第2章《二次函数》单元测试卷 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

北师大版2025年九年级下册第2章《二次函数》单元测试卷 满分120分 时间120min 一、选择题（共30分） 1．下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 5．如图，二次函数的图象经过点，，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 8．函数的图象与x轴交于A，B两点，函数的图象与x轴交于C，D两点，其中．若，则下列与的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（共18分） 11．函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 12．若二次函数的图象开口向下，则m的值为 ． 13．若点和点均在二次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 14．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是 ． 15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 16．如图，二次函数的图象经过和两点，且交y轴于点C．连接A，C，将线段向右平移m个单位，若线段与抛物线有唯一交点，则m的取值范围是 ． 三、解答题（共72分） 17．（6分）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 18．（6分）如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．    (1)求该图象的解析式； (2)求AC长． 19．（6分）如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式． 20．（8分）已知二次函数 (1)若，，当时，求y的取值范围； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 21．（8分）在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设米． (1)如果花园的面积为平方米，求的值； (2)如果在点处有一棵树到墙，的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），求花园面积的最大值． 22．（8分）已知二次函数的解析式是 (1)将二次函数化成的形式，并求出该函数图象与x轴和y轴的交点坐标；同时在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象（不需要列表）； (2)结合函数图象，直接写出时x的取值范围； (3)当时，求y的取值范围； (4)若一次函数的图象经过和两点，根据图象直接写出不等式的解集． 23．（10分）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求的值； (2)若点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求的值； (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 24．（10分）如图，抛物线经过点， (1)求该抛物线的解析式； (2)若是y轴正半轴上的一点，且，将点A绕点C逆时针旋转得到点D，且点D在该抛物线上． ①求点D的坐标； ②连接并延长交x轴于点E，作轴交该抛物线于点F，若点F与点D间的抛物线上有一点G，当点G到直线的距离最大时，求点G的坐标． 25．（10分）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A C B C B C A 二、填空题 11． 12． 13． 14．5 15．或 16． 三．解答题 17．解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 18．（1）把点代入中，得 解之得 ∴二次函数的解析式为： （2）对于二次函数 令得 19．（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴； （2）将，，代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：． 20．（1）解：，时， ， 抛物线的开口向下，顶点坐标为 ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 中含有顶点， 当时，y有最大值7， 当时，y有最小值为6， 当时， （2）解：时，y的最大值为2；时，y的最大值为3， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， 抛物线开口向下，时，y的最大值为2， ， 又时，y的最大值为3， ， ， ， 二次函数的表达式为 21．（1）解：∵米，则， ∴由题意得，． 解得，，． ∴的值为米或米． （2）解：由题意知， 解得，． 设花园的面积为平方米， 由题意得，， ∵，开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，． 即花园面积的最大值为平方米． 22．（1）解：， 当时，， 解得：，， 当时，则， ∴与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为． 画图如下： ． （2）解：结合函数图象，时x的取值范围为：或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线：，顶点坐标为， ∴函数最小值为， 当时，， 当时，y的取值范围为． （4）解：如图， ∴不等式的解集为：． 23．（1）解：把，代入二次函数得：， 解得， 则． （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 将点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后所得到的点的坐标为，即， ∵点恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为4． （3）解：当时，， 当时，， 将二次函数化成顶点式为， ∴二次函数的对称轴为直线；当时，， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ①当时，在内，随的增大而减小， 则此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得，与题设不符，舍去； ②当时， 则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时， 则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时当时，取得最大值；当时，取得最小值， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得或（不符合，舍去）； 综上，的取值范围为． 24．（1）解：将，代入得， ， 解得， ； （2）解：①如图，过C作轴，过A作于点G，过D作于点H， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， 点D在该抛物线上， ， 解得或， ， ， ； ②如图，过G作于点M，作轴交于点J，过A作轴，过D作轴，两直线交于点K，其中交于点P， 由①知， ， 设直线解析式为，将A和C代入得， ，解得， 直线解析式为， 令得， ， 同理可得直线解析式为， 设，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由最大值， 此时， . 25．（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $