垂直于哪条直线）； *遗漏关键步骤：如证明全等后，未利用全等性质推导最终结论。 题型1.三角形全等的SSS判定方法 【典例】如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图， 已知，，则图中全等三角形共有（   ） 对． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练2.】雨伞截面示意图如图所示，伞骨，支撑杆．当沿滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭过程中，与的数量关系为 ． 题型2.SSS判定与全等三角形性质的综合应用 【典例】如图，在四边形中，，．请你写出一个正确的结论： ． 【跟踪训练1】如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 【跟踪训练2】用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则叙述正确的个数有（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型3.三角形全等的SAS判定方法 【典例】如图所示的的正方形网格中，的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．若，则的度数是 ． 【跟踪训练2】如图，点A、E、B、D在同一条直线上，，，若利用“SAS”来判定，则需补充一个条件： ． 题型4.SAS判定与全等三角形性质的综合应用 【典例】如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 【跟踪训练1】如图，在四边形中，平分，，若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【跟踪训练2】如图，在与中，点F在上，，，，，，则的度数为 ． 题型5.三角形全等的ASA..AAS判定方法 【典例】调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 【跟踪训练1】某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则 ． 题型6.ASA/AAS判定与全等三角形性质的综合应用 【典例】如图所示，是小明和小红跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小红（点）到地面的距离为 ． 【跟踪训练1】如图，已知，，于，且，若，，则的长为 ． 【跟踪训练2】如图，已知中，，，H是高和的交点，，则的面积为（    ） A．13 B．15 C．26 D．28 题型7.直角三角形全等的HL判定方法 【典例】如图，于点，，，则可以直接判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，，能直接根据“”判定，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    题型8.HL判定与全等三角形性质的综合应用 【典例】如图，，，，则 度． 【跟踪训练1】如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等． 【跟踪训练2】如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（   ） A． B． C． D． 题型9.全等三角形判定的条件补充(综合) 【典例】如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，已知，添加条件 ，使．    题型10.全等三角形判定方法的灵活选择 【典例】如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 【跟踪训练1】在和中，，，．下列条件中不能确定与全等的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】下列命题：①三角形的一个外角等于两个内角的和；②有两角和一边分别相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边的中线分别相等的两个三角形全等；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．其中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 题型11.全等三角形:倍长中线模型 【典例】已知AD是△ABC中BC边的中线，若AB＝4，AD＝3，则AC的长可以是（  ） A．11 B．11 C．10 D．9 【跟踪训练1】在中，，是边的中线，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】在中，，则的中线取值范围是 ． 题型12.全等三角形综合问题 【典例】下列条件能确定的形状与大小的是（    ） A．，，. B．， C．，， D．，， 【跟踪训练1】如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 【跟踪训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为 ． 题型13.尺规作图:作一个角等于已知角 【典例】如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 【跟踪训练2】如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 题型14.尺规作图:过直线外一点作直线的平行线 【典例】如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【跟踪训练1】如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 【跟踪训练2】如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A． B． C． D． 一.单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．同一平面内则 2．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 3．如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 5．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 6．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 二.填空题 7．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 8．如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论： （填序号）． 9．在中，，边上的中线，则边的取值范围是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，，经过原点O的直线与交于点C，动点M从点A出发沿A→O→B路径以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同一时刻动点N从点B出发沿B→O→A路径以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当点N与点A重合时，点N停止运动，点M继续运动，直至点M到达终点B时计时结束．在运动过程中分别过点M和点N作于点E，于点F，则当点M的坐标为 时，与全等． 12．如图，直角中，斜边，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 13．如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是上的点，且，则下列结论正确的有 ． ①；②；③；④平分． 三.解答题 14．如图，已知，请用尺规作图在下方作出，使得（在图上保留作图痕迹）． 15.【教材呈现】教材第33页：两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“”）． 【思考问题】两个三角形满足“两边和其中一边的对角分别相等”，它们是否全等呢？ 【操作】（1）如图1，，线段，线段，作，使，，．图2是已经作出的一部分，请你完成作图． 【发现】（2）作出的点有________个，符合条件的三角形有________个，说明“两边和其中一边的对角分别相等”的两个三角形________（填“一定”或“不一定”）全等． 16．如图，在中，，D，E分别为，上的点，连接，．已知，． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 17．如图，点A、C在的边上，点B、D在的边上，且，，连接，交于点P，连接，求证：平分． 18．我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为________；    【理解探究】 （2）如图2，已知为直角三角形，，以，为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； （3）如图3，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有________组偏等积三角形； 【综合运用】 （4）如图4，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为．计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $