2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第10讲圆周角定理

这是一份初中数学期末复习课件，共39页，围绕圆周角定理展开。通过小说情境引入激发兴趣，设置归类探究（含4类例题）、变式跟进、知识归纳及指点迷津，构建“情境-例题-练习-总结”的学习支架。 资料特色突出核心素养，以杰克·伦敦小说问题培养数学眼光，通过直径应用、圆内接四边形等例题发展推理能力，创新应用题型渗透数形结合思想。九年级学生面临升学考试，资料助力学生提升几何直观与解题能力，为教师提供系统复习资源，高效备考期末。

第10讲圆周角定理 YOUR LOGO 小说中的数学问题 杰克·伦敦是美国著名作家，他在他的小说《大房子里的小主妇》中谈到一道数学题： 有一段钢杆深插在田地中央．杆的顶端系着一条钢索，钢索的另一端系在田地边缘的一部拖拉机上．拖拉机向前驶去，以钢杆为中心在它四周划了一个圆圈． “为了彻底改造这部拖拉机，”格列汉说，“您剩下一件事，就是把它划出的圆形改变成正方形．”“对了，这样的耕作方法用在方块的田地上，会荒掉许多土地的．”“几乎每十英亩要损失三英亩之多．”“不会比这少．” 现在我们来计算一下，小说中判断的结果是否正确？ 圆周角定理 例1　如图3－10－1，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为 (　 　) A．40° B．45° C．50° D．55° D 图3－10－1 【思路生成】连结OC，由AO∥DC，得出∠ODC＝∠AOD，再由OD＝OC，得出∠ODC＝∠OCD，求得∠COD. 【解析】 如答图，连结OC， ∵AO∥DC， ∴∠ODC＝∠AOD＝70°， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD＝70°， ∴∠COD＝40°， ∴∠AOC＝110°， 例1答图 1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：(1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (3)圆内接四边形对角互补． 圆周角定理 在圆中求有关角的问题时，一般从与所求角相关的圆周角或圆心角入手：在进行角度转换时，还应特别注意“等弧”在角的转换中的重要过渡作用；在证明不是弦的两条线段相等时，一般考虑全等三角形或利用中间的线段进行等线段转换． 1．如图3－10－2，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为 (　 　) 图3－10－2 C 2．如图3－10－3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长． 图3－10－3 解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵DC＝CB ∴AD＝AB， ∴∠B＝∠D. (2)设BC＝x，则AC＝x－2. 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， ∴(x－2)2＋x2＝42， 图3－10－4 直径所对的圆周角 【思路生成】(1)连结PB，则∠APB＝90°； (2)连结OP，BC交于D点，连结PB，利用勾股定理、垂径定理、三角形中位线定理求解． 解：(1)如答图①，连结PB，∵AB是⊙O的直径，P是弧AB中点， ∴PA＝PB，∠APB＝90°， 例2答图① (2)如答图②，连结OP，BC交于D点， 连结PB， 又∵∠POB＝2∠OAP， 且∠OAC＝2∠OAP， ∴∠POB＝∠OAC， ∴OP∥AC， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°， ∴OP⊥BC于D，BD＝CD. 例2答图② “有直径，造直角”是利用直径解题的常用方法． 3．如图3－10－5，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝25°，则∠BAD的度数为_______． 图3－10－5 65° 4．如图3－10－6，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E. (1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数； (2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长． 图3－10－6 解：(1)∵OD∥BC，∴∠DOA＝∠B＝70°， 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝55°. ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝20°，∴∠CAD＝35°. 圆内接四边形 例3　如图3－10－7，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是______． 图3－10－7 【思路生成】当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大． 【解析】 如答图，过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，E两点，连结OA，OB，DA，DB，EA，EB. ∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， 例3答图 ∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，四边形MANB的面积最大． 圆周角定理运用常见的基本图形、基本结论如下图所示． 5．如图3－10－8，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是_______． 图3－10－8 6．如图3－10－9，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC. 图3－10－9 证明：如答图，连结AC. ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°＝∠ACE. ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＋∠ABC＝180°，又∵∠ABC＋∠EBC＝180°， ∴∠EBC＝∠D. ∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠2， ∴∠1＋∠E＝∠2＋∠D＝90°， ∴∠E＝∠D， ∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC. 变式跟进6答图 圆的基本性质的创新应用 例4　如图3－10－10，MN是半径为1 的⊙O的直径，点A在圆上，∠AMN＝30°， 点B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点， 则PA＋PB的最小值为 (　 　) 图3－10－10 A 【思路生成】作点B关于MN的对称点B′，连结OA，OB′，AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA＋PB最小值时的点P. 【解析】 如答图，作点B关于MN的对称点B′，连结OA，OB，OB′，AB′， 则AB′与MN的交点即为PA＋PB最小值时的点P，PA＋PB的最小值＝AB′. 例4答图 ∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°， ∵点B为劣弧AN的中点， 圆内接四边形 定义：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角． 圆的基本性质的创新应用 对于运动型问题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系与变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识如数形结合，分类讨论，转化等数学思想加以解决． 7．已知：如图3－10－11，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点(端点除外)，延长BP至D，使BD＝AP，连结CD. (1)若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由； (2)若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？ 图3－10－11 ∵在⊙O中，∠PAC＝∠PBC，又∵AP＝BD， ∴△APC≌△BDC， ∴PC＝DC，∠D＝∠APC. ∴∠ABC＝∠APC＝60°， ∴∠D＝∠APC＝60°， ∴△PDC为等边三角形． 解：(1)如图①，△PDC为等边三角形． 理由如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝BC. (2)如图②，△PDC仍为等边三角形． 理由如下： ∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC. ∵在⊙O中，∠PAC＝∠PBC. 又∵AP＝BD，∴△APC≌△BDC， ∴PC＝DC，∠D＝∠APC. ∵∠APC＝∠ABC＝60° ∴∠D＝∠APC＝60° ∴△PDC为等边三角形． 图3－10－12 证明：证法一：如答图①，连结OE. 例5答图 ∴∠2＝∠E，又∵OA＝OE，∴∠1＝∠E，∴∠1＝∠2. 证法二：如答图②，延长AO交⊙O于点G，延长AD交⊙O于点F，连结FG. ∵AG为⊙O的直径，∴∠F＝90°，∵AD⊥BC于点D，∴BC∥GF. 证法三：如答图③，延长AO交⊙O于点F，连结BF，延长AD交⊙O于点G. ∵AF为直径，∴∠ABF＝90°.∵∠F＝∠C， 证法四：如答图④，证∠3＝∠4和∠1＋∠3＝∠2＋∠4，从而得出∠1＝∠2. 证法五：如答图⑤，过O点作OM⊥AB于点M，交⊙O于点G. ∴G为AB的中点．∵AD⊥BC于点D，∴∠C＝∠O，∠3＝∠4. 在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角的性质进行两种转化： (1)利用同弧或等弧所对的圆周角相等．进行角与角之间的转化； (2)将圆周角相等的问题根据圆中相等的圆周角所对的弧相等，转化为弦相等或线段相等的问题． 证明圆中两角相等的基本途径有： (1)利用圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系进行证明； (2)引进中间量进行等量代换； (3)利用全等三角形证明角相等； (4)利用三角形中等边对等角证明． 因为钢索的长度决定了拖拉机离钢杆的最大距离，即决定了圆形田地边到钢杆的距离及正方形田地顶点到钢杆的距离，所以圆是正方形的外接圆．设正方形的边长为a，则正方形的面积是a2，它的外接圆的直径(正方形的对角线)是a，圆的面积是a2，故圆形田地剩下的部分应是： a2－a2＝a2≈0.57a2. ∴0.57a2÷a2≈0.36＝36%. 通过计算可以发现，小说中的判断是基本正确的． ∴∠B＝∠AOC＝55°. A．2 B．4 C．4 D．8 解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)， ∵∠B＝∠E，∠B＝∠D， ∴∠D＝∠E， ∴CD＝CE， ∵CD＝CB ∴CE＝CB＝1＋. 例2　如图3－10－4，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5. (1)如图①，若点P是的中点，求PA的长； (2)如图②，若点P是的中点，求PA的长． ∵AB＝13，∴PA＝AB＝. ∵P是弧BC的中点，∴＝，∴∠CAP＝∠BAP. ∵OA＝OB，∴OD＝AC＝. ∵OP＝AB＝， ∴PD＝OP－OD＝－＝4. ∵AB＝13，AC＝5，∴BC＝12，∴BD＝BC＝6， ∴PB＝＝2， ∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°， ∴PA＝＝3. (2)在Rt△ACB中，BC＝＝. ∵O是AB中点，OD∥BC，∴OE＝＝，∴DE＝2－. 4 ∴AB＝OA＝2， ∵S四边形MANB＝S△MAB＋S△NAB， 此时S四边形DAEB＝S△DAB＋S△EAB＝AB·CD＋AB·CE＝AB(CD＋CE)＝AB·DE＝×2×4＝4. A. B．1 C．2 D．2 ∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°， 由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°， ∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝60°＋30°＝90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′＝OA＝×1＝，即PA＋PB的最小值为. ∵∠ABC和∠APC都是对应的圆周角， 例5　如图3－10－12，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，D为垂足，E是中点．求证：∠EAO＝∠EAD. 　【思路生成】由E为的中点，联想到垂径定理，连结OE，这时直接证∠1＝∠2.也可以换证∠3＝∠4，圆周角的度数可用计算的方法证明． ∵E为的中点，∴OE⊥BC.∵AD⊥BC于点D.∴OE∥AD. ∴＝，又∵E为的中点，∴＝，∴∠1＝∠2. 又∵AD⊥BC于点D，∴∠3＝∠4，＝， 又∵E为的中点，∴＝，∴＝，∴∠1＝∠2. 又∵E为的中点，∴＝，∠1＋∠3＝∠2＋∠4.∴∠1＝∠2. $