第17讲解直角三角形及其应用期末复习课件 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

这是一份初中数学解直角三角形及其应用的期末复习课件，共41页。以雷达测高问题引入，系统讲解解直角三角形的定义、边角关系及四种基本类型，通过测量高度、坡度、航海、圆中计算等例题和变式题构建学习支架，助力期末复习。 资料特色突出核心素养，以雷达测高体现数学眼光观察现实世界，推导公式培养逻辑推理的数学思维，实际应用案例（如测量高楼高度、坝底长度）强化数学语言表达。帮助九年级学生巩固核心知识应对升学考试，为教师提供情境化教学素材，提高复习效率。

第17讲解直角三角形及其应用 YOUR LOGO 雷达怎样测到目标的高度？ 这个近似公式是怎么得来的呢？如图③所示，A点表示地面雷达的位置，B点表示空中目标的位置．一般倾斜距离AB＝d对于地球半径来说非常小，因此中心角∠AOB非常小． 连结OB(O是地球中心)，过A作AC⊥OA交OB于C.所以∠OAC＝90°， 而∠ACB＝∠OAC＋∠AOB≈∠OAC＝90°， 即AC可看做垂直于BC， ∴BC≈dsin θ. 根据切割线定理，从圆外一点C作切线CA和割线CF，则割线(CF)和在圆外部分(CE)的积等于切线(CA)的平方，即 CE·CF＝CA2. 因为CF≈2R，CA≈d(倾斜角θ一般很小)，所以上式为 1．解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素(至少有一条边已知)求未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形的边角关系： 三边之间关系：a2＋b2＝c2； 锐角之间关系： ∠A＋∠B＝90°； 利用解直角三角形测量物体的高度(宽度) 图5－17－1 【思路生成】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD. 解：如答图，过点A作AD⊥BC， 垂足为D. 根据题意，可得∠BAD＝30°， ∠CAD＝60°，AD＝120 m， 例1答图 1．小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图5－17－2，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10 m到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角∠1＝75°. (1)求AD的长；(2)求树长AB. 图5－17－2 解：(1)如答图，过A作AH⊥CB于H， 变式跟进1答图 2.中国“蛟龙”号深潜器目前深潜 极限为7 062.68 m．某天该深潜器在 海面下1 800 m处作业(如图5－17－3)， 测得正前方海底沉船C的俯角为45°， 该深潜器在同一深度向正前方直线航 行2 000 m到B点，此时测得海底沉船 C的俯角为60°. (1)沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由； (2)由于海流原因，“蛟龙”号需在B点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为2 000 m/h，求“蛟龙”号上浮回到海面的时间. 图5－17－3 解：如答图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. 变式跟进2答图 由已知得AB＝2 000 m， 解得CD≈4 732 m. “蛟龙”号共下潜了1 800＋4 732＝6 532(m)． 由于6 532＜7 062.68， 所以沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内． (2)“蛟龙”号上浮回到海面的时间1 800÷2 000＝0.9(h)． 解直角三角形测量物体的高度(宽度)： 解直角三角形解决高度(距离)问题往往需转化为求直角三角形边长问题，寻找或构造直角三角形是解决此类问题的基本方法，作高(或垂线)是常见的辅助线． 常见的基本图形如下图所示． 三角形中可仿照①②作垂线．③图中作BC边上的高，梯形中可仿照④⑤图中作高． 利用解直角三角形解决坡度问题 图5－17－4 【思路生成】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形． 解：如答图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD垂足分别为E，F， 例2答图 坡度问题 坡角：坡角是坡面与水平面所成的角． 利用解直角三角形解决坡度问题 解直角三角形解决坡度问题要通过作适当的辅助线构造直角三角形，把坡度转化为三角形对应边的比，坡角转化为直角三角形的内角． 常见的辅助线：作三角形一边上的高，梯形上的高，过切点的半径，直径所对的圆周角等. B 图5－17－5 图5－17－6 解：如答图，作EF⊥AB于点F，作EH⊥BC于点H. 