第六章 对概率的进一步认识 习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“用树状图或表格求概率”，通过理化生实验小组选择、二十四节气邮票抽取等生活实例导入，衔接前期简单概率知识，逐步过渡到两步及多步、有放回与无放回等复杂情境，搭建从具体情境到抽象列举方法的学习支架。 其亮点在于以丰富生活情境（如马拉松美食选择、山东旅游景点摸球）培养数学眼光，通过每题“点拨”详细展示树状图或列表过程，强化推理意识与运算能力。结合方程、转盘等综合题，构建概率模型，发展模型意识，学生能联系实际理解概率计算，教师可借助分层题目提升教学效率。

第六章 对概率的进一步认识 2　生活中的概率 返回 1．某气象台发布天气预报显示，明天济南的降雨概率是90%，对此信息，下面说法正确的是(　　) A．“明天济南降雨”是一个随机事件 B．明天济南将有90%的地区降雨 C．明天济南将有90%的时间降雨 D．明天济南一定会降雨 A 2 返回 2．下列成语反映的事件中，发生的概率最大的是(　　) A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 D 3 返回 3．体育课上，两位同学通过“抓阄”的方式决定谁先玩篮球，两个“阄”上分别写有“先”和“后”，下列分析正确的是(　　) A．先抓阄的同学抓到“先”的概率大 B．后抓阄的同学抓到“先”的概率大 C．两位同学抓到“先”和“后”的概率一样大 D．无法判断 C 4 返回 4．某机构发行福利彩票，在300万张彩票中，中奖率是1%，给出下述推断：①买10万张彩票一定不中奖；②买30万张彩票一定中奖；③买30万张彩票一定不中奖；④买30万张彩票可能会中奖．正确的是________(只填序号)． ④ 5 返回 5．乐乐抛一枚质地均匀的硬币9次，有6次正面朝上，当他抛第10次时，正面朝上的概率为________． 6 7 返回 【答案】A 8 7．[2025济南期中]如图，在两个全等的正方形纸片内，甲中圆的直径与正方形的边长相等，乙中的四个圆互不重叠，且其直径均为正方形边长的一半．若向每个正方形中随机投掷一个点，该点落在甲、乙两图中阴影部分的概率分别为P甲，P乙，则(　　) A．P甲>P乙 B．P甲<P乙 C．P甲＝P乙 D．与正方形的边长有关，无法判断 9 返回 【答案】C 10 8．某公交车站共有1路、3路、16路三路车停靠，已知1路车8分钟一辆，3路车5分钟一辆，16路车10分钟一辆，则在某一时刻，小明去公交车站最先等到________路车的可能性最大． 3 11 返回 【点拨】∵1路车8分钟一辆，3路车5分钟一辆，16路车10分钟一辆，∴3路车间隔时间最短， ∴小明去公交车站最先等到3路车的可能性最大． 12 9．中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”(图中虚线)的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“·”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“┈”上方的概率是________． 13 返回 14 10．如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门AB前的点P1，P2，P3处射门，点P1，P2，P3都在同一个以AB为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是(　　) A．甲踢进足球的概率最大 B．乙踢进足球的概率最大 C．丙踢进足球的概率最大 D．三位球员踢进足球的概率一样大 15 返回 【答案】D 16 11．[2025泰安模拟]在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10，J，Q，K，A，大王，小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1． 17 若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是(　　) A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 18 19 返回 【答案】C 20 12．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个． (1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 2或3 4 21 返回 22 13．[2025南京一模]做投球试验的装置如图所示．试验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左、右两个管道的可能性是相等的． 23 (1)若投入一个小球，求它通过管道B的概率． 【解】将第一层的两个管道分别记为P，Q，如图． 24 25 (2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是________(填写所有正确结论的序号)． ①最先填满的是甲盒； ②4个盒子中的小球的数量一样多； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． ③④ 26 【点拨】根据题意画树状图如图． 27 返回 28 14．A，B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段有三辆舒适程度不同的车开往风景区，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案： A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车． 29 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ 30 【解】三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能， 具体情况列表如下： 第一辆 第二辆 第三辆 上 中 下 上 下 中 中 上 下 中 下 上 下 中 上 下 上 中 31 (2)你认为A，B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？ 32 返回 33 6．取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米的概率是(　　) A． B． C． D． 【点拨】记“剪得两段的长都不少于1米”为事件A，则只能在中间1米的绳子上剪断，剪得两段的长都不少于1米，∴P(A)＝. 【点拨】∵甲中圆的直径与正方形的边长相等，乙中圆的直径均为正方形边长的一半，设甲中圆的半径为R，则乙中圆的半径为，∴甲中圆的面积S甲＝πR2，乙中圆的面积S乙＝4×π＝πR2， ∴S甲＝S乙，∴P甲＝P乙． 【点拨】观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“·”标记的有8处，位于“┈”上方的有2处， 所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“┈”上方的概率是＝. 【点拨】如图，分别连接P1，P2，P3三点 与A，B两点的线段，∵＝， ∴∠AP1B＝∠AP2B＝∠AP3B. ∵球员面对足球门的视角越大踢进足球的 可能性越大，∴三位球员踢进足球的可能性一样大． 【点拨】设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的有x张，点数大的有y张， ∴ 解得 ∴已发出的34张牌中点数小的有22张，点数大的有12张，∴剩余的20张牌中点数大的有5×4＋2－12＝10(张)，点数小的有8×4－22＝10(张)， ∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等， ∴下一张发出的牌是点数大的牌的概率是＝，下一张发出的牌是点数小的牌的概率是＝， ∴两者可能性一样大． (2)先从袋子中取出n个红球后，将剩余的球摇匀，再随机摸出1个球是黑球的可能性是，求n的值． 【解】依题意，得＝，解得n＝3， 经检验，n＝3是原方程的解．∴n的值为3. (1)小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有4种，即(P，A)，(P，B)，(Q，B)，(Q，C)，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足小球通过管道B(记为事件N)的结果有2种，分别是(P，B)，(Q，B)，∴P(N)＝. ∴落在甲盒的概率为，落在乙盒的概率为，落在丙盒的概率为，落在丁盒的概率为，①最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误；②4个盒子中的小球的数量不一定一样多，原选项错误；③因为P(落在甲盒)＜P(落在乙盒)，所以甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确；④因为落在乙盒和丙盒的概率相等，所以乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确．∴③④正确． 【解】B采用的方案使自己乘上等车的可能性大． 理由：A采用的方案使自己乘上等车的概率为； B采用的方案使自己乘上等车的概率为＝. ∵＜， ∴B采用的方案使自己乘上等车的可能性大． $ 第六章 对概率的进一步认识 3　用频率估计概率 第1课时 用频率估计概率 1．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”． 2 数学小组为了探究随机投放一个点，恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1 500 2 000 3 000 落在“心形线” 内部的次数 61 93 165 246 759 996 1 503 落在“心形线” 内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501 3 根据表中的数据，估计随机投放一个点，恰好落在“心形线”内部的概率为(　　) A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61 4 返回 【点拨】当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，则估计随机投放一个点，恰好落在“心形线”内部的概率为0.50. 【答案】B 5 2．[2025济宁月考]同学做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黑球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示， 则该球的颜色最有可能是(　　) A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 6 返回 【答案】C 7 3．[2025淄博月考]如图，一张纸片上有一个不规则的图案(图中的小马)，小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为10 cm的正方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向正方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.65左右，由此她估计此不规则图案的面积为(　　) A．65 cm2 B．55 cm2 C．45 cm2 D．35 cm2 8 返回 【点拨】由题意，知不规则图案的面积约为10×10×0.65＝65(cm2) 【答案】A 9 返回 4．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕捞50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过几天后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼________条． 1 000 10 返回 5．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外其他都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有________个． 3 11 6．在多次重复抛掷一枚正方体骰子(六个面分别标注数字“1”至“6”)的试验中，随机事件“数字1朝上”发生的频率为f，每次试验该事件的概率为P． 12 13 返回 【点易错】明确频率与概率是不同的概念，在大量重复试验中，频率会稳定在一个常数附近，这个常数为这一事件发生的概率． 【答案】C 14 7．小龙转动如图①所示转盘(被分为10等份)做用频率估计概率的试验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为试验转出的数字． 15 图②是小龙记录下的试验结果情况，那么小龙记录的试验是(　　) A．转动转盘后，出现能被3整除的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现比5小的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 16 17 返回 【答案】A 18 8．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如下表(频率精确到0.000 1)： 累计 抛掷 次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000 盖面 朝上 的次数 28 54 106 158 264 527 1 056 1 587 2 650 盖面朝 上的 频率 0.560 0 0.540 0 0.530 0 0.526 7 0.528 0 0.527 0 0.528 0 0.529 0 0.530 0 19 下面有三个推断：①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”；③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是________(填序号)． ① 20 返回 【点拨】①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确； ②第2 000次试验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误； ③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的频率接近0.53，不是概率，故错误． 21 9．[2025泰安三模]在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25. (1)请估计摸到白球的概率为________． 0.25 22 (2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ 【解】60×0.25＝15(个)，60－15＝45(个)． 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个． 23 返回 24 10．如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A，B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形)． 25 (1)用列表(或画树状图)法表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果； 【解】列表如下：    A  x 2 3 B y (x，y) (2，y) (3，y) 4 (x，4) (2，4) (3，4) 5 (x，5) (2，5) (3，5) 26 (2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表： 总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450 频数 2 7 10 16 30 46 59 81 110 150 频率 0.20 0.35 0.33 0.32 0.30 0.31 0.33 0.34 0.33 0.33 如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率； 27 【解】由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，故出现 “和为7”的概率为0.33. 28 (3)根据(2)，若0＜x＜y，试求出x与y的值． 【解】“和为7”的概率为0.33，表中共九种情况，和为7的情况有9×0.33≈3(种)，由于2，5；3，4之和为7，所以x，5；x，4；x，y；2，y；3，y中有一组和为7即可． 又由于0＜x＜y，所以 ①x＋5＝7，x＝2，y＝3，4，5，6，7，8，9，…； ②x＋4＝7，x＝3，y＝4，5，6，7，8，9，…； 29 返回 ③x＋y＝7，x＝1，y＝6或x＝2，y＝5或x＝3，y＝4； ④2＋y＝7，y＝5，x＝4，3，2，1； ⑤3＋y＝7，y＝4，x＝3，2，1. 由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③中x＝1，y＝6成立，所以x＝1，y＝6. 30 【点拨】由折线统计图知，该球出现的频率逐渐稳定于0.20，即该球出现的概率约为，而从袋子中随机取出一个球，是黑球的概率为＝，是红球的概率为，是黄球的概率为，是白球的概率为＝，故该球的颜色最有可能是黑色． 【点拨】由题意可得，口袋中红球约有12×＝3(个)． 下列说法错误的是(　　) A．P的值为 B．试验次数不同，f的值可能不同 C．试验次数越多，f的值越大 D．当试验次数很多时，f的值趋近于P 【点拨】观察题图②知频率逐渐稳定在0.3，∴估计事件发生的概率为0.3.选项A，转动转盘后，出现的能被3整除的数为3，6，9，∴事件发生的概率为＝0.3，符合题意；选项B，转动转盘，出现奇数的概率为＝0.5，不符合题意； 选项C，转动转盘后，出现的比5小的数为1，2，3，4，∴事件发生的概率为＝0.4，不符合题意；选项D，转动转盘后，出现的能被5整除的数为5和10，∴事件发生的概率为＝0.2，不符合题意． (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【解】设需要往盒子里再放入x个白球． 根据题意，得＝，解得x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解． 答：需要往盒子里再放入15个白球． $ 第六章 对概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 第3课时 用概率玩“配紫色”游戏 2 【点拨】列表如下：   红 蓝 蓝 蓝 红 (红，红) (蓝，红) (蓝，红) (蓝，红) 红 (红，红) (蓝，红) (蓝，红) (蓝，红) 蓝 (红，蓝) (蓝，蓝) (蓝，蓝) (蓝，蓝) 3 返回 【答案】A 4 2．如图所示，小明、小刚利用两个转盘进行游戏，规则为小明将两个转盘各转一次，如配成紫色(红与蓝)，小明胜，否则小刚胜，此规则(　　) A．公平 B．对小明有利 C．对小刚有利 D．公平性不可预测 5 返回 【答案】C 6 3．[2025烟台月考]如图是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，同时转动两个转盘，只有配成紫色(红与蓝)才能获得奖励， 7 8 返回 【答案】D 9 4．[2025咸阳期中]如图是一个转盘，转盘被分成三等份，分别标注数字“1”“2”“3”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动 转盘，直到指针指向一个扇形的内部 为止)． 10 (1)转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是________； (2)嘉嘉和淇淇一起玩转盘游戏，规则如下：两人各转一次转盘，若两次转出的数字均为奇数，则嘉嘉获胜；若两次转出的数字为一个奇数一个偶数(不分先后)，则淇淇获胜．请通过画树状图或列表的方法说明该游戏规则对双方是否公平． 11 返回 12 13 【点拨】将转盘分割成面积相等的扇形，如图①. 根据题意画树状图，如图②. 14 返回 【点易错】解题时易忽略每个转盘中红色和蓝色所占面积不相等，导致概率计算错误． 【答案】C 15 16 返回 【答案】C 17 7．一个口袋中装有质地、大小完全相同的红、黄、蓝球各一个，每次任取一个球，有放回地取三次，则： (1)“三次都取到红球”的概率是________． (2)“三次取到的球颜色相同”的概率是________． (3)“三次取到的球颜色均不同”的概率是________． 18 返回 19 8．如图，有大小、质地相同，仅颜色不同的两双拖鞋(分左、右脚)共四只，放置于地板上(两双拖鞋可表示为(A1，A2)，(B1，B2)，其中A1，B1表示左脚拖鞋，A2，B2表示右脚拖鞋．本题用“长方形”表示拖鞋)． 20 (1)若先从两只左脚拖鞋中随机取一只，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率； 【解】列表如下：    第二次 A2  B2 第一次 A1 (A1，A2) (A1，B2) B1 (B1，A2) (B1，B2) 21 22 (2)若从这四只拖鞋中随机取出两只，请利用树状图或表格列举出所有可能出现的情况，并求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率． 23 【解】列表如下：    第二次 A1 A2 B1 B2 第一次 A1 — (A1，A2) (A1，B1) (A1，B2) A2 (A2，A1) — (A2，B1) (A2，B2) B1 (B1，A1) (B1，A2) — (B1，B2) B2 (B2，A1) (B2，A2) (B2，B1) — 24 返回 25 9．如图所示的是三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所标的颜色．小强和小亮用转盘A和转盘B做一个转盘游戏，同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则小强获胜；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在其他 情况下，小强和小亮 不分胜负． 26 (1)用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的 结果； 【解】画树状图如图． 27 (2)小强认为此游戏不公平，请你帮他说明理由； 28 返回 (3)请你在转盘C的空白处，涂上适当颜色，使得用转盘C替换转盘B后，游戏对小强和小亮是公平的(在空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种结果)． 【解】如图(答案不唯一)． 29 1．用如图所示的两个转盘(分别进行四等分和三等分)进行 “配紫色”的游戏，分别转动两个转盘(指针指向区域分界线时，重新转动)，则可配成紫色的概率为(　　) A． B． C． D． 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有7种，∴可配成紫色的概率为. 【点拨】画树状图如图． 根据树状图可知，所有 等可能的情况有8种， 其中配成紫色(红与蓝)的有3种，所以P(小明胜)＝，P(小刚胜)＝.因为P(小明胜)＜P(小刚胜)，所以此规则对小刚有利． 则下列说法正确的是(　　) A．两个转盘转出红色的概率一样大 B．如果A转盘先转出红色，那么B转盘再转出红色的可能性就变小了 C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同 D．参与者获奖的概率为 【点拨】A. 转盘A转出红色的概率是，转盘B转出红色的概率是，故该选项说法错误．B，C选项说法均错误．D.根据题意画树状图如图． 由树状图可知， 参与者获奖的概率是. 【解】画树状图如图． 由树状图可知，一共有9种等 可能的结果，其中两次转出的 数字均为奇数的结果有4种，两次转出的数字为一个奇数一个偶数的结果有4种， ∴两人获胜的概率都为，∴该游戏规则对双方公平． 5．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是(　　) A． B． C． D． 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有5种，那么可配成紫色的概率是. 6．在两个不透明的口袋里均放1个红球、1个蓝球(它们仅颜色不同)，从第1个口袋里摸1个球，记下颜色后，放到第2个口袋里摇匀，再从第2个口袋里摸1个球，则两次摸到的球颜色能配成紫色的概率是(　　) A． B． C． D． 【点拨】画树状图如图． 由树状图可知，共有6种等可能的结果， 其中两次摸到的球颜色能配成紫色的结 果有2种， ∴两次摸到的球颜色能配成紫色的概率是＝. 【点拨】画树状图如图． 由图可知，共有27种等可能的结果． (1)“三次都取到红球”的概率为. (2)“三次取到的球颜色相同”的概率为 ＝. (3)“三次取到的球颜色均不同” 的概率为＝. 由表格可知，共有4种等可能的情况，其中恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的情况有2种， ∴恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率为＝. 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的情况有4种， ∴恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率为＝. 【解】由(1)得，共有15种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有3种，两个转盘转出相同颜色的结果有4种， ∴小强获胜的概率为＝，小亮获胜的概率为. ∵≠，∴此游戏不公平． $ 第六章 对概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 第2课时 用概率判断游戏规则的公平性 返回 1．甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平的标准是(　　) A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方商定 D．游戏双方赢得游戏的机会相等 D 2 2．[教材P74习题T5]小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面点数分别为1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于6，则小晶赢；若点数之和等于7，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负．那么(　　) A．小晶赢的机会大 B．小红赢的机会大 C．小晶、小红赢的机会一样大 D．不能确定 3 【点拨】列表如下： 和  小晶 1 2 3 4 5 6 小红 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 4 返回 【答案】B 5 3．[2025吉林模拟]如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 6 返回 7 4．在联欢会上，有三名选手站在一个三角形的三个顶点A，B，C的位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的(　　) A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 8 返回 【点拨】根据题意得当凳子所在位置到A，B，C三个顶点的距离相等时，游戏公平． ∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点． 【答案】A 9 5．三名同学参加体操比赛，原定出场顺序是：A第一个出场，B第二个出场，C第三个出场．为了公平比赛，现采用抽签方式重新确定三名同学的出场顺序，则抽签后每名同学的出场顺序都没有发生变化的概率为________. 10 返回 11 6．口袋中有10个球(每个球除颜色外都相同)，其中白球x个，红球2x个，其余为蓝球．从袋中随机摸出1个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该等于________． 2 12 返回 【点拨】由题意知，要使游戏公平，蓝球的个数应与红球的个数相等，即蓝球有2x个，所以2x＋x＋2x＝10，解得x＝2. 13 14 现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则小明获胜，否则小红获胜．则小红获胜的概率为________． 15 返回 16 8．如图，盒中装有3个完全相同的球，分别标为“A”“B” “C”，转盘被分为3个面积相等的扇形，分别标为“A” “B”“C”，小刚和小明用它们做游戏，从盒中随意摸出1个球，并自由转动转盘，约定：若所摸出的球上的字母与转盘停止后指针指向扇形的字母相同，则小明获得1分；若不同，则小刚获得1分． 17 (1)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【解】这个游戏不公平．理由如下： 画树状图如图． 18 19 返回 (2)如果不公平，该如何修改约定，才能使游戏对双方公平？ 【解】由(1)可知，小刚得分的概率是小明得分概率的2倍，故约定可改为：若所摸出的球上的字母与转盘停止后指针指向扇形的字母相同，则小明获得2分；若不同，则小刚获得1分(答案不唯一，合理即可)． 20 9．如图，有四张背面完全相同的卡片A，B，C，D，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上． 　 　 (1)从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y随x的增大而减小的概率是________； 21 (2)小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽取一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 22 【解】不公平．理由：根据题意，列表如下：   A B C D A — AB AC AD B BA — BC BD C CA CB — CD D DA DB DC — 23 返回 24 10．[2025威海模拟]老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图(如图①)和不完整的扇形图(如图②)，其中条形图被墨迹遮盖了一部分． 25 (1)求抽查的学生总数． (2)求所抽查学生读课外书册数的平均数(结果保留整数)． 【解】抽查的学生总数为6÷25%＝24(名)． 26 (3)老师手里有1本课外读物，七、八年级各一名学生都想借阅，为此九年级的一名学生设计了一个转盘游戏．如图，指针固定不动，分别旋转甲、乙两个转盘，若两个转盘出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的学生；否则就借给八年级的学生． 你认为这个游戏公平吗？ 为什么？ 27 28 返回 【点方法】游戏中事件发生的概率相等，则游戏是公平的，否则游戏不公平．对于不公平的游戏，可以修改游戏规则使得游戏公平． 29 ∴共有36种等可能的结果，其中点数之和等于6的结果有5种，点数之和等于7的结果有6种， ∴P(小晶赢)＝，P(小红赢)＝＝. ∵P(小晶赢)＜P(小红赢)，∴小红赢的机会大． 【解】由题意，画出树状图如下． 共6种等可能的结果，其中榕榕 获胜的情况有3种，爸爸获胜的 情况有3种， ∴P(榕榕获胜)＝P(爸爸获胜)＝＝. ∴这个游戏是公平的． 【点拨】画树状图如图所示． 由树状图知，共有6种等可能的 结果，其中抽签后每名同学的出 场顺序都没有发生变化的结果只 有1种，∴抽签后每名同学的出场顺序都没有发生变化的概率为. 7．甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张分别标有数字，，1的卡片，乙中有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别． 【点拨】当关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根时，Δ＝b2－4a＞0，即b2＞4a， 画树状图表示所有等可能的结果如下． 共有9种等可能的结果，其中b2＞4a 的有，，，，(1，3)，共5种，∴小明获胜的概率为，则小红获胜的概率为1－＝. 由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中字母相同的结果有3种，字母不同的结果有6种， ∴小明获得1分的概率为＝，小刚获得1分的概率为＝.∵≠，∴这个游戏不公平． 由表可知，共有12种等可能的结果，抽出的两张卡片上的函数增减性相同的结果有4种，抽出的两张卡片上的函数增减性不同的结果有8种． ∴P(小亮胜)＝＝，P(小强胜)＝＝.∵>，∴不公平． 修改规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数包含反比例函数，则小亮胜，否则小强胜(答案不唯一，合理即可)． 读5册的学生人数为24－5－6－4＝9(名)， ∴所抽查学生读课外书册数的平均数为×(5×4＋9×5＋6×6＋4×7)≈5(册)． 【解】这个游戏不公平，理由如下： 画树状图如图． ∴共有9种等可能的结果，其中 出现字母A与B的混合结果的有5种，不出现字母A与B的混合结果的有4种，∴借给七年级的学生的概率为，借给八年级的学生的概率为.∵≠，∴这个游戏不公平． $ 第六章 对概率的进一步认识 3　用频率估计概率 第2课时 设计模拟试验估计概率 1．九年级(1)班有男生25名，女生25名，现需要选取一名学生值日，用计算器模拟试验时，产生随机数的范围是(　　) A．1～25 B．0～25 C．1～50 D．0～50 2 返回 【点拨】由题意可知九年级(1)班共有25＋25＝50(名)学生，用计算器模拟试验时，要从50个数据中随机产生1个，因此产生随机数的范围是1～50.注意这里与男生、女生的人数无关，只与总人数有关． 【答案】C 3 2．在抛一枚质地均匀硬币的试验中，若没有硬币，则可作为试验替代物的是(　　) A．同一副扑克牌中的任意两张 　　　　 B．图钉 C．一个小长方体 　　　　 D．瓶盖 4 返回 【答案】A 5 3．一个不透明的袋子中装有12个完全相同的小球，每个小球上分别写有数字1～12．现在用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率，在此过程中，下面有几种不同的观点，其中正确的是(　　) A．摸出的球一定不能放回 B．摸出的球必须要放回 C．由于袋子中的球多于6个，因此摸出的球是否放回无所谓 D．不能用摸球试验来模拟此事件 6 返回 【点拨】根据题意，可知此试验为模拟试验，一定要注意在模拟试验中摸出的球都要放回去，如果不放回，那么每一次试验中就不会出现相同的数字，根据模拟试验的这一特征，对选项进行判断，由此可知A，C，D错误，B正确. 【答案】B 7 4．阅读下面的解题过程：妈妈给小明一串钥匙，共有4把，小明决定先试试哪把是防盗门的钥匙．如果不开门，你能说明他第一次试开就成功的概率有多大吗？写出用计算器或其他替代物模拟试验的方法． 解：方法一：可以用4张扑克牌，红桃、黑桃、方块、梅花各一张，摸到红桃表示试开成功； 方法二：可以用计算器模拟，在1～4之间产生一个随机数，若产生的是1，则表示试开成功． 你认为上述方法对吗？为什么？ 8 返回 9 5．小明学习完生物遗传知识后，了解到双眼皮是由显性基因R决定的，单眼皮是由隐性基因r决定的．若一个人体细胞中含显性基因R，则表现为双眼皮，不含显性基因R则为单眼皮．为了探究一对都是双眼皮(Rr)夫妇生出单眼皮孩子的可能性有多大，小明进行了模拟试验：用蓝色纸剪成大小一样的圆形纸片2张，分别写上R和r，装入写有“父亲”的信封，用红色纸剪成大小一样的椭圆形纸片2张，分别写上R和r，装入写有“母亲”的信封． 10 11 返回 【答案】A 12 返回 6．如图显示了计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率为________(精确到0.001)． 0.618 13 7．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一个小球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一个小球． 14 返回 以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的数据的列表： 摸球试验次数 100 1 000 5 000 10 000 50 000 100 000 摸出黑球次数 46 487 2 506 5 008 24 996 50 007 根据列表，可以估计出n的值是________． 10 15 8．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四个粽子：一个肉馅、一个香肠馅、两个红枣馅．四个粽子除内部馅料不同外其他均相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． 16 在吃粽子之前，小明准备用一个均匀的正四面体骰子(如图所示)进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得骰子着地的一面所示的点数为1代表肉馅，点数为2代表香肠馅，点数为3或4代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两个粽子，从而估计吃两个粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 【解】这样模拟不正确．理由如下：吃粽子为 不放回试验，而模拟的为放回试验，所以这样模拟不正确． 返回 17 9．通过反复抛掷一枚正方体骰子，利用频率的稳定值估计6点向上的概率的试验中，如果你手边没有骰子，那么你能设计一个试验方案来替代吗？说说你的试验过程. 【解】从一副扑克牌中取六张牌面分别是A，2，3，4，5，6的扑克牌，分别代表正方体骰子中点数是1，2，3，4，5，6的六个面，试验时将六张扑克牌背面向上洗匀后，从中随机抽取一张(有放回)，重复多次试验后，记录抽到牌面为6的次数，算出频率，即可估计出概率．(答案不唯一) 18 返回 【点方法】本题的试验方案有多种，关键是设计的试验要在同等条件下进行，另外，替代物必须能保证每次出现的机会相等． 19 10．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 20 摸球的次数n 20 50 100 200 400 500 1 000 2 000 摸到白球的 次数m 7 10 28 45 97 127 252 498 摸到白球的 频率 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249 (1)摸到白球的概率的估计值是________(精确到0.01) 0.25 21 (2)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合问题(1)中结果的试验最有可能的是______(填序号)． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上； ②在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲； ③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”． ② 22 返回 (3)受上述摸球实验的启发，小刚为了估计边长为10的正方形二维码上黑色阴影部分的面积，如图，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.65 左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为____________． 65 23 【点拨】B选项的概率与抛硬币不一样，C选项中情况数太多，D选项瓶盖质地不确定．故B，C，D选项错误．同一副扑克牌中的任意两张，分别代替硬币的正面和反面，且各自抽到的概率为，与抛硬币一样，故A选项正确． 【解】因为共有4把钥匙，所以小明第一次试开就成功的概率是.两个方法都正确，因为模拟试验没有改变试验结果，通过模拟试验得出的概率都为. 现从两个信封各摸一张纸片表示孩子的基因组成，则摸出的基因组成表现为单眼皮的可能性是(　　) A． B． C． D． 【点拨】根据题意画出树状图，如图所示． 由树状图可知有4种等可能的 情况，其中摸出的基因组成表 现为单眼皮的情况有1种，所以摸出的基因组成表现为单眼皮的可能性是. $ 第六章 对概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 第1课时 用树状图或表格求概率 返回 A 2 2．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国的第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立秋”“处暑”“白露”“秋分”“寒露”“霜降”六张邮票(如图)背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐先从中随机抽取一张，再从中随机抽取一张(有放回)，则小乐抽到 的两张邮票恰好是“立秋”和“白 露”的概率是________． 3 【点拨】记立秋为A，处暑为B，白露为C，秋分为D，寒露为E，霜降为F. 列表如下：   A B C D E F A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A) (E，A) (F，A) B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B) (E，B) (F，B) C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C) (E，C) (F，C) D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D) (E，D) (F，D) E (A，E) (B，E) (C，E) (D，E) (E，E) (F，E) F (A，F) (B，F) (C，F) (D，F) (E，F) (F，F) 4 返回 5 3．为了加强学生的国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为________． 6 【点拨】列表如下： 乙 1 2 3 4 甲 1 — (1，2) (1，3) (1，4) 2 (2，1) — (2，3) (2，4) 3 (3，1) (3，2) — (3，4) 4 (4，1) (4，2) (4，3) — 7 返回 8 9 返回 【点拨】画树状图如图． 【答案】D 10 5．[2025济宁一模]仅在2025年4月6日这短暂的一天时间里，参与2025济宁马拉松的近2万名全国各地马拉松爱好者除了感受到了“孔孟之乡”的深厚底蕴与“运河之都”的现代活力，补给站提供的特色美食更是让选手们大快朵颐. 11 12 【点拨】记夹饼为A，甏肉干饭为B，烧鸡为C，热豆腐为D，烧羊肉为E，根据题意画树状图如下． 13 返回 【答案】D 14 6．“泰山”“沂蒙山”“曲阜三孔”和“青岛崂山”是山东省排名靠前的旅游景点，若明侠将这四个景点分别写在四个无差别的小球上，放进不透明的袋子中摇匀，先从中摸出一个小球，然后放回摇匀，再从中摸出一个小球，则至少有一次摸到写有“沂蒙山”小球的概率是________． 15 【点拨】记写有“泰山”的小球为A，写有“沂蒙山”的小球为B，写有“曲阜三孔”的小球为C，写有“青岛崂山”的小球为D，根据题意画树状图如下． 16 返回 17 7．三名同学去打乒乓球，三人决定按下面的规则确定哪两人先打．规则：三人同时出单手，出手手势只能用手心或手背，若两人出手心一人出手背，则出手心的两人先打；若两人出手背一人出手心，则出手背的两人先打；若三人都出手心或手背，则重新出手．三人只出手一次就能确定出先打的两人的概率是________. 18 【点拨】把三名同学分别记为甲、乙、丙，分别用A，B表示出手心、出手背．画树状图如图所示． 返回 19 8．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办“汉字听写大赛”，九年级三班有10名学生参赛，其中有4名男生甲、乙、丙、丁，现将这10名学生平均分成两组进行对抗练习，且4名男生每组分两人，则甲与乙两名男生分在同一组的概率为________． 20 21 返回 【点易错】(丙，丁)，(丁，丙)各占一种等可能的情况数，而当丙与丁一组时，相当于甲与乙同组． 22 23 返回 【答案】D 24 25 返回 【答案】C 26 11．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，乙的卡片分别标有数字2，4，6，两人进行3轮比赛． 27 28 返回 【点拨】三轮比赛结果列表如下： 甲 乙 1 2 4  6 3 4 6 2 6 2 4 5 6 4 6 2 4 2 甲得分 0 1 1 1 2 1 【答案】C 29 12．三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a，b，c，则以a，b，c为边长正好构成等腰三角形的概率是________． 30 返回 31 32 返回 33 14．某超市在春节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘(如图)的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式： 方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时， 所购买物品享受9折优惠，指针指向其他 区域时无优惠； 34 方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个 转盘的指针指向区域的字母相同，所购买物 品享受9折优惠，其他情况无优惠． (备注：①转盘甲中，指针指向每个区域的可能 性相同；转盘乙中，B，C区域的圆心角均为90°；②若指针指向分界线，则重新转动转盘) 35 (1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为________. 36 (2)两种方式中，哪一种让顾客享受9折优惠的可能性大？请用画树状图或列表格的方法说明理由． 37 返回 38 1．[2025济南一模]为迎接理化生实验操作考试，某校成立了物理、化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加，则小华和小强都选取物理小组的概率是(　　) A． B． C． D． 由上表可知，所有可能的结果共有36种，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到“立秋”和“白露”，即抽到“A”和“C”的结果有2种，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立秋”和“白露”的概率是＝. 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙抽到的出场顺序相邻的结果有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，共6种，∴甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为＝. 4．[教材P71随堂练习T1]小丽的衣柜里有2件上衣，1件是长袖的，1件是短袖的；有3条裤子，颜色分别为白色、黄色、蓝色．她任意拿出1件上衣和1条裤子，正好是长袖上衣和白色裤子的概率是(　　) A．1 B． C． D． 由树状图可知，一共有6种等可能的结果，正好是长袖上衣和白色裤子的结果只有1种，故正好是长袖上衣和白色裤子的概率为. 某选手计划从夹饼、甏肉干饭、烧鸡、热豆腐、烧羊肉5种美食中随机品尝2种不同美食，则他品尝的恰好为夹饼和热豆腐的概率是(　　) A． B． C． D． 由树状图知，共有20种等可能的情况，其中结果恰好为夹饼和热豆腐的情况有2种，故恰好为夹饼和热豆腐的概率为＝. 由树状图知，共有16种等可能的情况，其中至少有一次摸到写有“沂蒙山”的小球的结果有7种，故至少有一次摸到写有“沂蒙山”的小球的概率为. ∴共有8种等可能的结果，其中三人只出手一次就能确定出先打的两人的结果有6种，∴三人只出手一次就能确定出先打的两人的概率是＝. 【点拨】根据题意画树状图如图． ∴共有12种等可能的结果，甲与乙两名男生分在同一组的结果有(甲，乙)，(乙，甲)，(丙，丁)，(丁，丙)，共4种，则甲与乙两名男生分在同一组的概率是＝. 9．如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，能让灯泡L1，L2至少一个发光的概率为(　　) A． B． C． D． 【点拨】画树状图如图所示． ∴共有6种等可能的结果，其中能让 灯泡L1，L2至少一个发光的结果有 4种，则能让灯泡L1，L2至少一个发光的概率为＝. 10．若标有A，B，C的三只灯笼按如图所示的方式悬挂，每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是(　　) A． B． C． D． 【点拨】画树状图如图． 由图可知共有3种等可能的结果，其 中最后一只摘到B的结果有2种， ∴最后一只摘到B的概率是. 每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后轮次中不能使用)．则三轮比赛后，甲能得2分的概率是(　　) A． B． C． D． ∴三轮比赛后，甲能得2分的概率是. 【点拨】画树状图如图． ∴共有27种等可能的结果，以a，b，c为边长正好构成等腰三角形的结果有15种，∴以a，b，c为边长正好构成等腰三角形的概率是＝. 13．如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，3三个数中任取的一个数，那么关于x的方程mx－2＝n有正数解的概率是________． 【点拨】mx－2＝n可化简为(m－n)x＝3. 要使原方程有正解，则m－n＞0 且n≠0.画树状图如下． 一共有12种等可能的结果，其中能使方程mx－2＝n有正数解的结果有(2，1)，(3，1)，共2种， ∴方程mx－2＝n有正数解的概率是＝. 【点拨】若顾客选择方式一，转动转盘甲一次共有3种等可能的结果，其中指针指向A区域的结果只有1种， ∴顾客享受9折优惠的概率为. 【解】两种方式让顾客享受9折优惠的可能性一样大． 理由如下： 由(1)可知，顾客选择方式 一享受9折优惠的概率为. 若顾客选择方式二，画树状图如图． ∴共有12种等可能的结果，其中两个转盘的指针指向区域的字母相同的结果有4种，即AA，AA，BB，CC， ∴方式二让顾客享受9折优惠的概率为＝. ∵＝， ∴两种方式让顾客享受9折优惠的可能性一样大． $