第 16讲锐角三角函数 期末复习课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级下册

这是一份初中数学锐角三角函数的期末复习课件，共42页内容。从月球地平视差实际问题引入，讲解三角函数定义、性质（同角互余角关系及值的范围），分类探究与三角形、四边形、圆的综合题型，包含双直角三角形问题及解题技巧，配有例题、变式跟进及解析。 资料注重核心素养培养，以月球距离计算情境激发学生用数学眼光观察现实世界，通过全等相似推理过程培养数学思维，强调线比与几何图形结合提升数学语言表达能力。题型分层且含指点迷津，能帮助学生系统掌握知识，也为教师教学提供结构化素材。

第16讲锐角三角函数 YOUR LOGO 月球有多远？ 如图，如果从地球上A点看， 月球S刚好在地平线上(即AS和地 球半径OA垂直)，而同时从地球上B点看，S刚好在天顶处(即S在地球半径OB的延长线上)，那么∠S就叫做月球S的地平视差，根据一个天体的地平视差，可以算出这个天体的距离． ∠S可以从∠AOB算出，而∠AOB可以从地球上A，B两点的经纬度算出． 月球S的地平视差(∠S)，就是从月球S看来，垂直于视线(SA)的地球半径(OA)所对的角． 已知地球半径R＝6 370 km，月球的地平视差是57′，我们就可以计算月球离我们的距离． 三角函数 D 【思路生成】设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度． B A．1 B．1.5 C．2 D．3 C 图5－16－1 3．如图5－16－2，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sin C的值为 (　 　) B 图5－16－2 【解析】 过点A作AD⊥OB于点D，连结AB. ∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°， 变式跟进3答图 三角函数的定义 如下图，在Rt△ABC中， 锐角三角函数的性质 1．同角三角函数间的关系 (1)平方关系： sin2A＋cos2A＝1. (2)商数关系： 2．互余角的三角函数间的关系 sin A＝cos(90°－∠A)； cos A＝sin(90°－∠A)． 3．锐角三角函数值的范围 0<sin A<1； 0<cos A<1； tan A>0. 求三角函数值的技巧 已知一个锐角的三角函数值，求同角或余角的另一种三角函数值，根据三角函数定义和勾股定理，用一个字母表示直角三角形三边即可求出函数值． 特殊角三角函数值 【思路生成】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二、三项为特殊角的三角函数计算，第四项利用负指数幂法则计算，第五项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． C B 锐角三角函数值 角函数与三角形、相似三角形等综合 例3　如图5－16－3，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点E，E F⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等 分点(AF＞BF)． (1)求证：△ACE≌△AFE； (2)求tan∠CAE的值． 图5－16－3 【思路生成】(1)根据角的平分线性质可求得CE＝EF，然后根据直角三角形的判定定理证得三角形全等； (2)由△ACE≌△AFE，得出AC＝AF，CE＝EF，设BF＝m，则AC＝2m，AF＝2m，AB＝3m，根据勾股定理可求． 解：(1)证明一：∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠FAE. 又∵∠C＝90°，EF⊥AB， ∴EC＝EF，∠EFA＝90°， ∴∠C＝∠EFA， ∴△ACE≌△AFE(AAS)． 证明二：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF， ∴CE＝EF， 在Rt△ACE与Rt△AFE中， ∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)． (2)由(1)可知△ACE≌△AFE， ∴AC＝AF，CE＝EF， 设BF＝m，则AC＝AF＝2m，AB＝3m， 7．如图5－16－4，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上 一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F， 连结FB，则tan∠CFB的值等于 (　 　) 图5－16－4 C 图5－16－5 三角函数与四边形综合 图5－16－6 A 解“双直角三角形”问题 双直角三角形是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形． 双直角三角形原型图及其五种变形图如下图． 图中所示的图形还可以旋转、翻折． 三角函数与四边形综合 三角函数的本质是线比，故可将三角函数有关的性质与相似三角形联系在一起． 9．如图5－16－7，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连结EF，PD. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值. 图5－16－7 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥CB. ∵AE平分∠BAD， BF平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠DAE， ∠ABF＝∠CBF. 又∴∠DAE＝∠BEA，∠EBF＝∠AFB， ∴∠ABF＝∠AFB，∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE，AB＝AF.∵AF∥BE， ∴四边形ABEF为菱形． 变式跟进9答图 (2)如答图，作PH垂直AD交AD于点H. ∵∠ABC＝60°，AB＝BE， ∴△ABE为等边三角形， ∴AE＝AB＝4，∠DAE＝60°， ∵四边形ABEF为菱形，∴P点为AE中点，∴AP＝2， 三角函数与圆的综合 例5　如图5－16－8，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1 ＝∠C. (1)求证：CB∥PD； 图5－16－8 【思路生成】(1)要证明CB∥PD，可以求得∠1＝∠P，根据同弧所对圆周角相等可以确定∠C＝∠P，又知∠1＝∠C，即可得∠1＝∠P； (2)连结AC，可知△ABC为直角三角形，∠P＝∠CAB，所以可以求得圆的直径． 解：(1)证明：∵∠C＝∠P， 又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD. (2)如答图，连结AC. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 例5答图 10．