第二十七章 习题课件 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“图形的相似”核心内容，涵盖相似图形识别、比例线段、相似比及性质应用。通过照片缩放、地图比例、放大镜观察等生活实例导入，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识，理解相似概念本质。 其亮点在于题目梯度分明，含基础识别、中考应用及教材变式题。如游览拍照测量化石长度（第4题）培养几何直观与抽象能力（数学眼光），证明三角形相似（第14题）发展推理能力（数学思维），矩形边框问题（第15题）强化模型意识与应用意识（数学语言）。采用生活情境与变式训练结合的教学方法，学生能提升问题解决能力，教师可利用丰富例题优化教学效果。

第二十七章　相似 27．2相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第2课时　用平行线判定三角形相似 1 返回 C 1. 2 返回 2. C 返回 3. 3 如图，AB∥DF，DE∥BC，则图中的相似三角形有________对. 返回 4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD＝______cm. 返回 5. (4分)如图，F是▱ABCD的边CD上一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E.若AB＝6，AF＝2EF，求CF的长. 返回 6. B [2025河南中考]如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为(　　) 返回 7. B 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为(　　) 返回 8. 6 如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的边OA上一点，AC∶OC＝1∶2，过点C作CD∥OB交AB于点D，C，D两点的纵坐标分别为1，3，则点B的纵坐标为________. 9. 6 (1)CG的长为________； 10 (2)若CD＝2，求EF的长. 返回 11 如图，在△ABC中，DE∥AB，若＝，AB＝10，则DE的长为(　　) A．3 B．5 C．6 D．8 如图，已知AB∥CD，AD与BC交于点E，若AB＝3，CD＝2，则的值为(　　) A. B. C. D. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△EBA∽△ECF，∴＝. ∵AF＝2EF，∴＝，∴＝，∴CF＝2. A.　 B．1　 C.　 D. A. B．1 C. D．2 (8分)如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD，过AD上的点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC，交BC于点G，已知＝，BG＝4. 解：∵CD＝2，CG＝6，∴DG＝CG－CD＝4. ∵BG＝4，∴BD＝BG＋DG＝8.∵EF∥BD， ∴＝＝，∴＝. ∵EF∥BD，∴△AFE∽△ABD， ∴＝，即＝，∴EF＝. $第二十七章　相似 27．2相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时　相似三角形及平行线分线段成比例 1 返回 ∠ADE 1. 如图，已知△ABC∽△ADE，则∠B＝______，∠C＝________， ＝________＝________；若AB＝5，AD＝3，则△ABC与△ADE的相似比为________. ∠AED 2 返回 2. 全等 (1)若△ABC和△A′B′C′相似，且相似比为1，则△ABC和△A′B′C′的关系是________． 返回 3. A [2025唐山期中]如图是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是(　　) A．DE B．DF C．AD D．BE 返回 4. B 如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2.5，则DF的值为(　　) A．5 B．7.5 C．2.5 D．10 返回 5. B 如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论不正确的是(　　) 返回 6. 返回 7. D 返回 8. C 返回 9. A 10 返回 10. D [2025保定期末]已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到mn＝pq的是(　　) 11 返回 11. C 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是(　　) 12 返回 12. 6或12 在△ABC中，AB＝6，AC＝9，P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作边BC的平行线交直线AC于点M，则MC的长为________. 13 返回 13. 6 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段(两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5)相互平行，若点A在数轴上表示的数是－2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是________. 返回 14. 32 如图，小明借助尺规作图，在线段AB上作一点C. 若AB＝48，则BC＝______. 15. (8分)如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC. (2)若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF的长. 返回 17 (2)若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为，则△A′B′C′与△ABC的相似比为______. A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ (4分)[教材P31练习T1变式]如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知＝，DF＝10，求DE的长. 解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝. 设DE＝x，则EF＝10－x， ∴＝，解得x＝6.∴DE＝6. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD＝2，BD＝3，则的值是(　　) A.　　　　　　B. C.　　　　　　D. 如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，＝，DE＝3，则BD的长为(　　) A. B．4 C. D．6 如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，＝，BF＝8，则DE的长为(　　) A. B. C．2 D．3 A. B．1 C. D．2 (1)求证：＝； 证明：∵DF∥AC，∴＝. ∵DE∥BC，∴＝， ∴＝. 解：设BF＝x，∵BC＝10，∴CF＝10－x. ∵＝，且AE＝4，EC＝2， ∴＝，解得x＝， ∴BF＝，∴CF＝10－＝. $第二十七章　相似 27．1 图形的相似 1 返回 D 1. 下列选项中，不是相似图形的是(　　) 2 返回 2. C 下列图形不是相似图形的是(　　) A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．从放大镜里看到的图案和原来的图案 C．某人的侧身照片和正面照片 D．大小不同的两张中国地图 返回 3. C 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是(　　) A．4，5，6，7 B．3，4，5，8 C．5，15，3，9 D．8，4，1，3 返回 4. C [2025河北中考]“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(如图)．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm， 则该化石的实际长度为(　　) A．2 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 返回 5. B 已知两个相似多边形的一组对应边长分别为2 cm， 6 cm，则它们的相似比为(　　) 返回 6. B 如图所示的三个矩形中，相似的是(　　) A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 返回 7. D [2025保定期末]如图，用放大镜看到的五边形与原五边形相比较，不发生改变的是(　　) A．每条边的长度 B．周长 C．面积 D．每个内角的度数 返回 8. B [教材P27练习T3变式]一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 返回 9. C 下列图形一定是相似图形的是(　　) A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 10 10. 69° (8分)[教材P26例题变式]如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB＝8，BC＝9，B′C′＝6，C′D′＝4，∠A＝95°，∠D＝136°，∠B′＝60°. (1)∠C′＝________； 11 (2)求边A′B′，CD的长度. 返回 12 返回 11. B 如图，已知矩形OABC与矩形OA′B′C′相似，点B′的坐标为(10，5)，AA′＝1，则CC′的长是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 13 返回 12. B [2025保定期末]在学习相似多边形时，将边长为4，6，6的等腰三角形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则下面对新图形和原图形是不是相似多边形的判断正确的是(　　) A．甲乙两组都是 B．甲组是，乙组不是 C．甲组不是，乙组是 D．甲乙两组都不是 14 返回 13. [教材P28习题T8变式]如图，在矩形ABCD中，AD＝1，在BC上取一点E，沿AE所在直线将△ABE折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形ECDF与矩形ABCD相似，则 AB＝__________. 14. (8分)[教材P28习题T5变式]如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点O，AB＝4，CD＝8，OA＝3，OD＝6，OB＝2，OC＝4. (2)证明△AOB与△DOC相似. 返回 17 15. (8分)[教材P28习题T6变式]已知长AB＝30，宽BC＝20的矩形黑板ABCD.   (1)如图①，若矩形黑板ABCD四周有宽为1的边框区域，则图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，图中的矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？ 返回 20 返回 16. 如图，将一张▱ABCD(AD＜AB＜2AD)纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来的▱ABCD相似，则▱ABCD的相邻两边AD与AB的比值是________. A．3 B. C．9 D. 解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似， ∴＝＝. ∵AB＝8，BC＝9，B′C′＝6，C′D′＝4， ∴＝＝. ∴A′B′＝，CD＝6. (1)求，，的值； 解：＝＝，＝＝，＝＝. 证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C. 又∵＝＝＝， 且∠AOB＝∠DOC，∴△AOB与△DOC相似． 解：不相似，理由如下： AB＝30，A′B′＝30－1－1＝28，BC＝20，B′C′＝ 20－1－1＝18，而≠，≠，即≠，≠.故矩形ABCD与矩形A′B′C′D′不相似． 解：若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，则＝或＝，即＝或＝， 解得x＝1.5或x＝9. 故当x＝1.5或x＝9时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似． 或 $第二十七章　相似 27．2相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第3课时　用三边、两边及其夹角的关系判定三角形相似 1 返回 A 1. A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似 2 返回 2. A △ABC的三边长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是(　　) 返回 3. C 已知△ABC的三边长分别为12，15，18，△DEF的一边长为4，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似？(　　) A．2，3 B．4，5 C．5，6 D．6，7 返回 4. (4分)如图，网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF相似吗？ 返回 5. C 如图，已知△ABC，则下列三角形中，与△ABC相似的是(　　) 返回 6. B [教材P34练习T2(2)变式]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA:OC＝OB:OD，则下列结论一定正确的是(　　) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 返回 7. A 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC∽△AED，还需满足下列条件中的(　　) 返回 8. △ADC和△ACB [教材P44习题T13变式]如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则一定相似的两个三角形是____________. 返回 9. (4分)[2024广州中考]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2. 求证：△ABE∽△ECF. 10 返回 10. D 在三角形纸片ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　　) 11 返回 11. B 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在(　　) A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 12 返回 12. 45° 如图，用边长均为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2的度数为______. 13 13. (2)连接EC，求证：△ABD∽△ACE. 返回 15 14. (8分)如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4. (1)求证：△ACP∽△PDB； 解：∵△ACP∽△PDB， ∴∠APC＝∠B. ∵∠A＋∠APC＝∠PCD＝60°， ∴∠A＋∠B＝60°， ∴∠APB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－60°＝120°. (2)求∠APB的度数. 返回 17 15. (8分) 如图，A，B两点的坐标分别为A(10，0)，B(4，3)，点P，Q同时出发做匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒2个单位长度，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也随之停止运动．设从出发起，运动了t秒， 使得以O，P，Q为顶点的三角形 与△OAB相似，求出此时t的值. 返回 已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，，则△ABC与△DEF(　　) A．2 B. C．4 D．2 解：∵DE＝＝， DF＝2，EF＝＝， AB＝＝，AC＝＝，BC＝5， ∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF. A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 证明：∵BE＝3，EC＝6， ∴BC＝BE＋EC＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°. ∴＝＝.∵＝，∴＝.∴△ABE∽△ECF. (8分)如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝. (1)求证：∠BAD＝∠CAE； 证明：∵＝＝，∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAD＝∠CAE. 证明：∵＝，∴＝. 又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE. 证明：∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2. ∴∠PCA＝∠PDB＝120°. 又∵AC＝1，BD＝4，∴＝＝， ∴△ACP∽△PDB. 解：∵B(4，3)，∴OB＝＝5. 根据题意可知AP＝3t，OQ＝2t，OA＝10，∴OP＝10－3t. 分两种情况讨论：①若△POQ∽△AOB，则＝， ∴＝，解得t＝. ②若△POQ∽△BOA，则＝，∴＝，解得t＝. 故当t＝或t＝时，以O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似． $第二十七章　相似 27．3 位似 第1课时　位似图形的概念及画法 1 返回 C 1. 下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是(　　) 2 返回 2. D 如图，两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是(　　) A．点M B．点N C．点O D．点P 返回 3. D 如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是(　　) A．点C B．点F C．点E D．点G 返回 4. A 返回 5. B [2025眉山中考]如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是(　　) A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 返回 6. D 如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若AA′＝2OA，△ABC的面积为5，则△A′B′C′的面积是(　　) A．10 B．15 C．20 D．45 返回 7. A 如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A′B′C′，下列说法中错误的是(　　) A．AO∶AA′＝1∶2 B．AC∥A′C′ C．S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶4 D．A，O，A′三点在同一条直线上 返回 8. 解：如图，四边形A1′B1′C1′D1′和四边形A2′B2′C2′D2′即为所作．(选作其中一种即可) 返回 9. B 如图，连接格点构造三角形，其中与阴影三角形是位似图形(全等图形除外)的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10 10. (12分)[2025廊坊期末]图①、图②、图③均是5×5的正方形方格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的三个顶点都是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的方格中按下列要求作图并解答问题，保留作图痕迹，不写作法. 11 解：如图②，CD即为所求． (2)在图②中，作△ABC的高线CD； (3)在图③中，嘉琪在边AB上按如图所示的方式作点E，求线段BE的长． 返回 15 11. 16 解：如图①，⊙O2和⊙O2′即为所求． 17 解：直线l是⊙O2的切线，理由如下： 如图②，连接AO1，过点O2作O2C⊥l于点C， 设⊙O1和⊙O2的半径分别为r1，r2. ∵直线l是⊙O1的切线∴AO1⊥AC， (2)如图②，已知⊙O1和⊙O2关于点P位似，直线l经过点P且与⊙O1相切，切点为A，请判断直线l与⊙O2的位置关系，并说明理由. 18 返回 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，点O是位似中心，且＝，则＝(　　) A. B. C. D. (4分) [教材P48练习T2变式] 如图，已知四边形ABCD，以点O为位似中心作一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD位似，且相似比为. (1)在图①中以点A为位似中心，把△ABC缩小为原来的，嘉琪的想法是可以找到AB的中点B1和AC的中点C1，连接B1C1，△AB1C1即为所求，他利用矩形的中心为对角线的中点很快便找到了点B1，请仿照嘉琪的作法作AC的中点C1，连接B1C1，并直接写出的值； 解：如图①，点C1即为所求． ＝. 解：由勾股定理，得AB＝＝. ∵AM∥BN， ∴∠AME＝∠BNE，∠MAE＝∠NBE， ∴△AME∽△BNE，∴＝＝，∴＝， ∴BE＝AB＝. (8分)⊙O1与⊙O2的半径分别为R，r，如果在直线O1O2上取一点P，使＝＝k，那么称⊙O1与⊙O2关于点P位似，P叫做位似中心，k叫做⊙O1与⊙O2的相似比(规定：同心圆关于圆心位似)． (1)如图①，已知⊙O1和点P，画⊙O2，使⊙O2与⊙O1关于点P位似，且⊙O2与⊙O1的相似比为； ∴∠PAO1＝∠PCO2＝90°. 又∵∠APO1＝∠CPO2， ∴△PAO1∽△PCO2，∴＝. ∵⊙O1和⊙O2关于点P位似， ∴＝，∴O2C＝r2. ∴O2C是⊙O2的半径，∴直线l是⊙O2的切线． $第二十七章　相似 27．3 位似 第2课时　平面直角坐标系中的位似变换 1 返回 C 1. [2025浙江中考]如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为(2，0)，(3，0)．若DE的长为3，则D′E′的长为(　　) 2 返回 2. B 返回 3. A [2024浙江中考]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　) A．(－4，8) B．(8，－4) C．(－8，4) D．(4，－8) 返回 4. C 如图，在平面直角坐标系中，以点O为位似中心，把△AOB放大后得到△COM，使得△AOB∽△COM，则与点M重合的是图中的(　　) A．点D B．点E C．点F D．点G 返回 5. C 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A( －2，0)，D(3，0)，且BC＝3，则线段EF的长度为(　　) 返回 6. (4，8) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B(2，4)，若四边形ABCD关于点O的位似图形为四边形A′B′C′D′，且四边形A′B′C′D′的面积是四边形ABCD面积的4倍，则在第一象限内的点B′(点B的对应点)的坐标为________. 7. 解：如图，点D即为AB的中点，点D的坐标为(－2，－1)． (8分)[2025安徽中考] 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点)．已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6)． (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； 如图，△A1B1C1即为所求作的三角形． (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1. 返回 9 返回 8. B 返回 9. 11 返回 10. 12 返回 11. (6－2a，－2b) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°，则点C′的坐标为_____________．(结果用含a，b的式子表示) 13 12. 45° (8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(3，0)，C(1，－1)． (1)∠ACB的度数为________； 14 解：如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所求三角形． (2)以点O为位似中心，画出与△ABC的相似比为2的图形. 返回 15 13. (8分) 如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”． 如图，已知一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数y＝kx＋b与y＝－2x＋4是“平行一次函数”． 解：由已知得k＝－2， 把点(3，1)的坐标和k＝－2代入y＝kx＋b， 得1＝－2×3＋b，∴b＝7. (1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，求b的值； 17 解：根据相似比为1：2，得函数y＝kx＋b的图象有两种情况： ①不经过第三象限时，则过点(1，0)和(0，2)， 这时解析式为y＝－2x＋2； ②不经过第一象限时，则过点(－1，0)和(0，－2)， 这时解析式为y＝－2x－2. 综上所述，函数y＝kx＋b的解析式为y＝－2x＋2或y＝－2x－2. (2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1：2，求函数y＝kx＋b的解析式. 返回 18 A.　 B．4　 C.　 D．5 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)．以点O为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的相似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为(　　) A．(－1，－1) B. C. D．(－2，－1) A．2 B．4 C. D．6 [2025唐山三模]如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的相似比为k的位似图形△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为(　　) A．(0，0)，2 B．(2，2)， C．(2，2)，2 D．(1，1)， 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为(－2，4)．若以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，则点A的对应点A′的坐标是__________________. 或 如图，点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，以点O为位似中心，把四边形OBAC放大得到四边形OB′A′C′，且相似比为2∶3，则经过点A′的反比例函数解析式为________. y＝ $第二十七章　相似 27．2相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第4课时　用两角相等判定三角形相似 1 返回 55 1. 如图，在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝50°，∠B＝75°，∠A′＝50°，则当∠C′＝________°时，△ABC∽△A′B′C′. 2 返回 2. ∠ADE＝∠C (答案不唯一) 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________．(写出一种情况即可) 返回 3. 3 如图，AD，BC相交于点P，连接AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝6，CP＝4，DP＝2，则BD的长为________. 返回 4. B [教材P36练习T1变式]下列各组三角形中，可能不相似的是(　　) A．底角为40°的两个等腰三角形 B．有一个角是45°的两个等腰三角形 C．有一个角是60°的两个等腰三角形 D．有一个角为120°的两个等腰三角形 返回 5. 证明：∵∠DEC＝∠ADB， ∠DEC＋∠AED＝∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠AED＝∠ADC. ∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC. (4分) 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DEC＝∠ADB.求证：△AED∽△ADC. 返回 6. 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABE＝∠DBC. 又∵∠AEB＝∠C，∴△ABE∽△DBC. (4分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，点E在对角线BD上，连接AE，∠AEB＝∠C.求证：△ABE∽△DBC. 返回 7. D 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是(　　) A．∠A＝65°，∠D＝25° B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，EF＝8 C．AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16 D．AB＝12，BC＝8，DE＝35，EF＝21 返回 8. 3 返回 9. (4分)[教材P36练习T2变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，且CD⊥AB. 求证：AC2＝AB·AD. 10 返回 10. D [2025河北中考]如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(　　) A．∠B＋∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 11 返回 11. C 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，请用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD与△ABC相似．下面是四种不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是(　　) 12 返回 12. B 如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，则在下列给出的三角形中，与△BDF相似的是(　　) A．△BFA B．△BAE C．△BEC D．△AEF 13 13. 解：如图，直线l即为所求． (8分)[2025廊坊一模]如图，量角器放置在矩形纸面中，AB为其直径，点O为其圆心，点C，D对应的刻度分别为30°和60°，连接OC，OD，BD. (1)尺规作图：求作线段OA的垂直平分线l，直线l与OA交于点E，与OC交于点F.(保留作图痕迹，不写作法) (2)连接AF，求证：△AFO∽△BOD. 返回 14. 70° (12分) 在等边三角形ABC和等边三角形DMN中，点D为AB边的中点，DM，DN分别交AC，BC于点E，F，连接EF. (1)如图①，若∠ADM＝70°，则∠DFB的度数为________(直接写出结果)； 证明：∵△ABC和△DMN为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠EDF＝60°， ∵∠BDE＝∠A＋∠AED＝∠EDF＋∠BDF， ∴∠AED＝∠BDF， 又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BFD. (2)如图①，若∠ADE为任意锐角，证明：△ADE∽△BFD； 17 解：仍成立． (3)若将△DMN绕点D顺时针旋转，如图②所示，DM与AC的延长线交于点E，其他条件不变，则(2)中的结论是否仍成立？请直接写出结论无需证明. 返回 18 如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2，则当AB等于________时，Rt△ABC∽Rt△ACD. 证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACB＝∠ADC. 又∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC. ∴＝，∴AC2＝AB·AD. 证明：由作图可知AF＝OF， ∴∠FAO＝∠FOA＝30°，∵∠AOD＝60°， ∴∠OBD＝∠AOD＝30°. ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD＝30°， ∴∠FAO＝∠OBD，∠FOA＝∠ODB， ∴△AFO∽△BOD. $第二十七章　相似 27．2相似三角形 27．2.2 相似三角形的性质 1 返回 B 1. 若△ABC∽△DEF，且对应中线的比为2：3，则△ABC与△DEF的相似比为(　　) A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：16 2 返回 2. C 已知△ABC∽△A′B′C′，AC∶A′C′＝2∶3，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，若BD＝6 cm，则B′D′的长是(　　) A．3 cm B．4 cm C．9 cm D．12 cm 返回 3. [教材P39练习T2变式]如图，△ABC∽△A′B′C′.AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3.若BE＝6，则B′E′＝________. 返回 4. B 已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　) A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9 返回 5. 2 返回 6. 18 cm　 两个相似三角形的最短边长分别是5 cm和3 cm，它们的周长之差是12 cm，那么小三角形的周长为________. 返回 7. D [2024重庆中考]若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 返回 8. B [2025石家庄模拟]嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了(如图所示)，已知△ABC∽△DEF.测得AC＝3 cm，DF＝ 4 cm，△DEF的面积为16 cm2，则△ABC的面积为(　　) A．6 cm2 B．9 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2 9. 10 返回 返回 10. C 图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB＝(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 12 返回 11. D 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为(　　) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1 13 返回 12. B [2025威海中考] 如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE.下列结论错误的是(　　) 返回 13. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC交DE于点G.若AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，则AG与AF的比为________. 14. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°. 由折叠的性质，得∠APO＝∠B＝90°， ∴∠POC＝90°－∠CPO＝∠APD. 又∵∠C＝∠D. ∴△OCP∽△PDA. (8分)如图，矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边CD上的点P处，折痕与边BC交于点O. (1)求证：△OCP∽△PDA； (2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求AB的长. 返回 17 15. (1)若AB＝8，求线段AD的长； (2)若△ADE的面积为1，求▱BFED的面积． 返回 19 16. (8分)[教材P58复习题T11变式]一块直角三角形木板的两条直角边AB，BC分别为1.5 m，2 m，怎样才能把它加工成一个无拼接且面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求. 返回 如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是AB上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点D，＝，AC＝4，则AE＝________. (4分)如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.若△DEF的面积为2，求四边形BCDF的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB. ∵DE＝CD，∴CE＝3DE，即＝， ∴＝＝.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18， ∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16. A．S△DEF＝S△BCF B．S△ADE＝S四边形BCED C．S△DBF＝S△BCF D．S△ADC＝S△AEB 解：∵△OCP∽△PDA，且△OCP与△PDA的面积比为1∶4，∴＝.∵AD＝8.∴CP＝4. 设AB＝x，则CD＝AB＝AP＝x，∴DP＝x－4. 在Rt△APD中，AP2＝AD2＋DP2，即x2＝82＋(x－4)2， 解得x＝10.∴AB＝10. (8分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，＝. 解：∵四边形BFED是平行四边形， ∴DE∥BF，∴△ADE∽△ABC. ∴＝＝. ∵AB＝8，∴AD＝2. 解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝＝， ＝＝.∴＝.∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝16. ∵四边形BFED是平行四边形， ∴EF∥AB.∴△EFC∽△ABC.∴＝＝＝. ∴S△EFC＝9.∴S▱BFED＝16－9－1＝6. 解：(甲)过点B作BH⊥AC，垂足为H，交DE于点M. 易知DE∥AC，∴BM⊥DE，△BDE∽△BAC.∴＝. 由勾股定理得AC＝＝＝2.5(m)． ∴易得BH＝＝＝1.2(m)．设DE＝x m，易知MH＝x m，∴＝，解得x＝，即DE＝ m. ∴甲木匠加工的正方形的边长为 m. (乙)由题意，易知△CDE∽△CBA，则＝. 设DE＝DB＝y m，则有＝， 解得y＝，即DE＝ m. ∴乙木匠加工的正方形的边长为 m. ∵＝>，∴乙木匠的方法符合要求． $第二十七章　相似 27．2相似三角形 27．2.3 相似三角形应用举例 1 返回 C 1. 小菲和妈妈去某景区游玩．在景区门口，小菲利用皮尺，测得身高1.7 m的妈妈的影长为1 m，同一时刻，她测得该景区大门的影长为10 m，则大门的高为(　　) A．15 m B．16 m C．17 m D．18 m 2 返回 2. B [教材P43习题T10变式]如图，为测量亭子的高度，小菲在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、平面镜和亭子底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到亭子的顶端．已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m， 镜子与亭子的水平距离为10 m， 则亭子的高度为(　　) A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．12.5 m 返回 3. D 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2 m， AC＝3.2 m，AE＝0.8 m，那么CD为(　　) A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m 4. (4分)[2025保定期中]如图，小南利用自制的三角形纸板DEF测量大树AB的高度，她通过不断调整自己的姿势和三角形纸板的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知三角形纸板的两边长分别为EF＝0.2 m，DE＝0.3 m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6 m，测得AM＝21 m， 求树高AB. 返回 返回 5. C [教材P40例5变式]如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C，测得BC＝5 m，再选一点D，连接AD，CD，作BE∥AD，交CD于点E，测得CD＝8 m，DE＝4 m，则AB＝(　　) A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m 返回 6. 20 [2024扬州中考]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上的成像为A′B′.若AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O 到A′B′的距离为________cm. 返回 7. 0.5 [教材P57复习题T7变式]如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.若OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝ 3 cm，则零件的厚度x为______ cm. 返回 8. D 一种燕尾夹如图①所示，图②是其在闭合状态时的示意图，图③是其在打开状态时的示意图(此时AB∥CD)，相关数据(单位：mm)如图所示，从图②闭合状态到图③打开状态，点B，D之间的距离减少了(　　) A．10 mm B．20 mm C．22 mm D．25 mm 返回 9. [2025邢台期中]如图①是装了液体的长方体容器的主视图(数据如图)，将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图②所示，此时液面宽度AB＝________cm. 11 10. (8分)晓玲打算去测量大雁塔南广场上的玄奘雕塑，她自制了一个矩形纸板CDEF，按如图所示方式在地面固定纸板，使得雕塑顶端A在DC的延长线上，并在顶点C处悬挂一个铅锤M，恰好交DE于点M，测得点C到雕塑AB的距离CH为6 m，CD＝0.5 m，DM＝0.6 m，点C到地面BE的距离为1 m，AB∥CM，AB⊥BE，所有点都在一个平面内， 请求出玄奘雕塑的高AB. 12 解：易知CH⊥AB， ∵AB∥CM，AB⊥BE，点C到地面的距离为1 m， ∴CM⊥CH，BH＝1 m， ∴∠ACH＋∠DCM＝90°， 在矩形CDEF中，∠D＝90°， ∴∠CMD＋∠DCM＝90°， ∴∠ACH＝∠DMC. ∵∠D＝∠AHC＝90°， 13 返回 11. (8分)某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度AB.如图，他们发现塔前有一棵高4 m的小树CD，并且水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在同一条直线上，经测量BD＝58.5 m．由于D，E之间有一个花圃，距离无法测量，于是同学们在E处放置一平面镜，某同学沿BE方向后退，退到G处时恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4 m，该同学的眼睛到地面的距离FG为1.6 m． 已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B，D，E，G在同一水平线上． 请你求出凌霄塔的高度AB. (平面镜的大小、厚度忽略不计) 15 返回 解：根据题意得∠DEF＝∠BCD＝90°，∠EDF＝∠CDB， ∴△DEF∽△DCB，∴＝. ∵EF＝0.2 m，DE＝0.3 m，CD＝AM＝21 m， ∴＝，∴BC＝14 m，易知AC＝DM＝1.6 m， ∴AB＝AC＋BC＝1.6＋14＝15.6(m)． 答：树高AB为15.6 m. ∴△AHC∽△CDM， ∴＝，即＝， ∴AH＝5 m，∴AB＝AH＋BH＝6 m， ∴玄奘雕塑的高AB为6 m. 解：∵CD⊥BG，FG⊥BG， ∴∠CDE＝∠FGE＝90°. 由光的反射特点可知∠CED＝∠FEG， ∴△CDE∽△FGE.∴＝. ∵CD＝4 m，FG＝1.6 m，EG＝2.4 m， ∴＝.∴DE＝6 m. ∵BD＝58.5 m，∴BE＝BD＋DE＝58.5＋6＝64.5(m)． ∵AB⊥BG，CD⊥BG， ∴∠ABE＝∠CDE＝90°. 又∵∠AEB＝∠CED， ∴△ABE∽△CDE. ∴＝，即＝.∴AB＝43 m. ∴凌霄塔的高度AB为43 m. $