第26章二次函数专项培优习题课件 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

该初中数学课件围绕二次函数单元复习，系统梳理二次函数的性质及图像特征，通过典型例题对比一次函数与二次函数的图像关系，帮助学生构建函数性质与图像表现的内在逻辑联系。 其特色在于采用“性质辨析-图像判断”的专项突破策略，设计如“同一坐标系中一次函数与二次函数图像识别”等针对性练习，培养学生几何直观和推理意识，分层训练助力学生巩固知识，为教师提供精准复习教学支持。

第26章　二次函数 专项突破4 直线与抛物线的交点问题 1 返回 1. 抛物线y＝x2＋x＋1与两坐标轴的交点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B 2 返回 C 2．抛物线y＝ax2－2ax＋2与x轴的一个交点坐标是(－1，0)，则另一个交点坐标是(　　) A．(1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0) 3 返回 3．将抛物线y＝mx2－2mx＋m－3(m＜0)向上平移，平移后的抛物线与x轴有两个交点，则下列平移方式正确的是(　　) A．向上平移1个单位　　 B．向上平移2个单位 C．向上平移3个单位　　 D．向上平移4个单位 D 4 返回 x3＜x1＜x2＜x4 5 返回 6 6．(4分)若抛物线y＝x2－mx－3与x轴交于点A，B，且AB＝4，求m的值. 7 解法二：因为抛物线与x轴两交点的距离为4， 所以设左侧交点的坐标为(t，0)， 则右侧交点的坐标为(t＋4，0)， 于是可设这个抛物线的表达式为y＝(x－t)(x－t－4)， 整理得y＝x2－(2t＋4)x＋t2＋4t， 则t2＋4t＝－3，解得t＝－1或t＝－3， 又因为2t＋4＝m，所以m＝2或m＝－2. 返回 8 7. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A，B两点，其横坐标分别为－1和4，则ax2＋c－kx－b＞0的解集是(　　) A．x<－1 B．x>4 C．x<－1或x>4 D．－1<x<4 返回 C 9 返回 b≥2 8. 若无论k为何值，直线y＝kx＋2与抛物线y＝ax2＋4ax＋b(a＜0)总有公共点，则b的取值范围是________. 10 9．将二次函数y＝(x＋1)2的图象位于直线y＝9以上的部分向下翻折，得到如图所示的新图象，若直线y＝x＋m与此图象有四个交点，则m的取值范围是________. 11 【点拨】如图，当直线y＝x＋m位于l1或l2处时，它与新图象有三个不同的交点． 令y＝9，则9＝(x＋1)2， 解得x＝－4或x＝2， 所以A(2，9)． ①当直线位于l1处时，直线过点A(2，9)， 所以9＝2＋m，所以m＝7. 返回 10．(8分) 约定在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)中，若4ac－2b＝b2，则称该函数是“文昌函数”. 14 (1)试说明“文昌函数”y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与直线y＝－x总有两个不同的交点； 15 (2)已知P(m，n)是“文昌函数”y＝x2＋6x＋c图象上的一个动点，且在直线y＝－x＋6的下方，求m，n的取值范围. 解：因为y＝x2＋6x＋c是“文昌函数”， 所以4ac－2b＝b2，即4c－12＝36， 所以c＝12， 所以二次函数的表达式为y＝x2＋6x＋12， 两个函数的大致图象如下： 16 返回 设两个函数图象的交点为A，B(A在B的左侧)， 当点P在AB下方时，满足题设条件， 联立直线和抛物线的函数表达式，得x2＋6x＋12＝－x＋6，解得x＝－1或x＝－6， 所以点A，B的坐标分别为(－6，12)，(－1，7)， 易得抛物线的顶点坐标为(－3，3)，则－6<m<－1，3≤n<12. 4．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交点的横坐标为x1，x2，方程x2＋bx＋c－5＝0的两根为x3，x4，则x1，x2，x3，x4的大小关系是________________. 5．[2025南阳模拟]已知二次函数y＝ax2＋x＋a－1的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为__________. 1≤a< 解：解法一：设A，B两点的横坐标为x1，x2， 由题意知AB＝＝4，x1＋x2＝m，x1·x2＝－3， 因为2－4x1·x2＝2， 所以m2－4×＝42，解得m＝±2. ＜m＜7 ②当直线位于l2处时，直线与函数y＝(x＋1)2的图象有一个交点， 所以方程x＋m＝(x＋1)2，即x2＋x＋1－m＝0有两个相等的实数根，所以1－4(1－m)＝0，所以m＝. 结合图象易知，若直线y＝x＋m与新图象有四个交点，则m的取值范围为＜m＜7. 解：联立两个函数表达式，得ax2＋bx＋c＝－x， 整理，得ax2＋(b＋1)x＋c＝0， 因为4ac－2b＝b2，所以Δ＝2－4ac＝b2＋2b＋1－4ac＝4ac－2b＋2b＋1－4ac＝1>0，所以“文昌函数”y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－x总有两个不同的交点． $第26章　二次函数 专项突破1 根据函数性质判断函数图象 1 D 返回 2 C 返回 3 A 返回 4 D 返回 5 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能为(　　) 返回 B 6 D 返回 7 7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) 返回 D 8 返回 C 9 返回 A 10 1. 反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－x＋k2的图象大致为(　　) 2．已知一次函数y＝x＋c的图象经过第一、二、三象限，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 3．一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则函数y＝与y＝－kx2＋k在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝－与一次函数y＝bx＋c在同一平面直角坐标系中的大致图象是(　　) 6．函数y＝kx2－2x＋c与y＝(k是不为0的常数)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 8．函数y＝k(x－k)，y＝kx2，y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 9．反比例函数y＝ 的图象如图所示，则一次函数y＝cx－a和二次函数y＝ax2＋bx＋c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) $第26章　二次函数 章末整合练 1 越小 向上 向下 左侧 右侧 增大 减小 小 减小 增大 大 ax2＋bx＋c(a≠0) a(x－h)2＋k(a≠0) a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 有两个交点 有一个交点 无交点 2 返回 一、基础考点演练　　　　　 1. [2025濮阳期末]二次函数y＝x2－4x＋1的图象的顶点坐标是(　　) A．(0，－1) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(2，3) B 3 返回 B 2．函数y＝bx－a2和y＝ax2－bx＋1(a，b为常数，且a≠0，b≠0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是(　　) 4 返回 3．[2025威海中考改编]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__________．(用“＞”连接) y2＞y1＞y3 5 返回 4．[2024镇江中考]对于二次函数y＝x2－2ax＋3(a是常数)，下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a＝－1时，这个函数的图象在函数y＝－x图象的上方；③若a≥1，则当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大；④这个函数的最小值不大于3.其中正确的是________(填写序号). ①②④ 6 返回 3 7 6．(12分)2025河南中考改编在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如下表所示． x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … 8 (1)求二次函数的表达式； 9 (2)二次函数图象的顶点坐标为________，在给出的坐标系中画出二次函数的图象； 函数图象如图所示． 10 (3)将图象向右平移n个单位后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值. 11 返回 7. 如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式为____________. 返回 y＝(x－3)2＋2 15 返回 16 y＝x2－4x＋3 17 (2)平移该抛物线，所得新抛物线的顶点在x轴上，且对称轴为直线x＝t，连结AB，若新抛物线与线段AB有公共点，求t的取值范围． 18 返回 返回 10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为_______________. x1＝7，x2＝－3 20 11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于(－2，0)，对称轴为直线x＝1，以下结论：①b2－4ac>0；②b<0；③当y＞0时，－2<x<4；④a＋b＋c<0.正确结论的序号为__________. ①②④ 返回 21 12．(12分)如图，抛物线y＝－x2＋2bx＋3与x轴交于A，B两点，点A(－1，0)，与y轴交于点C. (1)抛物线的顶点坐标为________； (2)设直线BC的表达式为y＝mx＋n， 则不等式－x2＋2bx＋3＞mx＋n 的解集为________； 0＜x＜3 22 (3)将直线BC向上平移p个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求p的值． 23 返回 13. 如图，在长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1 m，则花圃中阴影部分的面积有(　　) A．最小值247 m2 B．最小值266 m2 C．最大值247 m2 D．最大值266 m2 返回 A 25 返回 14．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用，则宾馆每天可获得的最大利润是________元. 10 240 26 15．(12分)[2025郑州期末]如图，篮圈中心到地面的距离为3.05 m，小易在距篮下4 m处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离为2.5 m时，篮球达到最大高度3.5 m，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈内． 27 (1)建立如图所示的坐标系，求抛物线的表达式； 28 (2)小易身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，求出手时，他跳离地面的高度； 29 (3)球被投出后，近身防守的小强跳起拦截，小强最大能摸高3.05 m，若想拦截成功，则他与小易之间的距离不能超过多少米？ 返回 解：当y＝3.05时，3.05＝－0.2x2＋3.5， 解得x＝1.5(舍去)或x＝－1.5.－1.5－(－2.5)＝1(m)， 所以他与小易之间的距离不能超过1 m. 30 返回 31 17.(8分)[2025洛阳期中]如图，抛物线y＝－x2＋2x过原点O，与直线y＝x－2交于点B，C. (1)抛物线的顶点A的坐标为________， 点B，C的坐标分别是________________； 32 (2)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在．如图，过点P 作PG∥y轴，交直线BC 于点G， 返回 34 5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点D.若OA＝1，CD＝5，则AB＝________. 解：解：把x＝1，y＝1与x＝－2，y＝－2 代入y＝ax2＋bx－2， 得解得 所以二次函数的表达式为y＝x2＋2x－2. 解：n＝1＋或4－. 【点拨】因为y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，所以平移后的抛物线表达式为y＝2－3，此时对称轴是直线x＝n－1，函数图象开口向上．①当n－1≥3，即n≥4时，当x＝0时，y取最大值为(1－n)2－3；当x＝3时，y取最小值为(4－n)2－3，则(1－n)2－3－(4－n)2＋3＝5，解得n＝＜4，不合题意； ②当0＜n－1＜3，即1＜n＜4时，当x＝0或x＝3时，y取最大值为(1－n)2－3或(4－n)2－3，当x＝n－1时，y取最小值为－3，则(1－n)2－3＋3＝5或(4－n)2－3＋3＝5，解得n＝1＋或n＝1－(不合题意，舍去)或n＝4＋(不合题意，舍去)或n＝4－； ③当n－1≤0，即n≤1时，当x＝0时，y取最小值为(1－n)2－3；当x＝3时，y取最大值为(4－n)2－3，则(4－n)2－3－(1－n)2＋3＝5，解得n＝＞1，不合题意．综上，n＝1＋或n＝4－. 8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在线段AB上移动，与x轴交于点C、D，若A、B，当四边形ABDC是矩形时，抛物线的表达式是______________. y＝x2－x－ 9．(8分)抛物线y＝x2＋bx＋c过点A，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝2. (1)抛物线的表达式为_____________； 解：因为抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3.所以B. 因为新抛物线的顶点在x轴上，且对称轴为直线x＝t，所以新抛物线的表达式为y＝(x－t)2， 当对称轴右边图象过B(0，3)时，有3＝(0－t)2， 解得t1＝－，t2＝(舍去)； 当对称轴左边图象过A(4，3)时，有3＝(4－t)2， 解得t3＝4＋，t4＝4－(舍去)． 所以t的取值范围为－≤t≤4＋. 解：易知B(3，0)，C(0，3)，抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.将点B，C的坐标分别代入y＝mx＋n， 得解得 所以直线BC的表达式为y＝－x＋3， 所以直线BC向上平移p个单位后的函数表达式为 y＝－x＋3＋p， 由题意得即x2－3x＋p＝0， 因为平移后的直线与抛物线只有一个交点，所以 Δ＝9－4p＝0，解得p＝. 解：由题意可设抛物线的表达式为y＝ax2＋3.5，把点的坐标代入y＝ax2＋3.5，得2.25a＋3.5＝3.05，解得a＝－0.2，所以抛物线的表达式为y＝－0.2x2＋3.5. 【解】当x＝－2.5时，y＝－0.2×2＋3.5＝2.25， 2．25－1.8－0.25＝0.2(m)， 所以出手时，他跳离地面的高度是0.2 m. 二、思想方法演练 16.[2025重庆二模]已知抛物线y＝2ax2＋a2x， M，N是抛物线上两点，若对于2≤b≤3，都有y1>y2，则a的取值范围是________________. a>3或－<a<0 ， 设P，则G， 因为点P在直线BC上方， 所以PG＝－t2＋2t－＝－t2＋t＋2＝－2＋， 所以S△PBC＝S△PGB＋S△PGC＝ PG×＝PG ＝ －2＋，因为－<0， 所以当t＝时，S△PBC有最大值，此时点P的坐标为. $第26章　二次函数 综合与实践 1 1．(12分) 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： (1)每班需要跳绳同学9人，摇绳同学2人； (2)跳绳同学需站成一排，原地起跳，如图①. 2 素材2：某班进行赛前训练，发现： (1)当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间的水平距离为6 m，绳子最高点距地面为2 m，摇绳同学的出手高度均为1 m，如图②； 3 (2)9名跳绳同学的身高如表. 身高(m) 1.70 1.73 1.75 1.80 人数 2 2 4 1 4 素材3：观察跳绳同学的姿态(如图③)，发现： (1)跳绳时，人的跳起高度在0.25 m及以下较为舒适； (2)当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地， 此时头顶到地面的高度是身高的 5 任务1：确定长绳形状．请在图②中以长绳触地点为原点建立平面直角坐标系，当长绳摇至最高处时，对应抛物线的表达式为______________； 解：建立的平面直角坐 标系如图所示． 6 任务2：确定排列方案．班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持 0.45 m的间距．请计算当长绳在最高点时，是否会触碰到最边侧的同学. 7 任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起过高，导致不舒适．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85 m．此时长绳的中间部分将贴地形成一条线段(线段AB)，而剩余长绳则保持形状不变，如图④. 9 请你通过计算说明，该方案能否解决同学反映的问题. 10 11 y＝－x2＋2 解：最右侧同学对应的横坐标为0.45×4＝1.8， 当x＝1.8时，y＝－×1.82＋2＝1.64， 因为当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，所以最右侧同学此时头顶到地面的高度为1.70×＝1.615(m)，因为 1.615<1.64，所以当长绳在最高点时，不会触碰到最边侧的同学． 解：易知当绳子摇至最低处时，抛物线的表达式为y＝x2， 因为出手高度降低至0.85 m， 所以抛物线向下平移0.15个单位长度， 所以平移后的抛物线的表达式为y＝x2－0.15， 当x＝1.8时，y＝×1.82－0.15＝0.21， 因为 0.21<0.25， 所以该方案能解决同学反映的问题． $第26章　二次函数 专项突破3 二次函数图象与 字母系数之间的关系 1 方法指导 根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象判断系数a，b，c 间的关系． 2 开口方向 开口向上 a____0 开口向下 a____0 与y轴交点 过原点 c____0 与y轴交于正半轴 c____0 与y轴交于负半轴 c____0 与x轴交点 与x轴有唯一交点 b2－4ac____0 与x轴有两个交点 b2－4ac____0 与x轴没有交点 b2－4ac____0 对称轴位置 对称轴为y轴 b____0 对称轴在y轴左侧 a与b____号 对称轴在y轴右侧 a与b____号 ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ ＝ 同 异 判断与a，b，c相关的代数式与0的大小关系 2a＋b 看对称轴与直线x＝1的位置 2a－b 看对称轴与直线x＝－1的位置 a＋b＋c或a－b＋c 令x＝1或－1，看函数值  4a＋2b＋c或4a－2b＋c 令x＝2或－2，看函数值 9a＋3b＋c或9a－3b＋c 令x＝3或－3，看函数值 am2＋bm＋c 令x＝m，看函数值 返回 C 5 返回 C 2．[2025安徽中考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则(　　) A．abc<0 B．2a＋b<0 C．2b－c<0 D．a－b＋c<0 6 返回 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是(　　)  A．abc<0 B．a－b＝0 C．3a－c＝0 D．am2＋bm≤a－b D 7 返回 C 8 返回 2 9 ①② 返回 10 1．[2024湖北中考]抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论正确的是(　　) A．a<0 B．c<0 C．a－b＋c＝－2　 D．b2－4ac＝0 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①bc<0；②3a＋2c<0；③ax2＋bx≥a＋b；④若－2<c<－1，则－<a＋b＋c<－.其中正确的结论有(　　) A．1个　　 B．2个 C．3个　　 D．4个 5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，与y轴交点的纵坐标是2，下列结论：①2a＝－b；②方程ax2＋bx＋c＝0的一个根在－2和－1之间； ③方程ax2＋bx＋c＝1.5有两个不相等 的实数根；④b－a<2.其中正确结论的 个数为________. 6．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝3，且abc>0，下列结论： ①2a＋b＝0； ②抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为； ③a<0； ④若m<4a＋2b，则0<m<1. 其中正确结论的序号是________. $第26章　二次函数 专项突破5 函数图象信息题 1 返回 1. 如图，等边三角形ABC边长为2，点E，F，G分别在三边上，AE＝BF＝CG，设S△EFG＝y，AE＝x，则y关于x的函数图象大致是(　　) D 2 返回 C 2．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，等腰直角三角形OEF的斜边EF＝4.如图，CD在EF上，点A，O重合，向右平移△OEF，到点E、D重合时停止． 设AO为x，矩形ABCD 与△OEF重合面积为y， 则y关于x的函数图象 大致为(　　) 3 3. 把多个用电器连接在同一个插线板上．可能存在安全隐患．数学小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图①)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图②)． 4 返回 下列结论中错误的是(　　) A．当P＝440 W时，I＝2 A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1 A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 C 5 6 返回 则说法正确的是(　　) A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧长度为10 cm D．当小球下落至最低点时，弹簧长度为2 cm C 7 5．如图①，正方形ABCD中，点P从点A出发，沿A－B－C方向匀速运动．QP⊥AP，交CD于点Q.设点P运动路程为x，CQ＝y，图②是y与x的关系图象，则AB的长为______. 返回 8 8 6．在钝角三角形ABC中(如图①)，AB＝AC，点P为边AB上一动点，连结PC，在直线CP的上方构造等腰直角三角形CPQ，使CP＝PQ，连结BQ，设BP的长为x，△BPQ的面积为y，若y关于x的函数图象 如图②所示，则△ABC的面积 为________. 返回 9 4. 如图①，质量为m的小球从高处由静止下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧(弹簧初始长度为12 cm)．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力，弹簧在整个过程中发生弹性形变)，得到小球速度v和弹簧被压缩长度Δl间的关系 图象如图②， 4 $第26章　二次函数 专项突破6 抛物线与线段的交点问题 1 2 1 2 (2)点M是直线AB上一个动点，将点M向上平移2个单位得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 解：易知抛物线表达式为y＝－x2＋2x， 直线表达式为y＝x－2.如图， 设点N在抛物线上， 则yN－yM＝2，即(－m2＋2m)－(m－2)＝2， 解得m＝0或m＝1， 3 返回 5 返回 6 y＝x2－2x (1)抛物线的表达式为______________； 7 (2)当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E.若抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点，求h的取值范围． 8 返回 4．(6分)2025平顶山一模改编已知二次函数y＝mx2－3mx－4m和点M(－1，1)，N(5，9m－1)，线段MN与此二次函数图象只有一个公共点，求m的取值范围. 解：当y＝0时，有mx2－3mx－4m＝0， 即x2－3x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4， 所以抛物线与x轴交于(－1，0)和(4，0)， 11 当m＞0时，因为抛物线过(－1，0)， 且M(－1，1)，1＞0， 所以点M在抛物线内部， 当点N在抛物线上或外部时， 抛物线与线段MN只有一个公共点， 将x＝5代入y＝mx2－3mx－4m， 得y＝25m－15m－4m＝6m， 返回 1. (8分)如图，抛物线y＝－x2＋bx与坐标轴交于O，B两点，直线y＝kx－2与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为. (1)b＝________，k＝________； 联立得或所以A(－1，－3)． 由图象易得当－1≤m≤0或1≤m≤2时，线段MN与抛物线有公共点，所以m的取值范围为－1≤m≤0或1≤m≤2. 2．(6分)已知抛物线 y＝－x2－2x＋m＋3和点A，B，连结AB，若抛物线与线段AB只有一个公共点，求m的取值范围. 解：因为点A和点B的纵坐标相同，所以AB∥x轴，当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，此时易得顶点坐标为， 所以4＝－1＋2＋m＋3，解得m＝0； 当抛物线y＝－x2－2x＋m＋3经过点B时，m＋3＝4，解得m＝1；当抛物线y＝－x2－2x＋m＋3经过点A时，－9＋6＋m＋3＝4，解得m＝4. 所以当m＝0时，抛物线与线段AB只有一个公共点； 当0<m≤1时，抛物线与线段AB有两个公共点； 当1<m≤4时，抛物线与线段AB只有一个公共点． 综上，m＝0或1<m≤4. 3. (8分)2025成都中考改编如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx过点，且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx－k与抛物线交于A，B两点. 解：当k＝1时，直线的表达式为y＝x－1， 所以当x＝0时，y＝－1，当x＝2时，y＝1， 所以D，E. 易知抛物线y＝(x－h)2－1的顶点坐标在直线y＝－1上移动． 联立整理，得x2－x＋h2＝0， 令Δ＝－4h2＝0，解得h＝－.易知当h＝－时，抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE只有一个交点． 故将抛物线y＝(x－h)2－1从h＝－开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E时，抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE均有公共点． 当抛物线y＝(x－h)2－1过点E时，2－1＝1， 解得h＝2－或h＝2＋.所以当－≤h≤2＋时，抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点． 所以9m－1≤6m，解得m≤，所以0＜m≤； 当m＜0时，因为抛物线过(－1，0)，且M(－1，1)，1＞0，所以点M在抛物线外部， 当点N在抛物线内部时，抛物线与线段MN只有一个公共点，所以9m－1＜6m，解得m＜，所以m＜0， 综上，0＜m≤或m＜0. $第26章　二次函数 阶段练习(二)(26.2.3~26.3) 1 返回 一、选择题(每题5分，共35分) 1．函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x1＝－1，x2＝4 D 2 返回 D 3 返回 3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为(3，0)，对称轴为直线x＝1，则当y≤0时，x的取值范围是(　　) A．0＜x≤3 B．－2≤x≤3 C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥3 C 4 返回 C 5 5．如图，顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，下列结论：①b2＞4ac；②ax2＋bx＋c≥－6；③若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上， 则m＞n；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝ －4的两根为－5和－1.其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 返回 C 6 A 返回 7 返回 C 8 返回 y＝－(x＋2)(x－4) 二、填空题(每题5分，共20分) 8．过点(－2，0)和(4，0)的抛物线与y＝－x2的图象形状、开口方向均相同，则其表达式为_________________. 9 返回 9．[2024长春中考]若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是________. 10 返回 10．某水果商以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可卖200千克，若售价每降0.1元，每天可多卖40千克，则当定价为________元时能获得最大利润. 2.75 11 11．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝4，C，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A，B，顶点为D，将抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个 单位，得到的抛物线过点C，D， 则m＝______，n＝________. 2 8 返回 12 13 (1)当m＝0时， ①两个函数图象的交点坐标为______________； ②直接写出y1＞y2时，x的取值范围； 14 (2)如图，当m＝－1时，点P和点Q分别是一次函数和二次函数图象上的点．当PQ∥x轴时，求PQ的最小值. 15 返回 13．(15分)我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．如图是一充电站的停车棚，其棚顶横截面可看作抛物线y＝－0.02x2＋bx＋c的一部分．支柱AO＝1.6 m，端点B的坐标为(6，2.68)．一辆纯电货车需充电，货车截面可看作长CD＝4 m， 高DE＝2.2 m的矩形． 18 (1)该抛物线的函数表达式为______________________； (2)此货车能否完全停到车棚内？请说明理由； y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6 解：不能．理由如下： 若点D，E，B在同一竖直线上， 则OC＝OD－CD＝6－4＝2(m)， 当x＝2时，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12， 因为CF＝DE＝2.2 m，2.12 m<2.2 m， 所以此纯电货车不能完全停到车棚内． 19 (3)为确保车棚能容纳长5 m、高2.5 m的车辆进入充电，现采用抬高支柱OA的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少？ 20 返回 解：设支柱OA抬高的高度为m m，则改造后棚顶横截面的表达式为y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6＋m，因为要求改造后车棚能容纳长5 m、高2.5 m的车辆进入充电，所以当x＝6－5＝1时，y＝－0.02×12＋0.3×1＋1.6＋m＝1.88＋m＞2.5，解得m＞0.62，即支柱OA抬高的高度至少需要大于0.62 m. 14．(15分)已知抛物线G：y＝mx2－2mx－8m(m≠0)． (1)抛物线G与x轴的交点坐标为_______________； (4，0)，(－2，0) 22 23 24 返回 2．已知抛物线的顶点坐标为(－2，－5)，与y轴交于(0，－9)，则抛物线的表达式为(　　) A．y＝2－5　　 B．y＝2－5 C．y＝－2－5　 D．y＝－2－5 4. 如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B(2，1)，C(4，1)，D(3，2)中的三个点，则4a＋2b＋c的最大值为(　　) A．1　　 B．2　　 C.　 　 D．5 6．如图，抛物线y1＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝，与直线y2＝kx＋n交于点A(－1，0)，B(4，3)，则满足y2>y1>0的整数x有(　　) A．1个　　B．2个　　 C．3个　　D．4个 7．如图，从离地面1.5 m的A处抛出弹球，在B处着地后弹起落至点C处，弹球着地前后运动轨迹是形状相同的抛物线，第一次着地前的抛物线表达式为y＝a(x－1)2＋2，在B处着地弹起的最大高度为着地前最大高度的，则点C距抛出点的水平距离OC是(　　) A．4.75 m　B．4.5 m　 C．5 m　 D．5.5 m c＞ 三、解答题(共45分) 12．(15分)已知一次函数y1＝－x＋m2＋1与二次函数y2＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的图象在同一平面直角坐标系中． (0，1)和 解： x＜0或x＞ 解：当m＝－1时，一次函数表达式为y1＝－x＋2，二次函数表达式为y2＝－(x＋1)2＋2，设P， Q，因为PQ∥x轴， 所以－a＋2＝－2＋2，所以a＝2b2＋4b＋2， 由题中图象易得点P一定在点Q的右边， 所以PQ＝a－b＝－b＝2b2＋3b＋2＝ 22＋， 所以当b＝－时，PQ取得最小值，最小值为. (2)点Q是抛物线G上一点，当m<0，且a≥0时，b≤6，求m的值； 解： y＝mx2－2mx－8m＝m2－9m， 因为m<0，所以当x＝1时，函数有最大值，为－9m， 因为抛物线上的点Q满足a≥0时b≤6，所以－9m＝6，解得m＝－. (3)当m＝－1时，把抛物线G向下平移n个单位得到抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且－1<x1<2，请求出n的取值范围. 解：当m＝－1时，y＝－2＋9，则抛物线G向下平移n个单位得到的抛物线H为y＝－2＋9－n， 因为抛物线H开口向下，且与x轴的一个交点坐标为，－1<x1<2，所以当x＝－1时，y＝5－n＜0，解得n>5，又因为抛物线H与x轴有交点，所以9－n≥0，解得n≤9， 所以综上，5<n≤9. $第26章　二次函数 专项突破2 二次函数的大小比 较及最值问题 1 －30 【母题】 1．已知A(－3，y1)，B(2，y2)两点都在抛物线y＝－2(x－1)2＋k上，比较y1，y2的大小． 方法1(代入法)：把点A，B的坐标分别代入y＝－2(x－1)2＋k中，因为y1－y2＝______，所以y1______y2. ＜ 2 x＝1 方法2(增减性法)：抛物线的对称轴为直线________，点A关于对称轴对称的点的坐标为________．因为抛物线开口向下，所以在对称轴右侧，y随x的增大而________，又因为2＜________，所以y1________y2. (5，y1) 减小 5 ＜ 3 方法3(距离法)：因为抛物线开口向下，所以抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值就越_______．因为点A到对称轴的距离比点B______(填“远”或“近”)，所以y1________y2. 小 远 ＜ 返回 4 h2>h1>h3 返回 【变式训练】 2.如图，小明练习跳远，他在某次跳跃时重心高度h(m)与起跳后时间t(s)之间的函数表达式为h＝－5t2＋3t，当t＝0.2，0.3，0.5时，所对应的重心高度h1，h2，h3的大小关系为__________. 5 y3＜y1＜y2 返回 3．已知抛物线y＝ax2＋2ax＋2(a<0)，A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)是该抛物线上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为__________. 6 ＜ 返回 4．若点A(a－1，b)，B(a－2，c)在抛物线y＝x2－2ax＋1上，则b________c．(填“＞”或“＜”) 7 5．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是抛物线y＝x2＋4x－1上三点，若x1＜－2＜x3＜x2，|x1|＝|x3|，则y1，y2，y3的大小关系是______________. 返回 y1＜y3＜y2 8 t<－2或t>4 返回 9 返回 10 返回 m<－3 11 返回 9. 若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象经过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax有最________值，为________. 大 12 返回 10．二次函数y＝－x2－2x＋c2－2c在－3≤x≤2的范围内有最小值－5，则c的值为________. 3或－1 13 11．当0≤x≤2时，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m有最小值3，则m的值为________. 返回 14 －6 12．(8分)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)． (1)b＝________，c＝________； －3 15 (2)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值. 16 返回 6. 已知抛物线y＝x2－2x＋c过点P，Q.若m<n，则t的取值范围是_______________. 7．抛物线y＝x2－2x＋1经过位于对称轴两侧的点A，B，若y1＜y2，则a的取值范围是__________. 0<a< 8．点A，B，C在二次函数y＝ax2＋4ax＋c的图象上，C为抛物线的顶点．若y0≥y2>y1，则m的取值范围是________. － 或－3 【解】由(1)可知，y＝－x2－6x－3， 所以其图象的对称轴为直线x＝－＝－3. ①若－3＜m≤0， 则当x＝0时，y有最小值－3， 当x＝m时，y有最大值－m2－6m－3， 所以－m2－6m－3＋(－3)＝2， 解得m＝－2或m＝－4(舍去)； ②若m≤－3，则当x＝－3时，y有最大值，为－9＋18－3＝6.因为y的最大值与最小值之和为2， 所以y的最小值为－4，所以－m2－6m－3＝－(m＋3)2＋6＝－4，解得m＝－3－或m＝－3＋(舍去)． 综上所述，m的值为－2或－3－ $第26章　二次函数 专项突破7 二次函数与几何图形的综合 1 1.如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点E是抛物线对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，则EF的长为________. 2 2 返回 8 4 返回 3．如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4交y轴于点A，交x轴正半轴于点B，直线l过点A，B，M是第一象限内抛物线上一点，过点M作MN∥x轴，交直线l于点N，则MN的最大值为________. 4 7 返回 4. (8分)[2025新乡模拟]如图①是某校劳动基地示意图，除线段OA，OB外的外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，∠AOB＝90°，OA＝5 m，OB＝10 m． 10 如图②，李老师以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，取OB的中点C，连结AC，过点C作OB的垂线交抛物线于点D， 将基地划分为三个区域用于种植不同的 蔬菜，CD＝7.5 m. 11 (1)抛物线的函数表达式为_______________； 12 (2)为保证种植幼苗的成活率，需在抛物线上选取一点E，安装一个遮阳网△ACE，当遮阳网面积最大时，求这个最大面积及点E的横坐标. 13 返回 17 5. 如图，已知二次函数y＝mx2－4mx＋3m(m>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结AC，BC，若CA平分∠OCB，则m的值为________. 18 点拨：当y＝0时，0＝mx2－4mx＋3m， 解得x1＝1，x2＝3. 当x＝0时，y＝3m， 所以A(1，0)，B(3，0)，C(0，3m)， 所以OA＝1，OB＝3，OC＝3m. 过点A作AD⊥BC于点D， 因为CA平分∠OCB，OA⊥OC， 所以AD＝OA＝1， 返回 6. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－1，0)，B(3，0)，交y轴负半轴于C，顶点为D，连结AC，BC，AD，BD. (1)当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为________； (1，－2) 21 (2)当△ABC是直角三角形时，a的值为________． 22 点拨：因为A(－1，0)，B(3，0)，所以OA＝1，OB＝3. 若△ABC是直角三角形，则只能是∠ACB＝90°. 又因为∠AOC＝90°， 所以∠ACO＋∠OAC＝∠BAC＋∠OBC＝90°， 所以∠ACO＝∠OBC， 23 24 返回 25 返回 26 8．(8分)已知抛物线L1：y＝x2＋bx＋c经过点M(2，－3)，与y轴交于点C(0，－3)． (1)求抛物线L1的函数表达式； 27 (2)平移抛物线L1，设平移后的抛物线为L2，抛物线L2的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N(2，－8)，怎样平移才能使得四边形MNPQ为菱形？ 28 解：因为M(2，－3)，N(2，－8)，所以MN∥y轴，MN＝5. 由题意得PQ∥y轴，所以PQ∥MN， 所以当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形． 因为点Q在x轴上，所以设点Q的坐标为(m，0)，则点P的坐标为(m，－5)，要使得四边形MNPQ为菱形， 只需PN＝MN＝5，所以(m－2)2＋(－5＋8)2＝52， 解得m1＝6，m2＝－2， 所以点P的坐标为(6，－5)或(－2，－5)． 29 返回 因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 所以抛物线L1的顶点坐标为(1，－4)， 所以当点P的坐标为(6，－5)时，将原抛物线L1先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L2； 当点P的坐标为(－2，－5)时， 将原抛物线L1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L2. 30 9. (12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，连结AB，AM. 31 (1)求抛物线的函数表达式和顶点M的坐标； 解：因为抛物线y＝－x2＋bx＋3与y轴正半轴交于B点，令x＝0，得y＝3，所以B(0，3)，所以OB＝3. 因为OA＝OB，所以OA＝3，所以A(3，0)． 把点A(3，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋3，得－9＋3b＋3＝0，解得b＝2，所以抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.因为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 所以顶点M的坐标为(1，4)． 32 (2)求sin∠BAM的值； 解：连结BM，因为A(3，0)，B(0，3)，M(1，4)， 所以BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，所以BM2＋AB2＝AM2， 所以△ABM是直角三角形，且∠MBA＝90°， 33 返回 (3)如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标. 34 点拨：因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4＝(x＋1)(x－3)，所以F(1，－4)，A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，设过B，C两点的直线的函数表达式为y＝mx＋n，则有解得 所以y＝x－3，当x＝1时，y＝1－3＝－2， 所以点E的坐标为(1，－2)，所以EF＝－2－(－4)＝2. 2．[2025漯河期末]如图，二次函数y＝a－4的图象与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点，P是该函数图象对称轴上一动点，则△PAO周长的最小值为________. 点拨：抛物线的对称轴为直线x＝2.将点的坐标代入y＝a2－4，解得a＝，所以二次函数的表达式为y＝2－4，所以A，如图， 作点A关于对称轴的对称点A′，连结OA′交对称轴于P，连结AP，则A′，所以AP＝A′P，所以△PAO的周长＝OA＋AP＋OP＝OA＋A′P＋OP＝OA＋OA′，由两点之间线段最短可得此时△PAO的周长最小，由勾股定理得OA′＝5，所以△PAO周长的最小值＝3＋5＝8. 点拨：易得点B的坐标为，点A的坐标为，设直线l的表达式为y＝kx＋4，把点的坐标代入，得k＝－1， 所以直线l的表达式为y＝－x＋4， 设点M的坐标为， 因为MN∥x轴，所以点N的纵坐标为－a2＋3a＋4，所以－x＋4＝－a2＋3a＋4，所以x＝a2－3a， 所以点N的坐标为，所以线段MN＝a－＝－a2＋4a，当a＝－＝2时，MN有最大值，为4. y＝－x2＋x＋5 解：设E. 易知C(5，0)，所以OC＝5， ①如图①，当点E在点D处或在点D右边时，过点E作EF⊥x轴于点F，则F， 因为S△AOC＝OA·OC＝×5×5＝(m2), 所以S△ACE＝S梯形AEFO－S△AOC－S△CEF＝－－＝－e2＋e＝ m2，因为－<0，5≤e≤10，所以当e＝时，△ACE的面积最大，最大值是； ②如图②，当点E在点D左边时，过点E作EF⊥x轴于点F，交AC于点G，设直线AC的 表达式为y＝kx＋5，将点C(5，0) 的坐标代入，得5k＋5＝0， 解得k＝－1，所以直线AC的表达式为y＝－x＋5，所以G，所以EG＝－e2＋e＋5－＝m，所以S△ACE＝EG·OC＝××5＝－e2＋e＝ m2，因为0＜e＜5，所以此种情况下S△ACE＜ m2. 综上所述，△ACE面积的最大值是，此时点E的横坐标为. 又因为AB＝OB－OA＝2， 所以BD＝＝. 因为∠COB＝∠ADB＝90°， ∠CBO＝∠ABD， 所以△COB∽△ADB， 所以＝，即＝，所以m＝. 又因为∠AOC＝∠COB＝90°， 所以△OAC∽△OCB，所以＝， 所以OC2＝OA·OB＝3，所以OC＝. 因为点C在y轴的负半轴上， 所以C(0，－)，所以易得c＝－， 将点A(－1，0)，B(3，0)的坐标代入y＝ax2＋bx－， 得解得故a的值为. 7. 如图，在正方形ABCD中，点B，C的坐标分别是(－2，1)，(2，0)，点D在抛物线y＝x2＋bx上，则b的值是________. 解：因为抛物线L1：y＝x2＋bx＋c经过点M(2，－3)， 点C(0，－3)．所以解得 所以抛物线L1的函数表达式为y＝x2－2x－3. 所以sin∠BAM＝＝＝. 解：因为OA＝OB，∠BOA＝90°，所以∠OAB＝45°. 因为∠MAQ＝45°，所以∠BAM＝∠OAQ.因为sin∠BAM＝，所以sin∠OAQ＝，所以易得tan∠OAQ＝，所以＝＝，所以OQ＝1，所以Q(0，1)． $第26章　二次函数 阶段练习(一)(26.1~26.2.2) 1 返回 D 2 返回 2．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式是(　　) A．y＝(x－3)2＋4 B．y＝(x＋3)2＋4 C．y＝(x＋3)2－4 D．y＝(x－3)2－4 A 3 返回 3．抛物线y＝x2－4x＋m2＋5(m是常数)的顶点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A 4 返回 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2－m的图象可能是(　　) B 5 5．已知一正方体的棱长是3 cm，设棱长增加x cm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是(　　) A．y＝6x2－36x B．y＝－6x2＋36x C．y＝x2＋36x　 D．y＝6x2＋36x 返回 D 6 6．[2025新乡期末]如图，这是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法正确的是(　　)  A．b<0 B．c＝－1 C．2a＋b＝0 D．4a＋2b＋c<0 C 返回 7 返回 B 8 返回 A 8．[2025福建中考]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3<b<4，则下列判断正确的是(　　) A．1<y1<y2 B．y1<1<y2 C．1<y2<y1 D．y2<1<y1 9 返回 C 10 返回 a<－1 11 11．若函数y＝(m＋2)xm2－2是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为________. 返回 2 12 返回 13 返回 4 14 返回 14．如图，抛物线y＝ax2－x－1.5与x轴正半轴交于点A(3，0)．以OA为边作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边作正方形BDEF，则点E的坐标是___________________. 15 1 －4 16 (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； 17 (3)当－2<x<3时，直接写出y的取值范围； －1≤y<15. 18 (4)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形(图②中阴影部分)的面积S为________． 返回 2 19 20 (1)小球被发射后________s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示)； (2)若小球离地面的最大高度为20 m，则小球被发射时的速度为________m/s； 20 返回 (3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3 s．”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由. 解：小明的说法不正确．理由如下： 由(2)，得h＝－5t2＋20t，当h＝15时，15＝－5t2＋20t， 解得t1＝1，t2＝3，所以两次间隔的时间为3－1＝2(s)， 所以小明的说法不正确． 22 23 (1)点B的坐标为________； (2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与 x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上． 返回 26 一、选择题(每题4分，共36分) 1．下列函数是二次函数的是(　　) A．y＝ B．y＝x2－2 C．y＝2x＋3 D．y＝x2－5x 7．已知二次函数y＝x2－2x，当x＝－1时，函数有最大值；当x＝1时，函数有最小值，则t的取值范围是(　　) A．0<t≤2 B．2≤t≤4 C．0≤t≤4 D．t≥2 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一动点，若AP＝PF，则△APF的面积的最大值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 二、填空题(每题4分，共20分) 10．抛物线y＝x2－x在对称轴左侧部分是上升的，则a的取值范围是________. 12.抛物线y1＝2－2与y2＝ax2＋bx＋c在x轴有相同交点，并组成一个如图所示的“月牙线”，则a∶b∶c＝_____________. 1∶∶5 13．[2024上海中考]对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2|x′－m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－x2＋x＋3的“开口大小”为________. (1＋，1＋) 三、解答题(共44分) 15． (16分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A，B. (1)a＝________，b＝________； 解：由(1)可得抛物线的函数表达式为 y＝x2－4x＋3＝2－1， 所以抛物线的顶点坐标为， 对称轴为直线x＝2. 16．(14分)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t是物体运动的时间，v0是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． 17．(14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称. 解：因为点B的坐标为，所以b＝，所以y＝kx＋. 令y＝0，则kx＋＝0，解得x＝－.所以OC＝－. 因为P是直线l上一点，且PB＝PC， 所以点P在x轴上方．过点B作BD⊥l于点D， 则易得CD＝OB＝，BD＝OC＝－. 设PB＝PC＝m，则PD＝. 在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2＝PD2＋BD2， 即m2＝＋，解得m＝＋.所以PC＝ PB＝＋.所以点P的坐标为. 当x＝－时，y＝x2＋＝＋＝＋， 所以点P在抛物线上． $