变式跟进4答图 利用解直角三角形解决航海问题 例3　如图5－17－7，在一笔 直的海岸线l上有A，B两个观测 站，A在B的正东方向，AB＝2(单 位：km)．有一艘小船在点P处， 从A测得小船在北偏西60°的方向， 从B测得小船在北偏东45°的方向． (1)求点P到海岸线l的距离； (2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述问题的结果都保留根号) 图5－17－7 【思路生成】(1)过点P作PD⊥AB于点D，设PD＝x，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD＋AD＝AB，列出关于x的方程，解方程即可． (2)过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF，再解Rt△BCF，得出BC. 解：(1)如答图，过点P作PD⊥AB于点D.设PD＝x. 由题意，知∠PBD＝45°，∠PAD＝30°， ∴在Rt△BDP中，BD＝PD＝x， 例3答图 利用解直角三角形解决航海问题方法技巧 解直角三角形解决航海问题，一般是转化为直角三角形或相似三角形或全等三角形来解，从各方向角中计算出角的大小，再直接利用直角三角形求实际问题． 图5－17－8 变式跟进5答图 利用解直角三角形解决圆中的计算问题 图5－17－9 解：(1)如答图，作AE⊥BC，垂足为E. 在Rt△ABE中， 例4答图 在Rt△ACE中， ∵∠ACE＝60°，AE＝3， 利用解直角三角形解决圆中的计算问题 解答此类问题与解直角三角形有关的圆的综合问题，要结合圆的性质和某角的三角函数构造直角三角形． 6．如图5－17－10，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连结AD，BD，CD. (1)求证：AD＝CD； 图5－17－10 解：(1)证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°. 又∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°， 例5　[华师一附中高一自招]如图5－17－11，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连结CD，如果AD＝1，求tan∠BCD 的值． 图5－17－11 【思路生成】首先利用线段垂直平分线的性质得出∠A＝∠ACD⇒AD＝DC＝1，根据AB＝AC求出BD的长即可求解． 雷达发出波束，到达目标后反向回来．如图①，根据波束的速度和来回时间，可以计算出雷达到目标的倾斜距离d，同时还可测得目标的高低角θ.这时目标的高度h＝dsin θ.如图②，如果考虑地球表面弯曲，那么在上面的式子中，还要加上一项，得到计算目标高度h的近似公式h＝dsin θ＋.上式中R是地球半径，约等于6 370公里． CE·2R＝d2，即CE＝. 所以，目标高度h＝BC＋CE＝dsin θ＋. 边角之间关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝. 3．解直角三角形的四种基本类型： (1)已知两直角边(如a和b)，则c＝，由tan A＝，求出∠A，则∠B＝90°－∠A； (2)已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)，则b＝，由sin A＝求出∠A，则∠B＝90°－∠A； (3)已知一直角边和一锐角(如a和∠A)，则 ∠B＝90°－∠A，c＝，b＝； (4)已知斜边和一锐角(如斜边c和∠A)，则∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A. 例1　如图5－17－1，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120 m．这栋高楼有多高？(≈1.732，结果保留小数点后一位) 在Rt△ADB中，由tan∠BAD＝得 BD＝AD·tan∠BAD＝120×tan 30°＝120×＝40(m)． 在Rt△ADC中，由tan∠CAD＝得 CD＝AD·tan∠CAD＝120×tan 60°＝120×＝120(m)， ∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1(m)． 答：这栋楼高约为277.1 m. ∵CH－DH＝CD，即x－x＝10，∴x＝5m. ∵∠ADH＝45°，∴AD＝x＝5(＋5)m. (2)如答图，过B作BM ⊥AD于M. ∵∠1＝75°，∠ADB＝45°，∴∠DAB＝30°. 设MB＝m，∴AB＝2m，AM＝m，DM＝m. ∵AD＝AM＋DM，∴5＋5＝m＋m. ∴m＝5 m，∴AB＝2m＝10 m． (参考数据：≈1.414，≈1.732) 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝， 则AD＝. 在Rt△BCD中，tan∠CBD＝， 则BD＝， ∵AD－BD＝AB＝2 000，∴－＝2 000， 例2　如图5－17－4，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比) 由题意，可知BE＝CF＝20 m，BC＝EF＝6 m，∠D＝30°， 在Rt△ABE中，i＝＝，即＝，∴AE＝50 m. 在Rt△CDF中，tan 30°＝，即＝，∴DF＝20≈34.64. ∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋34.64≈90.6(m)． 坡度：坡度是斜坡上两点的竖直距离与水平距离之比，即i＝＝tan α. 3．如图5－17－5，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3 m，则坡面AB的长度是(　 ) A．9 m B．6 m C．6 m D．3 m 4．如图5－17－6，一楼房AB后有一假山，其坡度i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25 m，与亭子距离CE＝20 m．小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比) ∵i＝1∶，∴tan∠ECH＝，∴∠ECH＝30°， ∴EH＝CE·sin 30°＝20×＝10(m)， CH＝CE·cos 30°＝20×＝10(m)． ∵BC＝25 m，∴EF＝BH＝(25＋10)m， ∵E点的俯角为45°， ∴AF＝EF＝(25＋10)m，BF＝EH＝10 m， ∴AB＝AF＋BF＝(35＋10)m. 答：楼房AB的高为(35＋10)m. 在Rt△PDA中，AD＝PD＝x， ∵AB＝2，∴x＋x＝2， ∴x＝＝－1. 答：点P到海岸线的距离为(－1)km. (2)如答图，过点B作BF⊥AC于点F. 在Rt△ABF中，BF＝AB·sin 30°＝1， 在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°， 在Rt△BFC中，BC＝BF＝×1＝. 答：点C与点B之间的距离为 km. 5．如图5－17－8，C岛位于我国南海A港口北偏东60°方向，距A港口60海里处．我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接到上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°的方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？ 解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，∴CD＝AC·sin∠CAD＝60×＝30(m)， ∴BC＝＝60 m， ∴t＝60÷60＝1(h)． 答：从B处到达C岛需要1 h. 例4 如图5－17－9，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝3，点D为BA延长线上的一点，且∠D＝∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆． (1)求BC的长； (2)求⊙O的半径． 【思路生成】(1)过A作AE⊥BC于E，根据题意得出AE的长，进而得出BE＝AE，再利用tan∠ACB＝，求出EC的长； (2)作直径AF，连结CF，首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D＝∠F＝60°，进而求出AF的长． ∵∠B＝45°，AB＝3，∴AE＝BE＝3. ∴CE＝＝＝， ∴BC＝BE＋CE＝3＋. (2)如答图，作直径AF，连结CF，则∠ACF＝90°，在 Rt△ACE中， ∵∠ACE＝60°，AE＝3，∴AC＝＝＝2， 在Rt△AFC中， ∵∠F＝∠D，∠D＝∠ACB＝60°，∴∠F＝60°， ∵sinF＝，∴AF＝＝＝4， ∴⊙O的半径为2. (2)若AB＝10，cos∠ABC＝，求tan∠DBC的值． ∴OD⊥AC，∴＝，∴AD＝CD. (2)∵AB＝10，∴OA＝OD＝AB＝5. ∵OD∥BC，∴∠AOE＝∠ABC. 在Rt△AEO中，OE＝OA·cos∠AOE＝OA·cos∠ABC＝5×＝3. ∴DE＝OD－OE＝5－3＝2. 由勾股定理得，AE＝＝＝4. 在Rt△AED中，tan∠DAE＝＝＝. 又∵∠DBC＝∠DAE，∴tan∠DBC＝. 解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD，∠A＝∠ACD＝45°， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵AD＝CD＝1， ∴AC＝AB＝，BD＝－1. 在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝－1. $