第五章圆 阶段拔尖专训 习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学九年级下册

该初中数学课件系统梳理圆中五种核心关系，包括弧与弦、圆周角与圆心角、弧与圆周角、弦与圆心角及弦弧圆心角的综合关系，通过典型例题和规范证明步骤，帮助学生构建知识点间的逻辑脉络与内在联系。 其特色在于采用分类递进的复习设计，从基础证明如“弧等推弦等”到综合应用如“三等分点证明线段相等”，培养学生几何直观与推理意识，不同题型满足分层需求。这能有效巩固知识，助力教师开展精准化复习教学。

阶段拔尖专训7 圆中最值问题的解 法技巧 1 技巧1 用对称性解圆中的最值问题 1.如图，是半圆的直径，半圆的半径为4，点， 在半 圆上，，，点是 上的一个动点，则 的最小值为_____． 2 2.[2024·聊城模拟] 如图，是的直径，， 分别是直 径和弦上的两个动点，已知 ， ， 求线段 的最小值． 3 解：如图，连接,延长到 ,使 ,连接,, , 是 的直径， , 垂直平分 , , , . 4 , 当最小时， 最小.易知当 时， 最小，此时 ， 的最小值是2. 技巧2 构造圆解圆中的最值问题 3.如图，是的弦，点在 内， ， ，连接 ，若 的半径是4，则 的最小值为_________． 6 4.如图所示，为平面内一点，且，若点 的坐标为 ，点的坐标为，求 的最大值与最小值. 7 解：如图所示. ， 点在以 为圆心，5为半径的圆 上. 连接，交于点， 的延 长线交于点，易知的长为的最小值， 的长为 的最大值. 点的坐标为，点的坐标为 ， 8 , . , . ， . 的最大值为18，最小值为8. 5. 【知识探索】 （1）“化隐圆为显圆”. ①已知：如图①， ，若 ，求 的度数． 10 解：若以点为圆心，为半径作辅助圆，则是 所 对的圆心角，是 所对的圆周角，从而可容易得到 ____ ． 25 11 ②如图②，点为正方形内一点，且 ，若 ，求 的最小值． 解：， ， 点在以 为直径的圆上. 设圆心为点，则当，，三点共线时 最小，最小值为 _________． 12 【问题解决】 13 （2）①如图③，在平行四边形中，已知 ， ， ，点是边上一动点（点不与 ， 重合），连接，作点关于直线的对称点 ，则线段 的最小值为_________． 14 ②如图④，在中， ，， ， 为上一动点，以为直径的交于，求线段 的最小值． 解：如图①，连接 . 15 是 的直径， . . 点在以 为直径的圆上. 以为直径作，交于,连接，当，， 三点共 线时， 最小. ， ， 16 当，， 三点共线时， . , 线段的最小值为 . 【问题拓展】 （3）如图⑤，在平面直角坐标系 中，已知两点，， 轴上有一动点，当 最大时， 求点 的坐标． 18 解：如图②,易知当过，两点的与 轴相切 且切点为点时， 最大. 设直线的表达式为 , 把，代入，得 解得 直线的表达式为 . 19 易知圆心在 的垂直平分线上， 线段的垂直平分线的表达式为 . 设.连接，，则 轴. ， ， 解得或 （舍去）. 点的坐标为 . 技巧3 过圆心作垂线解圆中的最值问题 6.[2024·舟山模拟] 如图所示，的半径是3，直线与 相交于，两点，点，是上的两个动点，且在直线 的异侧，若 ，求四边形 面积的最大值. 21 解：如图，过点作直线于 ,交 于,两点，连接,,,, , , , , . ， 为等腰直角三角形, 22 . , 当点到的距离最大时，的面积最大，当点到 的距离最大时， 的面积最大, 当点与点重合，点与点重合时，四边形 的面 积最大，最大值为 . $阶段拔尖专训5 圆与图形变换 1 类型1 圆与平移变换 1.如图，内含于，的弦切 于点，且 ．若阴影部分的面积为 ，则弦 的长为( ) C A.3 B.4 C.6 D.9 2 2. 如图①，有一块直角三角板，其中 ， ， ，，在 轴上，点 的坐标为，的半径为，圆心 的坐标为 ，以每秒1个单位长度的速度沿 轴向右做平移 运动，运动时间为 ； 3 （1）求点 的坐标； 解：点的坐标为 . 4 （2）当点在的内部且与直线相切时，求 的值； 5 解：如图，设与直线相切于点 ，作 于，连接， . ，， ， ， ， 点的运动路径的长为 ， ， 即当点在的内部且与直线 相切时， 的值为18. 6 （3）如图②，点，分别是，的中点，连接 ， ，在运动过程中，是否存在某一时刻，使 ? 若存在，直接写出 的值，若不存在，请说明理由． 解：存在， . 7 类型2 圆与翻折变换 3.[2024·济南莱芜区期中] 如图，点 是圆形纸片的圆心，将 这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧和弧都经过圆心 ， 已知 的半径为5，则阴影部分的面积是_ ___． 8 4.图①和图②中，优弧 所在 的半径为2，，点 为优弧上一点（点不与， 重合），将图形沿 折叠，得到 点的对应点 ． 发现：（1）点到弦 的距离 1 是___，当经过点时， ____； 9 （2）当与 相切时，如图②，求折痕的长. 10 解：过点作，垂足为 ，连 接 ，如图②所示. 与 相切， . ， . 由折叠可得 . . . 11 . ， . .即折痕的长为 . 拓展： 如图③，点（不与点， 重 合）为半圆上一点，将半圆沿 折叠， 分别得到点，的对应点， ，设 ． （1）当 时，过点作，如图③，判断 与半圆 的位置关系，并说明理由； 13 解：相切.理由如下：如图③,分别过， 作 于点，于点 . ， 易得四边形 是矩 形. . 由折叠的性质得 , 14 , . . 为半圆的半径.与半圆 相 切. （2）当____时，与半圆相切，当____时，点 落在 上． 16 （3）当线段与半圆只有一个公共点时，直接写出 的取值范围. 解： 或 . 17 类型3 圆与旋转变化 5.[2024·镇江月考] 如图①、图②，在圆中， ， ，将弦与弧 所围成的弓形（包括边界的阴影 部分）绕点顺时针旋转，点 的对应点是 . 18 （1）点到线段的距离是__；_____ ；点 落在 阴影部分（包括边界）时， 的取值范围是______________； 120 19 （2）如图③，线段与优弧的交点是 ，当 时，说明点在 的延长线上； 20 解：如图③，连接， ， 为直径， 点在 的延长线上. 21 （3）当直线与圆相切时，求 的值并求此时点 运动 路径的长度． 22 解：当与圆相切时， 或 .当 时， 运动路径的长度 ;当 时， 运动 路径的长度 . 23 6. 如图，在中， 为 的直径，是弦， ， . （1）求 的度数； 解： . 24 （2）如图，一动点从点出发，在 上按逆时针方向运 动一周，当时，求动点 所经过的弧长． 25 解：如图，分四种情况讨论：①作点 关于直 径所在直线的对称点，连接 ， .易得 ， ， 26 ， 当点运动到 时，，此时点 经过的 弧长为过点作 ，交 于点，连接， ，易得 ， ， ， 当点 运动到 时，，此时点 经过 的弧长为过点作,交 于点，连接， ，易得 ， ， ， 当点 运动到时， ，此时 点经过的弧长为当点运动到 时，与重合， ，此 时点经过的弧长为 . 综上所述,当时，动点 所经过的弧长为 或 或 或 . $阶段拔尖专训1 圆中常见的五种关系 1 关系1 弧、弦之间的关系 1.如图，在中，，与 相交于 点 ，求证： （1） ； 证明： 在中， ， ， ，即 . 2 （2） ． 3 证明：如图，连接， ， 由（1）知, . 4 在和中， . . 关系2 圆周角、圆心角之间的关系 （第2题） 2.如图，的直径 弦 ，垂足为 点，连接并延长交于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 6 （第3题） 3.[2024·成都金牛区月考] 如图， 是 的直径，弦垂直平分，点 在 上，连接，，若平分 ， 则 ( ) C A. B. C. D. 7 4.如图，，，都是 的弦，且 ，求证： . 证明：在中，，分别是 所对的圆周角和圆心角， . 同理 . 又 ， . 8 关系3 弧、圆周角之间的关系 5.[2024·宁波一模] 如图，已知，为上一点，以 为圆心，长为半径的圆经过点，且与， 分别交于 点，，设 ， ，则下列选项正确的是 ( ) 9 A.若 ，则的度数为 B.若 ，则的度数为 C.若 ，则的度数为 D.若 ，则的度数为 √ 6.如图，是的直径，点，在上， ， 求 的度数． 11 解：如图，连接 . 是 的直径， . ， 12 . 又，是 所对的圆周角， . 关系4 弦、圆心角之间的关系 7.[2024·无锡期中] 如图，是 的直 径，四边形内接于 ，若 ，则 的直径 为( ) D A. B. C. D. 14 8.如图，以等边三角形的边为直径作交于点 ， 交于点，连接.试判断，， 之间的大小关系， 并说明理由． 15 解：.理由如下：如图，连接， . 是等边三角形， . 16 又 ， 与 都是等边三角形. . . . . 关系5 弦、弧、圆心角之间的关系 9.如图，内接于，，是 的 弦，， ．下列结论： ； ； ； ． 其中所有正确结论的序号是 ( ) 18 A.①②③④ B.②③ C.②④ D.②③④ √ 10.如图，在中， ，且，是 的三等分 点，连接分别交，于点， .求证： . 20 证明：如图，连接， . ，是 的三等分点， 21 . ， . 又 ， . ， ， . . ， ， . .同理可得 . . $阶段拔尖专训3 常考的隐圆模型 1 模型1 定点定长模型（圆的定义） 1.[2024·盐城期中] 如图，在矩形 中， 已知，，点是 边上一动 点（点不与，重合），连接 ，作点 关于所在直线的对称点，则线段 的最小值为( ) A A.2 B. C.3 D. 2 2.如图，已知 ， ， ， 求 的度数． 解： ， ，，三点在以为圆心， 长为半径的圆上. ， . ， ， . 3 模型2 定边对直角模型（直角对直径） 3.[2024·黄山模拟] 如图，在 中，，，，点 是内部的一个动点，连接 ，且 满足 ． （1） ____； （2）当线段最短时， 的面积为_ __． 4 4.[2024·连云港月考] 如图，在正方形 中，，动点从点出发向点 运动， 同时动点从点出发向点运动，点， 的 运动速度相同，当它们到达各自终点时停止运 动，运动过程中线段，相交于点，求线段 的最小值． 5 解： 动点， 的运动速度相同， . 四边形 是正方形， ， . 在和中， 6 . ， . . . 点在运动中始终保持 . 点的路径是一段以 为直径的弧，如图. 设的中点为，则 . 连接,交弧于点，此时 的长度最小， 8 在中， . ， , 即线段的最小值为 . 模型3 定边对定角模型（定弦定角模型） 5.[2024·厦门月考] 如图，在中，，点 为动点， 在点运动的过程中始终有 ，则 面积的最 大值为_______． 10 6.，两点的坐标分别为，，点在 轴上，且 ，求点 的坐标． 解：如图，在 轴的上方作等腰直角 ，， ，以 为圆心，的长为半径作 ，则 过点，连接.过点作 轴于点. 是等腰直角三角 11 形，，， 易得 ，， .设 ，则.在 中， ，解得 或 （不合题意，舍去） .根据对称性可知 也 符合条件，综上所述，点 的坐标为 或 . 7.如图，在等边三角形中，，，分别是 和 上的动点，且，连接，交于点，求 的 最小值． 13 解：是等边三角形， ， . 又 ， . 又 ， . . 14 点的运动轨迹是在以为圆心， 长为半径的弧上运动，如图，连接 ，，，交于点 ，当点 与点重合时， 的值最小，最小值 为 的长. 易得 , , , 15 . ， ， . . 的最小值为 . 模型4 四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角） 8.如图，在矩形中，，，点 在对角线 上，连接，作，垂足为，直线交线段 于点，则 __. 17 9.[2024·西安长安区月考] 如图，在四边形 中， ， ，，是 的中点， 连接，求线段 的最小值． 解： ， ，，， 四点共圆. 连接，取的中点为，则圆心为点 ， 18 连接，，取的中点为，连接， ，如图. ， . 又， 为等边三角形. . 19 . 为 的中点, ， . 易得 . 易知是 的中位线， . ， 当，，三点共线时，取得最小值，最小值为. $阶段拔尖专训4 圆中辅助线的添加 方法 1 方法1 连接半径构等腰、全等 1.[2024·石家庄模拟] 如图， 的 直径的延长线与弦 的延长线交 于点，若， ， 则 等于( ) A A. B. C. D. 2 2.如图，等边三角形的三个顶点都在上，点， 分 别在边，上，且，求证： . 3 证明：连接，， ，则 . 为等边三角形， ， ， 易得 ， . ， 4 . 又 ， ， . 方法2 作垂线段构弦心距 3.如图，已知的半径为，弦 的长为，是 的延长线上一点， ，则 等于( ) D A. B. C. D. 6 4.如图，是的弦，， ，点是弦 上一动点（不与点，重合），连接并延长交于点 ， 连接 . （1）求弦 的长. 7 解：如图，过点作于点 ,则 . 在中，， ， . . 8 （2）当 时，求 的度数. 解：如图，连接 . ， ， ， ， . . . 9 （3）当的长度为多少时，以，， 为顶点的三角形与 以，， 为顶点的三角形相似？ 10 解：， ， 要使以，， 为顶点的三角 形与以，， 为顶点的三角形相似，只能 . . . ， 即，. 当时，以， ， 为顶点的三角形与以，， 为顶点的三角形相似. 11 方法3 连弧的中点与圆心构垂径 5.如图，是半径为8的的弦，点 是优 弧的中点， ，求弦 的长. 如图所示，连接，，并延长，交 于点 . 由题知 . 12 解：如图所示，连接，，并延长 ， 交于点.由题知 点 是优弧 的中点，, 易得 .又 ， . . . . 13 方法4 连弧的中点与端点构等腰 6.如图，是的直径，是弦,是 的中点， 于点，，，求 的长. 14 解：连接,,，过点作 于 点是 的中点， , , , .又 ， , ,, 易得 ， , ， . 15 方法5 构同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 7.[2024·泰安模拟] 如图，已知点，， 在上，为 的中点，若 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 16 8.如图，四边形内接于，，交 的延长线 于点．若平分，，，求 的长度． 17 解：连接，如图，平分 , 四边形 内接于 , .又 , , , , , ,, 在 中， . 18 方法6 构 圆周角所对的直径 9. 小方的老家有 一个古色古香的圆形门，如图所 示，她测得下面矩形 的边 为，的长为， 的延长线与圆形门交于点，她测得的长约为 ，则图 中整个门的面积约为_ ____________（结果保留根号和 ）. 19 10.如图，为的直径,交弦于点，是 上一点， 弦,且 弦,连接交于点,点在 的延 长线上,.若,,求 的长. 20 解：连接 , ,为 的直 径，经过点 , , , ， , 21 , . . . , , ,, , , , .设 ,则.在 和 中，由勾股定理，得 ， 即 ，解 得, , . 方法7 构直径所对圆周角 11.[2024·南通海安市月考] 如图，中， ， 以为直径的交于点，交于点，过点 作 于点，交的延长线于点 . 24 （1）若，求 的面积； 25 解：连接，，如图.是 的直 径，， , ， , .又 ， ， ， ，即， ， ， 的面积 . 26 （2）若，，求 的长． 27 解：是的直径， ， ，， .由（1）知 ，，是 的中位 线，，设 ，则 ，，, ， ，， 或 （舍去），，， 易得 ，，即， . 28 方法8 连圆心与切点构直角 12.[2024·青岛模拟] 如图，为的直径，为 上一 点，过点作的切线交的延长线于点，连接 ，若 ，求 的长度. 29 解：如图，连接为 的切 线，为 的直 径，, , . .由圆周角定理,得 , , . 30 13.[2024·聊城模拟] 如图，内接于，为 的 直径，延长到点，连接．过点作，交 于 点，交于点，过点作的切线，交 的延长 线于点，且 . 31 （1）求证： ； 32 证明：如图，连接,为 的 直径， . . 与 相切， . , , . , , , , . 33 （2）若，，求 的长． 34 解：在中，, , , ., , , .设, 则 , ,解 得, , 35 . 在 中，,, 由勾股定 理,得. , , 四边形 为平行四边形, . $阶段拔尖专训2 分类讨论思想在圆 中的应用类型 1 类型1 点与圆的位置关系不唯一 1.是半径为的上一点， 为平面内一点，且 ，求 的最值. 2 解：如图所示. ， 点在以为圆心，半径为 的圆上. 当，， 三点在同一条直线上时，线 段 有最值. 当点在内（点处）时， 有最小值，最小值为 ; 当点在外（点处）时， 有最大值，最大值为 . 3 2.若所在平面内一点到 上的点的最大距离为7，最 小距离为3，求此圆的半径. 解：此圆的半径为5或2. 4 类型2 点在圆上的位置不唯一 3.与是的两条半径，且 ,为 上 一点，求 的度数. 5 解：如图所示，当点在的优弧 上的 点时， ； 当点在的劣弧上的点 时， ， 的度数是 或 . 6 4.弦把分成的两部分，是上不同于， 的一 点，求 的度数. 7 解：如图所示，连接， . 弦把分成 的两部分， . 当点在的优弧上的点 时， . 当点在的劣弧上的点 时， . 的度数是 或 . 8 5.已知，两点的坐标分别为，， 是 外接圆上的一点，且 ，求点 的坐标. 解：如图所示. ， ，， . ， 易知点 的横、纵坐标相等.设 ， 是直径. 9 外接圆的圆心为 的中点. 设的中点为，则.连接 ， 易知.过点作 于 点，过点作，交 于点 . 易知 ， . 在 中， 或（不合题意，舍去） 点 的 坐标为.设点 关于圆心 对称的点为 ，则 点 的坐标为 或 . 类型3 点在直径上的位置不唯一 6.已知的直径，弦于点 ，若 ，求弦 的长度. 12 解：当点在半径 上时，如图①，连接 . , , , ; 当点在半径上时，如图②,连接 . , , , .综上所述,弦 的长度为或 . 14 类型4 弦与弦的位置关系不唯一 7.已知的半径，弦，，求 的度数. 解：的度数为 或 . 15 8.已知是的内接正十边形的一边，是 的内接正十 五边形的一边，求以 为边的内接正多边形的中心角的度数． 解：连接，，是 的内接正十边形的一 边，是 的内接正十五边形的一边， ， .当点在 外 时， ；当点在 上时， . 以 为边的内接正多边形的中 心角的度数为 或 . 16 9.在中，直径，弦,且 于点 ，于点，，,求 的长. 17 解：连接，，， . ，，， , ， . , , ，， ， . 当弦，在圆心 的同一侧时， ；当弦， 不在圆心 的同一侧时， .综上， 的长为或 . 18 类型5 弦所对的圆周角不唯一 10.圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数． 19 解：如图，连接， . ， 为正三角形. .当点在优弧 上时， ；当点在劣弧 上时， 一 . 弦所对的圆周角的度数为 或 . 20 类型6 直线与圆的位置关系不唯一 11.[2024·菏泽一模] 如图，在 中， ，，，以点 为圆 心作，半径为，已知直线和 有 交点，则 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 21 12.已知的直径为，如果直线上的一点到圆心 的 距离为，则直线与 的位置关系是____________． 相交或相切 类型7 切点的位置不唯一 13.如图，直线， 相交于 点， ，半径为 的的圆心在直线 上， 且位于点左侧 处．若 3或7 以的速度由向的方向移动，则______后， 与直线 相切． 23 类型8 圆心的位置不唯一 14.已知在的内接中，，圆心到 的距 离为，的半径为，求 的长. 24 解：分两种情况:（1）当圆心 在 的内部时，如图①, 连接并延长交于点 ,连 接 .由题知 .易得,则 , ， . . 25 （2）当圆心在的外部时，如图②,连接,交 于点 ,连接,易得 . ,.综上所述, 的长为 或 . $阶段拔尖专训6 圆中的基本图形研究 1 图形1 垂径图 1.[2024·临沂模拟] 春秋时代的名著《墨子非儒下》载：“孔 子穷于陈蔡，藜羹不糁”．“糁”在文字上讲是用肉做成的汤羹， 是临沂地区的风味小吃．因其香辣可口、肥而不腻、祛风除 寒、开食健胃实为众人所喜爱，早晨喝糁是临沂传统食 俗．糁汤做好后会盛入大碗中，如图②是从正面看到的一个 盛糁汤的大碗（图①）的形状示意图．是 的一部分， 2 是的中点，连接，与弦交于点，连接，． 已知，碗深，则的半径 为 ( ) A. B. C. D. B 2.[2024·连云港赣榆区月考] 如图，为的直径， 为 弦，于点，连接并延长交于点，连接 交于点，连接，且 ． 4 （1）求证： ； 证明： , . , , . 5 （2）若，求的度数和 的长． 6 解：如图，连接,, , , , , . 又 , . , 是等 边三角形, , 7 , 易得 .在 中， ,又 , ,, 易 得, . 图形2 角分图 3.如图，在中，弦为，弦为 ， ，， 弦于点 ． 9 （1）求 的半径； 解：连接， , 是 的直径. 在 中， . 的半径是 . 10 （2）求 的长． 11 解：连接,,,过点作交 的延 长线于点，由（1）知的半径是 ， ., ， ,. , . , . 12 又是的直径， . . . 又 ， . , , . . , . 在 中， . 图形3 等腰图 4.如图，已知的三个顶点都在 上，，是上一点， 于 ． （1）若，求 的度数； 解：的度数为 . 15 （2）求证： ． 证明：在线段上截取 ,连接 ， . ,, , , . , , . 16 5.[2024·东营模拟] 如图，在中，，以 为直 径作与交于点，过点作的切线交 的延长线 于点 ． 17 （1）求证： ； 证明：与 相切于点 , , . 是 的直径， , , . ,, . 18 （2）若， ，求 的半径． 解： , , , ,, , .又, , , , 的半径是2.25. 19 6.如图,是的内接三角形，,是 的中点, 连接, . （1）如图①,若 ,求证:是 的直径; 20 证明： ， . , 是等边三角形， .又是 的中点， , , 是 的直径. 21 （2）如图②,若,,求 的长. 22 解：连接，,,交 于点,连接并延长交 于 点 , 垂直平分 , , ,又, 在 中，.设 , 23 则， 在 中， , 是的中点， 易证 , , ， , . 图形4 切割图 7. 如图，为 的直 径，为上一点，和过 点的直线互相 垂直，垂足为，且平分 ． （1）求证：为 的切线； 25 证明：连接 , , . 平分 , . , . , . 又为的半径，为 的切 线. 26 （2）若的半径为3，，求 的长． 解：的长为 . 27 8.[2024·菏泽模拟] 如图，为的直径，为 上一点， 连接，，过点作的切线交的延长线于点 ， 于点，交于点 ． （1）求证： ； 28 证明：连接,如图.为 的直 径， . , , .是 的切线， , , , , , . 29 （2）若，，求 的长． 30 解：, , , , , . 设,则 , 由（1）得 , 31 又, , ,即 , 整理,得,解得 , 的长为 . 图形5 双切图 9. 如图， 是的内接三角形，过 外一 点作的两条切线和 ，点 ，为切点．点在上，点 在 75 上，点在上，且， ．若 ，则 ____度． 33 10.如图，在中， ， 以上的点为圆心， 长为半径的 圆与交于点，与切于点 ． （1）求证： ； 证明： ,是的半径， 为的切线.又切于点, . 34 （2）求证： ； 证明：是 的直径, . .又 , .由（1）得 , . 35 （3）设，，求 直径的长． 解： 直径的长为3. 36 图形6 三角形内切圆 11.[2024·济宁任城区月考] 如图，的内切圆 与 ，，分别相切于点，，，且 ， ，，求阴影部分（即四边形 ）的面积. 37 解：, , , , 为直角三角形，且 ， 与,分别相切于点， , ,, , 38 四边形 是正方形. . 设,则 , 的内切圆与 , ,分别相切于点,, , ， , , , 阴影部分（即四边形 ） 的面积为 . 图形7 梯形圆 12.[2024·武汉新洲区期末] 如图，，，分别与 相切于点，，，且，连接， ． （1）求证： ； 41 证明：连接，，,如图.,, 分别与相切于点,,, 由切线长定理 可得,.在和 中,,, , .同理可 得, . , , ， , . 42 （2）若，，求 的值． 43 解：由（1）可知 , 是的切线， , , 44 , , ， , , , . 图形8 内心图 13. 如图，点 为等边三 角形的内心，连接并延长交 的外接圆于点 ，已知外接圆的半径为2， 则线段 的长为( ) A A.2 B.3 C.4 D. 46 14.[2024·烟台] 如图，是 的直径， 内接于，点为 的内心，连 接并延长交于点，是 上任意一 点，连接，，， ． （1）若 ，求 的度数； 解：是的直径， .又 ， . 四边形 是的内接四边形， ， . 47 （2）找出图中所有与 相等的线段，并证明； 48 解：.证明:连接，如图. 点 为的内心， ， . . , , , , . 49 （3）若，，求 的周长． 50 解：过点分别作,, ,垂足 分别为,,,如图. 点为 的内心，即 为的内切圆的圆心.，， 分别为 该内切圆与三边的切点， , ,, , , , , 51 , , 的周长为 . $阶段拔尖专训8 圆与其他知识的综 合应用 1 题型1 圆与全等三角形的综合 1.如图，在中，，分别是半径， 的中点，点在圆上， ．求证： ． 2 证明：，分别是半径， 的中点， . 又, , . . 2.如图，四边形是的内接四边形，点 是 延长线上的一点，且平分， 于 点 ． （1）求证： ； 4 【证明】平分 ， . ，， . ， . 5 （2）若，，求 的长． 解： 的长为7. 6 题型2 圆与相似三角形的综合 3.如图，在中，是 边上的一点， 且，，以 为直 径作交于点，交于点 ． 7 （1）求证： ； 【证明】 ， 是等腰三角形. 为 的直径， ，即 . . 8 （2）求证：是 的切线． 9 证明： ， . ， . . 是 的切线. （3）若，，求 的长． 解： 的长为0.8. 11 4.如图，以为直径的半圆中，点为圆心，点 在半圆上， 过点作，且．连接，分别交， 于 点，，与半圆交于点，若 ． 12 （1）求证：是半圆 的切线； 证明： ， . , . 是半圆的半径，是半圆 的切线. 13 （2）求 的值． 14 解：如图，过点作交于 .设 半径为,，， 易得 , .由勾股定理得 , ， 易得 . 15 ， 易得 , ， . ..补全，延长 ， 与交于，连接，, 为 的直径， . . ， . ， .又 . ，即 ， 解得 . 题型3 圆与勾股定理的综合 5.如图，是的直径，，于点 ，连接 ，，交于点 ． 19 （1）求证： ． 证明：是 的直径， . ， . .又 ， . . 20 （2）若，，求弦 的长． 21 解：如图，连接，交于点 . ，， ， ， ， 22 的半 径为10.设,则 ,由勾股定理，得 ，即 ，解得 . 6.如图， 经过坐标原点，且与两坐标轴 分别交于点与点，点的坐标为 ， 是圆上一点， ． （1）求证：为 的直径； 证明：经过坐标原点， , 是 的直径. 24 （2）求的半径及圆心 的坐标． 25 解： 四边形 是圆内接四边形， ， . . 点 的坐标 为， 的半径 点在第二象限， 点的横坐标小于0.设点 的坐标为.连接，由半径 ，即 ，解得， 或 （舍去） 圆心的坐标为 . 26 题型4 圆与三角函数的综合 7.如图，正三角形外切于，正方形 内接于 ．若正三角形的边长为6，求正方形 的面积． 27 解：设与相切于点，连接， ， ， ，如图所示. 则 ， . . . . 28 四边形 是正方形， . 是等腰直角三角形. . 正方形 的面积为6. 8.已知：如图，四边形是的内接四边形，直径 交边于点，，的延长线相交于点，连接 ，若 ． （1）求证： ； 30 证明：如图，连接 . 与 是同弦所对的圆周角， . ， . 为的直径， 为圆周上一点， .. . ， . 31 （2）若，，求 的半径． 解： 的半径为5. 32 题型5 圆与二次函数的综合 9.[2024·淄博张店区一模] 如图，在 平面直角坐标系中，已知 ， ，且以为直径的圆交 轴的 正半轴于点 ． （1）求点的坐标和过，， 三点的抛物线的表达式； 33 解：设以 为直径的圆的圆心为 ，连接 . ， ， ,, ， ， . 在 中， 34 ， 点的坐标为 . 由题意，可设过，， 三点的抛 物线的表达式为 ， 把点 的坐标代入，得 ，解得 ， 过，， 三点的抛物线的表达 式为 ，即 . （2）设平行于轴的直线交抛物线于， 两点，问：是否存 在以线段为直径的圆，恰好与 轴相切？若存在，求出该 圆的半径；若不存在，请说明理由． 37 解：存在.由题意知抛物线的对称轴 为直线 ， 设满足条件的圆的半径为 ， 点在点的左侧，则点 的坐 标为或. 点在抛物线 上， 38 ，整理得 ，解得 （舍去）， ， 或 ， 整理得 ， 解得 （舍去）， ， 存在以线段 为直径的圆， 恰好与 轴相切，该圆的半径 为或 . 题型6 圆与四边形的综合 10.如图，四边形是 的内接四 边形， ，连接 ，作 于点，于点， ， 相交于点 ． （1）求证： ； 41 证明： ， 是 的直径. . ， ， . ， . ， . 四边形 是平行四边形. . 42 （2）连接，，若， ， ，求 的度数． 43 解：由（1）得，四边形 是平行四 边形. ， . . ， , . 是等腰直角三角形. 44 . . . ， . $