2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第2讲用待定系数法求二次函数的解析式

这是一份初中数学期末复习课件，共49页，聚焦“用待定系数法求二次函数的解析式”。通过归类探究分已知三点、顶点或对称轴、两根三类题型，结合例题、变式跟进及知识归纳，还包含二次函数与几何图形结合及自主招生拓展内容。 资料特色突出，注重数学核心素养培养。如例1用三点坐标列方程组求解析式，培养运算能力和模型意识，例4结合菱形判定与面积最值，发展几何直观与推理能力。分层设计帮助学生系统掌握方法，也为教师提供梯度教学支持。 九年级学生面临升学考试，二次函数解析式是中考重点。资料从基础方法到综合应用层层递进，既能巩固待定系数法的三种形式，又能提升几何与代数结合的解题能力，助力学生应对期末及中考。

第2讲用待定系数法求二次函数的解析式 YOUR LOGO 现代数学的三大难题 现代数学的三大难题： 一是有20棵树，每行4棵，可以排几行．古罗马、古希腊在16世纪就完成了16行的排列，18世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新突破吗？ 二是相邻两国不着同一色，任一地图着色最少可用几色完成着色．五色已证出，四色至今仅美国阿佩尔和哈肯罗列了很多图谱，通过电子计算机逐一理论完成，全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者． 三是任三人中可证必有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识(认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形)．近年来国际奥林匹克数学竞赛也围绕此类热点题型遴选后备攻坚力量．如十七个科学家讨论三课题，两两讨论一个题，证至少三个科学家讨论同一题；十八个点用两色线连必出现单色四边形；两色线连六个点必出现两个单色三角形，等等．单色三角形研究中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点，热门中之热门． 已知三点求二次函数的解析式 例1　如图1－2－1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点． (1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【思路生成】(1)根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，代入得出关于a，b，c的 三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式； (2)令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出函数图象与x轴的另一个交点坐标； (3)画出图象，再根据图象直接得出答案． 图1－2－1 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B (0，－1)和C(4，5)三点， 例1答图 ∴D(－1，0)． (3)画图见答图； 当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值． 二次函数解析式有 三种形式： ①一般式： y＝ax2＋bx＋c； ②顶点式： y＝a(x－m)2＋k； ③交点式： y＝a(x－x1)(x－x2)． 交点式也称为两根式或两点式，这里x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根． 待定系数法 第一步，设：先设二次函数的解析式，如y＝ax2＋bx＋c或y＝a(x－m)2＋k或y＝a(x－x1)(x－x2)，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给的条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程(组)； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 已知三点求二次函数的解析式 可设一般式：y＝ax2＋bx＋c. 1．如图1－2－2①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A (0，3)，B(3，0)，C(4，3)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图1－2－2②中阴影部分)． 图1－2－2 ① ② 解：(1)把点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)代入y＝ax2＋bx＋c得 所以抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3. (2)因为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x＝2. (3)阴影部分的面积为2个平方单位． 已知顶点或对称轴求解析式 可设顶点式： y＝a(x－m)2＋k. 已知顶点或对称轴求二次函数的解析式 例2　如图1－2－3，已知抛物线的顶点 为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与 x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标． 图1－2－3 【思路生成】(1)设抛物线顶点式解析式为y＝a(x－1)2＋4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； (2)可求出点B关于x轴的对称点E的坐标，连结AE与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AE的解析式，再求出与x轴的交点即可． 解：(1)∵抛物线顶点坐标为(1，4)， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4， 由于抛物线过点B(0，3)， ∴3＝a(0－1)2＋4， 解得a＝－1， ∴解析式为y＝－(x－1)2＋4， 即y＝－x2＋2x＋3. 2．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式． 解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，∴可设为y＝a(x－1)2－1.当x＝0时，y＝0，∴0＝a(0－1)2－1，解得a＝1， 所求函数解析式为y＝(x－1)2－1. (1)求抛物线的解析式； (2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标． 图1－2－4 ∴点B的坐标为(－3，0)． ①当CM＝BM时， ∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形， ∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形， ∴M点的坐标为(0，0)． ②当BC＝BM时， 已知两根求二次函数的解析式 例3　已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 【思路生成】可用二次函数的一般式或者两根式求二次函数的解析式． 解：(1)解法一：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)， 4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式． 解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， 可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)， 把C(0，－3)代入得3a＝－3， 解得a＝－1， 故抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x－3)， 即y＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， ∴顶点坐标(2，1)； (2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点坐标为(0，0)，落在直线y＝－x上．(答案不唯一) 已知两根求二次函数的解析式 可设两根式： y＝a(x－x1)(x－x2)． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 图1－2－5 (2)由题意，知点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连结BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， (3)存在． ①当存在的点N在x轴的下方，如答图所示， ∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴， ∴点C与点N关于对称轴x＝2对称， ②当存在的点N′在x轴上方时，如答 图所示，作N′H⊥x轴于点H， ∵四边形ACM′N′是平行四边形， ∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO， ∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC. 二次函数与几何图形的结合型问题 例4　如图1－2－6，在平面直角坐标系中， 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B 两点，点B的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0， －3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)连结PO，PC，并将△POC沿y轴对折， 得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使 得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积． 图1－2－6 【思路生成】(1)将B，C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； (2)由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么点P必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出点P的坐标； (3)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大．过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出点P的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q，P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABPC的面积与点P横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形AB PC的最大面积及对应的点P. 解：(1)将B，C两点的坐标代入y＝x2＋bx＋c得 ∴这个二次函数的解析式为y＝x2－2x－3. (2)假设抛物线上存在点P(x，x2－2x－3) 使得四边形POP′C为菱形.如答图①，连结 PP′交CO于点E. ∵四边形POP′C为菱形，∴PC＝PO， PE⊥CO， 例4答图① (3)如答图②，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交OB于点F， 设P(x，x2－2x－3)．由x2－2x－3＝0得点A的坐标为(－1，0)． ∵点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，－3)，∴直线BC的解析式为y＝x－3， ∴点Q的坐标为 例4答图② 二次函数与几何图形的结合型问题 用待定系数法求二次函数的解析式，充分利用几何图形的判定和性质以及图形面积求法，当所求图形不规则时通常要将其转化为其他规则图形面积的和、差． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点C为OA的中点，求BC的长； (3)以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为(m，n)，求出m，n之间的关系式． 图1－2－7 例5　我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y＝ax2＋bx(a≠0)． (1)对于这样的抛物线，当顶点坐标为(1，1)时，a＝__ ______； 当顶点坐标为(m，m)，m≠0时，a与m之间的关系式是__________； (2)继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上，请用含k的代数式表示b； －1 (3)现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y＝x上，横坐标依次为1，2，…，n(n 为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn.若这组抛物线中有一条经过点Dn，求所有满足条件的正方形边长． 解：(2)设抛物线的顶点的坐标为(m，km)， 那么y＝a(x－m)2＋km＝ax2－2amx＋am2＋km. 例5答图 当n分别取正整数4，8，12时，对应的点D为D3(6，3)，D6(12，6)，D9(18，9)，它们所对应的正方形的边长分别为3，6，9(如答图所示)． 此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的顶点坐标公式以及正方形的性质．解答(3)题时，要注意n的取值范围． ∴ 解得 ∴y＝x2－x－1. (2)当y＝0时，x2－x－1＝0，解得x＝2或－1. 解得 (2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连结AE交x轴于点P，P点即为所求． 设直线AE的解析式为y＝kx＋b，则解得 ∴yAE＝7x－3， 当y＝0时，x＝， ∴当PA＋PB的值最小时，点P的坐标为. 3．如图1－2－4，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x＝－. 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a＋k. 把A(2，0)，C(0，3)代入，得 解得 ∴y＝－＋，即y＝－x2－x＋3. (2)由y＝0得－＋＝0，∴x1＝2，x2＝－3， 在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝＝3， ∴BM＝3， ∴点M的坐标为(3－3，0)． ③当BC＝CM时，显然不成立． 综上所述，可得M点坐标为(0，0)或(3－3，0)． ∴ 解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 解法二：抛物线的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)， 即y＝－x2＋2x＋3. (2)解法一：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)． 解法二：∵x＝－＝1，y＝＝4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)． 5.如图1－2－5，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C三点． 解：(1)∵抛物线过A(－1，0)，B(5，0)，C三点，且A，B两点在x轴上， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－5)， 将C代入得－＝a(0＋1)(0－5)， 解得a＝， ∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－5)， 即y＝x2－2x－， ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－. 由题意，得解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－. ∵抛物线y＝x2－2x－的对称轴是x＝2， ∴当x＝2时，y＝x－＝－，∴点P的坐标为. ∵C点的坐标为，∴点N的坐标为； ∵点C的坐标为，∴N′H＝， 即点N′的纵坐标为，∴x2－2x－＝， 解得x1＝2＋，x2＝2－. ∴点N′的坐标为和. 综上所述，满足题目条件的点N共有三个， 分别为，和. 解得 ∴OE＝EC＝， ∴P点的纵坐标为－，即x2－2x－3＝－， 解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)． ∴存在点P使得四边形POP′C为菱形． (x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x2＋3x. ∴S四边形ABPC＝S△ABC＋ S△BPQ ＋ S△CPQ ＝AB·CO＋PQ·BF＋PQ·FO＝AB·CO＋PQ·(BF＋FO)＝ AB·CO＋PQ·BO＝×4×3＋(－x2＋3x)×3＝－x2＋x＋6＝－＋. ∴当x＝时，四边形ABPC的面积最大． 此时P点的坐标为，四边形ABPC的最大面积为. 6．如图1－2－7，已知抛物线y＝x2＋bx与直线y＝2x交于点O(0，0)，A(a，12)．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴，y轴的平行线与直线OA交于点C，E. 解：(1)∵点A(a，12)在直线y＝2x上，∴12＝2a，即a＝6. ∴点A的坐标为(6，12)．又∵点A是抛物线y＝x2＋bx上的一点，把A(6，12)代入y＝x2＋bx，得b＝－1.∴抛物线的函数解析式为y＝x2－x. (2)∵点C为OA的中点，∴点C的坐标为(3，6)． 把y＝6代入y＝x2－x，解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)， ∴BC＝1＋－3＝－2. (3)∵点D的坐标为(m，n)， ∴点E的坐标为，点C的坐标为(m，2m)． ∴点B的坐标为，把代入y＝x2－x， 可得m＝n2－n， ∴m，n之间的关系式是m＝n2－n. a＝－ 【思路生成】(1)利用顶点坐标公式填空； (2)根据抛物线的顶点在直线y＝kx上，且过原点，可用顶点式表示出抛物线的解析，然后将其化成一般式，与y＝ax2＋bx进行比较，即可求得含k的代数式表示b； (3)根据题意可设An(n，n)，则点D的坐标为(2n，n)，点D在直线y＝x上．由(1)(2)可得，顶点An所在的抛物线解析式为y＝－x2＋2x，联立y＝x与y＝－x2＋2x，求出交点坐标，又因为交点坐标的横坐标及纵坐标均为正整数，且横坐标小于或等于12，即可求出符合条件的n的值，可得出正方形的边长． 对照y＝ax2＋bx，可得由此得到b＝2k. (3)正方形的顶点D1，D2，…，Dn的坐标分别为(2，1)，(4，2)，(6，3)，(8，4)，(10，5)，(12，6)，(14，7)，(16，8)，(18，9)，…，(2n，n)，这些点在直线y＝x上．由(1)知，当抛物线的顶点(n，n)在直线y＝x上时，a＝－.根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点为原点O和(2n，0)．所以顶点为(n，n)的抛物线的解析式为y＝－x(x－2n)＝－x2＋2x. 联立y＝x和y＝－x2＋2x，可得点D的坐标为. $