第二十八章 专项培优习题课件 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“锐角三角函数值的求法”，课堂导入从直角三角形三角函数定义切入，通过菱形、正方形、圆、非直角三角形等背景题，搭建从基础定义到复杂图形转化的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以多样化图形为载体，培养数学眼光（抽象数量关系与空间形式），通过构造直角三角形、参数法等，发展数学思维（推理与运算能力），如正方形中设参数证直角三角形求正弦，非直角三角形作高转化。助力学生提升综合解题能力，为教师提供分层教学范例，提高教学效率。

第二十八章　锐角三角函数 专项突破8 “化斜为直”构造直角三角形的常见方法 1 返回 120° 1. 如图，以△OBC的顶点O为圆心，OD为半径作☉O，☉O与边BC相切于点A，与边OB，OC分别相交于点D，E，若D，E分别为OB，OC的中点，则∠BOC的度数是________. 2 2. 返回 3. (4分)如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积. 解：如图，延长BC，AD交于点E. ∵∠A＝60°，∠B＝90°， ∴∠E＝30°. ∵在Rt△ABE中，AB＝2， 返回 返回 4. B 5. 解：如图，过点B作BE⊥CD， 交CD的延长线于点E， 则∠BED＝90°. ∵D是AB的中点，∴AD＝BD. ∵DC⊥AC，∴∠ACD＝90°. ∴∠ACD＝∠BED＝90°. 返回 返回 6. (4分)在△ABC中，AB＝3 ，AC＝6，∠B＝45°，求BC的长. 解：①当∠ACB为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，如图①，则∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵在Rt△ABD中，AB＝3 ，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝AB·sin 45°＝3 . ∵在Rt△ACD中，AC＝6， ∴CD＝＝＝3. ∴BC＝BD＋CD＝3 ＋3. ②当∠ACB为钝角时，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图②，则∠ADB＝90°. ∵在Rt△ABD中，AB＝3 ，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝AB·sin 45°＝3 . ∵在Rt△ACD中，AC＝6，∴由勾股定理得CD＝3. ∴BC＝BD－CD＝3 －3. 综上，BC的长为3 ＋3或3 －3. ∴BE＝＝＝2 . ∵在Rt△CDE中，CD＝1， ∴DE＝＝＝. ∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△ECD＝AB·BE－CD·ED ＝×2×2 －×1×＝. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan ∠BCD＝，则的值为(　　) A．1　　　　　B．2 C. D. (4分)如图，在△ABC中，D为AB的中点，连接DC，且DC⊥AC，sin ∠BCD＝，求tan A的值. 又∵∠ADC＝∠BDE，∴△ACD≌△BED(AAS)． ∴CD＝ED，AC＝BE. ∵在Rt△CBE中，sin ∠BCE＝＝，∴BC＝3BE. ∴CE＝＝2 BE. ∴CD＝CE＝BE＝AC. ∴tan A＝＝＝. (4分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8. 若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值. 解：作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝∠AEC＝90°. ∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BE＝BC＝×8＝4， ∠BAE＝∠BAC.又∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE. 在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝＝＝3， ∴tan ∠BPC＝tan ∠BAE＝＝. $第二十八章　锐角三角函数 阶段练习(28.1) 1 返回 C 1. 一、选择题(每小题5分，共40分) 2 返回 2. D 返回 3. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是(　　) C 返回 4. B 返回 5. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2 m，CD与地面垂直且CD＝6 m，则灯顶A到地面的距离为(　　) A．(6＋1.2sin 25°)m B．(6＋1.2cos 25°)m A 返回 6. D 返回 7. A 返回 8. B 返回 9. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， 则tan B＝______. 二、填空题(每小题5分，共20分) 10 返回 10. 11 返回 11. 12 返回 12. 13 13. (10分)计算： (1)sin 30°＋tan 45°·cos 60°； 三、解答题(共40分) 返回 15 14. (12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，连接BD，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三个三角函数值. 返回 15. 【解决问题】 如图③，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60 m，∠A＝75°，∠C＝60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离. 22 返回 计算：tan 45°＝(　　) A．1 B. C. D. [2025深圳中考]如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sin A的值为(　　) A. B．3 C. D. A．sin B＝ B．cos B＝ C．tan B＝ D．tan B＝ 在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，那么sin A的值等于(　　) A. B. C. D. C.m D.m 有这样一道题：tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(　　) A．40° B．30° C．20° D．10° 如图，已知OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，tan ∠POC＝，OP＝，D为射线OA上一点，连接PD，则PD的值不可能为(　　) A. B．1 C. D．2 [2025自贡中考]如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tan B＝，A(－4，3)，则点G的坐标为(　　) A．(11，－4) B．(10，－3) C．(12，－3) D．(9，－4) 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，sin∠ABC＝，BC＝42 cm，则高AD的长为________. 2 cm 如图是一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，边OE在x轴上，若点E的坐标为，则点A的坐标为_____________. (－2，2 ) [2025东营中考]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2， 则cos∠OAB的值为________. 解：原式＝＋1× ＝＋ ＝1. (2)tan 45°sin 60°－4sin 30°cos 45°＋tan 30°. 解：原式＝1×－4××＋× ＝－＋ ＝. 解：∵在Rt△BCD中，CD＝3，BD＝5， ∴BC＝＝4. ∵AC＝AD＋CD＝8， ∴在Rt△ACB中，AB＝＝4 . ∴sin A＝＝＝， cos A＝＝＝， tan A＝＝＝. (18分) 【知识再现】 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. ∵sin A＝，sin B＝， ∴c＝，c＝ .∴＝. 【拓展探究】 如图②，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 请探究，，之间的关系，并写出探究过程． 解：＝＝. 探究过程如下：如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，则∠AEB＝∠AEC＝∠CDB＝∠CDA＝90°. 在Rt△ABE中，sin B＝＝. 同理，sin B＝＝， sin∠BAC＝＝ ， sin∠BCA＝＝ . ∴AE＝csin B＝bsin∠BCA， CD＝asin B＝bsin∠BAC. ∴＝，＝. ∴＝＝. 解：在△ABC中，∵∠A＝75°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C＝45°. 由拓展探究可知＝， ∴＝. ∴AB＝30 m， 即点A到点B的距离为30 m. $第二十八章　锐角三角函数 专项突破9 构造直角三角形解实际问题的常见类型 1 返回 1.2 1. [2025上海中考] 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪(线段AB)的竖直高度为2.7 m， 某人(线段CD)身高为1.8 m，扫描仪测得∠A＝53°，那么该人与扫描仪的水平距离为________m．(备用数据：sin 53°≈0.8， cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.33，精确到0.1 m) 2 2. (4分)某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A－D－C，示意图如图所示，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11 m，CD＝4 m，求管道A－D－C的总长. 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, 由题意，得BE＝CD＝4 m， ∵AB＝11 m，∴AE＝7 m. ∵∠A＝60°， ∴AD＝AE÷cos 60°＝14 m. ∴AD＋CD＝18 m. 即管道A－D－C的总长为18 m. 返回 3. (4分) 风力发电成为目前最具规模的可再生能源发电方式．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是该小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6 m，点C与点E相距182 m (点C，H，E在同一条直线上)， 解：过点D作DG⊥AH于点G，连接FG， 则易得四边形CDGH是矩形， ∴GH＝CD＝1.6 m，DG＝CH. ∵CD＝EF＝1.6 m，∴GH＝EF. 由题意可得GH⊥CE，EF⊥CE， ∴GH∥EF，∠E＝90°. ∴四边形EFGH是矩形．∴FG＝HE，∠HGF＝90°. ∴∠DGH＋∠FGH＝180°. 返回 4. (4分)如图，小明乘动车从南向北匀速行驶，速度为50 m/s.小明在B处通过窗口看到远处两棵树(记为C和D)，此时C在小明的北偏东45°方向，D在小明的北偏东63.4°方向.7 s后，小明到达A处，此时C和D恰好都在自己的南偏东53.1°方向．求两棵树之间的距离CD. 返回 5. (4分)[2025天津中考]综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度(如图①)．某学习小组设计了一个方案：如图②，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7 m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝ 32 m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度(结果取整数，参考数据：tan 22°≈0.4，tan 31°≈0.6). 解：如图，延长DF与AB相交于点G.  根据题意易得，四边形ACDG，四边形CDFE都为矩形， ∴∠DGB＝90°，AG＝EF＝CD＝1.7 m，DF＝CE＝32 m. 返回 6. (4分)某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔AB的高度，测量方案如下：如图，先将无人机垂直上升至距离地面200 m的点P处，测得雷峰塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行120 m到达点Q，测得雷峰塔底端B的俯角为45°，求雷峰塔AB的高度．(参考数据：sin 22°≈0.37， cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40) 返回 在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度．(参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈) ∴D，G，F三点共线．∴DF＝DG＋FG＝CH＋HE＝CE＝182 m.设AG＝x m， 在Rt△ADG中，tan∠ADG＝，∴tan 45°＝.∴DG＝x m. 在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴tan 53°＝.∴FG≈x m. ∴x＋x≈182，∴x≈104，∴AG约为104 m. ∴AH＝AG＋GH≈105.6 m. ∴风电塔筒AH的高度约为105.6 m. (参考数据：tan 63.4°≈2，tan 53.1°≈) 解：如图，过点C，D分别作CE⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为点E，H，由题意得，AB＝50×7＝350(m)， ∵在Rt△AEC中，tan∠CAE＝tan 53.1°＝≈， ∴设CE＝4x m，则AE≈3x m， ∴AC＝≈5x m， ∵∠CBA＝45°，CE⊥AB， ∴△CEB为等腰直角三角形， ∴BE＝CE＝4x m， ∴AB＝AE＋EB≈7x m，∴7x≈350，∴x≈50， ∴AC≈5×50＝250(m)， ∵在Rt△ADH中，tan∠DAH＝tan 53.1°＝≈， ∴设DH＝4y m，则AH≈3y m， 同理可得，AD≈5y m， ∵在Rt△DHB中，tan∠ABD＝tan 63.4°＝≈2， ∴BH≈2y m， ∴AB＝AH＋BH≈5y m， ∴5y≈350，∴y≈70，∴AD≈5×70＝350(m)， ∴CD＝AD－AC≈350－250＝100(m)． 答：两棵树之间的距离CD约为100 m. 在Rt△FGB中，tan ∠GFB＝，∴GF＝. 在Rt△DGB中，tan ∠GDB＝，∴GD＝. ∵DF＝GD－GF＝32 m，∴－＝32， ∴GB＝≈＝38.4(m)． ∴AB＝AG＋GB≈1.7＋38.4≈40(m)． 答：世纪钟建筑AB的高度约为40 m. 解：延长BA交直线PQ于点C， 由题意得BC⊥PQ，BC＝200 m，PQ＝120 m. 在Rt△BCQ中，∠CQB＝45°，∴CQ＝BC＝200 m. ∴PC＝PQ＋CQ＝120＋200＝320(m)． 在Rt△ACP中，∠APC＝22°， ∴AC＝PC·tan 22°≈320×0.40＝128(m)． ∴AB＝BC－AC≈200－128＝72. ∴雷峰塔AB的高度约为72 m. $第二十八章　锐角三角函数 章末整合练 1 返回 D 1. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列选项正确的是(　　) 2 返回 2. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tan A的值为(　　) A 返回 3. 返回 4. 返回 5. 下列三角函数值是有理数的是(　　) A．sin 45° B．cos 30° C．tan 60° D．tan 45° D 返回 6. 点M(－sin 60°，cos 60°)关于原点对称的点的坐标是(　　) B 返回 7. D 返回 8. (2)tan 30°tan 60°＋cos230°－sin2 45°tan 45°. 返回 9. A 10 返回 10. [2025长春中考]如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A，B两点之间的距离为(　　) B 11 返回 11. C 12 12. (8分)[教材P77习题T1变式]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形： (1)a＋c＝12，∠B＝60°； 13 (2)b＋c＝30，∠A－∠B＝30°. 返回 15 13. (2)求cos∠DBE的值. 返回 17 14. (8分)[2024河北中考]中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝ 4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图． 已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的 距离AB＝CD＝1.6 m，点P到BQ的 距离PQ＝2.6 m，AC的延长线交PQ 于点E.(注：图中所有点均在同一平面) (1)求β的大小及tan α的值； 19 (2)求CP的长及sin ∠APC的值． 20 返回 15. (8分) 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和精彩的表演让观众看到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．为了让机器人们完美地转动手绢，舞者表演时需要和它们保持一定的间距．如图是其侧面示意图，机器人的胳膊与身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40 cm，OB＝30 cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25 cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12 cm(即BD的长度)． (1)求∠ABO的度数(结果保留一位小数)； 23 (2)机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40 cm.在图中，机器人与舞者之间距离为100 cm.问此时手绢端点C与舞者间的距离是否在规定范围内？并说明理由．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，sin 23.6°≈0.40， 24 解：在规定范围内，理由如下： 过点C作CE⊥OD于点E，则∠OEC＝90°，  ∵OC⊥OB，∴∠BOC＝90°. ∵∠OBD≈66.4°， ∴∠BOD＝90°－∠OBD≈90°－66.4°＝23.6°， ∴∠COE＝90°－∠BOD≈90°－23.6°＝66.4°， ∴在Rt△OEC中，CE＝OC·sin∠COE≈25×0.92＝23(cm)． 返回 A．sin A＝ B．cos B＝ C．tan A＝ D．tan B＝ A. B. C. D. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝________. [2025威海中考]如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝－的图象上，连接OA，OB，AB.若AO⊥BO，则tan ∠BAO＝________. A. B. C. D. 在△ABC中，tan A＝，cos B＝，则∠C的度数是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (8分)[教材P84复习题T3变式]计算： (1)sin 30°＋－2－1； 解：原式＝＋3－＝3. 原式＝×＋－×1＝1＋－＝. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高．若AB＝5， BC＝6，sin B＝，则AC的长为(　　) A. B．3 C．5 D．4 A．(m－n)sin α米 B.米 C．(m－n)cos α米 D.米 题目“在△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，AC＝，求∠C的度数”．对于其答案，甲答：∠C＝60°；乙答：∠C＝90°；丙答：∠C＝60°或∠C＝120°.则正确的是(　　) A．只有甲答得对 B．只有乙答得对 C．只有丙答得对 D．乙、丙的答案合在一起才完整 解：由题意得∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°. ∵sin A＝， ∴a＝c·sin 30°＝c，∵a＋c＝12， ∴c＋c＝12，∴c＝8，∴a＝c＝4， ∴b＝＝＝4 . 解：∵∠C＝90°，∴∠B＋∠A＝90°， 又∵∠A－∠B＝30°，∴∠A＝60°，∠B＝30°， ∴sin B＝sin 30°＝＝，∴c＝2b. ∵b＋c＝30，∴b＝10，c＝20， ∴a＝＝10 . (8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E.已知AC＝6，cos A＝. (1)求线段CD的长； 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cos A＝， ∴＝.又∵AC＝6，∴AB＝10. 又∵D是边AB的中点，∴CD＝AB＝5. 解：过点C作CF⊥AB于点F，则∠CFB＝90°. ∵在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10. ∴由勾股定理得BC＝＝8.∴CF＝＝. ∴cos∠DCF＝＝＝.∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°＝∠CFD.又∵∠CDF＝∠BDE，∴∠DCF＝∠DBE. ∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝. 解：由题意可得PQ⊥AE，PQ＝2.6 m，AB＝CD＝EQ＝1.6 m，AE＝BQ＝4 m，AC＝BD＝3 m， ∴CE＝AE－AC＝4－3＝1(m)， PE＝PQ－EQ＝2.6－1.6＝1(m)，∠CEP＝90°， ∴CE＝PE，tan α＝tan∠PAE＝＝. ∴β＝∠PCE＝45°. 解：∵CE＝PE＝1 m，∠CEP＝90°， ∴CP＝＝(m)． 如图，过点C作CH⊥AP于点H， 则tan α＝＝， 设CH＝x m，则AH＝4x m. ∵AC＝3 m，CH2＋AH2＝AC2， ∴x2＋(4x)2＝9，解得x＝(负值已舍去)， ∴CH＝ m， ∴sin∠APC＝＝＝. 解：∵∠ANB＝90°，∠NAB＝45°，∴∠ABN＝45°， 在Rt△BDO中，cos∠OBD＝＝＝0.4， ∴∠OBD≈66.4°， ∴∠ABO≈180°－45°－66.4°＝68.6°. ≈1.414) ∵在Rt△ANB中，∠NAB＝45°，AB＝40 cm， ∴BN＝AB·sin∠NAB＝40×≈28.28(cm)， ∴此时手绢端点C与舞者间的距离为100－(BN＋BD＋CE)≈100－(28.28＋12＋23)≈36.7(cm)， ∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40 cm， ∴此时手绢端点C与舞者间的距离在规定范围内． $第二十八章　锐角三角函数 微专项3 在网格中求三角函数值 1 D 1. 如图，点A，B，C是边长相同的正方形网格中的三个格点(即正方形的顶点)，则cos∠ABC的值为(　　) 2 2. 如图，由边长为2的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC＝________. 3. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是______． 2 A.　　　 　B. C.　　　　D. $第二十八章　锐角三角函数 河北特色题型专练三 1 1. (8分)[2024贵州中考]综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：如图，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC 的中点E处时，停止注水．(直线NN′为 法线，AO为入射光线，OD为折射光线) 2 【测量数据】点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°. 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求BC的长； 解：由题意得∠C＝90°， 又∵∠A＝45°，∴∠ABC＝45°， ∴BC＝AC＝20 cm. 3 (2)求B，D之间的距离(结果精确到0.1 cm)． (参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62) 4 2. (12分)将直径为10 cm的量角器与矩形直尺按如图①位置放置，其中量角器的直径AB平行于直尺的边缘MN，OA对应量角器的0°刻度线，OB对应量角器的180°刻度线，且量角器的轮廓所在的半圆O与直尺的边缘MN相切于点P，与直尺的另一边缘(MN的对边)相交于点C，D.已知点P，C，D在直尺上的读数分别为5 cm， 1 cm，9 cm. 【计算】在图①中，设OP与CD交于点E. (1)求直尺的宽度PE； 解：∵C，D在直尺上的读数分别为1 cm，9 cm， ∴CD＝9－1＝8(cm)． ∵半圆O与MN相切于点P， ∴OP⊥MN. 又∵CD∥MN，∴OP⊥CD， 6 【操作】将图①中的量角器沿MN向右作无滑动滚动，直尺保持固定，当量角器的端点B恰好与直尺边缘上的交点D重合时停止滚动，如图②所示； 【探究】经过上述操作后，在图②中，直接写出： (2)点C在量角器上的读数(结果保留整度数)； 点C在量角器上的读数约为74°. 8 (3)点P在直尺上的读数(结果保留小数点后一位)．(参考数据：tan 37°≈0.75，π≈3.14) 点P在直尺上的读数约为8.2 cm. 9 解：易知ON＝EC＝AC＝10 cm，∠ONB＝90°， 又∵∠ABC＝45°，∴∠NOB＝45°， ∴∠NOB＝∠OBN，∴NB＝ON＝10 cm. ∵∠DON＝32°，∴DN＝ON·tan∠DON＝10×tan 32°≈10×0.62＝6.2(cm)，∴BD＝BN－DN≈10－6.2＝3.8(cm)． ∴DE＝CD＝4 cm， 连接OD，在Rt△DOE中， OD＝AB＝5 cm， ∴OE＝＝＝3(cm)， ∴PE＝OP－OE＝OD－OE＝5－3＝2(cm)． $第二十八章　锐角三角函数 培优拔高练 解直角三角形的应用 1 1. (8分) [2024广东中考]中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个停车位的宽，所有停车位的长宽相同，按图示并列划定. 2 3 (2)该充电站有20个停车位，求PN的长． 5 2. (8分)[2025重庆中考改编]为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． (1)求BD的长度(结果保留小数点后一位)； 7 (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请直接写出甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)？ 甲无人机飞离B处3.8千米时， 两无人机可以开始相互接收到信号． 9 根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73) (1)求PQ的长； 解：∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q＝∠P＝90°，在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°， AB＝5.4 m， ∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝5.4×＝(m)， ∠QAB＝30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝30°，∴BC＝＝＝(m)， ∴AD＝ m.∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°， ∴AP＝AD·cos∠PAD＝×＝(m)， ∴PQ＝AP＋AQ＝＋≈6.1(m)． 解：在Rt△BCE中，BE＝＝＝3.2(m)， 在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝5.4×＝2.7(m)． ∵该充电站有20个停车位， ∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m. ∵四边形PQMN是矩形， ∴PN＝QM＝66.7 m. (参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.65) 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，则∠AED＝∠BFD＝90°， 由题意得∠DAE＝30°. 在Rt△ADE中， AE＝AD·cos∠DAE＝20×＝10(千米)， DE＝AD·sin∠DAE＝20×＝10(千米)． ∵甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，∴AB∥CD，∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，BF＝AE＝10千米， ∴DF＝DE＋EF＝20千米， ∴BD＝＝＝10≈26.5(千米)， 答：BD的长度约为26.5千米． $第二十八章　锐角三角函数 专项突破7 求锐角三角函数值的方法 1 返回 C 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，下列结论中，正确的是(　　) 2 返回 2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则cos ∠CBD的值为(　　) C 返回 3. B 4. (4分)如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，连接CE，CM，EM，求sin ∠ECM的值. 返回 返回 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD.若BC＝4，CD＝3，则cos ∠ACD的值为________. 6. 返回 7. (4分)如图，在△ABC中，AC＝12, ∠C＝45°，∠B＝120°，求BC的长. 返回 A．tan B＝ B．tan A＝ C．sin A＝ D．cos B＝ A.　　　　B. C. D. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则cos A的值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝MD＝2x，CD＝4x，∴CE＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝ 2 x， ∴EM2＋CM2＝CE2， ∴△CEM是直角三角形，∠EMC＝90°， ∴sin∠ECM＝＝＝. 如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为α，OA＝OB＝10，则两脚张开的距离AB为________． 20sin 解：过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D， 则∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AD＝DC， 根据勾股定理可得AD2＋DC2＝AC2， 解得AD＝DC＝6 ， ∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝30°， 在Rt△ABD中， 设BD＝x，则AB＝2x， 根据勾股定理可得AD2＋DB2＝AB2， 即(6 )2＋x2＝(2x)2，解得x＝2 (负值舍去)，即BD＝2 ，∴BC＝DC－DB＝6 －2 . $