期末测试卷（一）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一 高一上学期必修一期末测试试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣4＜0}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1，2} B．{﹣1，1} C．{1，2} D．{﹣1，1，2} 解：集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣4＜0}＝（﹣2，2）， 所以A∩B＝{﹣1，1}．故选：B． 2．（5分）函数的定义域为（　　） A． B．（1，+∞） C． D． 解：由，则， 解得且x≠1，即其定义域为．故选：D． 3．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得到函数y＝sin（2x）的图象，故选：B． 4．（5分）设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则（　　） A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 解：作出函数y＝log0.2x、y＝log0.3x、y＝log0.4x的图象如下图所示： 因为a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，由图象可得a＞b＞c． 故选：D． 5．（5分）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺．某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（　　） A．2700cm2 B．3500cm2 C．4300cm2 D．4800cm2 解：如图， 设∠AOB＝α，OB＝r， 由弧长公式可得，解得α＝2，r＝30， 设扇形COD，扇形AOB的面积分别为S1，S2， 则该玉雕的扇面面积约为． 故选：A． 6．（5分）已知正数x，y满足，则的最小值为（　　） A．5 B． C．4 D． 解：因为，则， 当且仅当，即时取等号． 故选：B． 7．（5分）在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于A点、顺时针旋转角交单位圆于B点，若A点的纵坐标为，且△OAB的面积为，则B点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 解：由A点的纵坐标为，得，，显然， 而，即，又， 因此，，有， ，显然B点在第四象限， 所以B点的纵坐标为．故选：B． 8．（5分）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞0且a≠1）在（﹣1，7）上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，）∪（7，+∞） B．（0，）∪（9，+∞） C．（0，）∪（7，+∞） D．（0，）∪（9，+∞） 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1， ∴当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，函数f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣2﹣x+1， 又对任意x∈R，都有f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（x）＝f（x+4），即函数f（x）的周期为4， 又由函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞0且a≠1）在（﹣1，7）上恰有4个不同的零点，得函数y＝f（x）与y＝loga（x+2）的图象在（﹣1，7）上有4个不同的交点， f（1）＝1，当a＞1时，由图1可得loga（5+2）＜1，解得a＞7； 当0＜a＜1时，由图2可得loga（7+2）＞﹣1，解得．故选：C． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）已知θ∈（0，π），sinθ﹣cosθ，则下列结论正确的是（　　） A．θ∈（，π） B． C． D． 解：由θ∈（0，π），sinθ﹣cosθ1，得sinθ＞0，cosθ＜0，则θ∈（，π），故A正确； 由sinθ﹣cosθ，两边平方可得，，则2sinθcosθ． ∵sinθ﹣cosθ， ∵θ∈（，π），∴∈（）， sinθ﹣cosθ∈（1，）， 则sinθ+cosθ＝±， 当sinθ+cosθ时，联立，解得sinθ，cosθ， 则tanθ，； 当sinθ+cosθ时，联立，解得sinθ，cosθ， 则tanθ，．故BC错误，D正确． 故选：AD． （多选）10．（6分）下列说法正确的是（　　） A．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1” B．函数f（x）＝2log4x与g（x）＝2x的图象关于y＝x对称 C．为奇函数 D．函数f（x）＝x2﹣2|x|+5单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞） 解：因为命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2≤﹣1”，故A错误； 函数f（x）＝2log4x＝log2x与g（x）＝2x互为反函数， 故其图象关于y＝x对称，故B正确； 因为，可求得定义域为（﹣1，1）关于原点对称， 又，故函数为奇函数，故C正确； 因为， 所以函数的单调递增区间为[﹣1，0]，和[1，+∞），故D正确． 故选：BCD． （多选）11．（6分）若a，b∈（0，+∞），a+b＝1，则下列说法正确的有（　　） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值是 解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，则0＜a＜1，0＜b＜1， A：因为a，当且仅当a＝1时取等号，所以a2， 同理b2，则（a）（b）＞4，故A错误， B：因为（）2＝2+a+b+23+1+a+1+b＝6， 当且仅当a＝b时取得最大值为6，所以取得最大值为，故B正确， C：（a+b）（）＝1+23+2，当且仅当a时取得最小值为3+2，故C正确， D：因为 ，当且仅当a时取得最大值为，故D正确， 故选：BCD． 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）若命题“∃x∈[0，1]，使得2x﹣a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是　{a|a≤2}　． 解：命题“∃x∈[0，1]，使得2x﹣a≥0”为真命题，当x∈[0，1]时，2x﹣a≥0能成立，故a≤2x能成立，所以a≤（2x）max＝2．故答案为：{a|a≤2}． 13．（5分）函数y＝cosx+sin2x在，的值域　[1，]　． 解：y＝cosx+sin2x＝﹣cos2x+cosx+1＝﹣（cos2x﹣cosx）， ∵，， ∴cosx∈[0，1]， 令t＝cosx∈[0，1]， 则y在[0，）递增，在（，1]递减， 当cosx＝0时，y取最小值1， 当cosx时，y取最大值， 故函数的值域是[1，]， 故答案为：[1，]． 14．（5分）借助信息技术计算的值，我们发现当n＝1，2，3，10，100，1000，10000，100000，…时的底数越来越小，而指数退越大，随着n越来越大，会无限趋近于e（e＝2.71828…是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当n越来越大时，会趋近于　 　． 解：根据题意，（1）2n+1＝（1）2n（1）＝[（1]4（1）， 由于随着n越来越大，会无限趋近于e， 则随着n越来越大，（1会无限趋近于e，1会无限趋近于1， 故（1）2n+1＝[（1]4（1）会无限趋近于e4， 故答案为：e4． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知α，β为锐角，tanα＝2，sin（α﹣β）． （1）求cos2α的值； （2）求tanβ的值． 解：（1）因为α，β为锐角，tanα＝2， 所以cos2α； （2）由题意得， 因为sin（α﹣β）， 所以cos（α﹣β），tan（α﹣β）， 所以tanβ＝tan[α﹣（α﹣β）]1． 16．（15分）集合A＝{x||2x﹣1|≤7}，B＝{x|2k﹣2＜x＜k+3}． （1）当k＝2 时，求：A∪B； （2）已知A∪B＝A，求k的取值范围． 解：（1）由题知，A＝{x|2x﹣1|≤7}，B＝{x|2k﹣2＜x＜k+3}， 因为|2x﹣1|≤7， 解得﹣3≤x≤4， 所以A＝{x|﹣3≤x≤4}， 当k＝2时，B＝{x|2＜x＜5}， 所以A∪B＝{x|﹣3≤x＜5}； （2）由题知B⊆A， 由（1）得，A＝{x|﹣3≤x≤4}，B＝{x|2k﹣2＜x＜k+3}， 当B＝∅时，2k﹣2≥k+3，解得k≥5， 当B≠∅时，，解得， 综上所述，k的取值范围为{k|k≥5或}． 17．（15分）已知函数是奇函数． （1）求实数m的值； （2）判断并用定义法证明函数f（x）的单调性； （3）若g（x）＝f（x）﹣a，且当x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解：（1）由题意，可得， 则1﹣m•2x＝m﹣2x⇒1+2x＝m（1+2x），所以m＝1． （2）f（x）单调递增，证明如下： 由（1）知，， 令x1＞x2，则 ，而，，， 所以f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2），故f（x）单调递增． （3）由题意可知，当x≥0时，a≤f（x）恒成立， 而，所以a≤0， 故实数a的取值范围为（﹣∞，0]． 18．（17分）目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备．若该设备预计从第1个月到第n个月（n∈N*）的检测费用和设备维护费用总计为（n2+5n）万元，该设备每月检测收入为20万元． （1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）； （2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种： ①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出； ②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出． 哪一种方案较为合算？请说明理由． 解：（1）由题意可得，20n﹣36﹣（n2+5n）＞0，即n2﹣15n+36＜0， 解得3＜n＜12， ∴n＞3（n∈N*）， ∴该设备从第4个月开始盈利． （2）该设备若干月后，处理方案有两种： ①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，151515﹣12＝3， 当且仅当n＝6时，取等号，月平均盈利达到最大， ∴方案①的利润为：20×6﹣36﹣（36+30）+20＝38（万元）， ②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出，， ∴n＝7或n＝8时，盈利总额最大， ∴方案②的利润为20+16＝36（万元）， ∵38＞36， ∴方案①较为合算． 19．（17分）已知． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间[0，21]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，求x3+2x4+…+2xn﹣1+xn的值． 解：（1） ， 令，k∈Z，则， 故f（x）的单调递增区间为． （2）， 即asinx﹣cosx≥2对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则，易知在单调递减， 又，所以， 则的最大值为，故； （3）因为函数， 所以， 因为x∈[0，21]，所以， 令， 函数y＝sint在上的图象如下图所示， 由图可知，y＝sint与共有6个交点，即n＝6， 因为， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教A版必修一 高一上学期必修一期末测试试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣4＜0}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1，2} B．{﹣1，1} C．{1，2} D．{﹣1，1，2} 2．（5分）函数的定义域为（　　） A． B．（1，+∞） C． D． 3．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．（5分）设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则（　　） A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 5．（5分）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺．某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（　　） A．2700cm2 B．3500cm2 C．4300cm2 D．4800cm2 6．（5分）已知正数x，y满足，则的最小值为（　　） A．5 B． C．4 D． 7．（5分）在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于A点、顺时针旋转角交单位圆于B点，若A点的纵坐标为，且△OAB的面积为，则B点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞0且a≠1）在（﹣1，7）上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，）∪（7，+∞） B．（0，）∪（9，+∞） C．（0，）∪（7，+∞） D．（0，）∪（9，+∞） 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）已知θ∈（0，π），sinθ﹣cosθ，则下列结论正确的是（　　） A．θ∈（，π） B． C． D． （多选）10．（6分）下列说法正确的是（　　） A．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1” B．函数f（x）＝2log4x与g（x）＝2x的图象关于y＝x对称 C．为奇函数 D．函数f（x）＝x2﹣2|x|+5单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞） （多选）11．（6分）若a，b∈（0，+∞），a+b＝1，则下列说法正确的有（　　） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值是 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）若命题“∃x∈[0，1]，使得2x﹣a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是　 　． 13．（5分）函数y＝cosx+sin2x在，的值域　 　． 14．（5分）借助信息技术计算的值，我们发现当n＝1，2，3，10，100，1000，10000，100000，…时的底数越来越小，而指数退越大，随着n越来越大，会无限趋近于e（e＝2.71828…是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当n越来越大时，会趋近于　 　． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知α，β为锐角，tanα＝2，sin（α﹣β）． （1）求cos2α的值； （2）求tanβ的值． 16．（15分）集合A＝{x||2x﹣1|≤7}，B＝{x|2k﹣2＜x＜k+3}． （1）当k＝2 时，求：A∪B； （2）已知A∪B＝A，求k的取值范围． 17．（15分）已知函数是奇函数． （1）求实数m的值； （2）判断并用定义法证明函数f（x）的单调性； （3）若g（x）＝f（x）﹣a，且当x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． 18．（17分）目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备．若该设备预计从第1个月到第n个月（n∈N*）的检测费用和设备维护费用总计为（n2+5n）万元，该设备每月检测收入为20万元． （1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）； （2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种： ①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出； ②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出． 哪一种方案较为合算？请说明理由． 19．（17分）已知． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间[0，21]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，求x3+2x4+…+2xn﹣1+xn的值． 学科网（北京）股份有限公司 $