专题13三角形(知识梳理+题型精讲+强化通关) 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题13 三角形 【知识点01】三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.组成要素 *边：组成三角形的三条线段（记作 AB、BC、CA 或 a、b、c，通常∠A 对边为 a，∠B 对边为 b，∠C 对边为 c）； *顶点：三条线段的交点（A、B、C）； *内角：三角形相邻两边组成的角（简称三角形的角，∠A、∠B、∠C）； *外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角（每个内角对应 2 个外角，三角形共 6 个外角）。 3.表示方法：用符号 “△” 表示，如△ABC，读作 “三角形 ABC”。 【知识点02】三角形的分类 1. 按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角（每个角＜90°）； 直角三角形：有一个内角是直角（90°，记作 Rt△ABC，直角所对的边叫斜边，另外两边叫直角边）； 钝角三角形：有一个内角是钝角（90°＜角＜180°）。 2. 按边分类 不等边三角形：三条边都不相等的三角形； 等腰三角形：有两条边相等的三角形（相等的两边叫腰，第三边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角）； 等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形）。 【知识点03】构成三角形的条件 1. 基本条件（核心） *三角形任意两边之和大于第三边； *三角形任意两边之差小于第三边。 用符号表示（设三角形三边为a、b、c）： a+b>c a+c>b b+c>a（以上三条需同时成立，可推导出：∣a−b∣<c<a+b，∣a−c∣<b<a+c，∣b−c∣<a<b+c） 2. 简化判断方法 实际判断三条线段能否构成三角形时，无需验证所有组合，只需验证： 最短两边之和 > 最长边 （原理：若最短两边之和大于最长边，那么其他两组 “两边之和” 必然大于第三边，因为最长边加任意一边一定大于剩下的短边） 3. 补充前提 三条线段需满足： (1)每条线段长度均为正数（长度不能为 0 或负数）； (2)三条线段不在同一直线上（若在同一直线，只能构成线段，无法形成封闭三角形）。 常见误区 1.误认为 “两边之和≥第三边” 即可：等于时三条线段共线，无法构成三角形； 2.忽略 “任意两边”：仅验证一组两边之和大于第三边，可能出错（如 1、3、4，1+4>3，但 1+3=4，实际无法构成）。 【知识点04】三角形的重要线段 1. 高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高； 性质： *锐角三角形的三条高都在三角形内部，交于一点； *直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在三角形内部，三条高交于直角顶点； *钝角三角形的两条高在三角形外部，一条在内部，三条高的延长线交于一点； *三角形的高是线段（区别于垂线） 2. 中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线； 性质： *三角形的三条中线都在三角形内部，交于一点（重心）； *重心把每条中线分成 2:1 的两段（顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的 2 倍）； *中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 3.角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 性质： *三角形的三条角平分线都在三角形内部，交于一点（内心）； *内心到三角形三条边的距离相等； *角平分线是线段（区别于角的平分线 <射线>）。 【知识点05】三角形的稳定性 1.定义：三角形三条边长确定后，形状和大小就固定不变，不会因外力变形，这就是稳定性。 2.核心原因：三边确定→内角固定→结构刚性，无法改变形状；四边形边长确定仍可变形（无稳定性）。 3.生活应用：自行车车架、屋顶钢架、电线杆斜撑、篮球架支架（利用三角形固定形状）。 4.关键区别：三角形稳定，四边形不稳定（如伸缩门用四边形变形特性）。 【知识点06】三角形的三边关系 1.基本关系：三角形两边的和大于第三边（a + b > c，a + c > b，b + c > a）； 2.推论：三角形两边的差小于第三边（|a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a）； 3.应用： *判断三条线段能否组成三角形：只需验证最短两边之和大于最长边； *求第三边的取值范围：已知两边 a、b，则第三边 c 的范围为 | a - b| < c < a + b； *化简含绝对值的式子：结合三边关系判断绝对值内式子的正负。 【知识点07】重心的概念 1.定义：三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。 2.核心性质：重心把每条中线分成 2:1 的两段（顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的 2 倍）。 3.特点：重心一定在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形）。 【知识点08】三角形角平分线的定义 1.定义：在三角形中，从一个内角的顶点出发，作一条线段将该内角平分为两个相等的角，且这条线段的另一端与该内角所对的边相交，这条连接内角顶点与对边交点的线段，称为三角形的角平分线（内角平分线）。 2.核心特征： *本质是线段（区别于角的平分线 —— 射线）； *作用是平分对应内角（如△ABC 中，∠A 的角平分线 AD 满足∠BAD=∠CAD=½∠BAC）； *任意三角形有 3 条角平分线，均位于三角形内部，且交于一点（内心，内心到三边距离相等）。 易混淆概念辨析： 1.与角的平分线：角的平分线是无限延伸的射线，三角形角平分线是限定在三角形内的线段； 2.与中线 / 高：中线连接顶点与对边中点，高连接顶点与对边的垂线，仅等腰三角形的顶角平分线与中线、高重合（三线合一）。 【知识点09】三角形内角和外角的性质 1.内角和定理 内容：三角形三个内角的和等于 180°（∠A + ∠B + ∠C = 180°）； 证明方法： 平移法：过顶点作对边的平行线，利用平行线的性质（同位角、内错角相等）转化角； 折叠法：将三角形的三个角折叠拼合为平角； 推论： *直角三角形的两个锐角互余（∠A + ∠B = 90°，若∠C = 90°）； *有两个角互余的三角形是直角三角形； *三角形中最多有 1 个直角或 1 个钝角，最少有 2 个锐角。 2.外角性质 性质 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（如∠ACD = ∠A + ∠B，∠ACD 为△ABC 的外角）； 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（如∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B）； 外角和：三角形的外角和为 360°（每个顶点取一个外角，共 3 个外角的和）。 【知识点10】多边形与三角形的关联(章节拓展内容) 1.多边形内角和 公式：n 边形内角和 = (n - 2) × 180°（n ≥ 3，且 n 为整数）； 推导：将 n 边形分割为 (n - 2) 个三角形，利用三角形内角和 180° 推导； 应用：求多边形内角度数、判断多边形形状（如正 n 边形每个内角 = [(n - 2) × 180°]/n）。 2. 多边形外角和 定理：任意多边形的外角和都为 360°（与边数无关）； 应用：结合内角和求多边形边数（如正多边形外角 = 360°/n，内角 + 外角 = 180°）。 易错点与注意事项 1.三角形的高、中线、角平分线均为线段，而非直线或射线； 2.直角三角形的高有两条与直角边重合，钝角三角形的高有两条在外部，易忽略延长线作图； 3.三边关系中，“两边之和大于第三边” 是 “任意两边”，但判断能否组成三角形只需验证最短两边之和 > 最长边； 4.外角性质中，“不相邻” 是关键，外角与相邻内角互补（和为 180°），而非相等； 5.多边形内角和公式中，n 为边数且 n ≥ 3，正多边形的每个内角、外角均相等，普通多边形不一定。 题型1.三角形的识别与有关概念 【典例】已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a b．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的边角关系． 根据“大角对大边，小角对小边”作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练1】图中以为边的三角形共有 个． 【答案】 【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可． 【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键． 【跟踪训练2】如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为 ． 【答案】4 【分析】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由，解得，，由解得，据此解答． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型2.三角形的计数技巧 【典例】如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 【跟踪训练1】如图，在中，，分别是边，上的点，则以为边的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了认识三角形，由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可． 【详解】解：以为边的三角形有，，，共3个， 故选：C． 【跟踪训练2】如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查三角形的个数问题，根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可． 【详解】解：可以组成：，共9个； 故选：D． 题型3.三角形的分类 【典例】有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角、1个钝角、15个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的分类，根据一个直角三角形中有1个直角和2个锐角，一个钝角三角形中有1个钝角和2个锐角，一个锐角三角形中有3个锐角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，这些三角形中有2个直角三角形和1个钝角三角形，这3个三角形中共有个锐角， 故锐角三角形的个数为（个）； 故答案为：3． 【跟踪训练1】已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 【答案】 6 ，， ，， 【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角； 【详解】（1）由图可知， 图中三角形有、、、、、， 图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； 故答案为：6，，，； （2）由图可知， 以线段为公共边的三角形是，，； 故答案为：，，； （3）由图可知， 线段所在的三角形是， 边所对的角是； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． 【跟踪训练2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 题型4.三角形的三边构成条件 【典例】下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，通过计算每组中较小两数之和与第三边比较，判断是否能组成三角形. 【详解】解：∵ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边； 对于A：，，，∵ ，∴ 不能组成三角形； 对于B：，，，∵ ，∴ 不能组成三角形； 对于C：，，，∵ ，且，且，∴ 能组成三角形； 对于D：，，，∵，∴ 不能组成三角形； 故选： C. 【跟踪训练1】下列长度的3条线段能组成三角形的是（　　） A．1，1，1 B．1，1，2 C．1，2，3 D．2，5，2 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理逐一判断即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：A、，均成立，能组成三角形，故选项符合题意； B、，不能组成三角形，故选项不符合题意； C、，不能组成三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪训练2】长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为 ． 【答案】16或17/17或16 【分析】本题考查三角形三边关系的运用，将四根木棍中的任意两根连接成一根，判断与另外两根能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得：5，6，，，不能组成三角形； ，11，16，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，，16，，能组成三角形，最长边长度为17； 6，11，，，不能组成三角形； 6，16，，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，11，，，不能组成三角形； 得到的三角形的最长边的长度为16或17． 故答案为：16或17． 题型5.三角形第三边的取值范围求解 【典例】现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的三边关系．根据三角形的三边关系定理，第三边必须大于已知两边之差且小于两边之和． 