第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试-2025～2026学年河北省各地区高一上学期数学期末试题汇编

2025~2026学年河北省各地区高一上学期数学期末试题汇编：第二章一元二次函数、方程和不等式（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2023上·河北廊坊高一校考期末）已知，，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简得，再利用基本不等式求解. 【详解】∵，，且， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题利用基本不等式求最值时用到了“1的代换”技巧，即把原式乘以“1”，再把“1”换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解，可以提高解题效率. 2．（2025上·河北衡水高一校考期末）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原命题为假，则命题的否定为真，再由二次不等式的判别式建立不等关系，解出实数的取值范围. 【详解】设：存在，使得，为假命题， 则：，，为真命题. 所以，所以. 故选：C. 3．（2025上·河北衡水高一校考期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 4．（2023上·河北邯郸高一邯郸市永年区第二中学校考期末）已知时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式可得，所以，从而得解. 【详解】解：由已知得时，恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以恒成立，即，解得. 所以，实数的取值范围是. 故选:D 5．（2025上·河北高一校联考期末）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得最值. 【详解】因为， 所以． 当且仅当，即时取等号， 即最小值为， 故选：B. 二、多选题 6．（2025上·河北沧州高一统考期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可得选项A错误；通过配方结合选项A可得选项B正确；通过计算结合选项A可得C正确；利用“1”的代换可得选项D正确. 【详解】A.∵，且， ∴，当且仅当时，等号成立，解得，A错误． B.由A得，， 当且仅当时，等号成立，B正确． C.由A得，， ∴，当且仅当时，等号成立，C正确． D.∵， ∴，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 三、填空题 7．（2024上·河北沧州高一统考期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 8．（2024上·河北沧州高一统考期末）中国信通院近期公布的最新数据显示，2023年9月，国内手机出货量同比增长近六成，多个市场咨询报告也显示，国内手机市场在逐渐回暖．新一波“换机潮”即将到来，主要原因是今年秋季多个市场品牌发布旗舰机型，受到不少消费者的青睐，市场大卖．某手机生产厂家看到了商机，为了进一步增加市场竞争力，计划2024年利用更先进的技术生产某款高端手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本360万元，预售价每部1.5万元，且最多生产8万部，若每生产x千部手机，需另投入成本万元，（全年内生产的手机当年能全部销售完） (1)求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（利润=销售额-成本） (2)2024年此款手机产量为多少部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元 【分析】（1）根据利润与销售额、成本的关系列出解析式，代入分段函数，即得利润的函数关系式； （2）就（1）中得到的利润的分段函数式，分段求出每段函数的最大值，进行比较后即得. 【详解】（1）当时， ； 当时．， 所以 （2）当时．， 则（万元）； 当时．单调递增， 所以（万元）， 因为， 所以2024年此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元． 9．（2024上·河北沧州高一统考期末）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上单调递减，在上单调递增． (1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为 (2) 【分析】（1）运用整体换元法对已知函数进行变形，再根据“对勾函数”的性质得出结果； （2）根据条件可得出值域是值域的子集，由此解决问题. 【详解】（1）解：设，， 则． 由函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增． ，，即， 的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． （2）当时，今，则， 则函数， 由于，故当时，的值域为， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 故，解得， 即实数a的取值范围为． 10．（2025上·河北衡水高一校考期末）在中，． (1)若，求面积的最大值； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，结合基本不等式有求最大值，再由求面积最大值，注意取值条件； （2）根据题设有，结合求得，，注意等号成立条件，即得周长最小值. 【详解】（1）由题设，，且，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最大值为. （2）由，即， 由， 即，当且仅当时取等号， 故，，它们取等号的条件均为， 所以周长，即周长的最小值为. 11．（2024上·河北石家庄高一统考期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合一元二次不等式对应一元二次方程及二次函数可知和都是方程的根，列出方程组即可解出的值； （2）先根据题干条件将 整理得，令，转化为，再根据题意令，则，求出的最小值即可. 【详解】（1）根据题意可得和都是方程的根且， 所以，解得或（舍去）， 所以的值为，的值为. （2）因为，所以， 所以即， 整理得， 令，则上式可化为，即， 又因为当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 令，则， 因为， 所以当，即时，，所以， 又因为，所以. 所以实数的取值范围为. 12．（2023上·河北秦皇岛高一校考期末）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据二次不等式的求解，结合补集与交集的运算，可得答案； （2）由题意，根据必要不充分条件，可得集合之间的包含关系，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由，则， 或，或， 则或. （2）由题意，可得为A真子集，令， 则，解得，故. 13．（2023上·河北邯郸高一邯郸市永年区第二中学校考期末）设集合，集合. (1)若，求； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合A与B，后由集合交集与并集定义可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. 【详解】（1）由得，所以，因为，所以，所以； （2）因为是成立的充分不必要条件，所以. 又，故不为空集，故，得，所以实数的范围. 14．（2023上·河北邯郸�高一邯郸市永年区第二中学校考期末）已知函数的定义域为集合A，的值域为集合，若的值域也为集合. (1)求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合A、集合，分析函数的对称轴，对和1的大小进行分类讨论，结合的单调性及值域即可求出实数的值； （2）将（1）中解析式代入不等式中进行全分离，然后进行换元，根据换元后的函数解析式及定义域，分析函数性质求出最值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为，令， 则，解得，则集合， 因为，所以的值域为，即集合， 所以的值域为， 当时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，故舍去； 当时，，解得， 故，此时，满足时其函数值域为； 当时，在上单调递减， 所以，解得，舍去. 综上所述：； （2）由（1）知，所以原不等式可化为： 在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，所以， 则不等式可化为：恒成立， 所以只需即可， 记，所以对称轴为， 所以在上，单调递减，所以， 故，所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年河北省各地区高一上学期数学期末试题汇编：第二章一元二次函数、方程和不等式（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2023上·河北廊坊高一校考期末）已知，，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．（2025上·河北衡水高一校考期末）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025上·河北衡水高一校考期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（2023上·河北邯郸高一邯郸市永年区第二中学校考期末）已知时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025上·河北高一校联考期末）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025上·河北沧州高一统考期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2024上·河北沧州高一统考期末）不等式的解集为 ． 四、解答题 8．（2024上·河北沧州高一统考期末）中国信通院近期公布的最新数据显示，2023年9月，国内手机出货量同比增长近六成，多个市场咨询报告也显示，国内手机市场在逐渐回暖．新一波“换机潮”即将到来，主要原因是今年秋季多个市场品牌发布旗舰机型，受到不少消费者的青睐，市场大卖．某手机生产厂家看到了商机，为了进一步增加市场竞争力，计划2024年利用更先进的技术生产某款高端手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本360万元，预售价每部1.5万元，且最多生产8万部，若每生产x千部手机，需另投入成本万元，（全年内生产的手机当年能全部销售完） (1)求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（利润=销售额-成本） (2)2024年此款手机产量为多少部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 9．（2024上·河北沧州高一统考期末）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上单调递减，在上单调递增． (1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 10．（2025上·河北衡水高一校考期末）在中，． (1)若，求面积的最大值； (2)若，求周长的最小值． 11．（2024上·河北石家庄高一统考期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围. 12．（2023上·河北秦皇岛高一校考期末）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 13．（2023上·河北邯郸高一邯郸市永年区第二中学校考期末）设集合，集合. (1)若，求； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数的范围. 14．（2023上·河北邯郸高一邯郸市永年区第二中学校考期末）已知函数的定义域为集合A，的值域为集合，若的值域也为集合. (1)求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025~2026学年河北省各地区高一上学期数学期末试题汇编：第二章一元二次函数、方程和不等式（原卷版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D D B BCD 1．B 【解析】化简得，再利用基本不等式求解. 【详解】∵，，且， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题利用基本不等式求最值时用到了“1的代换”技巧，即把原式乘以“1”，再把“1”换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解，可以提高解题效率. 2．C 【分析】原命题为假，则命题的否定为真，再由二次不等式的判别式建立不等关系，解出实数的取值范围. 【详解】设：存在，使得，为假命题， 则：，，为真命题. 所以，所以. 故选：C. 3．D 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 4．D 【分析】由基本不等式可得，所以，从而得解. 【详解】解：由已知得时，恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以恒成立，即，解得. 所以，实数的取值范围是. 故选:D 5．B 【分析】利用基本不等式可得最值. 【详解】因为， 所以． 当且仅当，即时取等号， 即最小值为， 故选：B. 6．BCD 【分析】根据基本不等式可得选项A错误；通过配方结合选项A可得选项B正确；通过计算结合选项A可得C正确；利用“1”的代换可得选项D正确. 【详解】A.∵，且， ∴，当且仅当时，等号成立，解得，A错误． B.由A得，， 当且仅当时，等号成立，B正确． C.由A得，， ∴，当且仅当时，等号成立，C正确． D.∵， ∴，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 7． 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 8．(1) (2)此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元 【分析】（1）根据利润与销售额、成本的关系列出解析式，代入分段函数，即得利润的函数关系式； （2）就（1）中得到的利润的分段函数式，分段求出每段函数的最大值，进行比较后即得. 【详解】（1）当时， ； 当时．， 所以 （2）当时．， 则（万元）； 当时．单调递增， 所以（万元）， 因为， 所以2024年此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元． 9．(1)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为 (2) 【分析】（1）运用整体换元法对已知函数进行变形，再根据“对勾函数”的性质得出结果； （2）根据条件可得出值域是值域的子集，由此解决问题. 【详解】（1）解：设，， 则． 由函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增． ，，即， 的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． （2）当时，今，则， 则函数， 由于，故当时，的值域为， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 故，解得， 即实数a的取值范围为． 10．(1)； (2). 【分析】（1）根据，结合基本不等式有求最大值，再由求面积最大值，注意取值条件； （2）根据题设有，结合求得，，注意等号成立条件，即得周长最小值. 【详解】（1）由题设，，且，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最大值为. （2）由，即， 由， 即，当且仅当时取等号， 故，，它们取等号的条件均为， 所以周长，即周长的最小值为. 11．(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合一元二次不等式对应一元二次方程及二次函数可知和都是方程的根，列出方程组即可解出的值； （2）先根据题干条件将 整理得，令，转化为，再根据题意令，则，求出的最小值即可. 【详解】（1）根据题意可得和都是方程的根且， 所以，解得或（舍去）， 所以的值为，的值为. （2）因为，所以， 所以即， 整理得， 令，则上式可化为，即， 又因为当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 令，则， 因为， 所以当，即时，，所以， 又因为，所以. 所以实数的取值范围为. 12．(1)或 (2) 【分析】（1）根据二次不等式的求解，结合补集与交集的运算，可得答案； （2）由题意，根据必要不充分条件，可得集合之间的包含关系，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由，则， 或，或， 则或. （2）由题意，可得为A真子集，令， 则，解得，故. 13．(1) (2) 【分析】（1）化简集合A与B，后由集合交集与并集定义可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. 【详解】（1）由得，所以，因为，所以，所以； （2）因为是成立的充分不必要条件，所以. 又，故不为空集，故，得，所以实数的范围. 14．(1) (2) 【分析】（1）先求出集合A、集合，分析函数的对称轴，对和1的大小进行分类讨论，结合的单调性及值域即可求出实数的值； （2）将（1）中解析式代入不等式中进行全分离，然后进行换元，根据换元后的函数解析式及定义域，分析函数性质求出最值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为，令， 则，解得，则集合， 因为，所以的值域为，即集合， 所以的值域为， 当时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，故舍去； 当时，，解得， 故，此时，满足时其函数值域为； 当时，在上单调递减， 所以，解得，舍去. 综上所述：； （2）由（1）知，所以原不等式可化为： 在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，所以， 则不等式可化为：恒成立， 所以只需即可， 记，所以对称轴为， 所以在上，单调递减，所以， 故，所以的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $