第12讲 相似三角形的判定 期末复习课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

第12讲 相似三角形的判定 YOUR LOGO 　 黄金分割 例1　定义：如图4－12－1①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点． 如图4－12－1②，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. (1)求证：点D是线段AC的黄金分割点； (2)求出线段AD的长． 【思路生成】(1)判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得． (2)根据黄金比值即可求出AD的长度． 图4－12－1 解：(1)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°， ∴AD＝BD，BC＝BD， 2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等． 3．相似三角形． 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形． 相似三角形对应边的比叫做相似比． 性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 1．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC 2＝BC· AB，则下列式子成立的是 (　 　) B 2．美是一种感觉，当人体的下半身与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为 (　 　) A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm 【解析】 根据已知条件得下半身长是160×0.6＝96(cm). D 平行线分线段成比例定理 C 图4－12－2 【解析】 作FG⊥AB于点G，如答图． ∵∠DAB＝90°， ∴AE∥FG， 例2答图 ∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°， 又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC， 平行线分线段成比例定理的推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等．基本图形如下图． A 图4－12－3 相似三角形的判定 例3　如图4－12－4，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； 图4－12－4 【思路生成】(1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似，即△ADF∽△DEC. (2)利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE的长．  解：(1)证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC. ∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C. 相似三角形的判定 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似． 定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误 D 图4－12－5 的是 (　 　) A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD 5．如图4－12－6，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F为CA延长线上的一点，∠F＝∠C. (1)若BC＝8，求FD的长； (2)若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE. 图4－12－6 相似三角形的判定与性质综合 例4　如图4－12－7，在四边 形ABCD中，AB＝AD，AC与BD 交于点E，∠ADB＝∠ACB. 图4－12－7 (2)若AB⊥AC，AE∶EC＝ 1∶2，F是BC的中点，求证：四边形ABFD是菱形． 【思路生成】(1)利用相似三角形的判定得出△ABE∽ △ ACB，进而证明； (2)首先证明AD＝BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD＝AB，得出四边形ABFD是菱形． 证明：(1)∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABE. 又∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABE＝∠ACB. 又∵∠BAE＝∠CAB， ∴△ABE∽△ACB， (2)设AE＝x. ∵AE∶EC＝1∶2，∴EC＝2x. ∴∠ACB＝30°. 又∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABD，∴∠ADB＝∠CBD＝30°， ∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形． 又∵AD＝AB，∴四边形ABFD是菱形． 常见的相似三角形的基本图形： 平行型 ∵MN∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∵MN∥BC， ∴△ADE∽△ACB. 斜交型 ∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C， ∴△ADE∽△ACB. ∵∠BAC＝∠DAE，∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△ABC. 6．如图4－12－8，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于 (　 　) 图4－12－8 A 7．如图4－12－9，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点． (1)求证：AC2＝AB•AD； (2)求证：CE∥AD； 图4－12－9 相似三角形的判定与性质综合 1．当两个三角形有一个角对应相等时，要证明这两个三角形相似，可从这两个方面入手：一是探究另一对对应角相等；二是探究相等角的两边对应成比例． 2．当两个三角形有两边对应成比例时，要证明这两个三角形相似，也可以从两个方面入手：一是证明夹角相等；二是证明三边的比相等． 　利用平行线构造相似三角形 例5　如图4－12－10，△ABC中，AD平分∠BAC，求证：BD∶CD＝AB∶AC. 图4－12－10 【思路生成】可过点D作DE∥AC交AB于点E.利用中间比BE∶EA转换；也可过点C作CE∥AD交BA延长线于点E，利用中间比BA∶AE转换；换另一角度，过点D 作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，用面积法亦可证． 例5答图 证法二：如答图②，过点C作CE∥AD交BA延长线于点E，则∠1＝∠2，∠3＝∠ACE，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠ACE.∴AE＝AC. ∵AD∥CE，∴BD∶DC＝BA∶AE，即BD∶DC＝AB∶AC. 图4－12－11 证明： 过点C作CM∥AB交DF于M， ∵CM∥AB，∴△MCE∽△FAE， 变式跟进8答图 利用平行线构造相似三角形 (1)证法一和证法二都是利用平行线构造相似比，利用相似形证明；证法三用面积法证明，不禁令人眼前一亮． (2)当问题中含有45°角时，作辅助线构造直角三角形是个好办法． 例6　提出问题： (1)如图4－12－12①，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上．若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH. 类比探究： (2)如图4－12－12②，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上．若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由． 综合运用： (3)在(2)问条件下，HF∥GE，如图4－12－12③所示．已知BE＝EC＝2，OE＝2OF，求图中阴影部分的面积． 解：(1)证明：如答图①，在正方形ABCD中，AD＝AB，∠B＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°， ∵AE⊥DH，∴∠1＋∠2＝90°， ∴∠2＝∠3，∴△ADH≌△BAE(AAS)，∴AE＝DH. 图4－12－12 (2)如答图②，作DH′∥GH，AE′∥FE分别交AB，BC于H′，E′. ∵AF∥EE′，∴四边形AE′EF是平行四边形，∴EF＝AE′. 同理，HG＝DH′. 由(1)可知，DH′＝AE′，∴EF＝GH. 例6答图 (3)如答图③，延长FH，与CB的延长线交于点P，过F作FQ ⊥BC于Q. ∵AD∥BC，∴∠AFH＝∠P.∵HF∥GE，∴∠GEC＝∠P. 又∵∠A＝∠C＝90°，∴△AFH∽△CEG， 部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞，＜，∽，≌，()，等，你知道它们都是谁首先使用，何时被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489年德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于1631年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是1540年由英国牛 津大学教授瑞柯德开始使用，1591年法国数学家韦达在其著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受．十七世纪微积分创始人莱布尼兹广泛使用了这个符号，从此人们普遍使用．大于号和小于号“＞”“＜”：1631年为英国数学家赫锐奥特创用．相似号“∽”和全等号“≌”是数学家莱布尼兹创用．括号“()”：1591年法国数学家韦达开始使用括线，1629年格洛德开始使用括号．平方根号“”：1220年意大利数学家菲波那契使用R作为平方根号，十七世纪法国数学家笛卡儿在他的《几何学》一书中第一次用“”表示根号．“”是由拉丁文root(方根)的第一个字母“r”变来，上面的短线是括线，相当于括号． ∴△ABC∽△BDC， ∴＝，即＝， ∴AD2＝AC·CD， ∴点D是线段AC的黄金分割点． (2)∵点D是线段AC的黄金分割点， ∴AD＝AC， ∵AC＝1，∴AD＝. 1．如果＝(即ad＝bc)，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 黄金分割 如果点P把线段AB分成两条线段AP和BP，使AP>PB，且＝，那么称线段AB被P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比． 黄金比为≈0.618.　 A.＝　　 B.＝　　 C.＝　　 D.＝ 设需要穿的高跟鞋高y cm，则根据黄金分割的定义得＝0.618，解得y≈8. A.－1 B．2＋ C.＋1 D. 例2　如图4－12－2，在四边形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则的值是 (　 　) 【思路生成】作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出＝，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB＝BC求解． ∴＝， ∴在Rt△BGF和Rt△BCF中， ∴Rt△BGF≌Rt△BCF(HL)， ∴CB＝GB， ∵AC＝BC， ∴∠CBA＝45°， ∴AB＝BC， ∴＝＝＝＝＋1. 若DE∥BC，则有＝＝. 【解析】 ∵DE∥BC，EF∥AB，AD＝2BD， ∴＝＝2，＝＝2，∴＝. 3．如图4－12－3，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB.若AD＝2BD，则的值为 (　 　) A. B. C. D. (2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长． 在△ADF与△DEC中， ∴△ADF∽△DEC. (2)∵▱ABCD，∴CD＝AB＝8. 由(1)知△ADF∽△DEC， ∴＝，∴DE＝＝＝12. 在Rt△ADE中，由勾股定理得 AE＝＝＝6. 解：(1)∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE＝BC，DE∥BC，∴∠AED＝∠C. ∵∠F＝∠C，∴∠AED＝∠F， ∴FD＝DE＝BC＝4. (2)证明：∵AB＝AC，DE∥BC. ∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE， ∵∠AED＝∠F，∴∠ADE＝∠F， 又∵∠AED＝∠AED，∴△ADE∽△DFE. (1)求证：＝； ∴＝. 又∵AB＝AD， ∴＝， 由(1)得AB2＝AE·AC，∴AB＝x. 又∵BA⊥AC，∴BC＝＝＝2x， 又∵F是BC的中点，∴BF＝x，∴BF＝AB＝AD. A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴＝， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴＝，∴DC＝. (3)若AD＝4，AB＝6，求的值． 解：(1)证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. 又∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB，∴＝， ∴AC 2＝AB·AD. (2)证明：∵E为AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∠EAC＝∠ECA. ∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD. (3)∵CE∥AD，∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF， ∴△AFD∽△CFE，∴＝， ∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3. 又∵AD＝4，由＝得＝， ∴＝. 证明：证法一：如答图①，过点D作DE∥AC交AB于点E，则∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3.∴AE＝DE.∵DE∥AC，∴＝，＝，即＝. ∴＝. 证法三：如答图③，过点A作AG⊥BC于点G，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.∴S△ABD＝AB·DE＝BD·AG，S△ACD＝CA·DF＝CD·AG.又∵DE＝DF，∴BA∶CA＝BD∶CD. 8．如图4－12－11，在△ABC中，E为AC的中点，F在AB上，且＝，连结E，F，且FE的延长线交BC的延长线于D，求证：＝5. ∴＝＝，∵E为AC的中点，∴＝， ∵＝，∴＝， ∵CM∥AB，∴△DCM∽△DBF，∴＝＝5. ∴＝＝＝＝. ∵BE＝EC＝2，∴AF＝1，∴BQ＝AF＝1，QE＝1. 设OF＝x，∵HF∥GE，∴＝＝，又∵HG＝EF，∴OH＝OF＝x，OG＝OE＝2x. 在Rt△EFQ中，QF2＋QE2＝EF2，42＋12＝， 解得x＝，S阴影＝x2＋＝x2＝×＝. $