第18讲直线与圆的位置关系 复习课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级下册

这是一份初中数学期末复习课件，共41页，聚焦“直线与圆的位置关系”。以博物馆观赏最佳位置的生活情境引入，通过“大师导航”建立数学与现实联系，再分类型探究位置关系、切线性质与判定等，配套例题解析和练习题，构建完整学习支架。 资料特色融合核心素养，用展品视角问题引导学生用数学眼光观察现实，通过切线证明等例题培养逻辑推理的数学思维，以公式推导和几何语言表达结论强化数学语言。分类型例题和“指点迷津”助学生系统掌握，为教师教学提供清晰思路，助力九年级学生巩固中考重点知识。

第18讲 直线与圆的位置关系 YOUR LOGO 怎样找出观赏展品的最佳位置 当进入博物馆的展 览厅时，你是否留意分 隔观赏者和展品的围栏 所放的位置？对于你的 高度而言，你认为它的 位置恰当吗？ 要找出围栏摆放的适当位置，首先须知道对于一般高度的参观者何处观赏最理想．最佳的位置就是当展品的最高点P和最低点Q与观赏者的眼E所形成的视角θ为最大． 为了找出最大视角θ的位置，作圆(O为圆心)通过P和Q，与水平线HE相切于E点．根据圆形的特性，同弧上的圆周角会比圆外角大(θ＞0)．因此，眼睛处于E点时，观赏的视角最大. 设x为观赏者离展品的水平距离；而p和q分别为展品的最高点和最低点与地面高度的差距． 直线与圆的位置关系 C 【思路生成】求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A(－3，0)，可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值． 【解析】 如答图所示，∵点P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O， ∴⊙P的半径是1， 例1答图 ∴AM＝2，M点的坐标为(－1，0)，即对应的P′点的坐标为(－1，0)， 同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为(－5，0)， 所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是－2，－3，－4，共3个． 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小确定： ①若d＜r，直线与圆相交； ②若d＝r，直线与圆相切； ③若d＞r，直线与圆相离． 1．已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是 (　 　) A．相交　　　　　B．相切 C．相离　　　　　D．无法判断 2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为(　 　) A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm B A 切线的性质 例2　已知：如图6－18－1，AB为⊙O的直径，PD切⊙O的于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD. (1)求∠D的度数； (2)若CD＝2，求BD的长． 图6－18－1 【思路生成】(1)根据等腰三角形性质和三角形性质求出∠COD＝2∠CAD，根据切线定理求出∠OCD＝90°； (2)求出OC＝CD，根据勾股定理求出OD即可得到BD的长. 解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA. ∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A. ∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D. ∵PD与⊙O相切于点C， ∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°. ∴∠D＝45°. (2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形， ∴OC＝CD＝2， 切线的性质 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论：(1)经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心； (2)经过圆心且垂直于圆的切线的直线必过切点． 切线的性质的辅助线：有切线，连结切点与圆心，是解决图中有关相切问题的常用辅助线． 3．如图6－18－2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是 (　 　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 图6－18－2 A 4．如图6－18－3，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O 的切线，切点为C.连结AC，BC，作∠APC 的平分线交AC于点D.下列结论正确的是__ __________．(写出所有正确结论的序号) ①△CPD∽△DPA； ③若∠CPA＝30°，则PB＝OB； ④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值． 图6－18－3 ②③④ 切线的判定 例3　如图6－18－4，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE. (1)求AC，AD的长； (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由． 图6－18－4 【思路生成】(1)连结BD，AD，运用勾股定理求AC.由CD平分∠ACB，得出AD＝BD，所以Rt△ABD是等腰直角三角形，求出AD； (2)连结OC，由角的关系求出∠PCB＝∠ACO，可得到∠OCP＝90°，所以直线PC与⊙O相切． 解：(1)连结BD，AD. ∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中， 例3答图 (2)直线PC与⊙O相切． 理由：连结OC， ∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC. ∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE， ∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB， ∴∠PCB＝∠CAE，∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°， ∴OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切． 切线的判定 1．证明切线的方法： (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，即d＝r； (3)利用定理，即满足经过半径外端，且垂直于这条半径的直线． 2．证明切线的常见辅助线： (1)当直线和圆的公共点已知时，连结半径证垂直，即“作半径，证垂直”； (2)当直线与圆的公共点未知时，作垂直证直线到圆心的距离等于圆的半径，即“作垂直，证半径”． 5．如图6－18－5，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连结PC并延长与AB的延长线交于点F. (1)求证：PC是半⊙O的切线； (2)若∠CAB＝30°，AB＝10，求线段BF的长． 图6－18－5 解：(1)证明：如答图，连结OC， ∵C在半⊙O上，∴OC＝OA. ∵OD⊥AC， ∴D为AC中点，∴PA＝PC， ∵OP＝OP，∴△AOP≌△COP， ∵AP为半⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°，∴∠OCP＝∠OAP＝90°， ∴PC是半⊙O的切线． 变式跟进5答图 (2)∵AB是半⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，AB＝10， ∵PC是半⊙O的切线，∴∠OCP＝90°， ∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠F＝30°， ∴OF＝2OC＝10，∴BF＝OF－OB＝5. 