如图5－16－9，圆O的直径CD＝10 cm，且AB⊥CD， 垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAB＝____． 图5－16－9 解决与圆有关的三角函数问题，常通过作“垂直于弦的直径”(如图①)构造直角三角形；或利用“直径所对的圆周角是直角”(如图②)构造直角三角形；或连结圆心和切点(如图③)构造直角三角形． 图5－16－10 ① 图5－16－10② (3)tan 7.5°的几何求法． 如图5－16－10③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，延长CA到D，使AD＝AB. 图5－16－10③ 求非特殊角的三角函数值的关键是构造出含特殊角的直角三角形. 在Rt△OAS中，sin S＝， ∴OS＝. ∵OA＝R＝6 370 km，∠S＝57′， ∴OS＝＝＝≈384 000(km)． 即月球离地球的距离是384 000 km. 【解析】 ∵sin A＝，∴设BC＝5x，AB＝13x， 则AC＝＝12x，故tan B＝＝. 例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为 (　 　) A.　　　　　　B.　　　　　C.　　　　　　D. 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是 (　 　) A. B. C. D.　 2．如图5－16－1，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan α＝，则t的值是 (　 　) A. B. C. D. ∴OD＝AD＝OA·cos 45°＝×1＝， ∴BD＝OB－OD＝1－， ∴AB＝＝， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°，AC＝2， ∴sin C＝. sin A＝＝； cos A＝＝； tan A＝＝. sin A，cos A，tan A叫做∠A的三角函数值． tan A＝. 例2　计算：＋sin 45°＋tan 60°－－＋. 解：原式＝＋×＋－－2＋1＝＋1＋＋3－2＋1＝5. 4．在△ABC中，若|cos A－|＋(1－tan B)2＝0，则∠C的度数是 (　 　) A．45° B．60° C．75° D．105° 5．式子2cos 30°－tan 45°－的值是(　 　) A．2－2 B．0 C．2 D．2 6．计算：－4sin 45°－＋. 　∠A的度数 三角函数　　　　 30° 45° 60° sin A cos A tan A 1 ∴BC＝＝＝m. 解法一：∵∠C＝∠EFB＝90°， ∴△EFB∽△ACB，∴＝， ∴tan∠CAE＝. 解法二：∴在Rt△ABC中， tan B＝＝＝， 在Rt△EFB中，EF＝BF·tan B＝，∴CE＝EF＝， ∴在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝＝， ∴tan∠CAE＝. A.　　　 B.　 C.　　　 D．5 【解析】 根据题意，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴＝. ∵AE∶EB＝4∶1，∴＝，∴＝. 设AB＝2x，则BC＝x，AC＝x. ∴在Rt△CFB中有CF＝x，BC＝x，则tan∠CFB＝＝. 8．如图5－16－5，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C的值． 解：∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝， ∵tan∠BAD＝，AD＝12，∴BD＝9， ∴CD＝BC－BD＝14－9＝5. ∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝13，∴sin C＝＝. 例4　如图5－16－6，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE＝10 cm，且tan∠EFC＝，那么该矩形的周长为 (　 　) A．72 cm B．36 cm C．20 cm D．16 cm 【思路生成】根据翻折变换的性质可得∠AFE＝∠D＝90°，AD＝AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF＝∠EFC，然后根据tan∠EFC＝，设BF＝3x，AB＝4x，利用勾股定理列式求出AF＝5x，根据对称的性质进而求得x的值，即可求出矩形的周长． 【解析】 在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°， ∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上， ∴∠AFE＝∠D＝90°，AD＝AF， ∵∠EFC＋∠AFB＝180°－90°＝90°，∠BAF＋∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝∠EFC. ∵tan∠EFC＝，∴设BF＝3x，AB＝4x， 在Rt△ABF中，AF＝＝＝5x， ∴AD＝BC＝5x，∴CF＝BC－BF＝5x－3x＝2x， ∵tan∠EFC＝，∴CE＝CF·tan∠EFC＝2x·＝x， ∴DE＝CD－CE＝4x－x＝x， 在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2， 即(5x)2＋＝(10)2，整理得x2＝16，解得x＝4， ∴AB＝4×4＝16(cm)，AD＝5×4＝20(cm)， 矩形的周长＝2×(16＋20)＝72(cm)． 可知AH＝1，PH＝， ∵AD＝6，∴DH＝5， ∴tan∠ADP＝＝. (2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径． 又∵CD⊥AB，∴＝，∴∠P＝∠CAB， 又∵sin P＝，∴sin∠CAB＝，即＝，又知BC＝3， ∴AB＝5，∴直径为5. 例6　(1)15°三角函数的几何求法． 如图5－16－10①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝ 30°，延长CA到D，使AD＝AB，则∠D＝15°，且DC＝DA＋AC，不妨设BC＝1，则AD＝AB＝2BC＝2，AC＝，所以DC＝2＋，BD＝＋.由此可求得sin 15°＝， cos 15°＝，tan 15°＝2－. (2)tan 22.5°的几何求法． 如图5－16－10②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，延长CA到D，使AD＝AB，则∠D＝22.5°，且DC＝DA＋AC，不妨设BC＝AC＝1，则AD＝AB＝，所以DC＝＋1.由此可求得 tan 22.5°＝＝－1. 则∠D＝7.5°，且DC＝DA＋AC，不妨设BC＝1，则AC＝2＋， AD＝AB＝＝＝＋， tan 7.5°＝＝＝ ＝. $