第五章 圆-圆的基本概念 习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的定义、点与圆位置关系、圆与几何图形综合应用等核心知识，通过基础概念题（如确定圆的条件）、中档计算题（如点到圆心距离）、综合应用题（如菱形中圆的半径范围）串联知识点，构建从概念到应用的逻辑网络。 其亮点在于分层设计与核心素养融合，基础题（如“车轮做成圆形的原因”）培养几何直观，中档题（如点P在圆内/外分类讨论）提升推理意识，难题（如抛物线与圆结合求最小值）发展模型意识。这种设计让学生分层巩固，教师可精准把握学情，提高复习效率。

第五章　圆 2　圆的对称性 第2课时 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 返回 C 2 2．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对的劣弧的度数为(　　) A．120° B．75° C．60° D．30° 3 返回 【点拨】连接OA，OB. 由题知OA＝OB＝AB， ∴△OAB为等边三角形． ∴∠AOB＝60°. ∴弦AB所对的劣弧的度数为60°. 故选C. 【答案】C 4 返回 3．若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧，则该弦所对的圆心角的度数是(　　) A．90° B．45° C．135° D．45°或135° A 5 80° 6 返回 7 8 【点拨】如图，过点D作DE⊥AB于点E，则∠DEC＝90°. ∵点C是直径AB的三等分点(AC＜CB)，直径AB＝12， ∴AC＝4，BC＝8，OD＝OA＝OB＝6. ∴CO＝2. 9 返回 10 返回 A 11 12 返回 【答案】C 13 70° 14 返回 15 16 【点拨】如图，连接OB，OA作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点P，则PA＝PA′，此时PA＋PB取得最小值，最小值为A′B的长． ∵点A是半圆上的一个三等分点， ∴易知∠AOD＝∠A′OD＝60°. 17 返回 18 19 20 返回 21 1．[2025泰安模拟]如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则的度数为(　　) A．40° B．80° C．100° D．120° 4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，连接OC，OD，OE，∠AOE＝60°，则∠COE的度数为________． 【点拨】∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°－∠AOE＝120°， ∴的度数是120°. ∵C，D是上的三等分点， ∴与的度数都是40°.∴∠COD＝∠DOE＝40°. ∴∠COE＝80°. 5．[2025淄博博山区期末]如图，点C是直径AB的三等分点(AC＜CB)，点D是的三等分点(＜)，连接CD，OD．若直径AB＝12，则DC的长为________． 2 ∵点D是的三等分点(＜)， ∴∠DOB＝×180°＝60°.∴∠ODE＝30°.∴OE＝OD＝3. ∴DE＝＝＝3， CE＝OE＋CO＝3＋2＝5. ∴DC＝＝＝2. 6．已知与分别是⊙O和⊙O′中的弧，下列说法正确的是(　　) A．若与的度数相等，则∠AOB＝∠A′O′B′ B．若与的度数相等，则AB＝A′B′ C．若AB＝A′B′，则和的度数相等 D．若∠AOB＝∠A′O′B′，则＝ 7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是(　　) A．120° B．135° C．150° D．165° 【点拨】如图所示，连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题 意可得EO＝BO，AB∥DC， ∴∠EBO＝30°，∠ABO＝∠BOD. ∴∠BOD＝30°.∴∠BOC＝150°.∴的度数是150°. 8．[教材P13习题T2]如图，AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，的度数为40°，则的度数为________． 【点拨】连接OE. ∵的度数为40°，∴∠COE＝40°. ∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC. ∴∠OCE＝(180°－40°)÷2＝70°. ∵CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°. ∴的度数为70°. 9．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为________． 2 又∵点B是的中点， ∴∠BOD＝∠AOB＝×60°＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′OD＋∠BOD＝60°＋30°＝90°. 在Rt△A′OB中，由勾股定理得 A′B＝＝＝2， ∴PA＋PB的最小值是2. 10．如图，在⊙O中，＝，且 的度数为120°． (1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC； 【证明】∵的度数为120°，∴∠AOB ＝120°. ∵＝，∴∠AOC＝ ∠AOB ＝ 120°， ∴∠BOC ＝360°－∠AOC－∠AOB ＝120°， ∴∠AOB ＝∠BOC＝∠AOC. 【证明】连接OD. ∵D是的中点，∴＝，∴∠AOD ＝∠BOD. 由(1)知∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝60°. 又∵OD＝OA＝OB，∴△OAD和△OBD都是等边三角形， ∴AD＝OA＝BO＝DB，∴四边形OADB是菱形． (2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形． $ 第五章　圆 1　圆 返回 1．下列条件中，能确定一个圆的是(　　) A．以点O为圆心 B．以10 cm长为半径 C．以点A为圆心，4 cm长为半径 D．经过已知点M C 2 返回 2． “车轮为什么都做成圆形？”下面解释最合理的是(　　) A．圆形是轴对称图形 B．圆形特别美观大方 C．圆形是曲线图形 D．从圆心到圆上任意一点的距离都相等 D 3 返回 3．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为(　　) A．4π B．9π C．16π D．25π C 4 4．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB交半圆于点C，点D是半圆上的动点(不与点A，B，C重合)，点D从点A出发向点B运动．过点D作DE⊥AB，DF⊥OC，垂足分别为E，F，分别取DE和DF的中点M，N，连接MN，若AB＝10，则下列关于MN的说法正确的是(　　) A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．等于5 D．等于2.5 D 返回 5 返回 5．如图，⊙O的半径为5，那么图中到圆心O的距离为7的点可能是(　　) A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 D 6 7 返回 【答案】C 8 返回 7．在同一平面内，若点P到⊙O上的点的最大距离是11，最小距离是5，则⊙O的半径是________． 3或8 【点易错】本题有点P在圆内和圆外两种情况，易因考虑不全面而丢解. 9 8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝7，点D在边BC上，且BD＝3，连接AD，以点D为圆心，r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 10 返回 【答案】B 11 9．雷达通过无线电发现目标并测定它们的空间位置，现有一款监测半径为5 km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在点P，每一个小方格的边长均为1 km，那么M，N，O，Q四个 点中能被雷达监测到的点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12 【答案】C 返回 13 14 返回 【答案】C 15 11．已知P是⊙O内一点(点P不与圆心O重合)，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2－12ax－20＝0的两个实数根，则⊙O的半径为________． 6 16 返回 17 12．[2025泰安期末]如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，则AB的最大值为________． 28 18 【点拨】连接OP，如图． ∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°. ∵点A，B关于原点O对称， ∴OA＝OB，即点O为AB的中点， ∴AB＝2OP. 若要使AB取最大值，则OP需取最大值． 19 返回 20 21 返回 22 14．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠EAD＝20°，AE交⊙O于点B，点E在⊙O上，且AB＝OC． 23 (1)求∠AOB的度数； (2)求∠EOD的度数． 【解】∵AB＝OC，OB＝OC， ∴AB＝BO. ∴∠AOB＝∠A＝20°. ∵∠OBE＝∠A＋∠AOB，∠AOB＝∠A， ∴∠OBE＝2∠A. ∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠E＝2∠A. ∴∠EOD＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°. 返回 24 15．在菱形ABCD中，AB＝13，其面积为120，以B为圆心作⊙B时，菱形ABCD的两个顶点在⊙B外，另外的两个顶点在⊙B内，请你确定⊙B的半径r的取值范围． 【解】连接BD，AC，设BD与AC交于点O. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2OC，BD＝2OB＝2OD. 25 26 返回 27 28 29 返回 30 6．若⊙O是以原点O为圆心，为半径的圆，则点A(1，1)与⊙O的位置关系是(　　) A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定 【点拨】连接OA. ∵OA＝＝，⊙O是以原点O为圆心，为半径的圆，∴点A(1，1)在⊙O上．故选C. 【点拨】在Rt△ABD中，∠B＝90°，AB＝4，BD＝3， ∴AD＝＝＝5. ∵BC＝7，BD＝3，∴CD＝BC－BD＝7－3＝4. ∵点A，B，C中只有1个点在圆内， ∴r的取值范围是3＜r≤4，故选B. 【点拨】连接PO，PN，PQ，PM. ∵每一个小方格的边长均为1 km，∴PO＝4 km＜5 km.∴点O能被雷达监测到． ∵PN＝＝5(km)，∴点N能被雷达监测到． ∵PQ＝4 km＜5 km，∴点Q能被雷达监测到． ∵PM＝＝(km)＞5 km，∴点M不能被雷达监测到．综上所述，点O，N，Q能被雷达监测到．故选C. 10．如图，在⊙O中，C是上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于点E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是(　　) A．∠C＝∠AOC B．∠C＝∠AOC C．∠C＝∠AOC D．∠C＝∠AOC 【点拨】连接OD，如图．∵OA＝DE，∴OD＝DE＝OC. ∴∠C＝∠D，∠DOE＝∠DEO＝(180°－∠D)， ∴∠DEO＝∠C＋∠COE＝×(180°－∠C)． ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COE＝90°－∠AOC， ∴∠C＋90°－∠AOC＝(180°－∠C)，∴∠C＝∠AOC. 【点拨】设最小距离为m，最大距离为n，由根与系数的关系得m＋n＝－＝12. ∵P是⊙O内一点，∴点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径，即⊙O的直径是12， ∴⊙O的半径是6. 连接OM并延长，交⊙M于点P′， 当点P位于点P′时，OP取得最大值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q. ∵圆心M的坐标为(6，8)，∴OQ＝6，MQ＝8， ∴OM＝＝10. 又∵MP′＝4，∴OP′＝14，∴AB的最大值为2×14＝28. 13．定义：点P，Q分别为两个图形G1，G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为图形G1和G2的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值，就称该最大值为图形G1和G2的“远距离”．已知△ABC和⊙D是平面直角坐标系xOy中的两个图形，其中点A(3，5)，B，C，D，⊙D的半径为1，则△ABC和⊙D的“远距离”为________． 4＋1 【点拨】如图所示，连接AD，CD. ∵A(3，5)，C(6，3)，D(－2，－1) ， ∴AD＝＝， CD＝＝4， ∴CD＞AD. 延长CD交⊙D于点E，则△ABC和⊙D的“远 距离”为CE＝CD＋ED＝4＋1. ∵AB＝13，菱形的面积为120， ∴AC·BD＝120，OA2＋OB2＝132. ∴OA＝5，OB＝12或OA＝12，OB＝5. ∴AC＝10，BD＝24或AC＝24，BD＝10. ①当AC＝10，BD＝24时，不存在菱形ABCD的两个顶点在⊙B外，另外的两个顶点在⊙B内； ②当AC＝24，BD＝10，且10<r<13时，存在菱形ABCD的两个顶点在⊙B外，另外的两个顶点在⊙B内． ∴⊙B的半径r的取值范围是10<r<13. 16．如图，抛物线y＝x2－1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，求线段OE的最小值． 【解】令x2－1＝0，解得x1＝3，x2＝－3， ∴A(－3，0)，B(3，0)，∴OA＝OB＝3， ∴O是AB的中点． 又∵E是线段AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE＝BD. ∴当BD最小时，OE取得最小值． 如图，连接BC交⊙C于点D′，易知当点D位于点D′时，BD取得最小值． ∵C(0，4)，∴OC＝4. 根据勾股定理，得BC＝＝5. ∵⊙C的半径为1， ∴BD′＝BC－CD′＝4， ∴线段OE的最小值为2. $ 第五章　圆 5 确定圆的条件 第1课时 确定圆的条件与三角形的外接圆 返回 1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．3　 B．4　 C．5　 D．6 D 2 2．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点B的坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为(　　) A．(2，1) B．(2，2) C．(2，0) D．(2，－1) 3 返回 【点拨】如图所示，连接AB，BC.根据垂径定理易知，弦的垂直平分线过圆心，故作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，则圆心坐标是(2，0)．故选C. 【答案】C 4 3．已知在平面直角坐标系中的三个点分别为A(3，0)，B(0，－4)，C(2，－3)，则A，B，C这三个点__________确定一个圆(填“可以”或“不可以”)． 可以 5 返回 6 返回 4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(　　) A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE B 7 8 返回 【答案】C 9 6．[2025济南历下区月考]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥BC，∠ACB＝25°，则∠CAB＝______． 40° 10 返回 11 12 返回 13 14 (1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)； 【解】如图，⊙O即为所求作. 15 返回 (2)求(1)中所作圆的半径． 【解】如图，连接OA，设OA＝x cm， 由题意可得AD＝12 cm，OD＝(x－8)cm， 则根据勾股定理可得 x2＝122＋(x－8)2， 解得x＝13. ∴⊙O的半径为13 cm. 16 9．下列命题正确的有________个． ①过两点可以作无数个圆； ②经过三点一定可以作圆； ③任意一个三角形有且只有一个外接圆； ④任意一个圆有且只有一个内接三角形． 2 17 【点拨】过两点可以作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作圆，若三个点在同一条直线上，则不可作圆，故①正确，②错误；任意一个三角形有且只有一个外接圆，任意一个圆有无数个内接三角形，故③正确，④错误. 【点易错】以圆上的任意三点为顶点都可以作出一个圆的内接三角形，故任意一个圆都有无数个内接三角形. 返回 18 返回 A 19 11．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝140°，则∠BAD的度数为(　　) A．75° B．70° C．55° D．50° 20 返回 【答案】C 21 12．[2025枣庄一模]如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是(0，4)，(4，0)，(8，0)，⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为_________． (6，6) 22 【点拨】如图，∵⊙M是△ABC的外接圆， ∴点M在AB，BC的垂直平分线上． 设BC的垂直平分线交BC于点N， ∴BN＝CN. ∵点A，B，C的坐标分别是(0，4)， (4，0)，(8，0)， ∴OA＝OB＝4，OC＝8， 23 返回 ∴BC＝4，∴BN＝2，∴ON＝OB＋BN＝6. ∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形． ∵OM⊥AB，∴易得∠MON＝45°， ∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝ON＝6， ∴点M的坐标为(6，6). 24 6 25 26 返回 27 14．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为F，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接BD，CD． 28 (1)求证：BD＝CD． 29 (2)请判断B，E，C三点是否在以点D为圆心，DB的长为半径的圆上．并说明理由． 30 返回 又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3. ∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4＝∠5. ∵∠DBE＝∠3＋∠4，∠DEB＝∠1＋∠5， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. 由(1)知BD＝CD，∴DB＝DE＝DC. ∴B，E，C三点在以点D为圆心，DB的长为半径的圆上. 31 15．【探索发现】 有张形状为直角三角形的纸片， 小俊同 学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这 张三角形纸片，经过多次操作发现，如图①， 以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆． 32 【理解应用】 我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究并解决下列问题． (1)如图②，在△ABC中， ∠A＝105° ，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法， 保留作图痕迹) ． 【解】如图①，⊙O即为所求作. 33 34 【解】如图②，△ABC的最小覆盖圆为△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H. ∵∠BAC＝80°，∠ABC＝40°， ∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝60°， ∴∠AOB＝2∠C＝120°. 35 36 【拓展延伸】 (3)如图④，在△ABC中，已知AB＝15, AC＝12, BC＝9，半径为1的圆在△ABC的内部任意运动，则该圆覆盖不到的面积是________． 6－π 37 【点拨】在△ABC中，AB＝15，AC＝12， BC＝9，∴AC2＋BC2＝122＋92＝225，AB2＝225， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形． 在图③中，将⊙O及其覆盖不到的面 积通过剪拼可以得到图④，则△DEF∽△ABC，且⊙O是△DEF的内切圆，M，N，P分别是切点，连接 OM，ON，∴∠OMF＝∠F＝∠FNO＝90°， ∴四边形ONFM是矩形． 38 返回 39 【点拨】设经过A，B两点的直线的表达式为y＝kx＋b，由A(3，0)，B(0，－4)，得 解得 所以直线AB的表达式为y＝x－4.当x＝2时，y＝×2－ 4＝－≠－3，所以A，B，C三点不共线，所以经过A，B，C三点可以确定一个圆. 5．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是(　　) A． B． C． D． 【点拨】作直径AD，连接CD，如图． ∵△ABC为等边三角形，AB＝3， ∴∠D＝∠B＝60°，AB＝AC＝3. ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°. ∴sin D＝＝，∴AD＝2，∴OA＝AD＝.故选C. 【点拨】连接OB，如图． ∵∠ACB＝25°，∴∠AOB＝2∠ACB＝50°. ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝(180°－∠AOB) ＝65°. ∵OA∥CB，∴∠OAC＝∠ACB＝25°， ∴∠CAB＝∠OAB－∠OAC＝40°. 7．[2025日照模拟]已知△ABC的三边长a，b，c满足|c－ 4|＋b＋a2－10a＝4－30，则△ABC的外接圆的半径为________． 【点拨】∵|c－4|＋b＋a2－10a＝4－30， ∴(b＋1－4＋4)＋(a2－10a＋25)＋|c－4|＝0. ∴(－2)2＋(a－5)2＋|c－4|＝0. ∴－2＝0，a－5＝0，c－4＝0，解得a＝5，b＝3，c＝4. ∵52＝32＋42，∴a2＝b2＋c2.∴△ABC是直角三角形，斜边为a. ∴△ABC的外接圆的半径为a＝. 8．如图所示，在残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24 cm， CD＝8 cm． 10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的 半径为(　　) A． B． C．2 D．3 【点拨】∵∠AOB＝140°， ∴∠C＝∠AOB＝70°，∠BOC＝180°－∠AOB＝40°. ∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠C＝70°， ∴∠BOD＝∠BOC＋∠DOC＝40°＋70°＝110°. ∴∠BAD＝∠BOD＝55°. 13．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点(点P不与B，E重合)，则CP＋BP的最小值为__________． 【点拨】如图所示，过点P作PD⊥AB于点D，连接 CO，并延长交AB于点F. ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°， ∴PD＝PB. ∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4， ∴OC＝OB＝4，CF⊥AB，∴OF＝BO＝2. ∴CP＋BP＝CP＋PD≥CF. ∴CP＋BP的最小值为CF的长度． ∵CF＝OC＋OF＝6，∴CP＋BP的最小值为6. 【证明】∵AD为直径，AD⊥BC， ∴＝.∴BD＝CD. 【解】B，E，C三点在以点D为圆心， DB的长为半径的圆上． 理由：如图，由(1)知＝， ∴∠1＝∠2. (2)如图③，在△ABC中，∠A＝80° ，∠B＝40° ，AB＝2，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径． ∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形， ∴AH＝AB＝，∠AOH＝∠AOB＝60°， 在Rt△AOH中，易得OH＝OA， 由勾股定理得OA2＝OH2＋AH2＝OA2＋3， 解得OA＝2(负值已舍去)． 故△ABC的最小覆盖圆的半径为2. ∵OM＝ON，∴矩形ONFM是正方形， ∴OM＝MF＝FN＝ON＝1， 设EF＝3x，则DF＝4x，DE＝5x， ∴DM＝DP＝4x－1，NE＝PE＝3x－1. ∵DE＝DP＋PE，∴(4x－1)＋(3x－1)＝5x，解得x＝1， ∴EF＝3，DF＝4，DE＝5，∴⊙O覆盖不到的面积S＝S△DEF－S⊙O＝×3×4－π×12＝6－π. $ 第五章　圆 4　圆周角和圆心角的关系 第2课时　圆周角和直径的关系 1．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 2 返回 【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠CDB＝60°，∠A＝∠CDB，∠A＝60°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝30°. 故选A. 【答案】A 3 2．[2025青岛二模]如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC，若∠A＝17°，则∠D的大小为(　　) A．34° B．51° C．56° D．58° 4 返回 【点拨】∵BC∥OA，∴∠ACB＝∠A＝17°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝34°. ∵BC∥OA，∴∠B＝∠AOB＝34°. ∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°， ∴∠D＝90°－∠B＝56°. 【答案】C 5 返回 3．如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是(　　) A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB A 6 返回 4．[教材P23随堂练习T2]从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判定圆弧为半圆的是(　　) B 7 返回 5．[2025盐城期末]如图所示，每一张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是(　　) A 8 6．[2025潍坊期中]如图，一块直角三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°，则∠BCD的度数为(　　) A．58° B．60° C．62° D．64° 9 返回 【答案】A 10 11 返回 【答案】C 12 13 返回 【答案】D 14 15 【答案】D 返回 16 17 返回 【答案】C 18 19 返回 20 6 21 22 返回 23 13．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． 24 (1)判断△BDE的形状，并证明你的结论； 25 【解】如图，连接OC，CD，OD，设OD交BC于点F. 易知∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC. ∵OB＝OC，∴OD垂直平分BC.∴BC＝2BF. 26 返回 27 28 【解】如图所示，取AD的中点M，连接BD，HM，BM. ∵∠DHC＝90°，∴∠AHD＝90°. ∴点H在以M为圆心，MD的长为半径的⊙M上． ∴当M，H，B共线时，BH的值最小． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. 29 返回 30 【点拨】记AB的中点为O，连接OD， 由题意知，∠AOD＝64°.∵∠ACB＝90°，∴A，B，C，D四点共圆．∵＝，∴∠ACD＝∠AOD＝32°， ∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝58°. 7．[2025德州期末]如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则tan ∠OBC的值为(　　) A． B． C． D． 【点拨】设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，如图． ∵∠COD＝90°，∴CD是直径，即CD＝10. ∵C(0，5)，∴OC＝5， ∴OD＝＝＝5. ∵∠OBC＝∠ODC， ∴tan∠OBC＝tan∠ODC＝＝＝. 8．如图，AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB＝45°，则S△CDP∶S△ABP的值为(　　) A． B． C． D． 【点拨】如图，连接BD，由AB是直径得，∠ADB＝90°. ∵∠DPB＝45°， ∴cos∠DPB＝＝. ∵∠C＝∠A，∠CPD＝∠APB， ∴△CPD∽△APB，∴＝＝. 9．[2025临沂一模]如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∠BAD＝90°，∠ADC＝105°，AD＝3，C为的中点，则BC的长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 【点拨】∵四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°. ∵C为的中点，∴＝，则易知∠CBD＝∠CDB＝45°.∵∠ADC＝105°，∴ ∠ADB＝∠ADC－∠CDB＝60°. 在Rt△BAD中，AD＝3，∴BD＝＝6. ∴在Rt△BCD中，BC＝BD·sin45°＝6×＝3. 10．如图，AB是⊙O的直径且AB＝4，点C在圆上且 ∠ABC＝60°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，并过点A作AE⊥CD，垂足为E， 则弦AD的长度为(　　) A．2 B． C．4 D． 【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴sin B＝sin 60°＝＝，∴AC＝2. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB＝45°. 又∵AE⊥CD，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝AC＝2.∵∠D＝∠B＝60°，∴sin D＝sin 60°＝＝，∴AD＝4.故选C. 11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为，且交x轴正半轴于点B，弦AB＝3，点P为y轴上一点，当 PA＋PB的值最小时，点P的坐标为________． 【点拨】设⊙O与x轴负半轴交于点C，则点B与点C关于y轴对称，连接AC交y轴于点P，此时PA＋PB的值最小． ∵BC是⊙O的直径，∴BC＝5，∠CAB＝90°. ∴AC2＝BC2－AB2＝52－32＝16.∴AC＝4(负值已舍去)． ∵∠PCB＝∠ACB，∠COP＝∠CAB＝90°， ∴△COP∽△CAB.∴OP∶AB＝OC∶CA. ∴OP∶3＝∶4.∴OP＝.∴点P的坐标是. 12．如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，AD∥BC， ⊙O的直径AE与BC交于点F，连接BD．若AE∥CD， sin∠DBC＝，EF＝2，则AE的长为________． 【点拨】连接CE，DE，设DE交BC于点G. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∴＝. ∴AB＝CD，∠ADB＝∠CED. ∵AE∥CD，∴∠CDE＝∠AED. ∴＝.∴∠EDC＝∠DBA. ∴△DEC≌△BDA.∴DE＝BD. ∵AE是直径，∴∠ADE＝90°. ∵AD∥BC，∴∠DGB＝90°. ∵sin∠DBC＝，∴＝.∴＝.∴＝. ∵AD∥BC，∴＝＝. 又∵EF＝2，∴AE＝6. 【解】△BDE为等腰直角三角形． 证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，＝， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC. ∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE.∴BD＝ED.又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴△BDE为等腰直角三角形. (2)若AB＝10，BE＝2，求BC的长． ∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴易得BD＝2. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设OF＝t，则DF＝5－t. 在Rt△BOF和Rt△BDF中， 52－t2＝(2)2－(5－t)2，解得t＝3，即OF＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8. 14．[2025泰安模拟]如图，AB为⊙O的直径，半径OB＝，点D在上半圆上，AD＝18，点C在上移动，连接AC，H是AC上一点，且∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，求BH的最小值． ∵半径OB＝，∴AB＝2. 又∵AD＝18，∴BD＝＝40. ∵M是AD的中点，∴AM＝MD＝9. ∴BM＝＝＝41. 易知MH＝DM＝9， ∴BH的最小值为BM－MH＝41－9＝32. $ 第五章　圆 5 确定圆的条件 第2课时 圆内接四边形 返回 1．已知圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠C＝1∶2，则 ∠A＝(　　) A．50° B．60° C．100° D．120° B 2 2．[2025枣庄模拟]如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E，若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　) A．50° B．100° C．130° D．150° 3 返回 【点拨】∵BE∥AD，∴∠ADC＝∠BEC＝50°. ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＝180°－∠ADC＝130°. 故选C. 【答案】C 4 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° 5 返回 【点拨】如图，连接AC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠BEC＝20°，∴∠CAB＝∠BEC＝20°， ∴∠ABC＝90°－∠BAC＝70°. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝110°. 【答案】B 6 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝________°． 60 7 返回 8 5．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点．∠AOC＝128°，则∠CDE等于(　　) A．64° B．60° C．54° D．52° 9 返回 【点拨】∵∠AOC＝128°，∴∠ABC＝64°. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CDE＝∠ABC＝64°. 【答案】A 10 11 返回 【答案】D 12 返回 A 13 返回 8．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，若∠COD＝32°，则∠B的度数为___________． 32°或148° 【点易错】本题没有给出图形，点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦AC所对的劣弧上．易因考虑不全而漏掉其中一种情况. 14 9．[2024济宁]如图，分别延长⊙O的内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，则∠A的度数为(　　) A．42° B．41°20′ C．41° D．40°20′ 15 【点拨】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＋∠BCD＝180°. ∵∠CDF是△ADE的外角，∴∠CDF＝∠A＋∠E. ∵∠BCD是△CDF的外角，∴∠BCD＝∠F＋∠CDF， ∴∠BCD＝∠F＋∠A＋∠E，∴∠A＋∠F＋∠A＋∠E＝180°，即2∠A＋∠F＋∠E＝180°. ∵∠E＋∠F＝54°41′＋43°19′＝98°，∴2∠A＋98°＝180°，∴∠A＝41°，故选C. 【答案】C 返回 16 返回 10．[2025威海期末]如图，CD是⊙O的弦，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，若∠CAD＝2∠B，则∠B的度数是(　　) A．100° B．80° C．60° D．50° C 17 18 【点拨】在优弧AC上任取一点D， 连接CD和AD，如图所示. ∵∠B＝120°， ∴∠D＝180°－∠B＝180°－120°＝60°， ∴∠AOC＝2∠D＝2×60°＝120°. 19 返回 【答案】B 20 y＝－x2＋2 21 返回 22 23 24 返回 25 14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E． 26 (1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE； 【证明】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE. 27 (2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC． 28 返回 【点技巧】在圆中，求某个圆周角的三角函数值时，一般的思路有两个：一是通过作直径构造直角三角形，进行角的等量转换；二是过圆心作弦心距，构造直角三角形，利用边之间的比值求得答案. 29 15．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC，且交⊙O于点F，连接AD，AE，DE，DF． 30 (1)求证：DB＝DF． 【证明】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC. ∵CD＝BD，∴AD为BC的垂直平分线， ∴AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠B＋∠AFD＝180°，∠CFD＋∠AFD＝180°， ∴∠B＝∠CFD，∴∠C＝∠CFD， ∴CD＝FD，∴DB＝DF. 31 (2)若∠E＝55°，求∠ADF的度数． 【解】∵∠B＝∠E＝55°，∠CFD＝∠B， ∴∠CFD＝55°. ∵AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°， 由(1)知∠C＝∠B＝55°， ∴∠CAD＝35°， ∴∠ADF＝∠CFD－∠FAD＝55°－35°＝20°. 32 33 返回 34 【点拨】∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B＋∠D＝180°. ∵四边形OABC是菱形，∴∠B＝∠AOC， ∴∠AOC＋∠D＝180°，由圆周角定理得∠D＝∠AOC， ∴∠D＝60°. 6．如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，点C在上，连接AC，BC，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，当点C从点A运动到点B的过程中，∠CBD的度数(　　) A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．一直减小 D．保持不变 【点拨】在优弧AB上任取一点E，连接AE，BE， ∴四边形AEBC是⊙O的内接四边形， ∴∠AEB＋∠ACB＝180°. ∵∠BCD＋∠ACB＝180°，∴∠BCD＝∠AEB＝∠AOB＝60°. ∵BD⊥AD，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＋∠CBD＝90°， ∴∠CBD＝90°－∠BCD＝30°，∴∠CBD的大小不变. 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC两边于点D，E，则△CDE的面积为(　　) A． B． C． D． 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝120°，OP⊥AC于点P，OP＝1，则AC的长为(　　) A．4 B．2 C． D．2 ∵OP⊥AC于点P， ∴∠AOP＝＝60°，AP＝CP＝， ∴∠OAP＝180°－∠APO－∠AOP＝180°－90°－60°＝30°. ∵OP＝1，∴AO＝2OP＝2，∴AP＝＝＝，∴AC＝2AP＝2，故选B. 12．如图，AB为半圆的直径，AB＝2，点C为半圆上一点，点D和点B关于直线AC对称，连接AD交于点E，连接CE．设BC＝x，AE＝y，则y关于x的函数关系式为_______________． 【点拨】由轴对称的性质可得CD＝CB＝x，AD＝AB＝2， ∴DE＝AD－AE＝2－y，BD＝2x. ∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠BAD＋∠BCE＝180°. 又∵∠DCE＋∠ECB＝180°，∴∠DCE＝∠DAB. 又∵∠D＝∠D，∴△DEC∽△DBA， ∴＝，即＝，∴y＝－x2＋2. 13．[2025济宁二模]如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为________． －1 【点拨】如图，连接OA，OD，取AB的中点G，连接GF，CG. ∵四边形ABCD是圆内接正方形， ∴∠AOD＝90°. 又∵OA＝OD＝， ∴AD＝＝2，∴AB＝BC＝2. ∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴BG＝GF＝AB＝1， ∴CG＝＝＝. ∵CF＋GF≥CG，∴当点C，F，G在同一直线上时，CF有最小值．∴CF长的最小值是－1. 【解】如图，连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，则∠FBC＝90°. 在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3， ∴sin∠BFC＝＝. 又∵∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BAC＝. (3)若DE平分∠ADB，DE交AB于点G，DF＝6n，tan E＝，求EG·ED的值(用含n的代数式表示)． 【解】如图，连接OE.由(1)知，CD＝BD＝ DF＝6n. ∵tan∠AED＝tan B＝＝， ∴AD＝8n， ∴AB＝＝10n，∴OA＝OB＝OE＝AB＝5n. ∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE＝45°， ∴∠AOE＝2∠ADE＝90°，∴AE＝OA＝5n. ∵∠EAB＝∠EDB，∠ADE＝∠BDE，∴∠BAE＝∠ADE. ∵∠AEG＝∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴＝， ∴EG·ED＝AE2＝(5n)2＝50n2. $ 第五章　圆 4　圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角与圆心角、弧的关系 返回 1．下列各图中，∠ACB是⊙O的圆周角的是(　　) D 2 返回 2．下列说法： ①顶点在圆周上的角是圆周角； ②两边与圆相交的角是圆周角； ③圆内两条弦的夹角是圆周角； ④圆周角的两条边一定与所在的圆有三个交点． 其中正确的有(　　) A．①②　 B．②③　 C．③④　 D．④ D 3 返回 3．[2025临沂期末]如图，某新产品促销活动中经销商在圆形展区边缘的点P处安装了一个监控摄像头，其有效监控角度为70°．为了监控整个展区，圆形边缘上至少应安装这样的摄像头(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 B 4 5 返回 【答案】C 6 返回 5．如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________． 90° 7 6． 如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，半径OD⊥AC，P是⊙O上一个动点(与C，D不重合)，则∠CPD的度数是__________． 30°或150° 8 返回 9 10 返回 【答案】B 11 8．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为(　　) A．32° B．42° C．48° D．52° 12 返回 【点拨】∵∠A＝48°，∠APD＝80°， ∴∠C＝80°－48°＝32°.∵∠B＝∠C，∴∠B＝32°. 【答案】A 13 60°或120° 14 15 16 返回 【点易错】对于这类“图形不明确”的问题，在解答时一般要进行分类讨论，一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上或顶点在劣弧上．解题时要分情况求解，否则容易漏解. 17 10．[2025菏泽期末]如图，点A，B，C是⊙O上的点，四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC，交⊙O于点F，则∠BAF的度数为(　　) A．15° B．20° C．25° D．30° 18 【点拨】连接OB，如图． ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OA＝BC. 又∵OA＝OC＝OB， ∴OC＝OB＝BC， ∴△BOC为等边三角形． 19 返回 【答案】A 20 21 22 返回 【答案】A 23 24 【点拨】补全⊙O，作点C，E关于直线AB的对称点M，N，由圆的对称性知点M，N在⊙O上，连接FM和GN，如图． 由对称性知∠CFA＝∠MFA. ∵∠AFC＝∠DFB， ∴∠DFB＝∠MFA， ∴D，F，M在同一直线上． 同理D，G，N在同一直线上． 25 返回 【答案】C 26 27 28 返回 29 14．如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为________． 30 31 返回 32 33 34 返回 又∵∠BEA＋∠BEC＝180°，∴∠BEA＝∠BCD. 又∵∠BAE＝∠BDC，∴△ABE≌△DBC. ∴AE＝CD.∴AM＝AE＋EM＝DC＋CM. 35 16．如图，⊙O中延长弦AB，CD交于点E，连接AC，AD，BC，BD． 36 (1)若∠ADB＝60°，∠BAD＝10°，求∠ACD的度数； 【解】∵∠ACB＝∠ADB，∠BAD＝∠BCD， ∠ADB＝60°，∠BAD＝10°， ∴∠ACB＝60°，∠BCD＝10°. ∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝60°＋10°＝70°. 37 (2)若∠ADB＝α，∠BAD＝β，∠EBC＝γ，判断α，β，γ满足什么数量关系时，AD＝CD？请说明理由． 【解】当γ＝2(α＋β)时，AD＝CD. 理由：∵∠ACB＝∠ADB，∠BAD＝∠BCD， ∠ADB＝α，∠BAD＝β，∴∠ACB＝α，∠BCD＝β. ∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝α＋β. ∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠DAC. 又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠ACD. 38 返回 由圆周角定理易知∠DBA＋∠ACD＝180°. 又∵∠EBD＋∠DBA＝180°，∴∠EBD＝∠ACD. ∴∠EBC＝∠EBD＋∠DBC＝2∠ACD. ∵∠EBC＝γ，∴γ＝2(α＋β). 39 4．[教材P21习题T3 ]如图，在⊙O中，点C在上．若 ∠AOB＝120°，∠ABC＝22°，则∠BAC的度数为(　　) A．36° B．37° C．38° D．39° 【点拨】连接OC.∵∠ABC＝22°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝44°. ∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝76°. ∴∠BAC＝∠BOC＝38°. 故选C. 【点拨】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∴的度数是120°. ∵半径OD⊥AC，∴D是的中点．∴的度数是60°. ∴当点P在上运动时，∠CPD＝30°，的度数是300°.∴当点P在劣弧CD上运动时，∠CPD＝150°. 综上，∠CPD的度数是30°或150°. 7．如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上，若＝，∠AOC＝36°，则∠D＝(　　) A．9° B．18° C．36° D．45° 【点拨】连接AD.∵＝， ∴∠BDC＝∠ADC＝∠AOC＝18°. 9．已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4，点P在圆上(与A，B不重合)，则∠APB＝__________． 【点拨】如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，OB.由垂径定理得AC＝AB＝2. 在Rt△OAC中，OC＝＝2， ∴OC＝OA.∴∠OAC＝30°. ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°. ∴∠AOB＝120°.∴当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时， ∠AP1B＝∠AOB＝60°；当点P(P2)在弦AB所对的劣弧上时，易知∠AP2B＝120°. ∴∠BOC＝60°. ∵OF⊥OC，∴∠COF＝90°，∴∠BOF＝30°， 由圆周角定理得∠BAF＝∠BOF＝15°. 11．[2025青岛二模]如图，A，B，C为⊙O上的点，D为⊙O外一点，∠AOB＝34°，BC＝OB，则∠D的度数可以是(　　) A．61° B．63° C．65° D．66° 【点拨】如图，设CD与⊙O相交于点E，连接OC，AE. ∵BC＝OB， ∴2OB2＝BC2. ∵OB＝OC， ∴OB2＋OC2＝BC2， ∴△BOC为直角三角形，且∠BOC＝90°. ∵∠AOB＝34°，∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝34°＋90°＝124°，∴∠AEC＝∠AOC＝62°.∵∠AEC是△ADE的外角，∴∠D＜∠AEC，即∠D＜62°，∴∠D的度数可以是61°. 12．如图，AB是半圆O的直径，C，D，E三点在半圆上，F，G是直径AB上的点，且∠AFC＝∠DFB，∠DGA＝∠EGB．已知的度数为20°，的度数为60°，则 ∠FDG的度数为(　　) A．30° B．40° C．50° D．60° ∵的度数为20°，的度数为60°， ∴的度数为20°，的度数为60°， ∴的度数为180°－20°－60°＝100°， ∴∠FDG的度数为50°. 13．如图，点A，B，C分别在⊙O上，若cos∠AOB＝，则tanC的值为________． 【点拨】如图，连接AB，过点O作OH⊥AB于点H，过点B作BM⊥OA于点M， ∴AH＝AB. ∵AO＝OB，∴∠AOH＝∠AOB. ∵∠C＝∠AOB，∴∠C＝∠AOH. ∵cos∠AOB＝＝， ∴设OM＝5x，则OB＝13x，∴AM＝13x－5x＝8x. ∵MB2＝OB2－OM2＝144x2， ∴AB＝＝4x，∴AH＝2x， ∴OH＝＝3x，∴tanC＝tan∠AOH＝＝. 12 【点拨】连接CO，当CO⊥AB时，△ABC的面积最大，设此时CO的延长线与AB交于点D，连接OA，OB，则∠ADC＝90°，AD＝BD. ∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°. ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝(180°－∠AOB)＝30°. 又∵OA＝4，∠ADO＝90°，∴OD＝OA＝2. ∴AD＝＝＝2. ∴BD＝2.∴AB＝4. ∴△ABC面积的最大值为AB·CD＝×4×(2＋4)＝12. 15．如图，已知 A，B，C，D顺次在⊙O上， ＝，BM⊥AC于点M，求证：AM＝DC＋CM． 【证明】在MA上截取ME＝MC，连接BE. ∵BM⊥AC，ME＝MC， ∴BE＝BC.∴∠BEC＝∠BCE. ∵＝，∴AB＝BD，∠ADB＝∠BAD. ∵∠ADB＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BAD. 由圆周角定理易知∠BCD＋∠BAD＝180°. $ 第五章　圆 3　垂径定理 返回 D 2 返回 A 3 3．如图，⊙O的直径为20 cm，弦AB的长为16 cm，P是弦AB上一点且不与点A，B重合．若OP的长为整厘米数，则符合条件的点P有(　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4 5 返回 ∵OP的长为整厘米数，∴OP可取6cm，7cm，8cm，9cm. ∵OP＝6cm有一种情况，OP＝7cm，8cm，9cm分别有两种情况，∴符合条件的点P有7个. 【答案】B 6 4．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口，纸条的上下边沿与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条的宽为7 cm，AB＝6 cm，CD＝8 cm．请你帮忙计算该纸杯杯口的直径为________cm． 10 7 返回 8 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A过原点O，分别交y轴、x轴于点B，C．若点B的坐标为(0，6)，AB＝5，则点C的坐标为________． (8，0) 9 【点拨】如图所示，过圆心A作AE⊥y轴于点E，AF⊥x轴于点F，∴OF＝CF，BE＝OE.易知四边形OEAF是矩形，∴AE＝OF，OE＝AF. 10 返回 11 6．下列说法正确的是(　　) A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧 12 返回 【点拨】A. 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，该选项错误；B. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，该选项错误；C. 垂直于直径的弦被直径平分，该选项错误；D. 过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧，该选项正确．故选D. 【答案】D 13 返回 7．如图，⊙O的直径BC交弦AD于点E，且AE＝DE，若∠BCD＝54°，则∠A＝________． 36° 14 返回 15 9．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝24，CD＝10，⊙O的半径为13，求弦AB与CD间的距离． 16 17 18 返回 【点易错】圆中涉及弦所对的弧的度数(或弧的长度)、两条平行弦间的距离时，有时需要进行分类讨论，否则容易漏解. 19 10．如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝12，CE的最大值为18，则EF的长为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 20 21 返回 设⊙O的半径为r，则OE＝18－r， 在Rt△AOE中，OE2＝OA2－AE2， 即(18－r)2＝r2－62，解得r＝10， ∴OE＝18－10＝8. ∴EF＝OF－OE＝10－8＝2. 故选D. 【答案】D 22 11．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，M，N分别是AB，AC的中点，连接OM，ON，分别交BC于点F，E，若BF＝5，FE＝3，EC＝4，则△ABC的面积为 ________． 24 23 【点拨】如图，连接AE，AF.∵△ABC的顶点都在⊙O上，M，N分别是AB，AC的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥AC，∴AF＝BF，AE＝EC. ∵BF＝5，EC＝4，∴AF＝5，AE＝4. ∵EF＝3，∴EF2＋AE2＝AF2，∴∠AEF＝90°. ∵BC＝BF＋EF＋EC＝12， 返回 24 25 26 返回 27 13．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点(0，20)，直线y＝kx＋4k－8与⊙O交于B，C两点，求弦BC的最小值. 28 【解】∵y＝kx＋4k－8＝k(x＋4)－8， ∴当x＝－4时，y＝－8， ∴直线y＝kx＋4k－8恒过点(－4，－8)， 记为点D. 如图，连接OB，OD，过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当BC⊥OD时，BC最短． 29 30 返回 【点方法】在⊙O中，过定点D的所有弦BC中，当BC为⊙O的直径时，BC最长；当BC⊥OD时，BC最短. 31 14．如图，AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上一动点(不与点A，B重合)，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接AD． 32 (1)求弦AB的长． 33 (2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数． 【解】如图所示，连接OA. ∵OA＝OB＝OD， ∴∠OAD＝∠D＝20°，∠OAB＝∠B＝30°， ∴∠BAD＝∠OAD＋∠OAB＝50°， ∴∠BCD＝70°， ∴∠BOD＝∠BCD＋∠B＝100°. 34 返回 (3)当以A，C，D为顶点的三角形与以B，O，C为顶点的三角形相似时，AC的长为多少？ 35 15．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12 m，拱高CD为4 m． 36 (1)求拱桥所在圆的半径； 37 设OB＝OC＝r m．∵CD＝4 m， ∴OD＝OC－CD＝(r－4)m. ∴在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－4)2＋62， 解得r＝6.5. ∴拱桥所在圆的半径为6.5 m. 38 (2)有一艘宽为5 m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4 m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥？请说明理由． 39 【解】能．理由如下： 如图，在CD上取一点E，使DE＝3.4 m， 过点E作弦MN⊥CD，连接ON，则ME＝EN. ∵CD＝4 m， ∴CE＝CD－DE＝4－3.4＝0.6(m)． ∴OE＝OC－CE＝6.5－0.6＝5.9(m). 40 41 返回 【点方法】与弓形相关的计算一般需要借助弓形的弧所在圆的半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段构造直角三角形，运用勾股定理进行计算. 42 1．如图， 在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是(　　) A．AC＝CB B．＝ C．AM＝BM D．OC＝CN 2．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度AB(所对的弦的长)约为36 m，拱高CD(的中点到弦AB的距离)约为6 m， 则所在圆的半径为(　　) A．30 m B．27 m C．6m D．25 m 【点拨】如图，连接OA，作OC⊥AB于点C，则AC＝ AB＝8cm，由勾股定理得，OC＝＝6cm， 则6cm≤OP＜10cm. 【点拨】设圆心为O，过点O作OF⊥AB，垂足为F，延长FO交CD于点E，则易知EF为纸条宽，EF⊥CD，连接OC，OA，∴CE＝CD＝×8＝4(cm)，AF＝AB＝×6＝3(cm). 设OE＝x cm，则OF＝(7－x)cm.∵OC＝OA，∴CE2＋OE2＝AF2＋OF2，即42＋x2＝32＋(7－x)2，解得x＝3. ∴OC＝＝5(cm)，∴该纸杯杯口的直径为10 cm. ∵B(0，6)，∴OB＝6. ∴BE＝OE＝OB＝×6＝3. ∴AF＝3. 在Rt△ABE中， AE＝＝＝4，∴OF＝4.∴CF＝4. ∴OC＝OF＋CF＝4＋4＝8.∴C(8，0). 8．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，若＝，AC＝CD＝4，则tan C的值是________． 【解】如图①，当AB，CD在圆心O的两侧时，作OM⊥AB于点M，延长MO交CD于点N，易得ON⊥CD，连接OA，OC，则AM＝AB＝12，CN＝CD＝5， ∴OM＝＝＝5， ON＝＝＝12， ∴MN＝OM＋ON＝5＋12＝17， 即此时弦AB与CD间的距离为17； 如图②，当AB，CD在圆心O的同侧时，作OQ⊥CD于点Q，交AB于点P，易得OP⊥AB，连接OA，OC， 则AP＝AB＝12，CQ＝CD＝5， ∴OP＝＝＝5， OQ＝＝＝12， ∴PQ＝OQ－OP＝12－5＝7，即此时弦AB与CD间的距离为7. 综上所述，弦AB与CD间的距离为17或7. 【点拨】如图，连接OA. ∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E， AB＝12， ∴AE＝AB＝6. 易知当C，O，E三点在同一条直线上， 且C在O上方时，CE最长． ∴S△ABC＝BC·AE＝24. 12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为___________________． 2－或2＋或2 【点拨】∵AB为直径，DE为弦，∴DE≤AB.∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2.当DE＝2时，即DE为直径．∵DE⊥AB，∴将沿DE翻折交直线AB于点F，此时点F与点A重合．∴FB＝2；当DE＝1， 且点C在线段OB上时，如图， 连接OD，则OD＝AB＝1. ∵DE⊥AB，∴DC＝DE＝. ∴OC＝＝.∴BC＝OB－OC＝. ∴由翻折可知BF＝2BC＝2－； 当DE＝1，且点C在线段OA上时， 同理可得BC＝，∴BF＝2BC＝2＋. 综上，线段FB的长为2－或2＋或2. ∵D(－4，－8)，∴OD＝＝4. ∵⊙O经过点(0，20)，∴⊙O的半径为20.∴OB＝20. ∴BD＝＝＝8. ∵BC⊥OD，∴BC＝2BD＝16. ∴弦BC的最小值是16. 【解】如图所示，过点O作OE⊥AB于E， ∴AB＝2AE＝2BE. 在Rt△BOE中，OB＝2，∠B＝30°， ∴AE＝BE＝OB·cosB＝， ∴AB＝2. 【解】∵∠BCD＝∠D＋∠CAD， ∴∠BCO＞∠D，∠BCO＞∠DAC. ∵以A, C，D为顶点的三角形与以B，O，C为顶点的三角形相似，∴∠BCO＝∠DCA，∴易知∠BCO＝∠DCA＝90°，即此时点C与点E重合，∴AC＝AE＝. 【解】如图，设O为所在圆的圆心，连接OD，OB，则易知点C，D，O共线． 由题意知OC⊥AB，∴AD＝BD. ∵AB＝12 m， ∴BD＝AB＝6 m． 在Rt△OEN中， EN＝＝＝(m)， ∴MN＝2EN＝ m. ∵＞5， ∴此货船能顺利通过这座圆弧形拱桥. $ 第五章　圆 2　圆的对称性 第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系 返回 1．下列说法不正确的是(　　) A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆绕它的圆心旋转任意角度都能与自身重合 C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D．圆的每一条直径都是它的对称轴 D 2 返回 2． 我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的几何图形，已知AC，BD为⊙O的直径，AC⊥BD，四边形EFGH是正方形，⊙O的面积为4π cm2，则图中阴影部分的面积是(　　) A．π cm2 B．2π cm2 C．1.5π cm2 D．3 π cm2 A 3 返回 3．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④半圆是弧，但弧不一定是半圆． 正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 4 返回 4．如图，在⊙O中，弦有________，直径是_____，劣弧有_______________________，优弧有________________________，半圆有____________，若图中最长的弦为12，则⊙O的面积为________． AC，CB CB 36π 5 返回 5．下列说法正确的是(　　) A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 A 6 返回 D 7 8 返回 【答案】D 9 8．如图，分别过⊙O的直径AB上的点M，N作弦CD，EF，若CD∥EF，AC＝BF．求证： 10 11 返回 (2)AM＝BN． 12 13 返回 【点易错】在同圆或等圆中，相等的弧所对应的弦相等，但是根据三角形三边的关系易知两倍的弧所对应的弦小于一倍弧所对应的弦的2倍. 【答案】C 14 15 返回 【答案】D 16 17 返回 【答案】B 18 19 【点拨】作半径OE⊥AB，交⊙O于点E，连接DE，BE，过点B作BF⊥ED，交ED的延长线于点F，如图，则 ∠BOE＝∠AOE＝∠BFE＝90°. 20 【答案】D 返回 21 105°或15° 22 23 返回 24 25 (1)试判断四边形OACB的形状，并说明理由； 【解】四边形OACB是菱形． 理由如下：如图，连接OC. 26 27 (2)延长OA至点P，使得AP＝OA，连接PC，若⊙O的半径为2，求PC的长． 28 返回 29 30 30 (2)求弦AD的长； 【解】∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°. 由(1)知∠COD＝30°. ∴∠AOD＝60°. 又∵OA＝OD，∴△AOD为等边三角形． ∴AD＝OA＝4. 31 (3)P是半径OC上一动点，连接PA，PD，求PA＋PD的最小值． 【解】延长AO交⊙O于点B，连接BD，交OC于点P.易知此时PA＋PD的值最小，最小值为BD的长. 过点O作OH⊥BD于点H. ∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，BH＝DH. 由(2)知∠AOD＝60°. 32 返回 33 ，，，， ，，，， ， 6．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，＝，AC，BD交于点E，连接AB，AD，CD， 则下列结论正确的是(　　) A．AB＝AD B．BE＝CD C．BE＝AD D．AC＝BD 7．[2025泰安模拟]如图，AB是⊙O的直径，，与相等，∠COD＝36°，则∠AOE的度数是(　　) A．30° B．36° C．54° D．72° 【点拨】∵＝＝，∠COD＝36°， ∴∠COB＝∠DOE＝∠COD＝36°， ∴∠AOE＝180°－36°×3＝72°. (1)＝； 【证明】如图，连接OC，OF. ∵AC＝BF，∴∠COA＝∠BOF. ∴∠COB＝∠FOA. ∴＝. 【证明】∵∠COA＝∠BOF，OC＝OF＝OA＝OB， ∴∠CAB＝∠ACO＝(180°－∠COA)， ∠BFO＝∠ABF＝(180°－∠BOF)．∴∠CAB＝∠ABF. ∵CD∥EF，∴∠AMC＝∠ANE. 又∵∠BNF＝∠ANE，∴∠AMC＝∠BNF. 又∵AC＝BF，∴△AMC≌△BNF.∴AM＝BN. 9．如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是(　　) A．AB>2CD B．AB＝2CD C．AB<2CD D．以上都不正确 10．如图，点P(－2a，a)是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ 【点拨】连接PO.首先根据圆的对称性和反比例函数图象的对称性得到阴影部分的面积正好等于圆的面积的，然后根据阴影部分的面积为10π求出半径PO的长度，最后根据点P的坐标利用勾股定理列出方程即可求出a的值，进而求出该反比例函数的表达式. 11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E在线段BC上，CE＝5，以点C为圆心，CE长为半径作弧交AC于点D，交BC的延长线于点F，以点F为圆心，DE长为半径作弧，交于点G，连接CG，过点G作GH⊥BF，垂足为点H，则线段GH的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【点拨】连接DE，GF.由题意得FG＝DE， ∴∠GCH＝∠ACB.∵GH⊥BF，∴∠GHC＝90°， ∴∠GHC＝90°＝∠B，∴△CGH∽△CAB， ∴GH∶AB＝CG∶AC.∵AC＝＝＝10，∴GH∶6＝5∶10，∴GH＝3. 12．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为(　　) A． B． C．＋1 D． ∵∠DOC＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2. ∵∠ODE＝×(180°－∠DOE)，∠ODB＝×(180°－∠BOD)，∠DOE＋∠BOD＝∠BOE＝90°， ∴∠BDE＝∠ODE＋∠ODB＝135°，∴∠BDF＝45°. ∵BD＝2，∴易知DF＝BF＝2，∴EF＝4，∴BE＝＝2. 易知△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝. 13．已知半径为5的⊙O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数为___________． 【点拨】如图，连接OC，OA，OB. ∵OC＝OA＝AC＝5，∴△OAC是等边三角形， ∴∠CAO＝60°. ∵OA＝OB＝5，AB＝5， ∴OA2＋OB2＝50＝AB2， ∴△OAB是等腰直角三角形，且∠AOB＝90°. ∴∠OAB＝45°. 点C的位置有两种情况：如图①，点C不在上时，∠BAC＝∠CAO＋∠OAB＝60°＋45°＝105°； 如图②，点C在上时， ∠BAC＝∠CAO－∠OAB＝ 60°－45°＝15°. 综上，∠BAC的度数为105°或15°. 14．如图所示，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点． ∵∠AOB＝120°，C是的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°. ∵OA＝OC＝OB， ∴△AOC与△BOC都是等边三角形， ∴AC＝OA＝OC＝OB＝BC， ∴四边形OACB是菱形. 【解】∵△AOC是等边三角形， ∴AC＝OA，∠OAC＝∠OCA＝60°. 又∵AP＝OA，∴AP＝AC. ∴易知∠P＝∠ACP＝∠OAC＝30°，∴∠OCP＝90°. ∵OC＝2，∴易知OP＝4， ∴PC＝＝＝2. 15．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且＝2，OA＝4，连接OD，AD． (1)∠COD＝________°； ∵∠B＋∠ODB＝∠AOD，∴∠B＝∠ODB＝30°. ∵OB＝OA＝4，∴OH＝OB＝2. ∴BH＝＝＝2. ∴BD＝2BH＝4. ∴PA＋PD的最小值为4. $