2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第9讲圆的基本性质

这是一份初中数学期末复习课件，聚焦“圆的基本性质”，共46页。以对称性为切入点，结合硬币摆放游戏、太极图等生活实例引入，通过归类探究点和圆的位置关系、垂径定理、圆心角定理及三角形外接圆，配套例题解析、变式跟进及自主招生拓展题，构建完整知识体系。 资料特色突出核心素养培养，以“最完美曲线”激发数学眼光，通过拱桥半径计算、窗户弓形问题等实例，引导用数学思维构建模型解决实际问题，太极图画法、数轴上点与圆位置关系等体现数形结合。分层设计满足不同需求，帮助学生提升直观想象与逻辑推理能力，为教师提供丰富教学案例与分层教学支持。 九年级学生面临升学考试，需重点掌握圆的性质在综合题中的应用。本资料通过基础例题、变式练习到自主招生题的梯度设计，助力学生巩固核心知识、提升解题能力，教师可结合学情进行专题突破，有效应对期末及升学备考。

第9讲圆的基本性质 YOUR LOGO 对称性的启示 在具有对称性的平面图形中，圆这个最简单的曲线最令人惊叹．它是唯一具有无穷多条对称轴的轴对称图形，它又是特殊的中心对称图形．同学们都知道，中心对称图形绕其对称中心旋转180°后所得到的图形跟原图形重合，而将圆绕其中心旋转任意一个角度后所得的图形跟原图形重合，这是圆的独特性质．所以圆被称为最完美的曲线． 同学们也许见过这样一道智力游戏题：设有数量足够多的各种面值的硬币，让两个人轮流的在圆形桌面上摆硬币，每次摆一个，个个不能互相重叠，也不能有一部分落在桌面的边缘外．这样，经过充分多次以后，谁先摆不下硬币就算输．试证：先摆的人有办法使对方一定输． 先摆的人为什么能稳操胜券呢？就因为圆形桌面是中心对称图形.“先手”只要把第一个硬币摆在桌面的中心，以后不管 “后手”把硬币摆在哪里，“先手”总可以把相同面值的硬币摆 在与“后手”所摆硬币(关于中心)对称的地方.这样，只要“后手”有地方摆得下，“先手”也总可以摆得下．因此“后手”准输． 这里仅仅利用了圆的中心对称性质．因此，本题中把圆形桌面改成矩形桌面、椭圆形桌面或其他具有中心对称性的图形的桌面，问题的结论仍然不变． 同学们大概不会不知道我国著名的“太极图”(图①)吧！实际上，它是把一个圆分成阴阳两个部分而成的，因而具有“阴”和“阳”对立统一的深刻含义． 太极图的画法：如图②所示，在一个大圆内分别以同一直径的两个半径为直径，做两个小圆，然后擦掉虚线所示的两个半圆，就画成一个太极图． C A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内 【思路生成】根据BP＝3AP和AB的长度求得AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B，C到P点的距离判断与圆P的位置关系． 圆的定义： 1．在同一平面内，线段OP绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆． 2．圆是到定点距离等于定长的点的集合． 圆的基本性质： 1．圆是轴对称图形：任何一条直径所在的直线都是它的对称轴． 2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等. 确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)；②半径(决定圆的大小)． 点和圆的位置关系： 点P在圆内⇔d＜r； 点P在圆上⇔d＝r； 点P在圆外⇔d＞r. 1．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是 (　 　) A．当a＜5时，点B在⊙A内　　　　　　 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外 A 垂径定理 例2　已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图3－9－1所示)． (1)求证：AC＝BD； (2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长． 图3－9－1 【思路生成】(1)过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理证明； (2)利用垂径定理与勾股定理求解． 解：(1)证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE. ∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD. (2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，如答图，连结OA，OC， 例2答图 2．如图3－9－2，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是 (　 　) A．6 B．5 C．4 D．3 图3－9－2 B 图3－9－3 B 【解析】 作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如答图， ∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC＝3，PC＝a， 把x＝3代入y＝x，得y＝3， ∴D点坐标为(3，3)， ∴CD＝3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， 变式跟进3答图 垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解． 垂径定理的应用 例3　如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径． 图3－9－4 4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图3－9－5，⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交(E，F是交点).已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为_____． 图3－9－5 5 5．如图3－9－6，有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8 m，拱顶高出水面2 m，现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6 m，高1.5 m(货箱底与水面持平)，问该货船能否顺利通过该桥？ 图3－9－6 解：作出弧AB所在圆的圆心O，连结OA，ON，如答图所示． 变式跟进5答图 圆的基本性质中常见的基本图形 圆心角定理 例4　如图3－9－7，A，B是圆O上的两点，∠AOB＝120°，C是AB弧的中点. (1)求证：AB平分∠OAC； (2)延长OA至P使得OA＝AP，连结PC，若圆O的半径R＝1，求PC的长． 图3－9－7 【思路生成】(1)求出等边三角形AOC和等边三角形BOC，推出OA＝OB＝BC＝AC，得到四边形AOBC是菱形，即可得出答案； (2)求出AC＝OA＝AP，求出∠PCO＝90°，∠P＝30°，即可求出答案． 解：(1)证明：如答图，连结OC. ∵∠AOB＝120°，C是AB弧的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC，同理OB＝BC，∴OA＝AC＝BC＝OB，∴四边形AOBC是菱形， ∴AB平分∠OAC. (2)由(1)知，△OAC是等边三角形， ∵OA＝AC，∠OAC＝60°， ∴AP＝AC，∴∠P＝30°， 例4答图 A 图3－9－8 7．如图3－9－9，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点. (1)连结AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD； (2)若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连结PB，PD，PF，写出这三条线段长度的数量关系(不必说明理由)． 图3－9－9 解：(1)如答图，连结OB，OF. ∵A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点， ∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°， ∴△AOB，△AOF是等边三角形． ∴AB＝AF＝AO＝OD，∴AB＋AF＝AD. 变式跟进7答图 圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 　 三角形的外接圆 例5　已知，如图3－9－10①，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE. (1)求证：△ABD≌△CBE； (2)如图3－9－10②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论． 图3－9－10 解：(1)证明：∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD与△CBE中， ∴△ABD≌△CBE. (2)四边形BDCE是菱形，证明如下： 由(1)知△ABD≌△CBE， ∴CE＝AD，∵点D是△ABC外接圆圆心， ∴DA＝DB＝DC， 又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝CE＝CD， ∴四边形BDCE是菱形． (1)尺规作图，作△ABC的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)； (2)求它的外接圆半径． 图3－9－11 解：(1)如答图，分别作出AB，BC的垂直平分线交于点P，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得PA＝PB＝PC， ∴交点即是圆心． 变式跟进8答图 1°弧的概念 1°圆心角所对的弧叫做1°弧． 辅助线规律 已知弧的中点，连结半径，构造相等圆心角．  基本概念 三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆． 三角形的外心：三角形外接圆的圆心． 圆的内接三角形：这个三角形叫做圆的内接三角形． 三角形外心是三角形三条边的垂直平分线的交点． 三点确定一个圆： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 例6　[希望杯培训题]如图3－9－12所示，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝80°，在△ABC内取一点M，使得∠MBA＝30°，∠MAB＝10°，那么∠AMC的度数是_______． 图3－9－12 70° 【解析】 如答图，作△ADB≌△AMB，连结CD，MD， ∴∠MBD＝∠MBA＋∠DBA＝2∠MBA＝60°， ∠AMB＝∠ADB＝180°－10°－30°＝140°， 例6答图 ∴D就在以C为圆心，AC为半径的圆上， ∴AC＝DC＝BC， ∵△MBD为等边三角形， ∴BM＝DM，又CM＝CM， ∴△CMD≌△CMB， ∴∠CMD＝∠CMB. 而∠CMD＋∠CMB＋∠BMD＝360°，∠BMD＝60°， ∴∠CMD＝∠CMB＝150°， ∠AMC＝360°－∠CMB－∠AMB ＝360°－150°－140° ＝70°. 构造圆，利用圆的基本性质解题． 例1　矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是 (　 　) 【解析】 ∵AB＝8，点P在边AB上，且BP＝3AP， ∴AP＝2， ∴r＝PD＝＝7， PC＝＝＝9， ∵PB＝6＜7，PC＝9＞7， ∴点B在圆P内，点C在圆P外． CE＝＝＝2. AE＝＝＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2. 3．如图3－9－3，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是 (　 　) A．4　　 B．3＋ C．3　　 D．3＋ ∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2. 在Rt△PBE中，PB＝3， ∴PE＝＝1， ∴PD＝PE＝， ∴a＝3＋. 【思路生成】根据垂径定理可得AF＝AB，再表示出AO，OF，然后利用勾股定理列式进行计算． 解：∵弓形的跨度AB＝3 m，EF为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝AB＝ m， 设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF＝1 m，∴AO＝r，OF＝r－1. 在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2， 即r2＝＋(r－1)2， 解得r＝. 答：弧AB所在圆O的半径为 m. 则NH＝MN＝×6＝3(m)， 设OA＝r，则OD＝OC－CD＝r－2，AD＝AB＝4 m， 在Rt△AOD中， ∵OA2＝AD2＋OD2， ∴r2＝42＋(r－2)2，∴r＝5 m. 在Rt△ONH中，OH2＝ON2－NH2， ∴OH＝＝4(m)， ∴FN＝DH＝OH－OD＝4－3＝1(m)， ∵1＜1.5，∴货船不可以顺利通过这座拱桥． ∴△OPC是直角三角形，∴PC＝OC＝. 6．如图3－9－8，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 (　 　) A．51°　　　　B．56°　　　　 C．68°　　　　D．78° 【解析】 ∵＝＝，∠COD＝34°， ∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°， ∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°， 又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE， ∴∠AEO＝×(180°－78°)＝51°. (2)当P在上时，PB＋PF＝PD； 当P在上时，PB＋PD＝PF； 当P在上时，PD＋PF＝PB. ∵ 8．如图3－9－11，在△ABC中，BC＝6 cm，AB＝AC，∠BAC＝120°. (2)∵BC＝6 cm，AB＝AC， ∠BAC＝120°， ∴∠CAP＝60°，PC＝PA，BM＝MC＝3 cm， ∴△APC是等边三角形，∴PA＝PC＝AC， ∴∠MPC＝60°，PC＝6 cm. ∴它的外接圆半径为6 cm. 而∠ACB＝80°，AC＝BC，且180°－140°＝40°＝×80°， $