求与圆的切线有关的阴影面积 例4　如图6－18－6，AB为⊙O的直 径，AC，DC为弦，∠ACD＝60°，P为 AB延长线上的点，∠APD＝30°. (1)求证：DP是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3 cm，求图中阴影 部分的面积． 图6－18－6 【思路生成】(1)连结OD，求出∠DOB，∠ODP，根据切线判定推出即可； (2)求出OP，DP长，分别求出扇形DOB和△ODP的面积，即可求出答案． 解：(1)证明：如答图，连结OD，DB， ∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝60°. 又∵OB＝OD， ∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD ＝∠ABD＝60°. 又∵∠APD＝30°， ∴∠ODP＝90°，∴OD⊥DP. 又∵点D在⊙O上，∴DP是⊙O的切线． 例4答图 (2)由(1)知△ODP为直角三角形，∠APD＝30°. 圆的切线的运用常见的基本图形如下图所示． 6．如图6－18－7，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA 的延长线于点 E. (1)求证： CD为⊙O的切线； (2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积． 图6－18－7 解：(1)证明：如答图，连结OD. ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC＝90°. ∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°，∴CD是⊙O的切线． 变式跟进6答图 与切线有关的综合型问题 例5 如图6－18－8，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C，D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C，O，D的一个动点，AM所在的直线交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN. (1)当点M在⊙O内部，如图①，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程； (2)当点M在⊙O外部，如图②，其他条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由； (3)当点M在⊙O外部，如图③，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积． 解：(1)PN与⊙O相切． 证明：如答图①，连结ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN. ∵∠AMO＝∠PMN，∴∠PNM＝∠AMO. ∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°. 即PN与⊙O相切． 图6－18－8 (2)成立． 证明：如答图②，连结ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN. 在Rt△AOM中，∠OMA＋∠OAM＝90°， ∴∠PNM＋∠ONA＝90°. ∴∠PNO＝180°－90°＝90°. 即PN与⊙O相切． 例5答图 (3)如答图③，连结ON，由(2)可知∠ONP＝90°. ∵∠AMO＝15°，PM＝PN， ∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°， ∴∠PON＝60°，∠AON＝30°. 作NE⊥OD，垂足为点E， 与切线有关的综合型问题 运动型问题常用到数形结合、分类讨论、转化等数学思想. (1)当一个问题是有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解； (2)当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型求解． 7．如图6－18－9，已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD＝OA. (1)当直线CD与半圆O相切时(如图①)，求∠DOC的度数； (2)当直线CD与半圆O相交时(如图②)，设另一交点为E，连结AE，若AE∥OC， ①AE与OD的大小有什么关系？为什么？ ②求∠ODC的度数． 解：(1)如答图①，连结OC. ∵直线CD与半圆O相切， ∴∠OCD＝90°. ∵OC＝OA，CD＝OA，∴OC＝CD.∴∠DOC的度数是45°. 图6－18－9 (2)①AE＝OD.理由如下：如答图②，连结OE. ∵OC＝OA，CD＝OA， ∴OC＝CD.∴∠COD＝∠CDO. ∵AE∥OC，∴∠EAD＝∠COD.∴∠EAD＝∠CDO. ∴AE＝DE. 变式跟进7答图 ∵OA＝OE，OC＝CD， ∴∠DOE＝2∠EAD，∠OCE＝2∠CDO. ∴∠DOE＝∠OCE. ∵OC＝OE， ∴∠DEO＝∠OCE.∴∠DOE＝∠DEO.∴OD＝DE.∴AE＝OD. ②由①得∠DOE＝∠DEO＝2∠ODC. ∵∠DOE＋∠DEO＋∠ODC＝180°， ∴2∠ODC＋2∠ODC＋∠ODC＝180°. ∴∠ODC＝36°. 例6　如图6－18－10，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O 切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水 平距离 (　 　) 图6－18－10 C 【解析】 如答图，当滚动至⊙O′与CA也相切时，切点为D，与BC的切点为E， 连结O′C，O′E，O′D，OO′， ∵O′D⊥AC，∴O′D＝O′E. ∴O′C平分∠ACB， 例6答图 在△OMQ中，OM＝x，OQ＝OE＝QM＋q，QM＝. 利用勾股定理，OQ2＝OM2＋QM2，得OM＝，化简后得x＝. 在考虑展览厅内摆设围栏的位置时，只需要估计一般入场参观者的高度，而又知道展品本身的长度和安放的高度，便知道如何安置围栏，方便进场的人找个理想的观赏位置． 例1　在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A(－3，0)，点B(0，)，点P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′(点P的对应点为点P′)，当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有(　 　) A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个 若⊙P与AB相切时，设切点 为D，由点A(－3，0)，点B(0，)， ∴OA＝3，OB＝，由勾股定理得 AB＝2，∠DAM＝30°， ∵MD⊥AB，MD＝1，∠DAM＝30°， 由勾股定理，得OD＝＝2， ∴BD＝OD－OB＝2－2. ②若∠A＝30°，则PC＝BC； AC＝＝＝8(m)． ∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD. 在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2， 即2AD2＝AB2，且AB＝10 cm， ∴AD＝5 cm. ∴AC＝8 cm，AD＝5 cm. ∴BC＝AB＝5，OA＝OB＝OC＝5， ∴S阴影＝S△ODP－S扇形DOB＝OD·DP－＝×3×3－＝(cm2)． 答：阴影部分的面积为 cm2. ∴tan 30°＝＝，∴DP＝3 cm， (2)作OF⊥BD，垂足为F，在Rt△OBF中， ∵∠ABD＝30°，OF＝1， ∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝. ∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120°. ∴S阴影＝S扇形BOD－S△BOD＝－×2×1＝π－. 则NE＝ON·sin 60°＝1×＝. S阴影＝S△AOC＋S扇形AON－S△CON＝OC·OA＋×π×12－CO·NE ＝×1×1＋π－×1×＝＋π－. A．2π　　　　 B．π　　　　 C．2　　　　 D．4 ∴∠O′CB＝∠ACB＝×60°＝30°. ∴O′C＝2O′E＝2×2＝4， ∴OO′＝CE＝＝＝2. $