精品解析：北京一零一中学2024-2025学年下学期九年级数学统练习3

2024-2025学年第二学期初三数学统练3 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 据报道：中国铁路营业里程从年的万公里增长到年的万公里，其中高铁从万公里增长到万公里，稳居世界第一．将数字用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 6. 小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 7. 如图，，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以点O为圆心、长为半径画弧，交于点D，连接；②以点C为圆心、长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 10. 分解因式：_____． 11. 已知点，在一次函数的图象上，则m______n（填“>”“=”或“<”）. 12. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______° 13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则的外角的度数等于______°． 14. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____． 15. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米． 16. 将15个编号为1~15的小球全部放入甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3． （1）写出一种甲盘中小球的编号是_________； （2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是_________． 三、解答题（本题共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，点D，E分别是的边的中点． 求证：，且． 方法一 证明：如图，过点C作，交的延长线于点F． 方法二 证明：如图，延长到点F，使得，连接． 21. 如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式： （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围： ． 23. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位：）如下表． 注：表示10000平方米，即1公顷． 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 低海拔区 9843 8650 7996 7705 7506 7437 6517 5398 高海拔区 7800 7267 7533 7867 6333 6400 5874 5201 （1）请补全条形统计图： （2）8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定； （3）已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大， a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较． 24. 如图，的直径与弦相交于点，且，点在的延长线上，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求半径的长． 25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 26. 已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出k的取值范围； （3）若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 27. 如图，在中，，，点在边上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：平分； （2）连接交于点，过点作，交的延长线于点．补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度． （1）如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射； （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围； （3）在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期初三数学统练3 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 据报道：中国铁路营业里程从年的万公里增长到年的万公里，其中高铁从万公里增长到万公里，稳居世界第一．将数字用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键． 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断． 【详解】根据几何体三视图中主视图的定义； 正方体的主视图是矩形，不符合题意； 圆柱体的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、球的主视图是圆，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往后看． 3. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴平移规律为向左平移4个单位， ∴的对应点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据幂的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由，配方可得，进而可得的值，然后代入，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出的值． 6. 小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （分）． 故小明的最终比赛成绩为分． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键． 7. 如图，，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以点O为圆心、长为半径画弧，交于点D，连接；②以点C为圆心、长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数． 【详解】解：由作法得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．也考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质． 8. 如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】假设，则，然后根据求出y关于x的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：假设，则， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 11. 已知点，在一次函数的图象上，则m______n（填“>”“=”或“<”）. 【答案】 【解析】 【分析】先由函数的解析式求得一次函数的增减性，然后即可得到m与n的大小关系． 【详解】解：∵中的系数， ∴一次函数的y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知由自变量系数确定一次函数的增减性，然后比较m与n的大小． 12. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______° 【答案】62 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得． 【详解】解：连接， ∵AB是的直径， ∴， ， ， 故答案为：62 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键． 13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则的外角的度数等于______°． 【答案】135 【解析】 【分析】通过证明可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法以及全等三角形对应角相等，对应边相等． 14. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】共有正反，正正，反正，反反4种可能， 则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为． 故答案为． 15. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意知，得出，根据求出的值． 【详解】解：由题意知 在和中 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比． 16. 将15个编号为1~15的小球全部放入甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3． （1）写出一种甲盘中小球的编号是_________； （2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是_________． 【答案】 ①. 1号，2号，3号，6号（答案不唯一） ②. 7或5 【解析】 【分析】（1）根据每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3，列出一种情况即可得出答案； （2）通过设甲盘中有x个球，乙盘有y个球，丙盘中有z个球（x、y、z都是不小于4的正整数）即可得到方程组，进而问题可求解． 【详解】解：（1）∵每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球的平均值为3，且， ∴甲盘中小球的编号可能是：1号，2号，3号，6号； 故答案为1号，2号，3号，6号（答案不唯一）； （2）设甲盘中有x个球，乙盘有y个球，丙盘中有z个球（x、y、z都是不小于4的正整数），由题意得： ， 消去x得：，即， ∴当时，则，此时符合题意； 当时，则，此时符合题意； 当时，则，此时不符合题意，舍去； ∴乙盘中小球的个数可以是7或5； 故答案为7或5． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及平均数，熟练掌握三元一次方程组的应用及平均数是解题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根、负指数幂及特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查立方根、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可，把②-①消去x，求出y的值，再把求得的y的值代入①，求出x的值即可． 【详解】解：， ②-①得：3y=3， 解得：y=1， 把y=1代入①得：x=3， 则方程组的解为 【点睛】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则、正确计算是解题的关键． 20. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，点D，E分别是的边的中点． 求证：，且． 方法一 证明：如图，过点C作，交的延长线于点F． 方法二 证明：如图，延长到点F，使得，连接． 【答案】 方法一，证明：∵点D，E分别是的边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 方法二，证明：∵点D，E分别是的边的中点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，． 【解析】 【分析】方法一，证明，则，，，，证明四边形是平行四边形，则，，进而结论得证； 方法二，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，，进而结论得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21. 如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：由题意得， 四边形是平行四边形， ，点为中点， ，即， 四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定，证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定，证明即可； （2）根据矩形的性质，三角函数，及勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ， ∵点为中点， 在中，， 解得： 在中，， 故的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握定理与性质是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式： （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围： ． 【答案】（1）这个反比例函数的解析式为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点时的解析式，求得此时直线与y轴的交点，利用数形结合思想即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值， ∴． 23. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位：）如下表． 注：表示10000平方米，即1公顷． 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 低海拔区 9843 8650 7996 7705 7506 7437 6517 5398 高海拔区 7800 7267 7533 7867 6333 6400 5874 5201 （1）请补全条形统计图： （2）8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定； （3）已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大， a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较． 【答案】（1）根据表格中F品种在高海拔地区的产量为6400，补全条形统计图，如图所示： （2），高 （3）选择b、c方案 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义进行判断即可；根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势判断其稳定性； （3）根据控制变量法选择品种相同的玉米，改变气温和含氧量即可比较哪一种因素对玉米产量的影响较大． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将8个不同品种的玉米在低海拔区产量从大到小排序：9843，8650，7996，7705，7506，7437，6517，5398， 中位数为； 根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势可以判断在高海拔地区更加稳定； 故答案为：，高； 【小问3详解】 a选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，故a不选， b、c选用了相同品种的玉米，而且改变了气温和含氧量，故可以选； 故选用b、c两种方案． 【点睛】本题考查了数据的统计与应用，熟练掌握中位数、条形统计图的概念是解题的关键． 24. 如图，的直径与弦相交于点，且，点在的延长线上，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示：     ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，则可得，进而问题可求证； （2）由题意可设，则，则有，，然后可列方程进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可设，则， ∴，， ∴在中，， 解得：， ∴， 即的半径为4． 【点睛】本题主要考查切线的判定、垂径定理及三角函数，熟练掌握切线的判定及三角函数是解题的关键． 25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下： 令，则， 解得或（舍去）， ∴球第一次落在球桌面上的点为， 把代入，得， 解得（舍去）或， ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 当时，， 解得或（舍去）， ∵， ∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质； （1）从表格中发现高度的最大值为50，可知顶点为，可知，再将代入即可求出； （2）乒乓球在桌面的落点就是抛物线与x轴的交点，在中令，即可求出球第一次落在球桌面上的落点，再将代入到求出弹起后满足的关系式，再令，就可求出第二次的落点，然后跟桌面长度比较即可，注意乒乓球是向前运动的，即在坐标系中是向右运动的，所以求出在左侧的落点要舍去. 【小问1详解】 解：乒乓球竖直高度的最大值 依题意，， ∴与的函数关系式为， 把代入函数解析式得：， 解得， ∴与的函数关系式为. 【小问2详解】 略 26. 已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出k的取值范围； （3）若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将抛物线的一般式化为顶点式，得出顶点坐标即可； （2）根据时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，据此求解即可； （3）由可得抛物线开口向下时，才可能存在符合条件的m值存在，根据抛物线的对称轴为直线，离对称轴越远函数值越小进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为：． 【小问2详解】 解：时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴要使，则， ∴此时k的取值范围是； 综上分析可知，k的取值范围是． 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上，则抛物线此时有最小值，不可能满足； 当时，则离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴，即, ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 27. 如图，在中，，，点在边上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：平分； （2）连接交于点，过点作，交的延长线于点．补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 解：， 证明：如图，在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由旋转可得可得，然后“”可证，可得结论； （2）在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接，由“”证明，，可得，，，由平行线的性质及等量代换可得，，即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度． （1）如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射； （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围； （3）在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）A （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干中心映射的定义与旋转方向，判断弦是否仍在上．确定只有点A符合题意． （2）讨论与线段相交成弦的范围，根据角平分线定理与比例性质求解． （3）考虑到对称性与不失一般，将H点设在x轴上，方便得出d的取值范围． 【小问1详解】 根据中心映射的定义， 若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心．由于是等边三角形，因此直线绕A点逆时针旋转，可使弦落在弦上．但直线绕B点、C点逆时针旋转 后，弦无法与再相交成弦． 故只有点A符合映射中心的条件，如下图． 【小问2详解】 如下图， 的角平分线交轴于点，过D作，垂足为G． 则与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，此时的半径r的取值范围是． 在中，平分，过D作x轴的平行线，与EF交于H， 则，又， 所以，则． 由得，，所以 即，。 在直角三角形OEF中，． ∴，解得． ∵， ∴在直角与直角相似． ∴，即． 因此，． 所以，的半径r的取值范围是．即． 【小问3详解】 考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦绕点H逆时针旋转 得到线段，恰好也是的弦，且与交于x轴，见下图． 作与交于点F，再过F作的平行线，是的切线．则满足条件的弦最大为直径，最小应大于0， 所以，．当O与H重合时，，此时弦为直径；当H与E重合时，，此时弦长度为0． 故d的取值范围是：． 由已知条件知． 又因，故． 在直角中，，则． 故d的取值范围是：． 【点睛】本题考察了图形旋转、角平分线性质、含30°角的直角三角形等相关知识点，深入细致审题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $