2026年 九年级数学中考一轮复习：《二次函数》 同步达标测试题

中考一轮复习：《二次函数》 同步达标测试题 考试范围：二次函数；考试时间：100分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B．x2﹣y+2＝0 C．y＝2x+1 D．y2＝x 2．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 3．将抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3 C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 4．关于二次函数的图象，下所讨论中错误的是（　　） A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线x＝3 C．当x＞3时，图象从左到右下降 D．函数图象有最高点 5．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2025的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣2的值等于（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．对于代数式M、N定义一种新运算：M∀N＝M2﹣3MN+N2． ①若x＝1，则1∀（5x）＝24； ②若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1∀x2＝1； ③若y＝（x﹣1）∀1的函数图象关于直线对称． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣kx+|b|与二次函数y＝x2+k的图象可能是（　　） A．B． C． D． 8．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数的图象相交于A，B（3，1）两点，则关于x的不等式kx+n≤ax2+bx+c的解集为（　　） A．1≤x≤3 B．或x≥3 C． D．x≤1或x≥3 9．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（　　） A．﹣2＜c B．﹣4＜c C．﹣4＜c D．﹣10＜c 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（每题4分，共24分） 11．抛物线y＝ax2﹣4ax+4a（a为常数，a≠0）的对称轴是　 　 ． 12．二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（2，﹣1），则a的值是　 　 ． 13．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（﹣1，2），B（m，2）．当0＜m＜1时，b的取值范围为　 　 ． 14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线BC的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 　 　 ． 15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1）和（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：①abc＜0；②关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等的实数根；③a＞2；④若方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＞﹣2．其中正确的有　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1为函数y＝﹣x2+mxm2+m的图象，抛物线C2为函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m的图象（m＞0），C1与x轴交于点A，B，C2与x轴交于点C，D，当CB＝BD时，m为 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．如图，直线yx+2分别与x轴，y轴交于点B，C，抛物线yx2+bx+c经过点B和点C，且与x轴交于点A，连接AC，求△ABC的面积． 18．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）若图象与x轴交点坐标为B、C，与y轴的交点坐标为A．求三角形ABC的面积； （4）当﹣4＜x＜1时，直接写出y的取值范围． 19．如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性． 20．已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． （1）求△ABC的面积． （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形BAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时P的坐标和S的最大值． 21．某数学兴趣小组研究发现：在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的2倍还大a（a为常数），则称此点为“2倍大点”，例如（1，2+a）、（5，10+a）…都是“2倍大点”． 【验证感知】 （1）若a＝1时，“2倍大点”为（x，2x+1），则一次函数y＝4x+5的图象上的“2倍大点”的坐标为　 　 ； 【知识应用】 （2）若反比例函数存在“2倍大点”，求a的取值范围； 【拓展延伸】 （3）若a＝1时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤1的范围内，图象上有且只有1个“2倍大点”，求c的取值范围． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（3，0），B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，抛物线的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D是线段AC上的一动点，过点D在线段AC下方作DP⊥AC交抛物线于点P，y轴有一动点E，连接PE，过点E作EF⊥y轴交抛物线的对称轴直线x＝1于点F，连接AF．当DP﹣DC取得最大值时，求P点坐标及PE+EF+AF的最小值； （3）将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度后，再关于x轴对称得到抛物线y′，抛物线y′交x轴于A，G两点，与抛物线y交于A，H两点，连接GH，AH，BH，点N为抛物线y′上一动点．若∠HGN＝∠AHB，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标其中一种情况的过程． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B D B D B B B 二．填空题 11．x＝2． 12．． 13．﹣1＜b＜0． 14．． 15．②③④． 16．4． 三．解答 17．解：将x＝0代入直线解析式得，y＝2，则C（0，2）， 将y＝0代入直线解析式得，，解得x＝4，则B（4，0）， 将B（4，0）和C（0，2）代入抛物线得，c＝2， ， 解得， 因此，抛物线的解析式为， 抛物线对称轴为， 则A（﹣1，0）， AB＝5、、， 则AC2+BC2＝AB2， 所以△ABC是直角三角形， 因此，△ABC的面积为， 答：△ABC的面积为5． 18．解：（1）由题意，设 y＝a（x+3）（x﹣1），将（0，﹣3）代入得a×3×（﹣1）＝﹣3，解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+2x﹣3； （2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 如图， （3）如图所示，结合表格数据可得，BC＝1﹣（﹣3）＝4，OA＝3， ∴S△ABCBC•OA6． （4）由题意，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴当x＝﹣1时，y取最小值，最小值为﹣4． 又∵当x＝﹣4时，y＝5， ∴结合图象可得，当﹣4＜x＜1时，﹣4≤y＜5． 19．解：（1）∵当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m， ∴抛物线顶点坐标为（3，4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，将（0，2.2）代入，得： 2.2＝a（0﹣3）2+4， 解得：． ∴篮球运动路线所在抛物线的函数解析式为； （2）小丽的判断是正确的；理由如下： 把x＝5.5代入抛物线解析式，得：， ∵， ∴此球不能投中，小丽的判断是正确的． 20．解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． ∴当y＝0时，， 则x＝﹣1或x＝4， 当x＝0时，y＝2， ∴A（0，2），C（4，0），B（﹣1，0）， ∴BC＝5，OA＝2， ∴； （2）设直线AC的解析式的解析式为：y＝kx+b， ∵直线AC过点C（4，0），A（0，2）， ∴， 解得：， ∴， ∵点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点， ∴， ∴， ∵PH⊥x轴，PH交直线AC于点Q， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴当m＝2时，S的最大值为9，此时P（2，3）． 21．解：（1）当a＝1，“2倍大点”为（x，2x+1）， 则“2倍大点”在y＝2x+1上， 联立 解得 ∴一次函数的图象上的“2倍大点”的坐标为（﹣2，﹣3）； 故答案为：（﹣2，﹣3）； （2）由条件可知“2倍大点”在y＝2x+a上， 当反比例函数存在“2倍大点”， ∴有解， ∴2x2+ax+2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝a2﹣4×2×2＞0， 解得：a＞4或a＜﹣4； （3）设y＝2x+1，， ∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤1的范围内，图象上有且只有1个“2倍大点”， ①当：2x+1＝﹣x2﹣2x+c时，即x2+4x+1﹣c＝0， ∴Δ＝16﹣4（1﹣c）＝12+4c＝0， 解得：c＝﹣3； ②当x＝﹣3时，y1＜y2且当x＝1时，y1＞y2， 则 解得：﹣2＜c＜6； 综上所述，﹣2＜c＜6或c＝﹣3． 22．解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+c， ∵A（3，0）， ∴OA＝3， ∵OA＝OC， ∴OC＝3， ∴C（0，﹣3）， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3， 将点A代入，9a﹣6a﹣3＝0， 解得a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）作PN⊥x轴交于N点，交直线AC于点M， 设直线AC的解析式为y＝kx﹣3， ∴3k﹣3＝0， 解得k＝1， ∴y＝x﹣3， 设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，t﹣3），N（t，0）， ∴PM＝﹣t2+3t，NM＝3﹣t， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝45°， ∴AM（3﹣t）， ∵∠AMN＝∠PMD＝45°，PD⊥AC， ∴DM＝PDPM（﹣t2+3t）， ∵OA＝OC， ∴AC＝3， ∴CD＝3（﹣t2+3t）（3﹣t）t2t， ∴DP﹣DC（﹣t2+3t）t2tt2+2t（t﹣1）2， 当t＝1时，DP﹣DC的最大值为，此时P（1，﹣4）， 过P点作PQ∥EF，且PQ＝EF＝1，连接FQ， ∴四边形DFQP是平行四边形， ∴PE＝FQ， ∴PE+EF+AF＝FQ+1+AF， ∵AF＝BF， ∴PE+EF+AF＝FQ+1+BF≥1+BQ， ∵Q（2，﹣4），B（﹣1，0）， ∴BQ＝5， ∴PE+EF+AF的最小值为5； （3）∵抛物线沿射线CA方向平移个单位长度， ∴向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣1， ∵平移后的抛物线关于x轴对称得到抛物线y′， ∴y'＝﹣（x﹣4）2+1＝﹣x2+8x﹣15， 当y'＝0时，﹣x2+8x﹣15＝0， 解得x＝3或x＝5， ∴G（5，0）， 当﹣x2+8x﹣15＝x2﹣2x﹣3时，解得x＝3或x＝2， ∴H（2，﹣3）， 过点H作HK⊥x轴交于K， ∴BK＝HK＝3，AK＝1， ∴∠BHK＝45°，tan∠AHK， ∵KG＝HK＝3， ∴∠KGH＝45°， 过点G作GL⊥x轴，过点H作HL⊥GL交于L点， ∴∠HGL＝45°， 延长HL至T使LT＝1，连接GT， ∴tan∠LGT， ∴∠BHA＝∠HGT， ∴T（6，﹣3）， 直线GT的解析式为y＝﹣3x+15， 当﹣3x+15＝﹣x2+8x﹣15时，解得x＝5或x＝6， ∴N（6，﹣3）； 延长HK至S点，使SK＝1，连接SG， ∴tan∠SGK， ∴∠SGH＝∠AHB， ∵S（2，1）， ∴直线SG的解析式为yx， 当xx2+8x﹣15时，解得x＝5或x， ∴N（，）； 综上所述：N点坐标为（6，﹣3）或（，）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/8 23:58:18；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $