第14讲相似三角形的应用 期末复习课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

这是一份初中数学期末复习课件，共43页，主题为“相似三角形的应用”。内容以生活实例（如优选法0.618法）引入，通过归类探究（求高度/宽度、面积、几何与函数综合等）、知识归纳、变式训练及自主招生拓展题，构建从基础到综合的学习支架。 资料特色鲜明，融合新课标核心素养，以生活问题（测路灯高度、圆锥形坑深度）培养数学眼光，通过相似判定与性质推理训练数学思维，用函数模型表达实际问题发展数学语言。分层例题（基础例1到自招例5）和变式跟进帮助学生巩固，为教师提供系统教学资源，助力九年级学生应对升学考试。

第14讲相似三角形的应用 优选法中的0.618法 做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味．碱放多少才合适呢？这是一个优选问题；为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多太少都不好．究竟加入多少碳，钢才能达到最高强度呢？这也是一个优选问题．在日常生活和生产中，我们常常会遇到优选问题． 可是，碱的多少与馒头好坏之间的关系，碳的多少与钢的强度之间的关系，如果不能简单地用数学式子表示出来，那么，应该如何解决呢？我们不妨观察一下炊事员学做馒头的过程：这次碱放多了，下次就放少一点，下次碱放少了，再下次再放多一点，以此类推．试验效果一次比一次好，最终获得碱的合适加入量，做出好馒头．炊事员给了我们启示：用试验的办法来解决！ 解答一个优选问题，往往需做若干次试验．而安排这些试验的方法又必须讲究科学，进行合理选择．例如，对钢中加入多少碳的优选问题，假设已估出每吨加入量在1 000 g到2 000 g之间．若用均分法来安排试验，则应选取1 001 g，1 002 g…为试验点，共需做近一千次试验．若按一天做一次试验计算，则需花将近三年的时间才能完成．太费时了！在时间就是生命的今天，这种安排方法显然不可取．有更科学的安排方法吗？能否减少试验次数，迅速找到最佳点呢？ 为此，数学家们设计了运用数学原理科学地安排试验的方法，这就是人们所说的“优选法”．数学大师华罗庚(1910～1985年)从1964年起，走遍大江南北的二十几个省(市)，推广优选法．他在单因素优选问题中，用得最多的是0.618法． 0．618法是根据黄金分割原理设计的，所以又称之为黄金分割法． 利用相似求物体的高度(或宽度) 例1 一天晚上，李明和张龙利用灯光下 的影子长来测量一路灯CD的高度．如图4－ 14－1，当李明走到点A处时，张龙测得李明 直立时身高AM与其影子长AE正好相等，接 着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时， 李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1 m) 图4－14－1 【思路生成】△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式． 解：设CD长为x m， ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA， ∴AM∥CD，BN∥CD，∴EC＝CD＝x， ∴△ABN∽△ACD， 解得x＝6.125≈6.1(m)． ∴路灯的高CD的长约为6.1 m. 相似三角形的应用： (1)利用相似三角形的性质计算相关三角形的周长和面积； (2)运用或构造相似三角形，测量无法到达顶部的物体的高度或测量河的宽度等． 利用相似求物体的高度(或宽度) 把实际问题转化为数学问题，建立几何图形，然后用所学的数学知识解决实际问题． 利用相似三角形对应边成比例求线段(或边)的长是几何中经常用到的方法． 1．一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图4－14－2是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下： ①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54 m； ②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在 的平面上，经过适当调整自己所处的位置， 当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆 周上一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C 与点A，点S共线)，经测量：AB＝1.2 m，BC＝1.6 m. 图4－14－2 根据以上的测量数据，求圆锥形坑的深度(圆锥的高)．(π取3.14，结果精确到0.1 m) 解： 如答图，取圆锥底面圆心O，连结OS，OA，则 ∠O＝∠ABC＝90°，OS∥BC， ∴∠ACB＝∠ASO， ∴△SOA∽△CBA， 变式跟进1答图 利用相似求图形的面积 例2　某社区拟筹资2 000元，计划在一块 上、下底分别是10 m，20 m的梯形空地上种 植花木(如图4－14－3所示)，他们想在△AM D和△BMC地带种植单价为10元/m2的太阳花， 当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由． 图4－14－3 【思路生成】将实际问题转化为数学问题解答，要注意相似三角形的面积比是相似比的平方． 解：∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴△AMD∽△CMB， ∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)， ∴S△BMC＝200(m2)， 还需要资金200×10＝2 000(元)， 而剩余资金为2 000－500＝1 500<2 000， 所以资金不够用． 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2．在一块如图4－14－4所示的直角三角形ABC余料上裁减下一个矩形，AC＝6 cm，BC＝8 cm，CH是斜边上的高，矩形的一边DE在斜边上，另两个顶点F，G分别在边BC，AC上. (1)求高CH的长； (2)设GF＝x，EF＝y，求y与x之间的 函数关系式； (3)设矩形DEFG的面积为S，试问S有 最大值吗？若有，请你求出S的最大值． 图4－14－4 相似三角形与其他几何知识的综合运用 图4－14－5 ∴设AE＝2k，则BE＝3k，AB＝5k. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°， CD＝AB＝5k，AD＝BC. ∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处， ∴∠EFC＝∠B＝90°，EF＝EB＝3k，CF＝BC， ∴∠AFE＋∠DFC＝90°，∠DFC＋∠FCD＝90°， ∴∠DCF＝∠AFE， 相似三角形与其他几何知识的综合运用 在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法”与“面积法”与“勾股法”建立有关关等式，从而转化为函数关系式． 3．如图4－14－6，点P是菱 形ABCD对角线AC上的一点，连结DP并延长DP交边AB于点E，连结BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G. 图4－14－6 (1)求证：△APB≌△APD； (2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y. ①求y与x的函数关系式； ②当x＝6时，求线段FG的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠BAP. ∴△APB≌△APD. (2)①∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AFP∽△CBP， ∵DF∶FA＝1∶2， ∴AF∶BC＝2∶3， ∴FP∶BP＝2∶3， 由(1)知PB＝PD＝x， 相似三角形与函数的综合运用 例4　[华师一附中高一自招]如图4－14－7所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF＝2，BF＝1.为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． 图4－14－7 【思路生成】根据题意画图分析，用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关键是表示另一边的长，借助三角形相似建立关系． 解： 如答图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝x，PN＝y，则面积S＝xy.① 例4答图 相似三角形与函数的综合运用 运动型问题是结合知识和图形为背景，常与函数联系在一起，用函数的观点解决问题，体现了动态数学思想方法． 4．如图4－14－8①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，如果点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均是1 cm/s，连结PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，解答下列问题： (1)设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？ (2)如图4－14－8②，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值； (3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 解：(1)由勾股定理得AB＝5 cm，由题意，得BP＝AQ＝t，AP＝5—t. 如答图①，过点P作PD⊥AC于点D，则△APD∽△ABC， 图4－14－8 变式跟进4答图 例5　提出问题 ： (1)如图4－14－9①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN； 类比探究： (2)如图4－14－9②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由； 拓展延伸： (3)如图4－14－9③，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 图4－14－9 解： (1)证明：∵△ABC和△AMN是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAM≌△CAN(SAS)， ∴∠ABC＝∠ACN. (2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立． 理由如下： ∵等边△ABC，等边△AMN， ∴AB＝AC，AM＝AN， ∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAM≌△CAN， ∴∠ABC＝∠ACN. (3)∠ABC＝∠ACN. 理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN， 顶角∠ABC＝∠AMN， ∴底角∠BAC＝∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC， ∠CAN＝∠MAN－∠MAC， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC＝∠ACN. 本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等(相似)的条件，利用全等(相似)的性质证明结论． ∴＝，即＝， ∴＝， ∴OS＝， ∵OA＝＝5.5 m，BC＝1.6 m，AB＝1.2 m， ∴OS＝≈7.3(m)， ∴圆锥形坑的深度约为7.3 m. ∵AD＝10 m，BC＝20 m，∴＝＝， 解：(1)由勾股定理得，AB＝＝ ＝10(cm)， ∵∠ACB＝90°，CH是斜边上的高， ∴S△ABC＝AB·CH＝AC·BC， 即×10·CH＝×6×8，解得CH＝4.8 cm. (2)∵矩形EFGD的对边FG∥DE， ∴△GFC∽△ABC， ∴＝， 即＝，整理得y＝－0.48x＋4.8. (3)矩形DEFG的面积为S＝x(－0.48x＋4.8)＝－0.48(x－5)2＋12， ∵－0.48<0， ∴当x＝5时，S有最大值为12. 例3 如图4－14－5，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，若 AE＝BE，则长AD与宽AB的比值是________． 【思路生成】由AE＝BE，可设AE＝2k，则BE＝3k，AB＝5k.由四边形ABCD是矩形，可得∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB＝5k，AD＝BC.由折叠的性质可得∠EFC＝∠B＝90°，EF＝EB＝3k，CF＝BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF＝∠AFE.在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AF＝＝k，由△CFD ∽△FEA，得出＝，CF＝3k，即AD＝3k，进而求解即可． 【解析】 ∵AE＝BE， ∴△CFD∽△FEA，∴＝. 在Rt△FEA中， ∵∠A＝90°，AE＝2k，EF＝3k， ∴AF＝＝k， ∵＝，即＝. ∴CF＝3k，∴AD＝BC＝CF＝3k， ∴长AD与宽AB的比值是＝. 在△APB和△APD中， ∴＝. 即y与x的函数关系式为y＝x. ②当x＝6时，y＝×6＝4. ∴FB＝FP＋PB＝10. ∵DG∥AB， ∴△DFG∽△AFB， ∴＝＝， ∴FG＝×10＝5， ∴线段FG的长为5. 因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得＝，即 ＝， 解得x＝10－2y. 代入①，得S＝(10－2y)y＝－2y2＋10y， 即S＝－2(y－)2＋. 因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点， 当y＝3时，S＝12；当 y＝4时，S＝8. 故面积的最大值是S＝12. 此时，钢板的最大利用率是×100%＝80%. ∴＝，解得PD＝＝＝3－t， ∴S＝t(3－t)＝－(t－)2＋， ∴当t＝时，S取得最大值是. (2)如答图②，连结PP′交AC于E. ∵PQP′C是菱形，∴PP′与QC互相垂直平分， ∴AE＝t＋＝， PE＝PD＝3－t，AP＝5－t. 由勾股定理得＋＝(5－t)2， 解得t1＝，t2＝20(舍去)． (3)由(1)知，PD＝－t＋3，与(1)同理得AD＝4－t，QD＝AD－AQ＝－t＋4， ∴PQ＝＝＝， 在△APQ中， ①当AQ＝AP，即t＝5－t时，解得t1＝； ②当PQ＝AQ，即＝t时，解得t2＝，t3＝5； ③当PQ＝AP，即＝5－t时，解得t4＝0，t5＝. ∵0<t<4，∴t3＝5，t4＝0(不合题意，舍去)． 综上所述，当t＝或t＝或t＝时，△APQ是等腰三角形． ∴＝. $