第13讲相似三角形的性质 期末复习课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

这是一份初中数学相似三角形性质的期末复习课件，共36页，以“陈子测日”历史案例引入，通过归类探究（周长比、面积比、代数综合）、误区警示、指点迷津及变式题构建学习支架，含基础例题、综合应用及自主招生拓展。 资料融合数学史与学科知识，以“陈子测日”培养数学眼光（几何直观），通过例2配方证不等式发展推理能力（数学思维），变式题与综合题强化模型意识（数学语言）。分层设计满足不同学生需求，帮助学生提升综合应用能力，为教师提供丰富教学资源。九年级学生面临升学考试，需重点掌握相似三角形性质的综合应用，本资料通过基础巩固、能力提升及拓展延伸，助力学生适应中考要求，同时帮助教师高效开展期末复习教学。

第13讲相似三角形的性质 YOUR LOGO 陈子测日 太阳距离我们有多远呢？这对于近代人来说是一个常识性的问题，但对古代人而言，它却是个谜．为了解开这个谜，古代科学家进行了一次又一次探测． 据公元前1世纪成书的《周髀算经》记载，我国古代杰出的数学家陈子(公元前6～7世纪)对太阳的高和远进行了测量，这就是人们所乐于称道的“陈子测日”．他的测量方法原理如下图所示． 其中，S表示太阳，I表示日下点，AC和DF均表示髀，即测量用的标杆．C，F，I在同一直线上．b是髀竖立在F处的影长，a＋b是髀竖立在C处的影长．髀长h是已知的，a，b，d均可实际量出． 由 △SHD∽△ACG，△SDA∽△AGB， 于是，便可求出太阳S到日下点I的距离，即日高SI，并且，还可求出髀DF到太阳日下点I的距离FI.但是，由于受当时科学水平的限制，陈子误把椭球形的地球当作平面．所以，求出的日高与实际距离相差很远．然而，他的测日法所反映的数学及测量水平在世界上遥遥领先，而且他的测量方法(后来叫做重差术)至今仍被使用着.所以，人们称陈子为测量学之祖，毫不为过． 相似三角形的周长比与面积比 例1　如图4－13－1，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°， AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的 面积比为 (　 　) C 图4－13－1 【解析】 ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， 又∵∠B＝∠ACD＝90°， ∴△CBA∽△ACD， ∵AB＝2，DC＝3， ∴△ABC与△DCA的面积比为4∶9. 相似三角形具有以下基本性质： 1．对应角相等． 2．对应边成比例． 3．对应线段(高、中线、角平分线)之比等于相似比． 4．周长之比等于相似比． 5．面积之比等于相似比的平方． 1．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为 (　 　) D C 图4－13－2 图4－13－3 【思路生成】利用相似三角形周长的比等于相应线段比，通过代数变形来解决问题． 相似三角形的性质与代数的综合 证明：设BC＝a，AC＝b. 由∠2＝∠3，得DE∥AC，∴∠BDE＝∠C，由∠1＝∠3，∠C＝∠C， 思维误区 在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这个性质时，有时出现相似三角形的面积比等于相似比的错误；有时弄不清什么条件下选用平方，什么条件下选用开方，常出现用反了的错误． (1)配方在证不等式中的运用技巧： (a±b)2＋c≥c； －(a±b)2＋c≤c. (a，b，c为实数) 图4－13－4 借助相似三角形的性质建立面积关系 例3　如图4－13－5，△ABC内有一点 P，过点P作各边的平行线，把△ABC分成 三个三角形和三个平行四边形．若三个三 角形的面积S1，S2，S3分别为1，1，2，则 △ABC的面积是__________． 图4－13－5 【思路生成】图中有平行线，就有相似三角形，借助相似三角形的性质建立面积关系式．关键是选择恰当的相似比，并注意“等线等比来代替”，追求形式上的和谐统一． 4．如图4－13－6，在△ABC内部选取一点P，过点P作三条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形的面积 t1，t2，t3分别为4，9，49，求这样所得到的3个平行四边形S1，S2，S3的面积比． 图4－13－6 相似三角形对应高(对应中线、对应角平分线)的比的应用 例4　课本中有一道作业题： 如图4－13－7①，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少？ 小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题． (1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图4－13－7②，此时，这个矩形零件的两条边长又分别是多少？请你计算； (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图4－13－7③，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 图4－13－7 【思路生成】(1)设PN＝2x，则PQ＝x，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可； (2)设PQ＝x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答. 特殊四边形内接于三角形是一类典型问题． 如下图，正方形EFGH内接于△ABC中，AD⊥BC，设BC＝a，AD＝h，你能用a，h的代数式表示正方形的边长吗？ 作高构造上述基本图形．“对应高的比等于相似比”是解决此类问题的金钥匙. 5．若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形．如图4－13－8①，矩形ABCD中，BC＝2AB，则称ABCD为方形． (1)设a，b是方形的一组邻边，写出a，b的值(一组即可)； (2)在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使得这些矩形的边B1 C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图4－13－8②所示． ①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形？为什么？ ②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比． 图4－13－8 例5　数学活动课上，李老师出示如下问题：已知，如图4－13－9①，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，设BD＝a，用含有a的式子表示AD的长． 图4－13－9 解：①当∠ACB为直角时，如答图①，△ABC为等腰直角三角形，b＝0，AD＝AC＝BD＝a. ②当∠ACB为锐角时，如答图②，作∠DAE＝45°，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF⊥AE于点F，则△CEF和△ADE都是等腰直角三角形． 例5答图 阅读理解题的特征：这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”两个部分组成．通常是先给出一段材料，然后提出一个或几个相关问题，利用材料中的思想方法来解答后面的问题．本例属于方法模拟型问题． 通过作适当的辅助线，构造全等或相似三角形． 有＝＝，＝， 故＝，＝. 化为SH＝，HD＝， 即x＝，y＝. A．2∶3　　　　　　 B．2∶5 C．4∶9 D.∶ 【思路生成】先求出△CBA∽△ACD，求出＝. ∴＝， A．1∶25　　　 B．1∶5　 C．1∶2.5　　　 D．1∶ 2．如图4－13－2，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且＝＝，则S△ADE∶S四边形BCED的值为 (　 　) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 例2　如图4－13－3，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且∠1＝∠2＝∠3，如果△ABC，△EBD，△ADC的周长依次是m，m1，m2，证明：≤. ∴△ACD∽△BCA∽△BDE，∴＝， 即DC＝，BD＝BC－DC＝a－＝. ∴＝＝，＝＝. ∴＝＋＝＋＝1－＋＝－＋≤. (2)注意找出相似三角形，找准相似比，例2中，实为相似三角形的相似比． 3．如图4－13－4，在△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且∠1＝∠2＝∠3，如果△ABC，△EBD，△ADC的周长依次为m，m1，m2.BD＝6，DC＝2.求的值． 解：∵∠2＝∠3，∴DE∥CA，△BED∽△BAC， 又∵BD＝6，DC＝2，∴＝＝＝. 又∵△CAD∽△CBA，∴＝. 故AC 2＝CD·BC＝2×(6＋2)，∴AC＝4，＝＝＝， 因此＝＋＝＋＝. 6＋4 【解析】 设△ABC的面积为S，则 ＋＋＝＋＋＝＝1， 故S＝＝＝6＋4. 解：∵△FDP∽△IPE∽△PHG， ∴DP∶PE∶HG＝∶∶＝2∶3∶7， 又∵DP＝BH，PE＝GC，∴BH∶GC＝2∶3， ∴S2∶S3＝2∶3(等高)． 同理FA∶DB＝3∶7， ∴S1∶S2＝3∶7. ∴S1∶S2∶S3＝S2∶S2∶S2＝6∶14∶21. 例3 隐含着下列重要结论： (1)△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC； (2)＋＋＝1； (3)＋＋＝2. 解：(1)∵四边形PNMQ是矩形， ∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC. ∴＝. 设PQ＝ED＝x，则PN＝2x，AE＝80－x. ∴＝， 解得x＝，2x＝. 这个矩形零件的两条边长分别是 mm和 mm. (2)∵四边形PNMQ是矩形， ∴PN∥QM， ∴△APN∽△ABC，∴＝. 设PQ＝ED＝x，则AE＝80－x. ∴＝，即PN＝•120＝. ∴S矩形PNMQ＝PN•PQ＝•x ＝－x2＋120x ＝－(x－40)2＋2 400. ∴当x＝40时，S矩形PNMQ有最大值2 400. 此时PN＝＝60(mm)． ∴这个矩形面积达到最大值时矩形零件的两条边长分别为40 mm，60 mm. 解：(1)答案不唯一，如a＝3，b＝6. (2)①由题意，可知＝，B4C4＝25×＝20， ∵20÷5＝4≠10，∴此矩形不是方形． ②设BC边上的高为h，由题意，可知＝， 若B3C3＝2×h，则＝；若B3C3＝×h，则＝. 经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路：如图4－13－9②，作∠DAE＝45°，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF⊥AE于点F.通过证明△ABD≌△ACF，得到CF＝a，进而推出CE＝a，所以AD＝DE＝CD＋CE＝a＋a＝(1＋)a. 在此基础上，李老师又提出了如下问题： 已知△ABC中，∠BAC＝45°，AB＞AC，AD是BC边上的高，设BD＝a，CD＝b，求AD的长． 请你画图并解答这个问题． 设AD＝DE＝x，CF＝EF＝m，则AE＝x，∴AF＝ x－m. ∵ ∠FAC＋∠CAD＝45°，∠DAB＋∠CAD＝45°，∴ ∠FAC＝∠DAB. 又 ∵∠AFC＝∠ADB＝90°，∴△FAC∽△DAB， ∴＝，即＝， 解得m＝，∴CE＝EF＝·＝. ∵CE＋CD＝DE＝AD，∴＋b＝x，整理得 x2－(a＋b)x－ab＝0， 解得x1＝，x2＝(舍去)． ③当∠ACB为钝角时，如答图③，作∠DAE＝45°，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF⊥AE于点F.与(2)中的求法类似，可设AD＝DE＝x，CF＝EF＝m，则AF＝x－m.同②中的理由，得△FAC∽△DAB，CE＝. ∵AD＝DE＝CE－CD，∴x＝－b， 整理得x2－(a－b)x＋ab＝0， 解得x＝. 综上，AD的长为a 或或 或. $