北京市第二中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试卷

2025-2026学年北京二中高三（上）月考数学试卷（11月份） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.在复平面内，复数，对应的点分别是，，则的模是(    ) A. 5 B. C. 2 D. 3.设，，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且BE为边AC上的高，AD为边BC上的中线，则的值为(    ) A. 2 B. C. 6 D. 5.在平面直角坐标系xOy中，角与角的终边关于y轴对称.若，则(    ) A. B. C. D. 6.已知非零向量，，则“与共线”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.在数列中，，，则(    ) A. B. C. D. 8.将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的(    ) A. 最大值为3 B. 最小值为 C. 一个对称中心为 D. 一条对称轴为 9.近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q与时间单位：年的关系为，其中是臭氧的初始含量，a为常数，经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过n年，臭氧含量只剩下初始含量的，n约为(    ) 参考数据：， A. 280 B. 300 C. 360 D. 640 10.已知数列满足，且，则使不等式成立的n的最大值为(    ) A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为______. 12.已知递减的等差数列满足，，，成等比数列，则数列的前n项和的最大值为        . 13.设函数 当时，的解集为______； 若函数有3个零点，则实数a的取值范围是______. 14.已知长方体的外接球的表面积为，，点P在四边形内含边界，且直线BP与平面所成角的正切值为，则长方体的体积最大时，三棱锥体积的最小值为        . 15.2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，设平面过点P且与平行，现有下列四个结论： ①当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于； ②当平面截梭柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于； ③异面直线与CP所成角的余弦值为； ④三棱锥的体积是该“堑堵”体积的 所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题13分 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， 求C及c； 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 17.本小题14分 在五面体ABCDEF中，平面ADE，平面 求证：； 若，，点D到平面ABFE的距离为，求二面角的大小. 在第问条件下，线段AB上是否存在点M，使得DM与平面BCF所成的角为若存在，求AM的长度，若不存在，请说明理由. 18.本小题15分 某大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为16：9，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表. 跑步里程 男生 a 9 10 6 女生 6 6 4 2 用样本频率估计总体概率. 求a的值，并估计从A学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程在中的概率； 从A学院所有男生中随机抽取2人，从A学院所有女生中随机抽取1人，将这3人中在5月份的累计跑步里程不低于60km的人数记为X，求X的分布列和数学期望； 该大学B学院男生与女生人数之比为，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样，已知A学院和B学院的样本数据整理如下表. 5月份累计跑步里程平均值单位： 学院性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由. 19.本小题15分 已知椭圆的离心率，且经过点，A，B，C，D为椭圆的四个顶点如图，直线l过右顶点A且垂直于x轴． 求该椭圆的标准方程； 为l上一点轴上方，直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若，求点P的坐标． 20.本小题12分 已知函数，注：…是自然对数的底数 当时，求曲线在点处的切线方程； 若只有一个极值点，求实数m的取值范围； 若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值. 21.本小题12分 对于有限正整数数列Q：，，⋯，，若存在连续子，，，和符号序列，，⋯，，使得，其中，i，，则称数列Q存在平衡连续子列. 写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列； 设对任意正整数i，定义函数为满足的非负整数v，其中u为奇数，令，证明：数列，，⋯，不存在平衡连续子列； 设数列Q的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，Q存在平衡连续子列. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：由题意得：或，， 所以 故选： 先求出两个集合，然后根据交集的定义得出答案． 本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：由复数，对应的点分别是，，得，， 则， 故选： 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解即可． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 3.【答案】C  【解析】解：由于，所以， 又， ， 可得 故选： 利用“0，1分段法”来确定正确答案． 本题主要考查对数的大小比较，属基础题． 4.【答案】D  【解析】解：由题意，BE为边AC上的高， 则由数量积的几何意义可得： ， ， 又AD为边BC上的中线， 则有，又， 所以 故选： 由题设，根据数量积的几何意义，得出及的值，进而根据向量数量积运算求解即可． 本题考查三角形中的几何计算，考查平面向量数量积的几何意义，属中档题． 5.【答案】A  【解析】解：由题意，， 即， 由于， 故 故选： 根据对称得，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可． 本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 6.【答案】B  【解析】解：根据题意，当时，，，充分性不成立， 反之，由向量的性质，有， 变形可得：， 若，必有与共线，且，则必要性成立， 故“与共线”是“”必要不充分条件． 故选： 根据题意，由向量共线的性质分析两者的关系，综合可得答案． 本题考查向量共线的性质和应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题． 7.【答案】A  【解析】解：数列中，，， 即， 故， ， ， ， 以上各式相加可得：， 即，也成立 故选： 根据递推关系式得到，再利用累加法求通项即可． 本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题． 8.【答案】D  【解析】解：函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象， 所以， 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 由，得，所以函数的， 当时，的一个对称中心为，故C错误； 由，得，所以的对称轴为， 当时，的一条对称轴为，故D正确． 故选： 利用平移变换求得的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断 本题主要考查了函数图象的变换，正弦函数对称性的应用，属于中档题． 9.【答案】C  【解析】解：臭氧含量Q与时间单位：年的关系为，其中是臭氧的初始含量，a为常数， 经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制， 经过280年将有一半的臭氧消失． 如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制， 再经过n年，臭氧含量只剩下初始含量的， 由题可知，， 即， 两式相比得， 解得 故选： 根据题意建立等式，然后化简求解即可． 本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.【答案】B  【解析】解：数列满足，且， 可令，可得，即，解得， 易知，对，两边同时除以， 可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列的通项公式，可得， 故， 故， 易知单调递增， ，所以 故选： 利用取倒数法并构造新数列求其通项公式，再由等比数列求和公式结合数列的单调性解不等式即可． 本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线，底面半径， 则其高， 不妨设该内切球与母线BS切于点D， 令，由∽，则， 即，解得， ， 故答案为： 易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积． 本题考查圆锥内切球，考查球的体积公式，数形结合思想，属于中档题． 12.【答案】57  【解析】解：因为数列是递减的等差数列，设公差为d，则， 所以，即，即①， 又，，成等比数列， 所以，即②， 联立①②，解得， 所以， 令，则，解得：， 又数列是递减的等差数列， 所以从到均大于0，从开始每项都小于0， 所以 故答案为： 利用已知条件求出，然后根据前n项和与通项的关系即可求解． 本题考查了等比等差数列的性质、通项及前n项和的应用，属于中档题． 13.【答案】；     【解析】解：当时，函数， 当时，，即，解得， 结合，得， 当时，，即，解得或， 结合，得或 综上，的解集为； 若函数有3个零点，可得在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，，得， 因，故即当时，在上有一个零点； 当时，，这是一元二次方程，需有2个正根， 则，解得， 综上，a的取值范围是 故答案为：； 分别求出当时和当时不等式的解集，最后取并集即可得解； 由零点个数可得在上有一个零点，在上有两个零点，分别求出a的取值范围，最后取交集即可得解． 本题考查不等式的解法，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：设长方体的外接球的半径为R，则，即， 设，，， 则，即， 所以， 而长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积最大时，，即， 连接AC，BD，交于点O，连接OB，OP，则， 由长方体的性质知，平面ABCD， 因为平面ABCD，所以， 又，AC、平面， 所以平面， 所以就是直线BP与平面所成角，即， 在中，，， 所以， 即点P的轨迹是在四边形内含边界，以O为圆心，为半径的半圆， 过点O作于点Q， 因为，所以， 所以半圆上的点P到距离的最小值为， 所以三棱锥体积， 即三棱锥体积的最小值为 故答案为： 设，，，根据长方体外接球半径的求法可得，进而知当时，长方体的体积最大，再由线面角的定义与求法可确定点P的运动轨迹，然后利用等体积法求解即可． 本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面角的定义与求法，等体积法，以及空间动点轨迹问题的处理方法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 15.【答案】①③④  【解析】解：如图，取E，F，G分别为对应边中点， 所以，四边形PEFG是等腰梯形， 当E不是中点时，PE不平行平面， 则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个， 向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个， 面积，所以①正确．②不正确． 将三棱柱补成正方体，J为对应边中点， 所以，为异面直线所成角或补角，，， 所以，③正确． ，，三棱锥的体积是该“堑堵”体积的 所以④正确． 故答案为：①③④． 取E，F，G分别为对应边中点，说明四边形PEFG是等腰梯形，转化求解截面面积判断①、②．将三棱柱补成正方体，J为对应边中点，说明为异面直线所成角或补角，求解三角形推出结果判断③．求解几何体的体积判断④． 本题考查点、线、面的位置关系，命题真假的判断，考查空间想象能力，转化思想以及逻辑推理能力，计算能力，是中档题． 16.【答案】解：由，根据余弦定理得 因为，所以， 由，根据正弦定理得 若选择条件①：， 则根据正弦定理得，解得， 结合，可得，这与相矛盾，条件①不符合题意； 若选择条件②：， 则根据，可得， 根据余弦定理，可得，解得舍负 此时中的面积 若选择条件③：， 则根据，可得，结合，可知， 所以，由正弦定理得， 此时中的面积 综上所述，可以选择条件②或③，的面积  【解析】根据余弦定理化简，算出，进而可得角C的大小，然后利用正弦定理求出边c的长； 根据正弦定理算出B为直角，与题设矛盾，可知条件①不符合题意；若选择条件②或条件③，利用正弦定理与余弦定理解三角形，求出边a、b的长，进而可求出的面积． 本题主要考查三角恒等变换公式、三角形的面积公式、正弦定理与余弦定理等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 17.【答案】证明：因为平面ADE，平面ADE， 所以，因为平面ABEF，平面ABEF， 所以平面ABEF， 因为平面平面，平面ABCD， 所以    存在，  【解析】解：证明：因为平面ADE，平面ADE， 所以，因为平面ABEF，平面ABEF， 所以平面ABEF， 因为平面平面，平面ABCD， 所以 由于平面ADE，，所以平面ADE，平面ADE， 故， 又因为平面ADE，AD，平面ADE， 所以，， 又，，AD，平面ABCD， 所以平面ABCD， 由于，则， 故， 故为等腰直角三角形，所以，， 如图以D为坐标原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x，y，z轴建系， 设，则，，，，，， 故，， 由于，所以，故， 设平面BFA的法向量为，平面BFC的法向量为， 因为，， 所以，即， 令则， 因为，， 所以，即， 令，则， 设的大小为， 由图可知O为钝角， 所以， 故； 设线段AB上存在点M，使得DM与平面BCF所成的角为， 设，， 则，则， 由知，平面BCF的法向量为， 则， 即， 解得， 因为， 所以， 故线段AB上是存在点M，使得DM与平面BCF所成的角为，此时 由平面ADE，平面ADE，得，由线面平行的判定定理可得平面CDEF，再由线面平行的性质定理，即可得出答案； 利用等体积法可得为等腰直角三角形，所以，，建立坐标系，利用向量垂直可得，求解两平面的法向量，进而可得求解； 设，，结合平面BCF的法向量为，利用向量法求解即可． 本题考查线线平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 18.【答案】，概率为  的分布列为： X 0 1 2 3 P   存在满足条件的，且的最大值为  【解析】解：依题意，解得， 所以在中的概率为； 学院所抽取的学生中男生有人， 其中5月份的累计跑步里程低于60km有人，不低于60km有人， A学院所抽取的学生中女生有人， 其中5月份的累计跑步里程低于60km有人，不低于60km有人， 由题意X的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 则X的分布列为： X  0 1 2 3  P     ； 设B学院女生有x人，则男生有人， ， ， 依题意，即， 显然，解得， 所以的最大值为 先根据男女比即可求出a，再根据古典概型即可求出所求概率； 由题意X的可能取值为0，1，2，3，求得各自对应的概率得到分布列，再计算期望即可； 设B学院女生人数为x，则男生人数为，求，即可得到不等式，解得即可． 本题考查了古典概型的概率公式和离散型随机变量的分布列与期望公式，属于中档题． 19.【答案】解：因的离心率，且经过点， 所以    解得，所以椭圆标准方程为 由知椭圆方程为，所以直线l方程为，，  设，，则直线PC的方程为， 联立方程组消y得， 所以E点的横坐标为； 又直线PD的方程为， 联立方程组消y得， 所以F点的横坐标为 由得， 则有，则， 化简得，解得，因为，所以， 所以点P的坐标为  【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力． 利用椭圆的离心率，且经过点，列出方程组求解即可． 设，，直线PC的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标，结合联立方程组求出F点的横坐标，由，转化求解即可． 20.【答案】解：当时，，， 故，， 故曲线在点处的切线方程为，即； 由题意知有且只有一个根且有正有负， 设，则 ①当时，当时恒成立，在R上单调递增， 因为， 由零点存在性定理可知有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，在R上恒成立，在R上单调递增，故无极值点； ③当时，当，；当，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则，即 因为，所以当时，， 当时，， 令，则，故， 故在上为增函数． 故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点， 当时，当时恒成立，即无极值点； 综上所述：，即实数m的取值范围是 由题意知，对于任意的，使得恒成立， 则当n取最大值时，取到最小值． 当时，当时，， 所以无最小值，即无最小值； 当时，因为，故当时，的最小值为e； 当时，由得只有一个零点，即且， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 此时， 因为，所以， 代入得， 令， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时， 所以的最小值为  【解析】根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程； 讨论m的符号，判断的单调性，进而确定的零点； 要使取到最小值，则n取最大，分析可得，结合零点代换处理即可． 本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题． 21.【答案】1，2，3；   证明见解析；   证明见解析．  【解析】，2，3， 子列1，2，3对应原数列的，，， 设符号序列为，，，需满足，其中，，， 若取，，，则和为，满足， 由于存在连续子列1，2，3，以及符号序列，，均属于，使得符号与对应项乘积的和为0， 完全符合“平衡连续子列”的定义存在连续子列和符号序列，使符号加权和为， 综上，子列1，2，3是数列2，1，2，3的平衡连续子列； 证明：因为1，3，5，7是奇数， 故， 所以 因为， 所以， 因为， 所以 所以数列4，2，4，1，4，2，4， 因为，，…，， 所以…与…奇偶性相同， 当或时，因为，，…，中，为奇数，其余各项均为偶数， 所以…为奇数， 所以…， 当取，，，，，时， 由可知…， 综上，该数列不存在平衡连续子列； 证明：设…，， 则，，…，是整数数列． 下面证明对任意…，，均有， 显然，满足， 假设结论不成立，则存在…，， 使得或且当时都有， 若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为， 所以，矛盾； 若，当时，， 因为， 所以，矛盾； 当时，， 因为，， 又是整数，所以，矛盾．综上，对任意…，， 均有…14分若存在…，，使得， 则存在且，，⋯，，使得， 此时数列Q存在平衡连续子列．若任意…，，b，， 因为，，…，，0，1，…，k中共个非零整数， 当时，数列，，⋯，中存在p，…，，且， 使得从而存在，，…，， 使得，此时数列Q存在平衡连续子列， 综上，当时，数列Q存在平衡连续子列． 通过不同长度的连续子列，找到合适的符号组合使代数和为0； 分析数列中各项的奇偶性、模数特性，结合符号组合的限制条件，证明无法构造出和为0的子列； 通过分析将原问题转化为或且当时都有，对k进行分类讨论，即可得证． 本题考查数列的应用，属于中档题． 第4页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $