第五章 圆 -与圆有关的计算 习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

该初中数学单元复习课件围绕“圆锥的侧面积”核心知识，系统整合圆锥侧面积计算、侧面展开图与底面圆关系及综合应用，通过基础题、情境题、探究题构建从概念到应用的知识脉络，强化内在逻辑联系。 其特色是分层设计练习，含基础计算（如圆心角求解）、综合应用（如旋转体表面积）及错题提示，培养空间观念与几何直观（如剪法围圆锥），发展推理能力与运算能力（如侧面积关系推导），助力学生巩固知识，教师精准教学提升效率。

第五章　圆 10　圆锥的侧面积 1．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是(　　) A．90° B．100° C．120° D．150° 2 返回 【答案】C 3 4 返回 【答案】A 5 3．[2025烟台期末]如图，将半径为4 cm的圆形纸片剪掉四分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是________cm． 6 返回 7 4．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 8 返回 【答案】B 9 返回 5．[教材P57例]如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30 cm，母线长为50 cm，则烟囱帽的侧面积为________cm2. (结果保留π) 1 500π 10 返回 3π 11 7．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面圆的直径，已知 BC＝10 cm，圆锥的侧面积为75π cm2，则sin∠ABC的值为________． 12 返回 13 返回 8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周所得几何体的表面积是________． 【点易错】本题易因误认为以斜边所在直线为轴，将直角三角形旋转一周所得几何体的表面积是两个共底的圆锥的侧面积与一个底面积之和而致错. 14 9．从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径.下列剪法中，剪出的圆形纸片和扇形纸片恰好能围成一个圆锥的是(　　) 15 返回 【答案】D 16 返回 10．如图是一个机器零件的三视图，根据标注的尺寸，这个零件的全面积(单位：mm2)是(　　) A．24π B．21π C．20π D．16π A 17 18 19 返回 【答案】B 20 返回 12．如图，小珍同学用半径为8 cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________cm2． 21 22 23 返回 24 25 (1)求被剪掉的阴影部分的面积． 26 (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 27 返回 (3)求圆锥的全面积． 28 29 (1)若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆半径与全面积； 30 (2)在扇形BOC中，点P是劣弧BC上一个动点(不与端点重合)，连接PB，PC，OM⊥PB，ON⊥PC，垂足分别为点M，N，连接MN．在△MON中是否存在长度为定值的边？若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 31 返回 32 【点拨】由题意得，圆锥侧面展开图的弧长是2π×1＝2π，设其圆心角的度数是n°，则＝2π，解得n＝120. ∴它的侧面展开图的圆心角是120°. 2．[2025广安]如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为(　　) A． B． C． D．5 【点拨】由题意知圆锥侧面展开图的扇形的弧长＝＝ π，∴该圆锥的底面圆的半径为π÷2π＝. 【点拨】由题意知围成圆锥的扇形的圆心角度数是×360°＝270°，围成圆锥的扇形的弧长为＝6π(cm)，∴这个圆锥的底面圆的半径为6π÷2π＝3(cm)． ∴这个圆锥的高为＝(cm). 【点拨】设这个圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，侧面展开图的圆心角为n°，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴×2πr×l＝3πr2.∴l＝3r. ∵2πr＝，即2πr＝，∴n＝120，即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°. 6．已知一个圆锥底面圆的半径等于母线长的一半，高是，这个圆锥的全面积为________． 【点拨】设圆锥底面圆的半径为r，则其母线长为2r.由题意得r2＋()2＝(2r)2，解得r＝1(负值已舍去)．∴这个圆锥的全面积为×2π×1×2＋π×12＝3π. 【点拨】易得圆锥的底面周长为10π cm， ∴圆锥的侧面展开图的弧长为10π cm. ∴×10π·AB＝75π，解得AB＝15 cm. 由勾股定理得AO＝＝＝10(cm)， ∴sin∠ABC＝＝＝. 【点拨】设扇形的圆心角为n°，大圆的半径为R，则小圆的半径为R， ∵圆锥的底面圆的周长等于其侧面展开图的弧长， ∴2π·R＝，∴n＝180. ∴扇形的圆心角等于180°.故只有D选项符合题意. 11．[教材P59习题T5]如图，已知点C为圆锥母线DB的中点，AB为底面圆的直径，DB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬 行的最短路程为(　　) A．5 B．3 C．3 D．6 【点拨】∵圆锥底面圆的直径为4，∴底面圆的周长等于4π.圆锥侧面展开后的扇形如图，连接AA′，BD，交点即为C， 设圆心角为n°， 则4π＝，解得n＝120. ∴∠ADC＝120°÷2＝60°. ∵DA＝DB，∴△DAB为等边三角形． 又∵C为DB的中点，∴AC⊥DB，DC＝DB＝3. 在Rt△DAC中，DA＝6， 根据勾股定理求得AC＝3. ∴蚂蚁爬行的最短路程为3. 13．如图，在▱ABCD中，AB＝＋1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为点H，AH＝．连接AC，以点A为圆心，AH的长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆 锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为 r2，则r1－r2＝________．(结果保留根号) 【点拨】∵在▱ABCD中，AB＝＋1，BC＝2， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝＋1，AB∥CD. ∵AH⊥CD，AH＝，∴sin D＝＝. ∴∠D＝60°.∴∠DAH＝90°－∠D＝30°. ∴DH＝AD＝1，＝2πr2. ∴r2＝，CH＝CD－DH＝＋1－1＝. ∴CH＝AH.∴△ACH是等腰直角三角形．∴∠ACH＝45°. ∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACH＝45°. ∴＝2πr1，解得r1＝. ∴r1－r2＝－＝. 14．[2025烟台期末]有一直径为 m的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC(如图)． 【解】如图，连接BC.∵∠A＝90°， ∴BC为⊙O的直径．∴BC＝m. 在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2， ∴AB2＋AC2＝2.∴AB＝AC＝1m. ∴S阴影＝S⊙O－S扇形ABC＝π·－＝π－π＝π(m2)．因此，被剪掉的阴影部分的面积为π m2. 【解】设该圆锥底面圆的半径为r m， ∴＝2πr ，解得r＝. ∴该圆锥的底面圆的半径是 m. 【解】圆锥的全面积＝S侧＋S底＝S扇形ABC＋S底＝π＋π·＝π(m2). 15．如图，一块半径为8 cm的圆形工件⊙O，需要沿半径OA，OB，OC裁成三个大小相同的扇形，制作为三个圆锥的侧面． 【解】由题意得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°. 设该圆锥的底面圆半径为r cm，则有2πr＝， ∴r＝，即该圆锥的底面圆半径为 cm.∴该圆锥的全面积为＋π×＝64π＋π＝(cm2). 【解】存在．△MON中MN的长度为定值． 如图所示，连接BC，过点O作OD⊥BC于点D. ∵∠BOC＝120°，OB＝OC， ∴BD＝CD＝BC，∠BOD＝60°. ∵sin ∠BOD＝，∴BD＝sin 60°×8＝12(cm)． ∴BC＝24 cm.∵OM⊥PB，ON⊥PC，∴MB＝MP，NC＝NP， ∴易得MN＝BC＝12 cm. $ 第五章　圆 9　弧长及扇形的面积 返回 B 2 返回 2．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3 cm的圆的周长的5倍，则这条弧所在圆的半径为(　　) A．45 cm B．40 cm C．35 cm D．30 cm B 3 返回 3．[教材P55习题T2]如图，用一个半径为6 cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3π cm，则滑轮上 的点F旋转了(　　) A．60° B．90° C．120° D．45° B 4 5 【点拨】如图，连接AE，OE，OD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°. ∴AE⊥BE.又∵AB＝AC， ∴AE是∠BAC的平分线， 即∠BAE＝∠DAE. 6 返回 【答案】C 7 5．[2025临沂模拟]如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是________． 3π 8 返回 9 返回 A 10 7．[教材P55习题T1]一个扇形的弧长是10π cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为(　　) A．30π cm2 B．60π cm2 C．120π cm2 D．180π cm2 11 返回 【答案】B 12 8．[教材P56习题T4]如图，某小区要绿化一扇形空地AOB，准备在小扇形COD内种花，在其余区域内(阴影部分)种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15 m，OC＝10 m，则种草区域的面积为________． 13 返回 14 10π 15 返回 16 17 18 返回 【答案】C 19 20 21 返回 22 23 【点拨】如图，设直线y＝－x＋2分别交y轴、x轴于点C，D，过点O作OE⊥CD于点E. 24 返回 25 26 【证明】如图，连接BG. 根据题意，可知AD＝AE，BE＝BF， ∵AB＝BC＝2AD＝2， ∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF＝1. ∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形． ∴∠BFD＝∠DAB＝60°. 27 28 (2)求图中阴影部分面积(结果保留π)． 29 返回 30 14．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O都在直线l的上方，线段AB与点E，F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以每秒1个单位长度的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，设运动时间为t秒． 31 (1)如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长； 32 33 34 (2)在点B运动的过程中，当AD，BC都与半圆O相交时，设这两个交点分别为G，H．连接OG，OH，若∠GOH为直角，求此时t的值． 【解】如图②. ∵∠GOH＝90°， ∴∠AOG＋∠BOH＝90°. 又∵∠AGO＋∠AOG＝90°， ∴∠AGO＝∠BOH. 35 返回 36 1．如图，⊙O的直径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠B＝120°，则的长为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，以AB为直径作⊙O，与AC，BC分别相交于点D，E，点F是⊙O上一点，∠F＝20°，则的长为(　　) A． B． C． D． ∵∠F＝20°，∴∠BAE＝∠F＝20°. ∴∠DAE＝∠BAE＝20°. ∴∠DOE＝2∠DAE＝40°. ∵AB＝6，∴⊙O的半径为3. ∴的长＝＝. 【点拨】如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝3， ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°. ∴的长＝的长＝的长＝＝π. ∴这个“莱洛三角形”的周长是3π. 6．[2025青岛模拟]如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，＝，∠DBC＝25°，连接AD，则扇形AOB的面积为(　　) A．π B．π C．π D．π 【点拨】设此扇形的半径为r cm， 由题意得＝10π，解得r＝12. ∴S扇形＝×10π×12＝60π(cm2). m2 【点拨】S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝－＝(m2). 9．已知所对的圆周角为30°，所在圆的半径为30 cm，则的长为______cm． 【点易错】在弧长公式l＝中，n是弧所对圆心角的度数．本题易因对n的意义理解不透彻，错解为的长＝＝5π(cm). 【点拨】∵所对的圆周角为30°， ∴所对的圆心角为60°.∴的长＝＝10π(cm). 10．如图①，在正方形ABCD内，以点A为圆心，AB长为半径画弧，点P从圆弧的端点B出发，沿向点D运动，过点P作PO⊥AB于点O． 设点P运动的时间为x s，y＝，图②是点P以每秒的速度运动时，y随x变化的关系图象，则图①中阴影部分的面积为(　　) A．3 B．9 C．9－π D．6－π 【点拨】由图象可得，当x＝4时，y＝＝1， ∴OB＝OP，此时点P，D重合，点O，A重合． ∴的长为4×＝，即＝. ∴AB＝3.∴阴影部分的面积为32－＝9－. 11．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为______． 【点拨】∵OD平分∠BOC， ∠BOC＝60°，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC＝30°. ∴的长＝＝π. ∵的长是定值， ∴要使阴影部分的周长最小，则CE＋DE的值最小． 如图，作点D关于OB的对称点D′，连接CD′与直线OB交于点E，连接OD′，则OC＝OD＝OD′＝OB＝3，∠DOB＝∠D′OB＝30°，此时CE＋DE的值最小，最小值为CD′的长． ∴∠COD′＝∠BOC＋∠BOD′＝90°， ∴CD′＝3. ∴阴影部分周长的最小值为π＋3＝. 12．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心的部分圆与直线y＝－x＋2相交于A，B两点，若△OAB恰为等边三角形，则的长为__________． 当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝2， ∴C(0，2)，D(2，0)．∴OC＝OD＝2.∴CD＝2. ∵S△COD＝CD·OE＝OC·OD，∴OE＝. ∵△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝∠AOB＝60°. ∴OA＝＝＝. ∴的长为＝. 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE的长为半径作交BC于点F，连接FD交于点G， 连接CG． (1)求证：CG为所在圆的切线； ∵BG＝BF，∴△BFG是等边三角形． ∴GF＝BF.∴GF＝BF＝FC. ∴点G在以BC为直径的圆上． ∴∠BGC＝90°，即BG⊥CG.又∵BG是所在圆的半径，∴CG为所在圆的切线. 【解】如图，过点D作DH⊥AB于点H. 由图可得S阴影＝S▱ABFD－S扇形EAD－S扇形EBG－S△BFG. 在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°， ∴DH＝AD·sin ∠DAB＝1×＝.∴S▱ABFD＝AB·DH＝2×＝. 易知S扇形EAD＝S扇形EBG＝＝， S△BFG＝GF·DH＝×1×＝， ∴S阴影＝S▱ABFD－S扇形EAD－S扇形EBG－S△BFG＝－－－＝－. 【解】如图①，设BC与半圆O交于点M，连接EM，OM. 当t＝2.5时，BE＝2.5. ∵EF＝10，∴OE＝EF＝5. ∴OB＝2.5.∴EB＝OB. 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∴MB⊥EO. ∴ME＝MO. 又∵MO＝EO，∴ME＝EO＝MO. ∴△MOE是等边三角形． ∴∠EOM＝60°. ∴的长＝＝. ∴当t＝2.5时，半圆O在矩形ABCD内的弧的长为. 在△AGO和△BOH中， ∴△AGO≌△BOH(AAS)．∴AG＝OB＝t－5. ∵AB＝7，∴AO＝7－(t－5)＝12－t. 在Rt△AGO中，AG2＋AO2＝OG2，∴(t－5)2＋(12－t)2＝52，解得t1＝8，t2＝9. ∴此时t的值为8或9. $