2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第5讲与二次函数有关的综合问题

这是一份初中数学期末复习课件，聚焦二次函数综合问题，包含实际情境引入（如洗衣服漂洗问题）、二次函数与方程或不等式、三角形、特殊四边形的综合应用，通过例题解析、知识归纳、误区警示和练习题构建学习支架，助力学生系统掌握。 资料特色鲜明，以“洗衣服漂洗”实际问题激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界，分类探究方程几何综合问题，培养推理与运算能力（数学思维），通过模型构建与规范解答强化数学语言表达，帮助学生提升综合应用能力，为教师提供清晰教学思路与丰富案例。九年级学生面临升学考试，需重点掌握二次函数综合应用，这份资料能有效提升其解题能力与应试技巧。

第5讲 与二次函数有关的综合问题 怎样让衣服洗得更干净 同学们，你们洗过衣服吗？先用洗衣粉溶液洗涤衣服，然后再用清水漂洗几次后再把衣服拧干晾晒．但是，衣服拧干后总是含有一定的水量，而洗衣粉是溶在水中的，所以洗过的衣服中总是含有一部分洗衣粉．那么用同样多的水，每次分别加多少，才能使衣服中残留的洗衣粉含量最少呢？ 研究表明，干衣服用水洗涤后再拧干，其重量变为原来的两倍．下面有干衣服1 kg，经过浓度为1%的洗衣粉溶液洗涤后拧干，再用总量为20 kg的清水对衣服进行两次漂洗，第一次漂洗后要把衣服拧干后再进行下一次操作．假设衣服在洗涤和漂洗的过程中，残留在衣服中洗衣粉浓度和它所在的溶液中洗衣粉浓度相等，那么第一次和第二次分别加水多少千克，才能使残留在这件衣服上的洗衣粉含量最少？ 设第一次加水x kg，则第二次加水为(20－x)kg，根据题意，可知衣服经过浓度为1%的洗衣粉溶液洗涤后拧干，残留在衣服中的洗衣粉含量为1×1%＝0.01(kg)． 二次函数与方程或不等式的综合 ∴不论k为何实数，此方程总有两个实数根． 与二次函数有关的综合问题主要涉及三个方面： (1)二次函数与不等式、一元二次方程的综合：二次函数与一次函数的交点问题，或者是确认二次函数与一次函数图象的大致形状，或者依据它们的位置关系，确定它们之间的系数关系； (2)二次函数与三角形的综合：二次函数图象与直角三角形、等腰三角形、等边三角形等综合； (3)二次函数与特殊四边形的综合：二次函数与平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识的综合． 二次函数与方程或不等式的综合 把二次函数问题转化为一元二次方程，是基本思路． 1．已知抛物线y＝x2＋mx＋n经过点(2，－1)，且与x轴交于两点A(a，0)，B(b，0)，若点P为该抛物线的顶点，求使△PAB面积最小时抛物线的解析式． 二次函数与等腰三角形的综合 (1)求抛物线的解析式； (2)平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？ 图1－5－1 【思路生成】(1)首先过C点作x轴的垂线，利用三角形全等求出点C的坐标，然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式； 解：(1)如答图①，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠BOA＝∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°，∴∠CAD＋∠BAO＝90°，∠CAD＋∠ACD＝90°， ∴∠BAO＝∠ACD，∵AB＝AC，∴△BAO ≌△ACD(AAS)， ∴CD＝AO＝1，AD＝BO＝2，∴C(3，1)，又∵C在抛物线上， 例2答图 ① ② 二次函数与等腰三角形的综合 充分利用二次函数的图象与性质、等腰三角形的相关性质，进行坐标和几何线段长度、角度互相转化．注意等腰三角形的边相等、两底角相等的运用．当边与底边，顶角与底角不明朗时要注意分类讨论． 2．如图1－5－2，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交与C(0，3)． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在， 图1－5－2 求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线与y轴交于点(0，3)， ∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋3(a≠0)． 所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. (2)存在． 由y＝－x2＋2x＋3，得D点的坐标为(1，4)，对称轴为x＝1. ① 若以CD为底边，则PD＝PC， 设P点的坐标为(x，y)，根据两点距离公式，得x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2， 即y＝4－x. 二次函数与直角三角形的综合 图1－5－3 (1)求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式； (2)求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标； (3)线段OB与抛物线交于点E，点P为线段OE上一动点(点P不与点O，点E重合)，过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD＝CM？若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【思路生成】(1)Rt△AOB中，根据AO的长和∠BOA的度数，可求得OB的长，根据折叠的性质即可得到OA＝OC，且∠BOC＝∠BOA＝30°，即可根据∠COA的度数和OC的长求出点C的坐标，将A，C，O的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式； 若PD＝CM，则PD 2＝CM 2， 3．如图1－5－4，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt △OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 (　 　) 图1－5－4 C 4．如图1－5－5，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x轴交于O，A两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6.求点B的坐标； 图1－5－5 (3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由． 解：(1)把点O(0，0)代入y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1得0＝k＋1. 解得k＝－1.∴y＝x2－3x. (2)设B(m，m2－3m)． 解得m＝－1或m＝4.这时B(－1，4)或(4，4)． ∵点B在对称轴右边，∴点B的坐标为(4，4)． (3)存在． 如答图，∵点B的坐标为(4，4)． ∴∠BOA＝45°.而∠POB＝90°，∴∠POA＝45°. 故可设P(n，－n)． 把点P(n，－n)代入y＝x2－3x，得－n＝n2－3n， ∴n＝0(舍去)或n＝2，∴P(2，－2)． 变式跟进4答图 二次函数与平行四边形的综合 图1－5－6 (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D在对称轴的右侧，x轴上方 的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标； (3)在(2)的条件下，连结BD，交抛物线对称轴于点E，连结AE.判断四边形OAEB的形状，并说明理由． 【思路生成】(1)利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； (2)由∠BDA＝∠DAC，可知BD∥x轴，点B与点D纵坐标相等，解一元二次方程求出点D的坐标； (3)由BE与OA平行且相等，可判定四边形OAEB为平行四边形． 二次函数与平行四边形综合的一般方法 (1)先利用二次函数的性质确定四边形是什么样的四边形； (2)再利用特殊四边形的性质和点的坐标关系求解． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E(x，y)运动时，试求平行四边 形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并 求出面积S的最大值； (3)是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由． 图1－5－7 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合 图1－5－8 (1)求此二次函数的解析式； (2)求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形； (3)在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【思路生成】(1)利用一般式和待定系数法求出抛物线的解析式； (2)通过证明三角形全等，得出四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形； (3)构造直角三角形，利用勾股定理求函数关系式． 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c， ∴此抛物线的解析式为y＝x2＋x－3. (2)证明：如答图，连结CD，DE，EF，FC. ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴四边形OMPN是矩形． 例5答图 ∴MP＝ON，OM＝PN， ∴PC＝OE，PF＝OD， 又∠CPF＝∠EOD， ∴△CPF≌△EOD， ∴CF＝ED， 同理CD＝EF， ∴四边形CDEF是平行四边形． (3)如答图，作CQ⊥y轴于点Q，设P点坐标为(x，x2＋x－3)， 6．如图1－5－9，抛物线C1：y＝x2.平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A(2，0)，C2的对称轴分别交C1，C2于点B，D. (1)求抛物线C2的解析式； (2)探究四边形ODAB的形状并证明你的结论． 图1－5－9 解：(1)设抛物线C2的解析式为y＝x2＋bx＋c， ∵C2经过C1的顶点O和A(2，0)， ∴抛物线C2的解析式为y＝x2－2x. (2)四边形ODAB是正方形． 证明：∵C2的对称轴分别交C1，C2于点B，D， ∴OD＝AD，OB＝AB. ∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴点D的坐标为(1，－1)． 由y＝x2，当x＝1时，y＝1， ∴点B的坐标为(1，1)． 同理OD＝AD＝OB＝AB. ∴四边形ODAB是菱形． 又∵BD＝1＋1＝2，OA＝2， ∴BD＝OA， ∴四边形ODAB是正方形． 例6　[全国联赛初三初赛]已知二次函数y＝x2＋ax＋b的图象经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(2，m)，且0＜x1＜x2＜2. (1)求证：m＞0； (2)若b≥1，求证：m＜1. ∴二次函数在x＝2的函数值大于在x＝x2的函数值，即m＞0. 证法二：由已知可得x2＋ax＋b＝(x－x1)(x－x2)， ∴m＝(2－x1)(2－x2)． 又∵0＜x1＜x2＜2， ∴2－x1＞0，2－x2＞0， ∴m＞0. (2)由已知得x2＋ax＋b＝(x－x1)(x－x2)， 令x＝0得b＝x1x2， 令x＝2得m＝(2－x1)(2－x2)， ∵0<x1<x2<2， ∴0<1－(x1－1)2<1，0<1－(x2－1)2<1， ∴bm<1，又∵b≥1，∴m<1. 二次函数与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的两根，利用一元二次方程有关知识解决问题． 第一次用x kg的水漂洗后拧干，残留在衣服中的洗衣粉含量为(kg)． 第二次用(20－x)kg的水漂洗后拧干，残留在衣服中的洗衣粉含量为＝＝(kg)．显然，当x＝10时，分母的取值最大，分式的值最小． 所以每次各加水10 kg时，残留在衣服上的洗衣粉含量最少． 【思路生成】(1)根据一元二次方程的根的判别式Δ＝b2－4ac的符号来判定已知方程的根的情况； (2)利用根与系数的关系 列出关于k的方程． 例1　已知一元二次方程x2＋kx＋k－＝0. (1)求证：不论k为何实数，此方程总有两个实数根； (2)设k<0，当二次函数y＝x2＋kx＋k－的图象与x轴两个交点A，B间的距离为4时，求出此二次函数的解析式． 解：(1)证明：∵Δ＝k2－4×＝k2－2k＋1＝(k－1)2， 不论k为何实数，(k－1)2≥0， (2)∵二次函数y＝x2＋kx＋k－的图象与x轴两个交点A，B间的距离为4，xA＋xB＝－2k，xA·xB＝2， ∴＝＝ ＝＝＝2＝4， 解得k1＝3，k2＝－1. 又 ∵k<0，∴k＝－1. ∴y＝x2－x－. 解：因为y＝x2＋mx＋n经过，代入得n＝－2m－5，|AB|＝，P点纵坐标为－m2－2m－5，S△PAB＝， 当m＝－4时，S△PAB最小，n＝3. 解析式为y＝x2－4x＋3. 例2　如图1－5－1，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y＝x2＋bx－2的图象过C点． (2)首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC，AC交于点E，F，则可求出EF的表达式，根据S△CEF＝S△ABC，列出方程． ∴×32＋3b－2＝1，∴b＝－，∴y＝x2－x－2. (2)当直线l′在点A左侧时，△ABC在直线l′左侧的面积显然小于直线l′右侧的面积，∴直线l′应在点A右侧，如答图②，设直线l′交BC于点E，交AC于点F，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则解得 ∴y＝x－，同理直线BC的解析式为y＝－x＋2. 设直线l′的解析式为x＝m，则点E的坐标为，点F的坐标为，∴EF＝－＝－m＋. 根据题意，得解得 又点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3，即x2－3x＋1＝0，解得x＝， ∵<1，应舍去，∴x＝，y＝4－x＝，即点P的坐标为. ② 若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P的坐标为(2，3)． ∴符合条件的点P的坐标为或(2，3)． 例3　已知在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OA＝2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图1－5－3所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． (2)求出直线BO的解析式，进而利用x＝－求出y的值，即可得到D点坐标； (3)假设存在．设点P的横坐标为a，将x＝a代入直线BO的解析式和抛物线的解析式，得到点P和点M的坐标．由(1)(2)已知点C和点D的坐标，根据坐标系中任意两点之间的距离的算法()，设立方程PD＝CM，进而求得a的值，即可得到点P的坐标． 解： (1)由折叠，得OC＝OA＝2，∠COA＝60°， ∴C(，3)，A(2，0)． 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx， 由题意，得　解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x. (2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝， 设直线OB的解析式为y＝kx， 把B(2，2)代入得k＝， ∴直线OB的解析式为y＝x. 令x＝，得y＝×＝1， ∴点D的坐标为(，1)． (3)假设存在，令P， PD2＝(a－)2＋， ∵M(a，－a2＋2a)，C(，3)， ∴CM2＝(a－)2＋(3＋a2－2a)2. ∴(a－)2＋＝(a－)2＋(3＋a2－2a)2， ∴a2－2a＋3＝a－1或a2－2a＋3＝1－a， ∴a1＝，a2＝，a3＝， ∴点P的坐标是(，1)，，， ∴存在满足条件的点P，使得PD＝CM，此时点P的坐标是(，1)，，. A．(，)　　　 B．(2，2) C．(，2) D．(2，) 当y＝0时，x2－3x＝0.解得x＝0或x＝3.所以点A的坐标为(3，0)．则有×3×＝6. 这时，OB＝＝4，OP＝＝2. ∴△POB的面积为OB·OP＝×4×2＝8. 例4　如图1－5－6，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A和点B(1，2)，与x轴的另一个交点为C. 解：(1)将A，B(1，2)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得b＝－8，c＝. ∴y＝x2－8x＋. (2)当∠BDA＝∠DAC时，BD∥x轴． ∵B(1，2)，∴当y＝2时，2＝x2－8x＋， 解得x1＝1(舍去)，x2＝4， ∴D(4，2)． (3)四边形OAEB是平行四边形． 理由如下：抛物线的对称轴是x＝， ∴BE＝－1＝， ∵A，∴OA＝＝BE， 又∵BE∥OA， ∴四边形OAEB是平行四边形． 5．如图1－5－7，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点．设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形． 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，过点A(1，0)，B(5，0)，C， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋. ∴当x＝3时，面积S的最大值为. (3)要使平行四边形OEBF为正方形，则OB与EF相等且互相垂直平分，∴当x＝2.5时，y＝×－10＋＝－2.5，∴存在这样的点E，E(2.5，－2.5)，F(2.5，2.5)． 例5　如图1－5－8，已知二次函数的图象过点A(0，－3)，B(，)，对称轴为直线x＝－，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC＝MP，MD＝OM，OE＝ON，NF＝NP. ∵图象过A(0，－3)，B(，)，对称轴x＝－，则有 ，解得 又PC＝MP，MD＝OM，OE＝ON，NF＝NP. 则QN＝PC＝OE＝MP. ∴EQ＝－， ∴在Rt△ECQ中， CE2＝EQ2＋CQ2＝＋x2. ∵在Rt△DEO中，DE2＝OD2＋OE2 ＝＋ ＝x2＋， 在Rt△MDC中， CD2＝DM2＋CM2＝x2＋， 当CD⊥DE时， ∴在Rt△CDE中，CE2＝DE2＋CD2 ＝x2＋＋x2＋ ＝x2＋， ∴＋x2＝x2＋， x2＝， x2＋x－3＝±x， 当x2＋x－3＝x时，x1＝，x2＝－， 此时，y1＝，y2＝－， 当x2＋x－3＝－x时，x1＝－3，x2＝1， 此时，y1＝3，y2＝－1. ∴综上可知符合条件的P点有四个， 分别是，，，. ∴　解得 ∴OD＝＝. ∴OB＝＝. 证明：(1)证法一：由已知可得，当x＞－时，二次函数y＝x2＋ax＋b的值随x的增大而增大， ∴bm＝x1x2(2－x1)(2－x2)＝ ， $