2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第3讲二次函数与一元二次方程及不等式

这是一份初中数学期末复习课件，聚焦二次函数与一元二次方程及不等式，含数学家诺德故事引入、归类探究（四类题型）、例题解析、练习题及误区警示，通过思路生成、图象法等学习支架助力知识理解与应用。 资料特色突出，融合数学核心素养，如例1用图象法培养几何直观（数学眼光），例2通过对称轴推理强化逻辑思维（数学思维），表格归纳a,b,c符号判别方法提升符号意识（数学语言）。数学家故事渗透德育，自主招生题拓展思维，多解法解析助教师教学，帮学生提升综合解题能力，适应升学备考。九年级学生面临升学考试，需重点掌握二次函数与方程、不等式的综合应用，本资料通过典型例题和拓展题目，帮助学生夯实基础、提升解题技巧，为教师提供系统复习方案。

第3讲 二次函数与一元二次方程及不等式 YOUR LOGO 在逆境中成长的女数学家诺德 1933年1月，希特勒一上台就发布第一号法令，把犹太人比作“恶魔”，叫嚣着要粉碎“恶魔的权利”．不久，哥廷根大学接到命令，要求学校辞退所有从事教育工作的纯犹太血统的人．在被驱赶的学者中，有一名妇女叫爱米·诺德(A.E.Noether 1882～1935)，她是这所大学的教授，时年51岁． 诺德生长在犹太籍数学教授的家庭里，从小就喜欢数学. 1903年，21岁的诺德考进哥廷根大学，在那里，她听了克莱因、希尔伯特、闵可夫斯基等人的课，与数学结下了不解之缘．她学生时代就发表了几篇高质量的论文，25岁便成了世 界上屈指可数的数学女博士．但由于当时妇女地位低下，她连讲师都评不上，在大数学家希尔伯特的强烈支持下，诺德才由希尔伯特的“私人讲师”成为哥廷根大学的第一名女讲师． 在希特勒的淫威下，诺德被迫离开哥廷根大学，去了美国工作.1934年9月，美国设立了以诺德命名的博士后奖学金.不幸的是，诺德在美国工作不到两年，便死于外科手术，终年53岁．她的逝世令很多数学同僚无限悲痛．爱因斯坦在《纽约时报》发表悼文说：“根据现在的权威数学家们的判断，诺德女士是自妇女受高等教育以来最富于创造性的数学天才．” 二次函数与一元二次方程 例1　已知函数y＝3－(x－m)(x－n)，并且a，b是方程3－(x－m)(x－n)＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是 (　 　) A．m<a<b<n　　　　　　　B．m<a<n<b C．a<m<b<n D．a<m<n<b 【思路生成】(1)利用方程的根讨论；(2)利用图象法求解. 【解析】 解法一：由3－(x－m)(x－n)＝0变形得(x－m)(x－n)＝3， ∴x－m＞0，x－n＞0或x－m＜0，x－n＜0， ∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n. D ∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，综合一下，只有D可能成立．故选D. 解法二：方程3－(x－m)(x－n)＝0的两根a，b可以看成是函数y＝3－(x－m)(x－n)与x轴交点的横坐标， 例1答图 y＝3与y＝3－(x－m)(x－n)的两个交点是(m，3)，(n，3)，如答图所示， ∴a<m<n<b. 解法二通过画函数图象，利用图象法解决问题． 二次函数与方程、不等式之间的关系非常密切，既是特殊与一般的关系，又是典型的数形结合关系． 判别式(a>0) Δ＝b2－4ac>0 Δ＝b2－4ac＝0 Δ＝b2－4ac<0 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等 的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 二次函数与一元二次方程 抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的问题可以互相转化，抛物线与x轴有两个交点，对应的一元二次方程根的判别式大于0；抛物线与x轴有一个交点，对应的一元二次方程根的判别式等于0；抛物线与x轴没有交点，对应的一元二次方程根的判别式小于0. 1．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是 (　 　) A．x1＝1，x2＝－1　　　　　　　 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 B D A．0　　　　 B．0或2　　　　　 C．2或－2　　　　 D．0，2或－2 3．关于x的函数y＝(m2－1)x2－(2m＋2)x＋2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 函数为一次函数y＝－4x＋2，与x轴恰有一个交点； 当m2－1≠0，即m≠±1时，函数为二次函数， 由题意，知[－(2m＋2)]2－4×(m2－1)×2＝0， 解得m＝3或m＝－1(舍去)． 综合可知m的值为1或3. 二次函数与不等式 D A．①②　　　 B．③④　　　 C．①④　　　 D．①③ 图1－3－1 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－3－2所示，则函数值y>0时，x的取值范围是 (　 　) A．x<－1　　　　　　　　　B．x>3 C．－1<x<3 D．x<－1或x>3 D 图1－3－2 1．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，此方程是一元一次方程；当a≠0时，此方程是一元二次方程． 2．方程ax2＋bx＋c＝0有实根的问题需要分a＝0与a≠0两种情况讨论． 二次函数与不等式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标，不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集可分割看做二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于(或小于)0时，自变量相应的取值范围． 解答“看图象确定自变量的取值范围”这类问题，一般方法是：结合点的纵坐标大于零(或小于零)，图象在x轴的上方(或下方)部分，来确定对应点的横坐标． 根据二次函数的图象确定a，b，c及有关代数式的符号 例3　[全国竞赛预赛]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－3－3所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2－4ac，a＋b＋c，a－b＋c，2a＋b中，其值为正的式子的个数为 (　 　) A．2个　　　　　　　B．3个 C．4个　　　 D．4个以上 图1－3－3 C 【思路生成】从抛物线的开口方向，对称轴，与x，y轴的交点，x＝－1时y的值，对称轴比1大还是小等进行分析． A．①②③　 B．②④　　　C．②⑤　　D．②③⑤ D 图1－3－4 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－3－5所示，给出下列四个结论：①4ac－b2<0；②4a＋c<2b；③3b＋2c<0；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)，其中正确结论的个数是 (　 　) A．4 B．3 C．2 D．1 图1－3－5 B 7．[全国竞赛海南赛区初赛]如图1－3－6，直线x＝1是二次函数 y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴，则有 (　 　) A．a＋b＋c＝0 B．b＞a＋c C．b＝2a D．abc＞0 图1－3－6 D 二次函数与二次方程、不等式的综合 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上能不能找到一点P，使 ∠POC＝∠PCO，若能，请求出点P的坐 标；若不能，请说明理由． 图1－3－7 (2)根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求解． 解：(1)由题意，得x1＋x2＝－m，x1x2＝m－1. ∴m2－m＋1＝7，解得m1＝3，m2＝－2. ∵抛物线与y轴交于点C(0，c)(c<0)，∴m－1＝c<0，即m<1， ∴m＝3舍去， ∴解析式为y＝x2－2x－3. 确定a，b，c及有关代数式的符号方法： 判别内容 判别方法 a的符号 开口向上⇔a>0 开口向下⇔a<0 b的符号 对称轴在y轴左侧⇔a，b同号 对称轴在y轴右侧⇔a，b异号 对称轴为y轴⇔b＝0 c的符号 交点位于y轴正半轴⇔c>0 交点位于y轴负半轴⇔c<0 交点在原点⇔c＝0 Δ的符号 抛物线与x轴有两个交点⇔Δ>0 抛物线与x轴只有一个交点⇔Δ＝0 抛物线与x轴没有交点⇔Δ<0 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1<x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根． (1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值； (2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式． 解：(1)∵x2＋4x－5＝0的两根是x1＝－5，x2＝1. ∴A，B两点的坐标为A(－5，0)，B(1，0)， ∴抛物线的对称轴为x＝－2. 依二次函数图象与一元二次方程解的关系，可设二次函数的解析式为y＝a(x2＋4x－5)(a＞0)，则C，D的坐标分别为C(0，－5a)，D(－2，－9a)， 从而可画出大致图象，如答图． 设AC与抛物线的对称轴交于点E，则由三角形相似可求得E点的坐标为(－2，－3a)， ∴S△ABC∶S△ACD＝1. (2)当∠ADC＝90°时，△ADC是直角三角形，依勾股定理AC2＝AD2＋DC2. 变式跟进8答图 ∵AC2＝52＋(5a)2，AD2＝32＋(9a)2，DC2＝22＋(9a－5a)2， 二次函数与二次方程、不等式的综合 方程与函数联系密切，可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想解决方程问题． 在解抛物线与x轴的交点情况时，通常可转化为相应的一元二次方程的根的问题；在解函数与几何相结合的问题时，要善于求出点的坐标，相关函数关系式，充分发挥数形结合的思想解决问题． 例5　[全国联赛初三组]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝－bx，其中a，b，c满足a>b>c，a＋b＋c＝0(a，b，c为实数)． (1)求证：两函数的图象有两个不同的交点A，B； (2)过(1)中的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足为A1，B1.求线段A1B1的长的取值范围． 2．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 (　 　) 解：当即m＝1时， 例2　如图1－3－1，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤a≤－；④3≤n≤4中，正确的是(　 　) 【思路生成】①由抛物线的对称轴为直线x＝1，一个交点A(－1，0)，得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b＝－2a，将其代入3a＋b，并判定其符号；③根据两根之积＝－3得到a＝－，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④顶点坐标代入函数解析式得到n＝a＋b＋c＝c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围． 【解析】 由图象可得a＞0，b＜0，c＞0，∴ab＜0，ac＞0，bc＜0. 抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0.当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0. 当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0.从图象可得，抛物线对称轴在直线x＝1的左边，即－<1，∴2a＋b＞0.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个． 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－3－4所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③当m≠1时，a＋b＞am2＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若ax＋bx1＝ax＋bx2，且x1≠x2，则x1＋x2＝2.其中正确的有 (　 　) 【解析】 由函数的图象可知，当x＝1时有a＋b＋c＜0；当x＝－1时有a－b＋c＞0，即b＜a＋c；函数的对称轴为x＝－＝1，则b＝－2a；因为抛物线的开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，所以c＜0，由b＝－2a可得b＜0，所以abc＞0. 例4　如图1－3－7，抛物线y＝x2＋mx＋(m－1)与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，x1<x2，与y轴交于点C(0，c)(c<0)，且满足x＋x＋x1x2＝7. 【思路生成】(1)利用根与系数的关系，等式x＋x＋x1x2＝7，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－m，x1x2＝m－1，代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式． ∵x＋x＋x1x2＝7，∴(x1＋x2)2－x1x2＝7， (2)存在，是线段OC的垂直平分线与抛物线的交点． ∵C(0，－3)，∴线段OC的中点坐标是， 把y＝－代入抛物线解析式，得－＝x2－2x－3， 解得x1＝，x2＝， ∴P点的坐标是或. ∴S△ABC＝AB·OC＝15a. ∴S△ACD＝S△AED＋S△DEC＝(9a－3a)×3＋(9a－3a)×2＝15a. ∴52＋(5a)2＝32＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2，解得a＝±(负值不合题意，舍去)， ∴二次函数的解析式为y＝(x2＋4x－5)＝x2＋x－. 解：(1)证明：由消去y得ax2＋2bx＋c＝0， Δ＝4b2－4ac＝4(－a－c)2－4ac＝4(a2＋ac＋c2)＝4. ∵a＋b＋c＝0，a>b>c， ∴a>0，c<0. ∴c2>0， ∴Δ>0，即两函数的图象有两个不同的交点． (2)设方程ax2＋2bx＋c＝0的两根为x1和x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. |A1B1|2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝－＝＝＝4＝4. ∵a＋b＋c＝0，a>b>c，∴a>0，c<0， ∴a>－a－c>c，解得－2<<－. ∴3<|A1B1|2<12，故<|A1B1|<2. $