16.3.1平方差公式 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

平方差公式 人教版八年级上册 1 复习回顾 回 顾旧知 多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 4)( x＋3） =x2 ＋3x ＋4x ＋12 =x2 ＋7x ＋12. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 2 导入新课 在青青草原上，村长把一块长为a米的正方形的土地租给喜羊羊种植，有一天，他对喜羊羊说：“ 我把这块地的一边减少4米，另一边增加4米，继续租给你，你看如何？”喜羊羊一听觉得没有吃亏，就答应了 。同学们，你们觉得喜羊羊吃亏了吗？ 4米 4米 a米 (a-4) 米 (a+4)米 相等吗？ 原来 现在 面积变了吗？ a2 (a+4)(a-4) 了解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式. 能利用平方差公式进行计算.培养学生观察能力和符号意识. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法. 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 计算下列各题： （1）( x+2 ) ( x-2 )； （2）( 1+ 3a ) (1- 3a )； （3）( x+5y) ( x-5y )；（4）( 2y+z ) (2y- z )． （1）x2 -4 ； 知识点 平方差公式 思考：1、观察算式结构，你发现了什么规律？ 2、计算结果后，你又发现了什么规律？ （2）1- 9a2； （3）x2-25y 2； （4）4y2 - z2 ． 新课精讲 5 根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？ 分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______；(2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个长方形的长是______，宽是______，面积___________. a2-b2 a+b a-b (a+b)(a-b) 6 【尝试交流】 探究与应用 a a b b a2-b2 a b b b (a+b)(a-b)=a2-b2 a-b a-b (a+b)(a-b) 平方差公式 (a＋b) (a－b) = a2－b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 平方差公式 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同项为a 相反项为 b （相同项）²－（相反项）² 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等． 右边是相同项的平方减去相反项的平方. (1+x)(1–x) (–3+a)(–3–a) (0.3x–1)(1+0.3x) (1+a)(–1+a) a b a2–b2 1 x –3 a 12–x2 (–3)2–a2 a 1 a2–12 0.3x 1 ( 0.3x)2–12 (a–b)(a+b) 填一填 口答下列各题： (1)(–a+b)(a+b)=_________. (2)(a–b)(b+a)= __________. (3)(–a–b)(–a+b)= ________. (4)(a–b)(–a–b)= _________. a2–b2 a2–b2 b2–a2 b2–a2 做一做 解：（1） 运用平方差公式计算： （1）（3x+2）(3x-2); （2）(-x+2y)(-x-2y) . （2） 总结出 : 在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b. 注意提示学生公式的变化形式. 算式 与平方差公式中a对应的项 与平方差公式中b对应的项 写成“a2-b2”的形式 （a+b)(a-b) a b a2-b2 (y+3)(y-3) (a+3b)(a-3b) ( -m-n) (-m+n) (a+b-c)(a+b+c) 直接运用新知，解决第一层次问题。 算式 与平方差公式中a对应的项 与平方差公式中b对应的项 写成“a2-b2”的形式 （a+b)(a-b) a b a2-b2 (y+3)(y-3) y 3 (a+3b)(a-3b) a 3b ( -m-n) (-m+n) -m n (a+b-c)(a+b+c) a+b c 直接运用新知，解决第一层次问题。 利用平方差公式计算：（1）( 5+ 6x) ( 5-6x)； （2）( x-2y) ( x+2y)； （3）(- m+n) (-m-n) 例 解：（1）( 5 + 6 x) ( 5- 6 x) = 52 - ( 6 x )2 （2）( x - 2y ) ( x + 2 y ) = x2 - ( 2 y )2 （3）( -m+n ) ( -m-n ) = ( - m )2 - n2 素养考点 利用平方差公式进行运算 = 25- 36x2； = x2 - 4y2； = m2 -n2． 方法总结 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1)原式=(3x)2-52=9x2-25； (2)原式=(-2a)2-b2=4a2-b2； (3)原式=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2； 变式训练 利用平方差公式计算： （1） ； （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )． 例 解： （1） （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64 = a2b2- 64 ． (2)(a+3)(a2+9)(a-3). 计算： 变式训练 (2)原式=(a+3)(a-3)(a2+9) =(a2-9)(a2+9) =(a2)2-92 =a4-81. 解：(1) 例 先化简，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)，其中x=1，y=2. 解：原式＝4x2-y2-(4y2-x2) 原式＝5×12－5×22＝－15. ＝4x2-y2-4y2+x2 ＝5x2-5y2. 当x=1，y=2时. 利用平方差公式进行化简求值 素养考点 先化简,再求值:(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1),其中x=2. 解：(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1) =9-x2+2(x2-1) =9-x2+2x2-2 =7+x2 当x=2时 原式=7+22 =7+4 =11 变式训练 (1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点. 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= 63 64 143 144 639 640 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a-1) (a+1) = a2 – 1 平方差公式 解: (1) 103×97 =(100+3)(100-3) =1002-32 =9991 (2)118×122 =(120-2)(120+2) =1202-22 =14396 (1) 103×97; (2)118×122 用平方差公式进行计算： 例 通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 素养考点 利用平方差公式进行简便运算 23 小菜一碟 用平方差公式进行简便计算: 1）38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89 1)、75 2)、37800 3)、23200 4)、8099 24 解: (1) 102×98 = 1002-22 =10000 – 4 =（100＋2）(100－2) =9996； 计算: (1) 102×98; (2) 51×49; (2) 原式=（50＋1）(50－1) = 502-12 =2500 – 1 =2499； 变式训练 计算： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) 例 解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 =a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4 (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =4x2-52-(4x2-6x) =4x2-25-4x2+6x =6x-25 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算. 素养考点 平方差公式在混合运算中的应用 26 计算: (1) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解: (1) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) （2）原式= y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1. = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10. 变式训练 例 对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数． 解：原式＝9n2-1-(9-n2) ＝10n2-10. 因为(10n2-10)÷10=n2-1. n为正整数 所以n2-1为整数 利用平方差公式进行证明 素养考点 方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 如果两个连续奇数分别是2n-1，2n+1（其中n为正整数），证明两个连续奇数的平方差是8的倍数. 证明：（2n+1）2-(2n-1)2 =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立. 变式训练 注意：逆用了平方差公式奥！ 例 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ ∵a2＞a2–16， 解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2. 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16. ∴李大妈吃亏了． 素养考点 利用平方差公式解决实际问题 解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题． 归纳总结 1.（杭州）（1+y）（1﹣y）＝（　　） A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2 2.（临沂）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝ ． C -1 连接中考 3.（郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）。 A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1） B 我们一起来 吧! 1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)。 A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y) C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y) C 2. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　)。 A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1 A 3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________． 10 基础巩固题 (1)(a+3b)(a– 3b)； =4a2–9； =4x4–y2. 原式=(2a+3)(2a–3) =a2–9b2 ； =(2a)2–32 原式=(–2x2 )2–y2 原式=(a)2–(3b)2 (2)(3+2a)(–3+2a)； (3)(–2x2–y)(–2x2+y). 4. 利用平方差公式计算： 解: 解: 解: 6. 利用平方差公式计算: (1)(a–2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2–4)(a2+4) =a4–16. (2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4–y4)(x4+y4) =x8–y8. 5. 计算： 20152 – 2014×2016. 解： 20152 – 2014×2016 = 20152 – (2015–1)(2015+1) = 20152 – (20152–12 ) = 20152 – 20152+12 =1 先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2. 解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3 =2x2–1. 将x＝2代入上式 原式=2×22–1=7. 能力提升题 已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3. (1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4 (1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________； ②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)； ③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________； 1–xn+1 –63 2n＋1–2　 x100–1　 拓广探索题 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2 课堂小结 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用. 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢 谢 再 见 下课了! 43 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 Lavf57.83.100 $