2.1二次函数 课件 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数的定义、表达式及应用，通过抛纸团轨迹猜想、果园增产情境导入，结合温故知新环节复习函数概念与一元二次方程，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以情境化问题驱动探究，通过对比一次函数辨析特征，分层设计例题与动点问题提升应用能力，培养数学眼光、思维与语言，助力学生深化概念理解，也为教师提供清晰教学路径。

2.1 二次函数 北师大版·数学·九年级下册 猜一猜：抛出去的“纸团”的轨迹跟什么函数图象有关？ 学习目标 二次函数 1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 2、能够表示简单变量之间的二次函数关系．  函 数 温故而知新 知多少？ 问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数. 其中x是自变量，y是因变量. 问题2 我们学过哪些函数？ 函 数 一次函数 反比例函数 y=kx+b (k，b为常数，k≠0) (正比例函数) y=kx (k为常数，k≠0) 图象：一条直线 图象：双曲线 温故而知新 问题3 什么是一元二次方程？ 一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0） 只含有1个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程。 二次 函 数 情境引入 某果园有100棵柚子树，每一棵树平均结120个柚子。现准备多种一些柚子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个柚子。 （100+x） （120-5x） y=(120-5x)(100+x) （1）问题中有哪些变量? 其中哪些是自变量? 哪些是因变量? （2）假设果园增种x棵柚子树，那么果园共有___________棵柚子树, 这时平均每棵树结___________个柚子. （3）若果园柚子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． =-5x2-380x+12000 y是x的函数吗？是一次函数吗？是反比例函数吗？ 探究与归纳 y=-5x2-380x+12000 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 与上述关系 类似的表达式还有： 你能用一个一般形式来表示它们吗？ y=100x2+3， y=-x2-2x， .... .... 观察并讨论： 以上函数关系式与一次函数有何相似之处？又有何不同？ 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式，则称y是x的二次函数. 其中，ax2叫做二次项，a为二次项系数；bx叫做一次项，b为一次项系数；c叫做常数项. 二次函数的定义 概念归纳 特点： ①等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式. ②自变量x的最高次数是2. x可取任意实数 a≠0 请问：b，c可以为0吗？ ③可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0). 二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c (a≠0) 当c＝0时， y＝ax2＋bx (a≠0) 当b＝0且c＝0时， y＝ax2 (a≠0) 你能否总结：一个函数是否为二次函数，关键看什么？ ①关于自变量x的代数式必须是整式； ②必须要有关于自变量x的二次项. 先化简后判断 类型一： 会“认” 例1、 在下列关系式中，y是x的二次函数吗？若是，请指出各项系数。 化简成y=x2-2x 化简成y=-2x+1 （a，b，c为常数，a≠0） 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 -7 0 1 1 -2 0 π 0 0 判断关键：①整式；②二次项. |m|=2 二次函数 ①自变量最高次数为2；②二次项系数不为零。 类型一： 会“认” 例2、 若 是关于x的二次函数，则m的值为________. |m|=2 且m-2≠0 2或-2 x的最高次数为2 1、若函数 是二次函数，则m=_________； 变式练习 -2 形如：y=ax²+bx+c(a≠0). ∴ m1=2 ，m2=-2 2、若函数 是一次函数，则m=_________. 2 例3、金柚原价每公斤6元，在助农直播中进行降价促销售卖。如果每次降价的百分率均为x，你能写出连续两次降价后的价格y(元)与x之间的关系式吗？这是函数关系吗？若是，是哪一种函数？ y=6(1-x)2 y是x的二次函数 类型二： 会“用” 请问：自变量x可以取任意实数吗？ 0＜x＜1 二次函数的自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. =6x2-12x+6， 1、如图，金柚包装盒的正面是一个周长为100cm的矩形. 它的一边长为 x cm，面积为 Scm2 （1）写出S与 x 之间的函数关系式，并写成一般形式； （2）指出自变量x的取值范围； （3）当x=30时，求矩形的面积. 解：（1）S=x(50-x)=-x2+50x 变式练习 （2）∵50-x＞0且x＞0 ∴0＜x＜50 （3）当x=30时，S=-302+50×30=600（cm2） 另一边可表示为______cm (50-x) 2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AC向C以2mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB向B以4mm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，求△PCQ的面积S与出发时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 能力提升 解： 由题意得，PC=12-2t，CQ=4t， ∴S= ·(12-2t)·4t =-4t2+24t 点拨：解决本题的关键是得到所求的三角形面积的等量关系，注意准确表示所求三角形的边长． (0≤t≤6) 自我评价 总结提高 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数) 一般形式 右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数). 请查阅资料，找出其它学科中与二次函数关系相关的公式，并与同学分享。 课堂延伸思考 作业布置 1、基础作业：课本习题2.1； 2、提升训练：《导学全程练》2.1. 好好学习，建设家乡，报效祖国！ 下 课 $