【详解】解：∵已知两边分别为和， ∴第三边x需满足：，即， ∴可以围成三角形的只有C， 故选：C． 【跟踪训练1】在中，，，则第三边的长可能是（　　） A．2 B．3 C．6 D．16 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，能根据三角形的三边关系确定的取值范围是解决此题的关键． 根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，就可求出第三边长的范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系得， 即， 所以第三边可能是6， 故选：C． 【跟踪训练2】若三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，列出不等式并求解． 【详解】解：三角形的三边分别为，，． 根据三角形的三边关系：，即． 故答案为：． 题型6.三角形三边关系的实际应用 【典例】如图，为了估计池塘岸边、的距离，小杰在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离可能是（     ） A．4米 B．14米 C．16米 D．22米 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．连接，根据三角形的三边关系求出的范围，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 米，米， ∴， 即， 故选：． 【跟踪训练1】三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 故选：C． 【跟踪训练2】（三角形三边长）三边长都是整数且周长为10的三角形共有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 先确定三边取的值为，再根据周长为10，且满足三角形三边关系那么只有2个． 【详解】解：由题意得三角形的各边必定小于5， 则能取的值为， 满足周长为10， 则符合三角形三边关系的只有和，共2个， 故答案为：2． 题型7.三角形的稳定性及应用 【典例】如图，学校门口的移动拒马是由三角形结构构成的，这样做的道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：学校门口的移动拒马是由三角形结构构成的，这样做的道理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【跟踪训练1】小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，理解三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状，据此即可解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，只有C构成了三角形的结构． 故选：C． 【跟踪训练2】小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释． 【详解】如图： A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 题型8.利用三角形的中线求线段长度的方法 【典例】如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了中线的性质，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据中线的性质得到，再利用周长作差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长 ∴与的周长差， 故选：A． 【跟踪训练1】如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，再表示出和周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 【跟踪训练2】如图，在中，是边的中线，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的中线的定义，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形的中线的定义得到，得到，解二元一次方程组计算即可． 【详解】解：是边的中线， ， ，， ∴ 联立， 解得 ∴， 故答案为：2． 题型9.结合三角形中线求图形面积的技巧 【典例】如图所示，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 又是的边上的中线，则是的边上的中线， ，， 则， 故选：B． 【跟踪训练1】如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与中线有关的三角形的面积的计算，由点为边的中点，得出，再由点为的中点得出，，即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点为边的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，点C为直线外一动点，，连接、，点D、E分别是、的中点，连接、相交于点G，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中线的性质、三角形面积的计算，根据点D、E分别是、的中点可得和，，通过等量代换可得，，据此计算出，由面积公式求出长，根据点到直线垂线段最短，可得最小值． 【详解】解：如图，作交的延长线于H，连接， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：3． 故答案为：3． 题型10.重心的概念 【典例】如图，有一块厚薄均匀的的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查三角形的重心．掌握重心为三角形三条中线的交点是解题关键． 【详解】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态， ∴这个点为三角形的重心，由图可知点C为该三角形的重心． 故选：C． 【跟踪训练1】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是4．则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心、三角形中线的性质等知识点，掌握三角形的重心是三角形中线的交点是解题的关键． 根据三角形的重心可得和都是的中线，再根据中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E， ∴和都是的中线， ∵的面积是4， ∴． 故选：B． 【跟踪训练2】如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：6． 题型11.三角形角平分线的定义 【典例】下列说法中不正确的是（   ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的三条高所在直线交于一点 C．三角形的三条中线均交于三角形内部一点 D．三角形的角平分线是平分内角的射线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线．根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、三角形的内角和等于，正确，故本选项不符合题意； B、三角形的三条高所在直线交于一点，正确，故本选项不符合题意； C、三角形的三条中线均交于三角形内部一点，正确，故本选项不符合题意； D、三角形的角平分线是线段，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【跟踪训练1】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列关系式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高、角平分线、中线的定义，熟悉理解三角形高、角平分线、中线的定义是解题的关键． 根据三角形高、角平分线、中线的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，故A说法正确，故A不符合题意； ∵是的角平分线， ∴，故B说法正确，故B不符合题意； ∵与不一定会相等，故C说法不正确，故C符合题意； ∵是的高， ∴，故D说法正确，故D不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练2】如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型12.三角形的高的画法 【典例】如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 【跟踪训练1】下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案． 【详解】解：A、线段是的高，选项不符合题意； B、线段是的高，选项不符合题意； C、线段是的高，选项不符合题意； D、线段是的高，选项符合题意． 故选：D． 【跟踪训练2】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，，边上的高，中边的“中偏度值”为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况计算；先根据勾股定理求出，再根据中线的定义得出,故，同理可得，故得出答案；熟知分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图，为的中线， ， ， ， ， 为的中线， ， ， 中边的“中偏度值”为：； 如图，为的中线， ， ， ， ， 为的中线， ， ， 中边的“中偏度值”为：； 故答案为：6或． 题型13.与三角形高的相关计算 【典例】如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，是等腰三角形，，，边上的高＝ ．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则 ． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解答本题的关键．先根据三角形面积求出边上的高，再根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴边上的高 连接，如图所示： 由图可得：， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：cm， 故答案为：4；4 【跟踪训练2】如图，在中，、分别是边上的中线和高，，则的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解决此题的关键，根据中线的性质可得，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵是边上的高， ， ∴即， ∴， 故选：D． 题型14.结合角平分线的三角形内角和计算 【典例】三角形两个内角平分线相交所成的锐角度数是，该三角形最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线和三角形的内角和定理探究出，然后结合已知求解即可． 【详解】解：如图， ∵、是角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵三角形两个内角平分线相交所成的锐角度数是， ∴， 解得， ∵ 三角形内角和为， ∴ 其余两角之和为，故为最大内角． ∴三角形最大内角为． 故选：C． 【跟踪训练1】如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义求出的度数，角的和差关系求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【跟踪训练2】如图，是的角平分线，是的高，，且与的度数之比为，则 ， ． 【答案】 /80度 /10度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，则，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理，垂直定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 故答案为：，. 题型15.三角形折叠问题中的角度求解 【典例】如图，将的一角折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，三角形的内角和为180度．根据折叠的性质得出，根据三角形的内角和定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得到， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． .【跟踪训练1】如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点C落在内，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和、四边形的内角和，正确地分析是解题的关键．根据四边形内角和定理可得：， 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：B． 【跟踪训练2】如图，在中，点在上，，现将中的折过去，使顶点落在点处，为折痕，且交于点，若，则的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题考查折叠的性质，分为在外和在内两种情况，利用角的和差求出的度数，然后根据折叠求出，然后根据角的和差解答即可． 【详解】解：当在外时，， 由折叠可得， ∴； 当在内时，， 由折叠可得， ∴； 综上所述的度数为或， 故答案为：或． 题型16.三角形内角和定理的实际应用 【典例】在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用“三角形内角和为”进行角度计算． 根据三角形内角和定理，直接代入已知角度计算的度数． 【详解】解：在中，由三角形内角和定理可知：， 已知， 所以． 故选：C． 【跟踪训练1】在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形内角和为．利用三角形内角和定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为． 【详解】解：①，则，是直角三角形； ②：：：：，则，，由三角形内角和定理，得，解得，，于是有，是直角三角形； ③，则由三角形内角和定理，得，解得，，则，不是直角三角形； ④，不是直角三角形，是等边三角形， 能确定是直角三角形的条件有个， 故选：D． 【跟踪训练2】如图，点B在点A南偏西的方向，点C在点A南偏东的方向，点C在点B北偏东的方向，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，三角形内角和定理，先根据题意得到，，，由平行线得到，求出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 题型17.直角三角形的锐角互余性质及应用 【典例】如图，在中，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，根据，得，因为即，进行作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 则， 故选：C 【跟踪训练1】如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与三角形相关的线段：角平分线与高，三角形内角和定理等知识，掌握这些基础知识是解题的关键；由对顶角相等及角平分线的定义、三角形的高可得的度数，从而求得，由即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪训练2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及平角定义求解． 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，，垂足为，． ①当为锐角三角形时，点在上． 在中，，， ． ②当为钝角三角形时，点在的延长线上． 在中，，， ， ． 故顶角的度数为或． 故答案为：或． 题型18.三角形的外角的定义及性质 【典例】如图，将一副三角尺叠放在一起，其中点，，三点共线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】解：由题意得：， 是的外角， ， 故选：D． 【跟踪训练1】一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质． 根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪训练2】如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合三角形内角和定理可得，再求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵与是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 1．在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据在中，，可求出各角的度数，进而得出结论． 【详解】解：解：∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∴是锐角三角形． 故选：A． 2．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查三角形的稳定性，四边形的不稳定性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形的稳定性，再顶上一根木条把四边形分成两个三角形即可． 【详解】解：根据三角形的稳定性，再钉上一根木条把四边形分成两个三角形即可． 故选：A． 3．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 4．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 5．请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【详解】解：有，，，，，共5个三角形． 故答案为：A． 6．如图，在中， ， E 为延长线上一点，与的角平分线相交于点 D ，则的度数为 度． 【答案】18 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键，由三角形的外角的性质可得，再结合角平分线的性质进行等量代换可得，从而可得答案． 【详解】解：∵与的角平分线相交于点 D ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 7．点是的重心，若的面积等于6， ． 【答案】 【分析】本题考查重心的定义，三角形中线有关的面积问题，根据三角形三条中线交点为三角形的重心，结合三角形中线有关的面积特征求解即可． 【详解】解：连接并延长交于， ∵点是的重心， ∴，，是的中线， 即为的中点，为的中点，为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴由得到， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 9．定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长边长为的整数边三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)，然后根据三边关系来确定，的取值组合，从而得出整数边三角形的个数． 【详解】解：设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)， 当时，根据三边关系需满足， 又因为， 所以， 则a可以为或或或或或或，此时有种情况满足题意； 同理可得：当时，，则a可以为或或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或，此时有种情况满足题意； ，共有种情况满足题意， 故选：C． 10．如图，将沿直线折叠，使顶点的对应点落在边上，此时直线与边，分别相交于点，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、平角的定义，由折叠的性质可知，，，，根据平角的定义可得：，因为可得：，根据三角形内角和定理可以求出，所以可得，再利用平角的定义可以求出． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， . 11．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)， (2)， (3)等腰三角形是，；等边三角形是 【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类： （1）根据三角形的定义，找出以点C为顶点的三角形即可； （2）根据三角形的定义，找出以为边的三角形即可； （3）根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形有，； （2）解：以为边的三角形有，； （3）解：∵， ∴等腰三角形有，， 等边三角形有． 12．如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形高的画法及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用“同一三角形面积相等”的等积法，通过已知底和高求出面积，再反求未知高的长度． （1）根据三角形高的定义，过点C作边的垂线，垂足为E，线段即为边上的高； （2）先以为底、为高计算的面积，再以为底、为高，结合面积相等列方程求解的长度． 【详解】（1）解：如图，线段即为边上的高． （2）解：∵ 是边上的高， ∴ 的面积，代入，，得． 又∵ 是边上的高,， ∴ 面积也可表示为， 即， 解得． 答：的长为． 13．设的三边长是，周长是x，其中． (1)直接写出c及x的取值范围； (2)当c为奇数时，求x的最大值和最小值； (3)若x为小于18的偶数，试判断的形状． 【答案】(1)， (2)最大为19，最小为13 (3)是等腰三角形 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和x的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【详解】（1）， ， ， 周长x的取值范围为，即； （2）为奇数，， ∴c最大为9，最小为3， 最大为．最小为； （3）周长为小于18的偶数， 或． 当x为16时，；当x为14时．． 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 14.．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【答案】(1)＝ (2) (3)2 (4)27 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴与等底同高， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ∴． 故答案为：2． （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ． 15．在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高线、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据是的高，结合已知可得，根据是的角平分线，得出，进而求得，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：是的高，， 是的角平分线， 16．如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E． (1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算，三角形外角的定义以及直角三角形的两个锐角互余等知识． （1）由已知条件得出，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，由三角形外角的定义和性质得出，再由直角三角形的两个锐角互余即可得出． （2）根据题意可知，进而可得出，，，根据三角形外角的定义可知，平行线的性质可得，根据角平分线的定义得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， AD平分， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ，，， ∴，， ∵平分， ， ∴， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 三角形 【知识点01】三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.组成要素 *边：组成三角形的三条线段（记作 AB、BC、CA 或 a、b、c，通常∠A 对边为 a，∠B 对边为 b，∠C 对边为 c）； *顶点：三条线段的交点（A、B、C）； *内角：三角形相邻两边组成的角（简称三角形的角，∠A、∠B、∠C）； *外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角（每个内角对应 2 个外角，三角形共 6 个外角）。 3.表示方法：用符号 “△” 表示，如△ABC，读作 “三角形 ABC”。 【知识点02】三角形的分类 1. 按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角（每个角＜90°）； 直角三角形：有一个内角是直角（90°，记作 Rt△ABC，直角所对的边叫斜边，另外两边叫直角边）； 钝角三角形：有一个内角是钝角（90°＜角＜180°）。 2. 按边分类 不等边三角形：三条边都不相等的三角形； 等腰三角形：有两条边相等的三角形（相等的两边叫腰，第三边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角）； 等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形）。 【知识点03】构成三角形的条件 1. 基本条件（核心） *三角形任意两边之和大于第三边； *三角形任意两边之差小于第三边。 用符号表示（设三角形三边为a、b、c）： a+b>c a+c>b b+c>a（以上三条需同时成立，可推导出：∣a−b∣<c<a+b，∣a−c∣<b<a+c，∣b−c∣<a<b+c） 2. 简化判断方法 实际判断三条线段能否构成三角形时，无需验证所有组合，只需验证： 最短两边之和 > 最长边 （原理：若最短两边之和大于最长边，那么其他两组 “两边之和” 必然大于第三边，因为最长边加任意一边一定大于剩下的短边） 3. 补充前提 三条线段需满足： (1)每条线段长度均为正数（长度不能为 0 或负数）； (2)三条线段不在同一直线上（若在同一直线，只能构成线段，无法形成封闭三角形）。 常见误区 1.误认为 “两边之和≥第三边” 即可：等于时三条线段共线，无法构成三角形； 2.忽略 “任意两边”：仅验证一组两边之和大于第三边，可能出错（如 1、3、4，1+4>3，但 1+3=4，实际无法构成）。 【知识点04】三角形的重要线段 1. 高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高； 性质： *锐角三角形的三条高都在三角形内部，交于一点； *直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在三角形内部，三条高交于直角顶点； *钝角三角形的两条高在三角形外部，一条在内部，三条高的延长线交于一点； *三角形的高是线段（区别于垂线） 2. 中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线； 性质： *三角形的三条中线都在三角形内部，交于一点（重心）； *重心把每条中线分成 2:1 的两段（顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的 2 倍）； *中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 3.角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 性质： *三角形的三条角平分线都在三角形内部，交于一点（内心）； *内心到三角形三条边的距离相等； *角平分线是线段（区别于角的平分线 <射线>）。 【知识点05】三角形的稳定性 1.定义：三角形三条边长确定后，形状和大小就固定不变，不会因外力变形，这就是稳定性。 2.核心原因：三边确定→内角固定→结构刚性，无法改变形状；四边形边长确定仍可变形（无稳定性）。 3.生活应用：自行车车架、屋顶钢架、电线杆斜撑、篮球架支架（利用三角形固定形状）。 4.关键区别：三角形稳定，四边形不稳定（如伸缩门用四边形变形特性）。 【知识点06】三角形的三边关系 1.基本关系：三角形两边的和大于第三边（a + b > c，a + c > b，b + c > a）； 2.推论：三角形两边的差小于第三边（|a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a）； 3.应用： *判断三条线段能否组成三角形：只需验证最短两边之和大于最长边； *求第三边的取值范围：已知两边 a、b，则第三边 c 的范围为 | a - b| < c < a + b； *化简含绝对值的式子：结合三边关系判断绝对值内式子的正负。 【知识点07】重心的概念 1.定义：三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。 2.核心性质：重心把每条中线分成 2:1 的两段（顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的 2 倍）。 3.特点：重心一定在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形）。 【知识点08】三角形角平分线的定义 1.定义：在三角形中，从一个内角的顶点出发，作一条线段将该内角平分为两个相等的角，且这条线段的另一端与该内角所对的边相交，这条连接内角顶点与对边交点的线段，称为三角形的角平分线（内角平分线）。 2.核心特征： *本质是线段（区别于角的平分线 —— 射线）； *作用是平分对应内角（如△ABC 中，∠A 的角平分线 AD 满足∠BAD=∠CAD=½∠BAC）； *任意三角形有 3 条角平分线，均位于三角形内部，且交于一点（内心，内心到三边距离相等）。 易混淆概念辨析： 1.与角的平分线：角的平分线是无限延伸的射线，三角形角平分线是限定在三角形内的线段； 2.与中线 / 高：中线连接顶点与对边中点，高连接顶点与对边的垂线，仅等腰三角形的顶角平分线与中线、高重合（三线合一）。 【知识点09】三角形内角和外角的性质 1.内角和定理 内容：三角形三个内角的和等于 180°（∠A + ∠B + ∠C = 180°）； 证明方法： 平移法：过顶点作对边的平行线，利用平行线的性质（同位角、内错角相等）转化角； 折叠法：将三角形的三个角折叠拼合为平角； 推论： *直角三角形的两个锐角互余（∠A + ∠B = 90°，若∠C = 90°）； *有两个角互余的三角形是直角三角形； *三角形中最多有 1 个直角或 1 个钝角，最少有 2 个锐角。 2.外角性质 性质 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（如∠ACD = ∠A + ∠B，∠ACD 为△ABC 的外角）； 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（如∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B）； 外角和：三角形的外角和为 360°（每个顶点取一个外角，共 3 个外角的和）。 【知识点10】多边形与三角形的关联(章节拓展内容) 1.多边形内角和 公式：n 边形内角和 = (n - 2) × 180°（n ≥ 3，且 n 为整数）； 推导：将 n 边形分割为 (n - 2) 个三角形，利用三角形内角和 180° 推导； 应用：求多边形内角度数、判断多边形形状（如正 n 边形每个内角 = [(n - 2) × 180°]/n）。 2. 多边形外角和 定理：任意多边形的外角和都为 360°（与边数无关）； 应用：结合内角和求多边形边数（如正多边形外角 = 360°/n，内角 + 外角 = 180°）。 易错点与注意事项 1.三角形的高、中线、角平分线均为线段，而非直线或射线； 2.直角三角形的高有两条与直角边重合，钝角三角形的高有两条在外部，易忽略延长线作图； 3.三边关系中，“两边之和大于第三边” 是 “任意两边”，但判断能否组成三角形只需验证最短两边之和 > 最长边； 4.外角性质中，“不相邻” 是关键，外角与相邻内角互补（和为 180°），而非相等； 5.多边形内角和公式中，n 为边数且 n ≥ 3，正多边形的每个内角、外角均相等，普通多边形不一定。 题型1.三角形的识别与有关概念 【典例】已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a b．（填“”、“”或“”） 【跟踪训练1】图中以为边的三角形共有 个． 【跟踪训练2】如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为 ． 题型2.三角形的计数技巧 【典例】如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪训练1】如图，在中，，分别是边，上的点，则以为边的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 题型3.三角形的分类 【典例】有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角、1个钝角、15个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 【跟踪训练1】已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 【跟踪训练2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 题型4.三角形的三边构成条件 【典例】下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪训练1】下列长度的3条线段能组成三角形的是（　　） A．1，1，1 B．1，1，2 C．1，2，3 D．2，5，2 【跟踪训练2】长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为 ． 题型5.三角形第三边的取值范围求解 【典例】现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在中，，，则第三边的长可能是（　　） A．2 B．3 C．6 D．16 【跟踪训练2】若三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是 ． 题型6.三角形三边关系的实际应用 【典例】如图，为了估计池塘岸边、的距离，小杰在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离可能是（     ） A．4米 B．14米 C．16米 D．22米 【跟踪训练1】三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 【跟踪训练2】（三角形三边长）三边长都是整数且周长为10的三角形共有 个． 题型7.三角形的稳定性及应用 【典例】如图，学校门口的移动拒马是由三角形结构构成的，这样做的道理是 ． 【跟踪训练1】小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练2】小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型8.利用三角形的中线求线段长度的方法 【典例】如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【跟踪训练1】如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【跟踪训练2】如图，在中，是边的中线，若，，则的长为 ． 题型9.结合三角形中线求图形面积的技巧 【典例】如图所示，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．8 【跟踪训练1】如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为 ． 【跟踪训练2】如图，点C为直线外一动点，，连接、，点D、E分别是、的中点，连接、相交于点G，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为 ． 题型10.重心的概念 【典例】如图，有一块厚薄均匀的的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【跟踪训练1】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是4．则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【跟踪训练2】如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是 ． 题型11.三角形角平分线的定义 【典例】下列说法中不正确的是（   ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的三条高所在直线交于一点 C．三角形的三条中线均交于三角形内部一点 D．三角形的角平分线是平分内角的射线 【跟踪训练1】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列关系式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为 ． 题型12.三角形的高的画法 【典例】如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【跟踪训练1】下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，，边上的高，中边的“中偏度值”为 ． 题型13.与三角形高的相关计算 【典例】如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 【跟踪训练1】如图，是等腰三角形，，，边上的高＝ ．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则 ． 【跟踪训练2】如图，在中，、分别是边上的中线和高，，则的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 题型14.结合角平分线的三角形内角和计算 【典例】三角形两个内角平分线相交所成的锐角度数是，该三角形最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，是的角平分线，是的高，，且与的度数之比为，则 ， ． 题型15.三角形折叠问题中的角度求解 【典例】如图，将的一角折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． .【跟踪训练1】如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点C落在内，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，在中，点在上，，现将中的折过去，使顶点落在点处，为折痕，且交于点，若，则的大小为 ． 题型16.三角形内角和定理的实际应用 【典例】在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【跟踪训练2】如图，点B在点A南偏西的方向，点C在点A南偏东的方向，点C在点B北偏东的方向，则的度数是 ． 题型17.直角三角形的锐角互余性质及应用 【典例】如图，在中，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 题型18.三角形的外角的定义及性质 【典例】如图，将一副三角尺叠放在一起，其中点，，三点共线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【跟踪训练1】一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【跟踪训练2】如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 1．在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 4．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 5．请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在中， ， E 为延长线上一点，与的角平分线相交于点 D ，则的度数为 度． 7．点是的重心，若的面积等于6， ． 8．已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 9．定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长边长为的整数边三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 10．如图，将沿直线折叠，使顶点的对应点落在边上，此时直线与边，分别相交于点，．若，则的度数为 ． 11．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 12．如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 13．设的三边长是，周长是x，其中． (1)直接写出c及x的取值范围； (2)当c为奇数时，求x的最大值和最小值； (3)若x为小于18的偶数，试判断的形状． 14.．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 15．在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 16．如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E． (1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $