第五章直线与圆的位置关系习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“直线和圆的位置关系”第1课时，核心知识点为依据圆心到直线距离与半径的大小关系判断相离、相切、相交。以日出美景等生活情境导入，衔接圆的基本性质与点和圆的位置关系，搭建前后知识支架。 其亮点在于通过多样化问题情境培养数学思维与数学语言，如台风影响问题构建几何模型发展应用意识，动态圆相切时间计算提升推理能力。丰富例题涵盖坐标几何、方程应用等，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

第五章　圆 6 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的性质 1．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　　) A．30° B．40° C．45° D．50° 2 返回 【答案】D 3 4 返回 【答案】A 5 3．为了落实“双减”政策，某校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60 cm和180 cm，小明掷出一球 恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在 大圆内滑行的路径MN的长度为________ cm． 6 返回 7 8 返回 【答案】C 9 10 返回 【答案】B 11 6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD. 12 (1)求证：∠ABC＝2∠ACD； 【证明】连接OD，如图． ∵AB为⊙O的切线， ∴OD⊥AB，∴∠ODB＝90°. 又∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠COD＝180°. 又∵∠AOD＋∠COD＝180°，∴∠ABC＝∠AOD. ∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD. 13 返回 (2)若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径． 14 7．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为________． 15 【点拨】易知当△ACD为直角三角形时，分∠CAD＝90°或∠ADC＝90°两种情况． ①如图①，当∠CAD＝90°时，易知点D与点O重合， 设圆的半径为r，∴OA＝r，OC＝4－r. 16 返回 17 8．PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为(　　) A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 18 【点拨】如图，连接OA，OB. ∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴∠PAO＝90°＝∠PBO. ∵∠P＝80°，∴∠AOB＝360°－2×90°－80°＝100°. 19 返回 【答案】D 20 9．[教材P37习题T3]如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝2 cm，CB＝4 cm，则⊙O的半径为________cm. 5 21 【点拨】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图. ∵长边与⊙O相切于点B， ∴OB⊥BC. 又∵AC⊥BC，AD⊥OB， ∴四边形ACBD为矩形． ∴BD＝AC＝2 cm，AD＝BC＝4 cm. 22 返回 设⊙O的半径为r cm，则OA＝OB＝r cm. ∴OD＝OB－BD＝(r－2)cm. 在Rt△OAD中，AD2＋OD2＝OA2， ∴42＋(r－2)2＝r2，解得r＝5，即⊙O的半径为5 cm. 23 10．如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝ x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为________． 24 25 返回 26 11．在社会实践活动中，学生们研究某种植大棚的采光情况．他们发现在太阳光照射下，大棚最高处的点A的影子刚好落在半圆形门的最高处点G，而半圆形门的影子刚好落在地面上点E处，通过测量得到BC＝2米，DE＝1米，并测得光线与水平地面的夹角 ∠DEF＝30°．请计算大棚AB的高度． (结果保留整数) 27 28 返回 29 30 (1)求证：BE∥CD； 【证明】如图，连接OC，则OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵CD为半圆O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠BCD＋∠OCB＝90°. 31 32 33 34 返回 35 【点拨】由圆周角定理得∠B＝∠AOD＝40°. ∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A， ∴∠BAC＝90°. ∴∠C＝90°－40°＝50°. 2．如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于(　　) A．18° B．30° C．36° D．72° 【点拨】∵C为的中点，∠AOB＝72°， ∴∠AOC＝∠BOC＝ 36°. 又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝72°. ∵直线MN与⊙O相切，切点为C，∴∠OCM ＝ 90°. ∴∠ACM ＝∠OCM－∠ACO＝90°－72°＝18°. 240 【点拨】如图，设MN与小圆相切于点D，连接OM， ∴OD⊥MN， ∴MD＝DN. 在Rt△ODM中，OM＝180 cm，OD＝60 cm， ∴MD＝＝＝120 (cm)． ∴MN＝2MD＝240cm. 4．[2025聊城月考]如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是(　　) A．3 B．2 C． D． 【点拨】连接OB.∵AC是⊙O的切线，B为切点， ∴OB⊥AC.∴∠ABO＝∠CBO＝90°. ∵∠A＝30°，AB＝2，∴OB＝AB＝2. 又∵BC＝3，∴OC＝＝＝.故选C. 5．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径为，则PC的长为(　　) A．3 B．2 C．2 D．3 【点拨】设钟表的中心为点O，连接BC，OD. 由题意得点O在BC上，∠DOC＝2×＝60°， ∴∠DBC＝∠DOC＝30°. ∵PC与⊙O相切于点C，∴∠BCP＝90°. ∵BC＝2，∴CP＝BC·tan30°＝2×＝2. 【解】设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，∴OA＝8－r. 在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10. ∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB＝90°， ∴△AOD∽△ABC， ∴＝，即＝ ，解得r＝3，即⊙O的半径为3. 或 ∵AC＝2，∴在Rt△AOC中， 根据勾股定理可得r2＋22＝(4－r)2. 解得r＝，∴AD＝AO＝； ②如图②，当∠ADC＝90°时，AD⊥BC，连接OA， 易得AO·AC＝OC·AD，AO＝，OC＝， ∴AD＝. ∵AC＝2，∴AD＝. 综上所述，AD的长为或. 当点C在优弧ACB上时，∠C＝∠AOB＝50°； 当点C′在劣弧AB上时，∠C′＝180°－50°＝130°. 综上，∠ACB的度数为50°或130°. 故选D. 2 【点拨】如图，连接MP，MQ. ∵PQ是⊙M的切线，∴MQ⊥PQ， ∴PQ＝＝， ∴当PM最小时，PQ最小． 易知直线y＝x＋4与x轴的交点A的坐标为(－4，0)，与y轴的交点B的坐标为(0，4)，∴OA＝OB＝4， ∴∠BAO＝45°.∵M(4，0)，∴OM＝4.∴AM＝8. ∵当MP⊥AB时，MP最小， 此时MP＝AM·sin∠BAO＝8×＝4， ∴PQ的最小值为＝＝2. 【解】如图，连接OF，OG，过点G作 GH⊥AB于点H， 易得四边形BOGH是矩形． ∵EF为⊙O的切线，∴∠OFE＝90°. ∵∠DEF＝30°，DE＝1米，∴＝＝. ∴OD＝1米，∴BH＝OG＝1米，HG＝BO＝BC＋CO＝2＋1＝3(米)，OE＝OD＋DE＝1＋1＝2(米)． 由勾股定理得EF＝＝米. ∵易得∠E＝∠AGH，∠OFE＝∠AHG＝90°， ∴△AGH∽△OEF. ∴＝. ∴AH＝＝＝(米)． ∴AB＝AH＋HB＝＋1≈3(米). 12．[2025成都]如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使＝，连接BE，交AC于点F． ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠OCA＋∠OCB＝90°. ∴∠OCA＝∠BCD. ∴∠CAB＝∠BCD. ∵＝， ∴∠CAB＝∠EBC. ∴∠EBC＝∠BCD. ∴BE∥CD. (2)若sin D＝，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长． 【解】设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r. ∵BD＝1，∴OD＝r＋1. ∵OC⊥CD，∴sinD＝＝＝. ∴r＝2，即半圆O的半径为2. ∴AB＝2r＝4. 如图，连接AE，则∠AEB＝90°. ∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠D. ∴sin∠ABE＝＝sinD＝. ∴AE＝.∴BE＝＝. ∵＝，∴∠EAF＝∠BAF，即AF平分∠BAE. ∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长． ∴＝＝＝. 又∵＝，∴＝.∴＝. ∴EF＝BE＝. $ 第五章　圆 6 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系 返回 1．“海日生残夜，江春入旧年”，如图是日出时的美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 B 2 2．在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，3为半径的圆(　　) A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 3 返回 【点拨】点(－3，4)到x轴的距离为4，大于半径3，点(－3，4)到y轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x轴相离，与y轴相切．故选A. 【答案】A 4 返回 3．已知⊙O的半径是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 D 5 4．[教材P34习题T2]如图，在Rt△ABC中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，问以C为圆心，r为半径的⊙C与直线AB有怎样的位置关系？ (1)r＝4 cm； (2)r＝4.8 cm； (3)r＝6 cm． 6 返回 7 返回 5．已知⊙O和直线l相交，圆心到直线l的距离为4 cm，则⊙O的直径可能为(　　) A．9 cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm A 8 6．[教材P34习题T2]在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝7，若⊙C与直线AB相离，则⊙C的半径r的取值范围为____________． 0＜r＜3.5 9 返回 10 7．[教材P34习题T1]如图，在直线l上有相距12 cm的两点A和O(点A在点O的右侧)，以点O为圆心，2 cm为半径作圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2 cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上)，则经过________时，⊙O与直线AB相切． 5 s或7 s 11 返回 【点拨】∵点O到直线AB的距离为12 cm，∴当⊙O向右移动(12－2) cm或(12＋2) cm时，⊙O与直线AB相切． ∵(12－2)÷2＝5(s)，(12＋2)÷2＝7(s)， ∴经过5 s或7 s时，⊙O与直线AB相切. 12 8．已知直线l上有一点P，点P到点O的距离为5 cm，⊙O的半径为5 cm，则直线l和⊙O的位置关系是____________． 相交或相切 13 返回 【点拨】连接OP，则OP＝5 cm，∴点O到直线l的距离小于或等于5cm，故直线l与⊙O相交或相切. 【点技巧】遇到此类问题时可以通过画图来理解题意. 14 9．在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是(　　) A．2 B．5 C．6 D．8 15 返回 【点拨】如图，由题意得，OA＝2，OB＝3，当点P是BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，此时，点P到直线l的最大距离是3＋2＝5. 故选B. 【答案】B 16 17 18 返回 【答案】C 19 返回 B 20 12．如图，两个同心圆，大圆的半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是______________． 8 cm<AB≤10 cm 21 【点拨】如图．当A1B1与小圆相切时，有一个公共点D，连接OA1，OD，可得OD⊥A1B1， ∴D为A1B1的中点，即A1D＝B1D. 在Rt△A1DO中，OD＝3 cm，OA1＝5 cm， ∴A1D＝4 cm.∴A1B1＝2A1D＝8 cm； 当A2B2经过同心圆的圆心时，弦A2B2最大且与小圆相交，此时A2B2＝10 cm. ∴弦AB的取值范围是8 cm<AB≤10 cm. 返回 22 13．如图，已知两条平行线l1，l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C，D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为________． 23 24 返回 25 ±1 26 【点拨】如图所示，设⊙M与直线l交于点B，C，直线l与y轴交于点D，过点M作ME⊥BC于E，连接MB，MD，则BC＝2BE. 27 返回 28 15．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300 km的B处，以80 km/h的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心250 km范围内是受台风影响的区域． 29 (1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响． 30 (2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 31 返回 32 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为CD 边上的一个动点(不与点C，D重合)，⊙O是△BCE的外接圆． 33 (1)若CE＝2，⊙O交AD于点F，G，求FG的长； 【解】过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N， 连接OG. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝4. ∴BE是⊙O的直径． ∵OM⊥FG，∴∠DMN＝90°.∴四边形MNCD是矩形． ∴MN⊥BC，MN＝CD＝4. ∴BN＝CN. 34 35 (2)若CE的长度为m，⊙O与直线AD的位置关系随着m的值的变化而变化，试探索⊙O与直线AD的位置关系及对应的m的取值范围． 36 返回 37 【解】如图，过点C作CD⊥AB于点D. 则CD＝＝4.8 cm. (1)当r＝4 cm时，∵CD>r， ∴⊙C与直线AB相离． (2)当r＝4.8 cm时，∵CD＝r，∴⊙C与直线AB相切． (3)当r＝6 cm时，∵CD<r，∴⊙C与直线AB相交. 【点拨】如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30°，∴CD＝BC＝3.5. ∵⊙C与直线AB相离， ∴半径r的取值范围为0＜r＜3.5. 10．[2025临沂模拟]在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2.5，直线l的表达式为y＝x＋3，那么直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相离 B．相切　 C．相交 D．无法确定 【点拨】如图，设直线y＝x＋3分别与x轴、y轴交于B，A，过O作OH⊥AB于H，当x＝0时，y＝3， ∴OA＝3. 当y＝0时，x＋3＝0，∴x＝－4.∴OB＝4. ∴AB＝＝5. ∵△AOB的面积＝AB·OH＝OB·OA， ∴5×OH＝3×4，∴OH＝2.4. ∴O到直线l的距离为2.4. ∵⊙O的半径为2.5，2.4＜2.5， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交. 11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度/秒，以点O为圆心，为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次 相切时是出发后(　　) A．第2秒 B．第4秒 C．第8秒 D．第10秒 【点拨】∵l1∥l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B， ∴点B为定点，AB的长度为定值，∠ACE＝∠BDE， ∠CAE＝∠DBE.∵AC＝BD，∴△ACE≌△BDE(ASA)， ∴BE＝AE＝AB.∵BH⊥CD， ∴∠BHE＝90°，∴点H在以BE为直径的圆上运动． 如图，取线段BE的中点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，则点H在⊙O上运动，连接OH， ∴OE＝OB＝OH，易知当AH与⊙O相切时，∠BAH最大，∴OH⊥AH. ∵AE＝BE＝2OE， ∴AO＝AE＋OE＝3OE. ∴sin∠BAH＝＝＝. 14．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx＋b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为(－1，0)，若⊙M的半径为2， 当k的取值在实数范围内变化时， 直线l关于⊙M的“圆截距”的最小 值为2，则b的值为________． 在Rt△MBE中，由勾股定理得BE＝＝， ∴当ME最大时，BE最小，此时BC最小．∵ME≤MD， ∴当点E与点D重合时，ME最大，即BC最小． ∵直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2，即BC的最小值为2，∴BD＝BC＝.∴MD＝＝. ∵D(0，b)，M(－1，0)，∴1＋b2＝2，解得b＝±1. 【解】如图，过点A作AC⊥BF于C. ∵Rt△ABC中， ∠ABC＝90°－60°＝30°， ∴AC＝AB＝150 km＜250 km， ∴A市会受到台风的影响. 【解】如图，以A为圆心，250 km为半径画圆交BF于点D，E，连接AD，易得CD＝CE＝DE. 在Rt△ACD中，CD＝＝＝200(km)，∴DE＝2CD＝400 km. ∵以80 km/h的速度向北偏西60°的BF方向移动， ∴＝5(h)． ∴A市受台风影响的时间为5 h. 又∵OB＝OE，∴ON是△BCE的中位线， ∴ON＝CE＝1，∴OM＝MN－ON＝4－1＝3. 在Rt△BCE中，BE＝＝2， ∴OG＝BE＝. 在Rt△OMG中，MG＝＝1. ∵OM⊥FG，∴FG＝2MG＝2. 【解】当⊙O与直线AD相切于点M′时，连接M′O并延长交BC于点N′. 易得BN′＝3，ON′＝CE＝m，∴OB＝OM′＝4－m. 在Rt△BON′中，ON′2＋BN′2＝OB2，即＋32＝，解得m＝.∴当0＜m＜时，⊙O与直线AD相离；当m＝时，⊙O与直线AD相切；当＜m＜4时，⊙O与直线AD相交. $ 第五章　圆 8　正多边形和圆 第1课时 圆内接正多边形的画法 返回 1．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 A 2 返回 2．在⊙O中，圆心角∠AOB＝7.5°，以AB为边作出的正多边形是圆内接正________边形． 四十八 3 3．我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设⊙O的半径为1，若用如图所示的⊙O的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积，则产生的正误差为________．(结果保留π) π－3 4 返回 5 4．如图所示，已知⊙O，其半径为OA，求作：⊙O的内接正三角形ABC． 6 返回 【解】如图所示． (1)延长AO交⊙O于点D； (2)以D为圆心，OA长为半径画弧， 交⊙O于B，C两点； (3)依次连接AB，BC，CA. 三角形ABC就是所求作的图形. 7 返回 5．[教材P48习题T1]用直尺和圆规作一个圆的内接正八边形．(不写作法，保留作图痕迹) 【解】如图，八边形ABCDEFGH即为所求作的正八边形. 8 6．尺规作图特有的魅力曾使无数人沉醉其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣： ①如图，将半径为r的⊙O的圆周六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点； ②分别以点A，D为圆心，AC长为半径 画弧，G是两弧的一个交点； ③连接OG． 问：OG的长是多少？ 9 10 返回 【答案】D 11 7．已知⊙O和⊙O上的一点A，如图． (1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(不写作法，保留作图痕迹) 【解】如图，内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH即为所求. 12 返回 13 8．如图所示，已知⊙O．求作：⊙O的内接正十边形． 14 【解】如图所示． (1)作⊙O的直径MN⊥PQ； (2)取ON的中点A，以A为圆心，AP长为 半径画弧，交OM于B； (3)以P为圆心，PB长为半径画弧，交⊙O于P7； (4)作线段PP7的垂线OC，交⊙O于P8； (5)以P为起点，在⊙O上以PP8长为半径，按照顺时针方向依次画等弧，得到点P1，P2，P3，P4； 15 返回 (6)以P7为起点，在⊙O上以PP8长为半径， 按照逆时针方向依次画等弧，得到点 P6，P5； (7)用线段依次连接P，P1，P2，P3，P4，Q， P5，P6，P7，P8，P各点． 十边形PP1P2P3P4QP5P6P7P8就是所求作的图形． 16 【点拨】如图，连接OA，OB，作AH⊥OB于点H，由题意得AO＝BO＝1，∠AOB＝＝30°， ∴AH＝OA＝， ∴S△OAB＝OB·AH＝×1×＝， ∴⊙O的内接正十二边形的面积＝×12＝3， ∴产生的正误差为π×12－3＝π－3. 大臣给出的正确答案应是(　　) A．r B．r 　 C．r 　　 D．r 【点拨】如图，连接AD，OC，CD，AC，DG，AG. 易知AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°. 在Rt△ACD中，AD＝2r， ∠DAC＝∠DOC＝×＝30°， ∴AC＝r.∴DG＝AG＝CA＝r.∵OD＝OA，∴OG⊥AD， ∴OG＝＝＝r.故选D. (2)在(1)的作图中，若点E在上，连接 DE． 求证：DE为⊙O的内接正十二边形的一边． 【证明】如图，连接OE. 易知∠AOD＝90°，∠AOE＝ 60°， ∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30°. ∵＝12， ∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边. $ 第五章　圆 6 直线和圆的位置关系 第3课时 切线的判定 返回 C 2 2．如图所示，在△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是(　　) A．∠O＋∠P＝90° B．∠O＋∠P＝∠OMP C．OM2＋PM2＝OP2 D．点N是OP的中点 3 【点拨】∵∠O＋∠P＋∠OMP＝180°，且∠O＋∠P＝90°，∴∠OMP＝90°，即OM⊥PM. 又∵OM是⊙O的半径， ∴PM是⊙O的切线，故选项A不符合题意； ∵∠O＋∠P＋∠OMP＝180°，且∠O＋∠P＝∠OMP， ∴∠OMP＝90°，即OM⊥PM. 又∵OM是⊙O的半径， ∴PM是⊙O的切线，故选项B不符合题意； 4 返回 ∵OM2＋PM2＝OP2， ∴△OMP是直角三角形，且∠OMP＝90°，即OM⊥PM. 又∵OM是⊙O的半径， ∴PM是⊙O的切线，故选项C不符合题意； 点N是OP的中点不能得出∠OMP＝90°，即不能判定PM是⊙O的切线，故选项D符合题意. 故选D. 【答案】D 5 返回 3．[2025淄博模拟]在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过(　　) A．点(0，3) B．点(6，0) C．点(1，3) D．点(6，1) C 6 4．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件．嘉嘉说：“这个条件可以是AB＝AC”，淇淇说：“满足条件AC∥OD也可以判定DE是⊙O的切线”．对于他们的说法，下列判断正确的是(　　) A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．他们都正确 D．他们都错误 7 返回 【点拨】连接AD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴CD＝BD. ∵AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线． ∴AC∥OD.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD. ∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．故选C. 【答案】C 8 5．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，连接OB，OD，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为________． 相切 9 返回 【点拨】∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°， ∴∠OBC＝180°－50°－40°＝90°.∴OB⊥BC. 又∵OB是⊙O的半径，∴直线BC与⊙O相切. 10 6．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 11 返回 【证明】连接OM，过点O作ON⊥CD于点N. ∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC. ∵O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴∠OCM＝∠OCN. 又∵OM⊥BC，ON⊥CD， ∴OM＝ON.∴ON为⊙O的半径．∴CD与⊙O相切. 12 7．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，作CD⊥AB于点F，交⊙O于另一点D，连接AC，DE． 13 (1)求证：DE为⊙O的切线； 【证明】连接OC，OD，如图． ∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE ＝ 90°. 14 15 返回 16 ①②④ 17 【点拨】如图．∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°.∴BD⊥AC. 又∵AB＝CB，∴AD＝DC.∴①正确； ∵AB＝CB，∴∠1＝∠2. ∵CD＝ED，∴∠3＝∠4. ∵CF∥AB，∴∠1＝∠3.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4. ∴△CBA∽△CDE.∴②正确； 18 返回 19 9．[2025聊城三模]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，点D在CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD交⊙O于点E，过点E作EF⊥CD交CD于点F，连接CE交AB于点H，连接AC． 20 (1)求证：EF是⊙O的切线； 【证明】连接OE，如图．∵BD＝BA， ∴∠D＝∠BAD. ∵OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO. ∴∠D＝∠AEO.∴OE∥CD. ∵CD⊥EF，∴OE⊥EF. 又∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线. 21 22 返回 23 10．[2025达州]如图，在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点，连接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α． 24 (1)试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由； 【解】PB是⊙O的切线．理由如下： 如图，连接OA，OB， ∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO. ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝∠BAO＋∠PAB＝90°. ∴∠PBO＝∠ABO＋∠PBA＝90°，即OB⊥PB. 又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线. 25 (2)若α＝60°，CD∶CE＝1∶2，试求4AD＋BE与⊙O半径r的数量关系． 【解】∵∠P＝60°，PA＝PB， ∴△ABP是等边三角形．∴∠PAB＝∠PBA＝60°. ∵∠DCE＝60°， ∴∠BCE＋∠ACD＝180°－∠DCE＝120°. ∵∠ADC＋∠ACD＝180°－∠PAB＝120°， ∴∠ADC＝∠BCE.∴△ADC∽△BCE. 26 27 返回 28 1．如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝45°，OP＝2 cm，以P为圆心，2 cm长为半径的圆与直线OB的位置关系是(　　) A．相离 　　 B．相交 C．相切 　　 D．无法确定 ∵CD⊥AB，∴＝.∴∠COE＝∠DOE. 在△COE和△DOE中， ∵OC＝OD，∠COE＝∠DOE，OE＝OE， ∴△COE≌△DOE(SAS)． ∴∠ODE＝∠OCE＝90°，即OD⊥DE. 又∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线. 【解】∵⊙O的直径为26，∴OC＝OA＝13. ∵tan∠CAF＝＝，∴设CF＝2x，则AF＝3x. ∵OA＝13，∴OF＝AF－OA＝ 3x－13. 在Rt△OCF中，OC2＝OF2＋CF2，∴132＝(3x－13)2＋(2x)2， 解得x1＝0(舍去)，x2＝6，∴CF＝2x＝12. ∵CD⊥AB，∴CD＝2CF＝24. (2)若⊙O的直径为26，tan∠CAF＝，求CD的长． 8．[2025菏泽期中]如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE，BD，对于下列结论： ①AD＝DC；②△CBA∽△CDE； ③＝；④AE为⊙O的切线． 一定正确的是________． ∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°. ∴，不能确定相等．∴③错误； ∵DA＝DC＝DE，∴点E在以AC为直径的圆上． ∴∠AEC＝90°.∴CE⊥AE. ∵CF∥AB，∴AB⊥AE. ∵AB为⊙O的直径，∴AE为⊙O的切线．∴④正确． 故答案为①②④. (2)若AC＝，EH＝CH，求⊙O的半径的长． 【解】由(1)可知，OE∥CD， ∴易得△OEH∽△BCH，∴＝. 又∵EH＝CH，∴＝. ∴设OE＝4x(x＞0)，则BC＝3x，∴AB＝2OE＝8x. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴AC2＋BC2＝AB2. ∵AC＝，∴＋(3x)2＝(8x)2， 解得x＝1(负值舍去)． ∴OE＝4，∴⊙O的半径的长为4. ∴＝＝.∵＝，∴BC＝2AD，BE＝2AC. ∴4AD＋BE＝2BC＋2AC＝2AB. 如图，过点O作OF⊥AB于点F， 则AF＝AB. ∵∠PAO＝90°， ∴∠OAF＝∠PAO－∠PAB＝90°－60°＝30°. ∵AO＝r，∴在Rt△AOF中，OF＝AO＝r. ∴AF＝＝＝r. ∴AB＝2AF＝2×r＝r.∴4AD＋BE＝2r. $ 第五章　圆 6 直线和圆的位置关系 第4课时 三角形的内切圆 返回 1．已知⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点 B 2 返回 2．下列说法正确的是(　　) A．三角形的内心一定在三角形内部 B．三角形的内心和外心不能重合 C．三角形的内心到三个顶点的距离相等 D．三角形的内心与三个顶点的连线必将三角形的面积三等分 A 3 3．[教材P42习题T1]如图，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC的度数是(　　) A．100° B．115° C．125° D．130° 4 返回 【答案】B 5 6 7 返回 【答案】A 8 5．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(　　) A．15° B．17.5° C．20° D．25° 9 返回 【答案】C 10 6．[2025滨州模拟]如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，I为△ABC的内心，过点I作DE∥BC，分别交AB，AC于D，E，则△ADE的周长为(　　) A．12 B．14 C．16 D．24 11 返回 【点拨】如图，连接BI，CI. ∵I为△ABC的 内心，∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB. ∴∠ABI＝∠CBI，∠ACI＝∠BCI. ∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠CBI，∠EIC＝∠BCI. ∴∠ABI＝∠DIB，∠ACI＝∠EIC. ∴BD＝DI，CE＝EI. ∴△ADE的周长为AD＋DI＋EI＋AE＝AD＋BD＋CE＋AE＝AB＋AC＝6＋8＝14. 故选B. 【答案】B 12 7．如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(－3，3)，(7，－2 )，则△ABC内心的坐标为________． (2，3) 13 【点拨】如图，点I即为△ABC的内心． 所以△ABC内心的坐标为(2，3). 返回 14 8．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，连接BD，CD，BE，CE，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°．其中一定正确的个 数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 15 【点拨】∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD，故①正确； ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACB＝2∠BCE， ∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠CBE＋∠BCE)． ∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴∠CBE＋∠BCE＝60°，∴∠BEC＝120°，故②正确； 16 返回 【答案】C 17 18 19 返回 【答案】A 20 21 【点拨】方案一：∵长方形的长、宽分别为3，2， ∴圆的直径最大为2，则半径最大为1. 方案二：如图，作ON⊥BF于点N，OM⊥AB于点M， 则∠OMA＝∠FNO＝90°. 易得四边形MBNO为矩形， ∴ON＝MB，OM＝NB. ∵∠AMO＝∠B＝90°，∴OM∥FB. ∴∠AOM＝∠OFN. 22 23 返回 【点方法】与圆的切线相关的问题常见的方法是运用其性质构造相似三角形或者全等三角形，必要时添加过切点的半径作为解题的桥梁. 【答案】D 24 11．[2025泰安期末]如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是AD，BC的中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值是__________． 25 26 返回 27 12．[教材P42习题T3]如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，连接BD． 28 (1)求证：DB＝DI； 【证明】如图，连接BI. ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI. ∴∠BAD＋∠ABI＝∠CAD＋∠CBI. ∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＋∠ABI＝∠CBD＋∠CBI. ∵∠BID＝∠BAD＋∠ABI，∠IBD＝∠CBD＋∠CBI， ∴∠BID＝∠IBD. ∴DB＝DI. 29 (2)若OI⊥AD于点I，IM⊥AB于点M．求证：BC＝2AM． 30 31 返回 【点技巧】三角形的内心是该三角形各内角的平分线的交点，这是寻找三角形内的等角的一种常见解题思路. 32 13．如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的内容：如图①，如果PA与⊙O相切于点A，那么PA⊥OA，即∠PAO＝90°，根据“圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点A既在⊙O上， 也在以OP为直径的圆上， 是两圆的公共点． 33 (1)请根据上面的内容在图②中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段OP的中点Q，然后画以点Q为圆心，PQ长为半径的圆，与⊙O交于点A，B，画出直线PA和PB，直线PA，PB即为经过圆外一点P的⊙O的两条切线； 34 【解】如图，直线PA，PB即为所求. 35 (2)在(1)的条件下，若⊙Q的直径PO与⊙O交于点M，连接MA，MB，AB．求证：点M是△PAB的内心． 【证明】如图，设OP交AB于点T，连接OA，OB. ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°. 36 返回 ∵OP＝OP，OA＝OB, ∴Rt△OAP≌Rt△OBP. ∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB. ∴易得PT⊥AB. ∴∠MAT＋∠AMT＝90°. ∵OA＝OM，∴∠OAM＝∠AMT. 又∵∠PAM＋∠OAM＝90°， ∴∠PAM＝∠MAB. ∴点M是△PAB的内心. 37 【点拨】∵点O是△ABC内切圆的圆心， ∴∠OBC＝∠ABC＝25°，∠OCB＝∠ACB＝40°. ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝115°. 故选B. 4．已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为(　　) A．lr B．πrl C．rl D．πrl 【点拨】如图，设内切圆⊙O与△ABC相切于点D，E，F，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD. ∵内切圆⊙O的面积为πr2， ∴⊙O的半径为r. ∵AB切⊙O于点E， ∴OE⊥AB，OE＝r.∴S△AOB＝AB×OE＝AB×r. 同理，S△BOC＝BC×r，S△AOC＝AC×r， ∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB×r＋BC×r＋AC×r＝(AB＋BC＋AC)×r. ∵AB＋BC＋AC＝l，∴S△ABC＝lr.故选A. 【点拨】如图，连接OC. ∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC. ∵∠CAI＝35°，∴∠BAC＝2∠CAI＝70°. ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，OB＝OC.∴∠OBC＝∠OCB＝ ×(180°－∠BOC)＝×(180°－140°)＝20°. 故选C. ∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝CD. ∵点G为BC的中点，∴DG⊥BC， ∴∠BGD＝90°，故③正确． ∴正确的结论有3个．故选C. 9．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB＝10 cm．点P由点C出发以2 cm/s的速度沿线段CA向点A运动(不运动至点A)，⊙O的圆心在BP上，且⊙O与AB，AC都相切．当点P运动2 s时，⊙O的半径r等于(　　) A． cm 　 B． cm C． cm 　 D．2 cm 【点拨】如图所示，设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，OA，∴OD⊥AC，OE⊥AB. ∵AC＝8 cm，AB＝10 cm，∠C＝90°， ∴BC＝＝＝6(cm)． 当点P运动2s时，CP＝4 cm＝AC. ∵S△ABC＝AC·BC＝×8×6＝24(cm2)， ∴S△ABP＝12 cm2. 又∵S△ABP＝S△ABO＋S△APO＝AB·r＋AP·r＝×10r＋×4r＝7r，∴r＝cm. 10．木匠师傅用长AB＝3，宽BC＝2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，有如下两种方案． 方案一：如图①，直接锯一个半径最大的圆； 方案二：如图②，沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆． 则方案二比方案一所锯圆的半径大(　　) A． B． C． D． ∴△AOM∽△OFN. ∴＝. 设⊙O的半径为r，则＝，解得r＝. ∵－1＝，∴方案二比方案一所锯圆的半径大. 故选D. 【点拨】∵点E，F分别是AD，BC的中点， 四边形ABCD是矩形，∴易得EF∥AB. ∵P在EF上，AB＝8，BC＝6，∴易得S△PAB＝×8×3＝12.设△PAB的内切圆半径是r，∴S△PAB＝(AP＋PB＋AB)r＝12，∴AP＋BP最小时，r有最大值． 如图，易知点B关于EF的对称点是点C，连接CP，连接CA与EF交于点P′. ∵AP＋BP＝AP＋CP≥CA， ∴当点P在AC上，即在点P′处时，AP＋BP最小，AP＋BP的最小值为CA的长． ∵AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10. ∴AP＋BP的最小值为10. 此时×(10＋8)×r＝12，解得r＝. 【解】如图，连接OD交BC于点E. ∵∠BAD＝∠CAD，∴＝， ∴OD⊥BC，BE＝CE. ∵IM⊥AB，∴∠AMI＝90°＝∠BED. ∵OI⊥AD，∴IA＝DI. ∵DB＝DI，∴DB＝IA. ∵∠DBE＝∠DAC，∠IAM＝∠DAC，∴∠DBE＝∠IAM. 在△DBE和△IAM中， ∴△DBE≌△IAM(AAS)．∴BE＝AM. ∵BE＝CE，∴BC＝2BE，∴BC＝2AM. $ 第五章　圆 7　切线长定理 返回 1．如图，已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是(　　) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OC D．AB平分OP D 2 2．[教材P44习题T1]如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形 ABCD的周长为(　　) A．42 B．44 C．46 D．48 3 返回 【点拨】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AD＋BC＝AB＋CD＝22. ∴四边形ABCD的周长＝AD＋BC＋AB＋CD＝44. 故选B. 【答案】B 4 5 【点拨】如图，设光盘的圆心为点O，三角尺与光盘的切点为C，连接OA，OB. 6 返回 【答案】B 7 4．[教材P45习题T2]如图，⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为________． 7 8 返回 【点拨】∵AB，AC，BC都是⊙O的切线，切点分别为D，E，F，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF.∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝BF＝3，∴CE＝CF＝4.∴BC＝BF＋CF＝3＋4＝7. 9 5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝100°，则∠A＋∠C＝________． 220° 10 返回 11 6．如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________． 2 12 【点拨】如图，令AB，AC的延长线及BC与⊙O的切点分别为F，D，E，连接OD，OE. ∵⊙O与AF，AD，BC都相切， ∴AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD， OD⊥AD，OE⊥BC. ∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＝90°. 13 返回 又∵OE＝OD，∴四边形ODCE是正方形． 设OD＝r，则CD＝CE＝r. ∵BC＝3，∴BE＝BF＝3－r. ∵AB＝5，AC＝4， ∴AF＝AB＋BF＝5＋3－r，AD＝AC＋CD＝4＋r. ∴5＋3－r＝4＋r，解得r＝2，即⊙O的半径是2. 14 7．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM＋CN＝10，则⊙O的面积为________． 25π 15 【点拨】如图所示，设⊙O与正方形ABCD的边CD相切于点E，与边BC相切于点F，连接OE，OF， 则CF＝CE，∠OEM＝∠OFC＝∠OFN＝∠C＝90°. ∴四边形OECF是正方形． ∴∠EOF＝90°，OE＝CE. ∵∠MON＝90°， ∴易得∠EOM＝∠FON. 16 返回 又∵OE＝OF，∴△OEM≌△OFN(ASA)． ∴EM＝NF. ∴CM＋CN＝CE＋CF＝10. ∴CE＝CF＝5. ∴OE＝5. ∴⊙O的面积为25π. 17 8．已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线分别交直线PA和PB于点D，E，若PA＝10，DE＝7，则△PDE的周长为________． 20或34 18 【点拨】当点C在劣弧AB上时，根据切线长定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长＝PD＋DE＋ PE＝PD＋CD＋CE＋PE＝PD＋AD＋BE＋PE＝PA＋PB＝2PA＝20； 当点C在优弧AB上时，根据切线长定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝2PA＋2DE＝2×10＋2×7＝34. 综上所述，△PDE的周长为 20或34. 19 返回 【点技巧】本题容易因为未考虑点C在优弧AB上的情况而出错. 20 21 【点拨】如图，连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD＝∠CHD＝90°. ∵AD，CD分别与扇形ABF相切于点A，E， AB＝15，BC＝17， ∴AB＝EB＝15，AD⊥AB，CD⊥EB， AD＝ED，∴∠BAD＝∠BEC＝90°. 22 返回 ∵AD∥BC，∴∠ADH＝∠CHD＝90°. ∵∠BAD＝∠ADH＝∠BHD＝90°， ∴四边形ABHD是矩形．∴BH＝AD，DH＝AB＝15. ∴CH＝BC－BH＝17－AD. 在△DHC中，根据勾股定理可得： 152＋(17－AD)2＝(8＋AD)2，解得AD＝9.故选D. 【答案】D 23 24 【点拨】如图所示，取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE交于点F，易知AB，AE都为圆的切线，∴AE＝AB. ∵OB＝OE，AO＝AO， ∴△ABO≌△AEO(SSS)． ∴∠OAB＝∠OAE.∴AO⊥BE. 25 返回 【答案】D 26 11．如图，已知PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，射线PO交⊙O于点D，E．下列结论不一定成立的是(　　) A．点E是△BPA的内心 B．AB与PD互相垂直平分 C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线 27 【点拨】如图，作EG⊥PA于点G，EH⊥PB于点H，取PO的中点F，连接FB，FA，EB，EA，OB，OA，由切线长定理可知PA＝PB，易得∠BPO＝∠APO，∴△BPA为等腰三角形，且PC为△BPA的边AB上的中线，D选项不符合题意； 由切线的性质可知△OBP， △OAP为直角三角形． 28 29 ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠EOA＝180°－2∠OAE，∴∠EBA＝90°－∠OAE，∴∠PAE＝∠EBA， ∴∠PAE＝∠EAB，∴易得EG＝EC. ∵PO平分∠BPA，∴EH＝EG，∴EH＝EG＝EC， ∴点E是△BPA的内心，A选项不符合题意； ∵PC＝CD不一定成立，∴AB与PD不一定互相垂直平分，B选项符合题意．故选B. 【答案】B 返回 30 12．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 4)，点B的坐标为(3, 0)，点P是Rt△OAB内切圆的圆心，将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第1次滚动后圆心为P1，第2次滚动后圆心为P2，…，以此规律 递推，第2 025次后，Rt△OAB内 切圆的圆心P2 025的坐标为 __________． (8 101，1) 31 32 返回 ∵2 025÷3＝675，∴第2 025次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2 025的横坐标是675×(3＋5＋4)＋1，即P2 025的横坐标是8 101，∴P2 025的坐标为(8 101，1). 33 13．[2025泸州]如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为____________． 34 【点拨】设AD，CD，BC与⊙O的切点分别为点E，F，G，连接OE，OG，过点D作DH⊥BC于点H，过点B作BK⊥CD于点K，过点A作AM⊥BC于点M， ∴OE⊥AD，OG⊥BC，DE＝DF， CF＝CG，∠DHG＝∠DHC＝ ∠BKC＝90°. ∴∠OGC＝∠OED＝90°. 35 ∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴易得点E，O，G共线． ∴四边形EGHD为矩形．∴EG＝DH，DE＝HG. ∵⊙O的面积为16π，∴πOE2＝16π，∴OE＝4， ∴DH＝EG＝2OE＝8. 设DE＝DF＝HG＝x. ∵CD＝10，∴CF＝CG＝10－x， ∴CH＝CG－HG＝10－2x. ∵在Rt△DHC中，DH2＋HC2＝DC2，∴82＋(10－2x)2＝102，解得x＝2或x＝8(舍)， ∴DE＝HG＝2，CH＝10－2×2＝6. 36 返回 37 14．如图，PA，PB，CD是⊙O的切线，点A，B，E为切点. (1)若△PCD的周长为10，求PA的长； 38 【解】∵PA，PB，CD是⊙O的切线，点A，B，E为切点， ∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD. ∵△PCD的周长为10，∴PC＋CD＋PD＝10. ∴PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋AC＋BD＋PD＝PA＋PB＝ 2PA＝10. ∴PA＝5. 39 (2)若∠P＝40°． ①求∠COD的度数； 【解】∵∠P＝40°， ∴∠PCD＋∠PDC＝180°－40°＝140°. ∴∠ACD＋∠BDE＝360°－140°＝220°. 40 41 返回 ②连接AE，BE，求∠AEB的度数． 42 15．如图，AB是⊙O的直径，点D，F是⊙O上异于A，B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM·BM＝AB·MN．点H在直径AB上，∠AHD＝90°，点E是线段DH的中点． 43 (1)求∠AFB的度数． 【解】∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°. 44 (2)求证：直线CM与⊙O相切． 45 (3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE＋EB＜CB，CE＋EB＝CB，CE＋EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由． 【解】正确的结论为：CE＋EB＝CB. 理由：连接OC，OD，过点B作⊙O的 切线，交CD的延长线于点K，设BC 与DH交于点G，如图． 46 47 返回 48 3．将一把直尺、含60°角的直角三角尺和光盘如图摆放，点A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的半径是(　　) A．3 B．3 C．6 D．6 ∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB. ∴∠OBA＝90°. 易知AO平分∠BAC. ∴∠OAB＝∠BAC＝×(180°－60°)＝60°. ∴∠AOB＝30°.∴OA＝2AB＝6. ∴OB＝3，即光盘的半径为3. 【点拨】如图，连接AB. ∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB. ∵∠P＝100°， ∴∠PAB＝∠PBA＝×(180°－100°)＝ 40°. ∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝40°＋180°＝220°. 故答案为220° . 9．[2025泰安期末]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形ABF相切于点A，E．若AB＝15，BC＝17，则AD的长为(　　) A．8 B．8.5 C．5 D．9 ∴CE＝＝＝8. 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，过点A作半圆的切线AE，则sin ∠CBE的值为(　　) A． B． C． D． ∵OB＝BC＝1，AB＝3， 在Rt△AOB中，AO2＝OB2＋AB2，∴AO＝. 易证明△BOF∽△AOB，∴＝.∴＝. ∴OF＝.∴sin∠CBE＝＝. 故选D. ∵F为PO的中点，∴FB＝FA＝PO＝FO＝FP. ∴点A，B都在以PO为直径的圆上，C选项不符合题意； 在△PBE和△PAE中， ∴△PBE≌△PAE，∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠EAB. ∵PA是⊙O的切线，∴∠PAE＝90°－∠OAE. 【点拨】∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)， ∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5. 易得Rt△OAB内切圆的半径为＝1. ∴点P的坐标为(1，1)．∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第1次滚动后圆心为P1，第2次滚动后圆心为P2，…，∴P3(3＋5＋4＋1，1)，即(13，1)，每滚动3次为一个循环． 同理可得：AE＝MG＝2，BM＝6. ∴BC＝BM＋MG＋GH＋CH＝6＋2＋2＋6＝16. ∵∠C＝∠C，∠BKC＝∠DHC＝90°， ∴△BKC∽△DHC，∴＝， ∴＝，∴BK＝， ∴点B到CD的距离为. ∵PA，PB，CD是⊙O的切线，点A，B，E为切点， ∴易得∠ACO＝∠DCO＝∠ACD， ∠BDO＝∠EDO＝∠BDE. ∴∠OCD＋∠ODC＝∠ACD＋∠BDE＝×220°＝110°. ∴∠COD＝180°－110°＝70°. 【解】易知∠CAE＝∠CEA，∠DBE＝∠DEB， ∴∠AEB＝180°－∠AEC－∠BED ＝180°－－ ＝180°－90°＋∠ACD－90°＋∠BDE ＝×220°＝110°. 【证明】∵AM·BM＝AB·MN，∴＝. 又∵∠AMN＝∠ABM，∴△AMN∽△ABM. ∴∠NAM＝∠MAB. ∵∠NAM＋∠MAB＝180°，∴∠NAM＝∠MAB＝90°. ∴∠OAM＝90°，即OA⊥CM. 又∵OA为⊙O的半径，∴直线CM与⊙O相切. 在△OAC和△ODC中， ∴△OAC≌△ODC(SSS)．∴∠OAC＝∠ODC. 又由(2)知：OA⊥CM，∴∠OAC＝∠ODC＝90°.∴OD⊥CD. ∵OD为⊙O的半径，∴CK为⊙O的切线． ∵BK为⊙O的切线，∴DK＝BK，BK⊥AB. ∵DH⊥AB，CA⊥AB，∴AC∥DH∥BK. ∴易得△BHG∽△BAC，△CDG∽△CKB，＝. ∴＝，＝.∴＝，＝＝. ∴＝. ∵CA＝CD，∴GH＝GD.∴点G是线段DH的中点．∵点E是线段DH的中点，∴点G与点E重合． ∴线段BC经过点E.∴CE＋EB＝CB. $ 第五章　圆 8　正多边形和圆 第2课时 正多边形的有关计算 返回 1．如图，正五边形ABCDE是⊙O的_____________，⊙O是正五边形ABCDE的_______，点O是正五边形ABCDE的______，OB是该正五边形的_______，∠BOC是该正五边形的________，OF是该正五边形的________． 内接正五边形 外接圆 中心 半径 中心角 边心距 2 2．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系为(　　) A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定 3 返回 【答案】B 4 3．如图，A，B，C是正多边形的顶点，O是正多边形的中心，若△AOC是等边三角形，则正多边形的边数为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 5 返回 【答案】C 6 4．[2025青岛二模]如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为(　　) A．25° B．35° C．36° D．40° 7 返回 【答案】C 8 5．司南(如图①)是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图②，圆心为O，根据八个方位将⊙O八等分(图②中的点A～H为八个等分点)，连接AD，AH，DG，AH的延长线与DG的延长线交于点P，则∠P的度数为(　　) A．60° B．50° C．45° D．30° 9 返回 【答案】C 10 11 12 返回 【答案】D 13 14 返回 【答案】C 15 16 【点拨】如图①，△ABC为⊙O的内接正三角形．连接OC，作OD⊥BC于点D. ∵OC＝2，易知∠OCD＝30°，∴OD＝2×sin 30°＝1. 17 18 19 返回 【点易错】混淆正多边形的边心距与半径，认为所求三角形为等边三角形，从而导致答案错误. 【答案】A 20 9．如图，点P1～P6是⊙O的六等分点．若△P1P5P6，△P2P3P5的周长分别为C1，C2，面积分别 为S1，S2，则下列正确的是(　　) A．C1＝C2 B．C2＝2C1 C．S1＝S2 D．S2＝2S1 21 【点拨】如图，连接OP1，OP6，P1P2，P3P4，P4P5. ∵点P1～P6是⊙O的六等分点，∴六边形P1P2P3P4P5P6为正六边形．∴易得P1P6∥P2P5∥P3P4，P1P6＝P5P6＝P2P3，P1P5＝P3P5，∠P1OP6＝60°. 22 返回 ∵OP1＝OP6，∴△P1OP6是等边三角形．∴P1P6＝OP1. ∴P2P5＝2OP1＝2P1P6.∴易得S△P2P3P5＝2S△P1P5P6，即S2＝2S1. 故D选项正确，C选项不正确．∵△P2P3P5和△P1P5P6有两条边相等，一条边是2倍关系，∴C2≠C1，且C2≠2C1. 故A，B选项不正确. 【答案】D 23 10．如图，电子屏幕上有边长为1的正六边形ABCDEF，红色光点和蓝色光点会按规则在六个顶点上闪亮． 24 25 返回 【点拨】∵红点每6秒闪亮的顶点会转动1周，而2 026÷ 6＝337……4，∴经过2 026秒后，红点闪到了点C处． ∵蓝点每3秒闪亮的顶点会转动1周，而2 026÷3＝675……1，∴经过2 026秒后，蓝点闪到了点D处． ∵CD＝1， ∴经过2 026秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是1. 【答案】B 26 27 28 返回 【答案】B 29 12．如图，已知四个正六边形摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上、下两个大一点的正六边形的边长均为a，左、右两个正六边形的边长均为b． (1)tan∠ADE＝________； (2)若b＝3，则a＝________． 30 31 32 返回 33 13．如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法：1．作直径AF; 2．以F为圆心，FO长为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N; 3．连接AM，MN，NA．如图②． 34 (1)求∠ABC的度数． 35 (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由． 【解】△AMN是正三角形． 理由：连接ON，NF，如图． 由题意可得FN＝OF＝ON， ∴△FON是正三角形． ∴∠NFA＝60°.∴∠NMA＝60°. 同理可得∠ANM＝60°，∴△AMN是正三角形. 36 返回 (3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些点，得到正n边形，求n的值． 37 38 【证明】如图①，延长BP至E，使PE＝PC，连接CE. ∵△ABC为正三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC. ∵A，B，P，C四点共圆，∴∠BAC＋∠BPC＝180°. ∵∠BPC＋∠EPC＝180°，∴∠CPE＝∠BAC＝60°. 又∵PE＝PC，∴△PCE是正三角形， ∴CE＝PC，∠PCE＝60°. ∴∠PCE＝∠ACB.∴∠BCE＝∠ACP. ∴△ECB≌△PCA(SAS)，∴PA＝BE＝PB＋PE＝PB＋PC. 39 40 41 42 返回 43 【点拨】设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与其相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补. 【点拨】连接OB.∵△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°.∵A，B，C是正多边形的顶点，O是正多边形的中心，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝30°，即正多边形的中心角的度数为30°.设这个正多边形为正n边形，则＝30°，∴n＝12，即正多边形的边数为12. 【点拨】如图，连接OM，ON. ∵M，N分别是AE，AB与⊙O的切点， ∴OM⊥AE，ON⊥AB， ∴∠OMA＝∠ONA＝90°. ∵∠A＝108°，∴∠MON＝180°－108°＝72°， ∴∠MFN＝∠MON＝36°.故选C. 【点拨】如图，连接OA，OH，OG，OD. ∵点A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O的八等分点， ∴∠AOH＝∠HOG＝＝45°， ∴∠ADP＝∠AOG＝45°. 由对称性可知，DH是⊙O的直径， ∴∠DAP＝90°.∴∠P＝90°－45°＝45°. 6．已知正六边形ABCDEF的面积为6，则正六边形的边长为(　　) A．1 B． C． D．2 【点拨】如图为正六边形ABCDEF，O为该正六边形的中心，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M. ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝＝60°. 又∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形．∴OA＝OB＝AB. 设AB＝x，则OA＝OB＝x，易得OM＝x. ∵S正六边形ABCDEF＝6S△AOB＝6， ∴6××x×x＝6， 解得x＝2或x＝―2(舍去)，即正六边形的边长为2. 7．等边三角形的边心距和半径之比为(　　) A．1∶ B．1∶ C．1∶2 D．1∶3 【点拨】如图，△ABC是等边三角形，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC， 垂足为点D. 易知∠OBD＝30°， ∴OD＝OB. 则等边三角形的边心距和半径之比为OD∶OB＝1∶2. 8．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(　　) A． B． C． D． 如图②，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，连接OB，作OE⊥BC于点E. ∵OB＝2，易知∠OBE＝45°，∴OE＝2×sin 45°＝. 如图③，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，作OM⊥AB于点M. ∵OA＝2，易知∠AOM＝∠AOB＝30°， ∴OM＝2×cos 30°＝. ∴该三角形的三边长分别为1，，. ∵12＋()2＝()2，∴该三角形是直角三角形． ∴该三角形的面积是×1×＝. 规则为：红点按顺时针方向每秒1个顶点依次闪亮(例如，经过1秒由点A亮变为点F亮)，蓝点按逆时针方向每秒隔1个顶点闪亮(例如，经过1秒由点A亮变为点C亮)，若一开始，红点在A处，蓝点在B处同时开始闪亮，则经过2 026秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是(　　) A．0 B．1 C． D．2 11．如图，已知边长为2的正三角形ABC的顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此 过程中DE的最小值为(　　) A．3 B．4－ C．4 D．6－2 【点拨】如图，连接OE， 根据DE≥OD－OE，可知当D，E，O三点 共线，即点E位于点E′处时，DE最小. ∵边长为2的△ABC是等边三角形，点A 的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，∴AD⊥BC，OA＝6，AB＝2，BD＝CD＝BC＝1.∴AD＝＝. ∵正六边形的边长为2，中心为O，∴EF＝2，∠EOF＝60°，OE＝OF. ∴△EOF是等边三角形．∴OE′＝OE＝2. ∴DE′＝OA－AD－OE′＝4－. 即DE的最小值为4－. 2 ＋1 【点拨】如图，设圆心为点O，连接AE，FC，过点M作MN⊥AE，垂足为点N. 由图形可得，上、下两个大正六边形关于直线FC对称， 易知FC是⊙O的直径． ∵两个大六边形是全等的正六边形， ∴易得∠AED＝ 120°－＝90°. ∴AD也是⊙O的直径． ∵MN⊥AE，MA＝MG， ∴AN＝AG，∠MAN ＝＝30°. ∴AN＝AM·cos ∠MAN＝acos 30°＝a. ∴易知AE＝4AN＝2a，∴tan∠ADE＝＝2， AD＝＝＝a. 如图，设点H为左边小正六边形的中心，连接HK，易知H在FC上．∵小六边形是正六边形，∴∠KHF＝＝60°. 又∵HF＝HK，∴△HKF是等边三角形． ∴HF＝b. ∴FC＝2b＋2b＋a＝4b＋a.∴4b＋a＝a. ∵b＝3，∴12＋a＝a，解得a＝＝＋1. 【解】∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝＝108°. 【解】如图，连接OD. ∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°. ∵∠AOD＝×2＝144°， ∴∠NOD＝∠AOD－∠AON＝144°－120°＝24°. ∵360°÷24°＝15，∴n的值是15. 14．(1)如图①，已知△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA＝PB＋PC； (2)如图②，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA＝PC＋PB； 【证明】如图②，连接OA，OB，过点B作 BE⊥PB交PA于点E. ∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. ∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴BP＝BE.∴PE＝PB. ∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP.∴PC＝AE. ∴PA＝AE＋PE＝PC＋PB. (3)如图③，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并予以证明． 【解】PA＝PB＋PC.证明如下：如图③，过点B作BM⊥AP于点M，在AP上截取AQ＝CP，连接BQ. ∵AB＝BC，∠BAP＝∠BCP，AQ＝CP，∴△ABQ≌△CBP. ∴BQ＝BP.∴MP＝QM. 易得∠APB＝30°，∴BM＝PB. ∴PM＝＝PB. ∴PQ＝PB.∴PA＝PQ＋AQ＝PB＋PC. $