第26章 二次函数 习题课件 2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件围绕二次函数的概念、解析式确定及实际应用展开，通过汽车撞击损坏程度、3D打印市场规模等现实情境导入，衔接一次函数知识，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生逐步理解二次函数的定义与意义。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如洛邑古城日利润问题引导学生用数学眼光发现数量关系，几何综合题培养推理运算能力，实际应用题强化模型意识。多样化题型覆盖基础到综合，助力学生提升应用能力，也为教师提供丰富教学素材。

第26章　二次函数 26．2二次函数的图象与性质 3. 求二次函数的表达式 1 返回 1. 已知二次函数的图象经过点(－1，0)，(1，－4)和(0，－3)，则这个二次函数的表达式为(　　) A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－3 B 2 返回 2 2．抛物线y＝mx2－3x＋m2－4的开口向上，且经过原点，则m的值为________. 3 返回 3．二次函数y＝ax2＋bx＋1中的x，y的部分对应值如表所示： (1)该二次函数的表达式是____________； (2)表中m的值为________. y＝x2－3x＋1 x －1 0 1 2 3 y m 1 －1 －1 1 5 4 返回 4. 一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过点(0，－4)，则该二次函数的表达式为(　　) A．y＝－2(x＋2)2－4 B．y＝－2(x－2)2＋4 C．y＝2(x＋2)2＋4 D．y＝2(x－2)2＋4 B 5 5．某抛物线与二次函数y＝－5x2的图象开口大小、方向均相同，且顶点坐标为(－1，2 026)，则该抛物线的表达式为___________________. 返回 y＝－5(x＋1)2＋2 026 6 6．已知二次函数的图象经过点(－2，13)和(6，13)，且该二次函数的最小值为－3，则该二次函数的表达式为____________. 返回 y＝(x－2)2－3 7 7. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(－1，0)，(5，0)，与y轴交于点(0，－4)，则可设二次函数的表达式为y＝a(x＋________)(x－________)，把(0，－4)代入表达式，解得a＝________，所以二次函数的表达式为_______________________________. 返回 1 5 8 返回 D 8．某二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则这个二次函数的表达式为(　　) A．y＝－x2＋2x＋3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝－x2＋2x－3 D．y＝－x2－2x＋3 9 10 返回 返回 10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，a)，B(1，－2)，要求该抛物线的表达式，还需补充一个条件：___________，则该抛物线的表达式为_________________________. y＝4x2－10x＋4(答案不唯一) 12 11．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，如果OB＝2OC＝2OA＝2，则该抛物线的表达式为______________. 返回 13 返回 12.抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(0，2)，B(4，3)，C三点，点C在直线x＝2上，且到对称轴的距离等于1，则抛物线的表达式为______________________________. 14 13．[2025吉林期末]如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4过△ABC的顶点，BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，AC＝BC，则a＝______. 返回 15 14．(8分)在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方8 m的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门OB的水平距离为2 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m. 16 (1)求抛物线(足球飞行路线)的函数表达式； 17 返回 (2)已知球门高OB为2.44 m，通过计算判断球能否被射进球门． 18 15．(12分)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与y轴的交点为B，且△ABO的面积为5. 19 (1)求抛物线的表达式； 20 (2)平移该抛物线，点B恰好落在点A的位置，求平移后的抛物线表达式； 21 返回 解：－5<n≤0或n＝－9. 22 2 3．将抛物线y＝x2＋1沿x轴向下翻折，得到的新抛物线的表达式为____________． y＝－x2－1 4．抛物线y＝－3x2＋2x－5绕坐标原点旋转180°所得抛物线的表达式为______________． y＝3x2＋2x＋5 5．抛物线C1：y＝(x＋2)2－4与C2关于点(1，0)中心对称，则抛物线C2的表达式为______________． y＝－(x－4)2＋4 y＝(x＋1)(x－5) 9．(4分)如图，直线y＝－x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知抛物线经过点B，C和点A(－1，0) ，求该抛物线的表达式. 解：在y＝－x＋2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4， 所以B(4，0)，C(0，2)， 因为 二次函数的图象经过点B(4，0)，A(－1，0)， 所以设抛物线的表达式为y＝a(x－4)·(x＋1)， 把点C(0，2)的坐标代入y＝a(x－4)·(x＋1)，得－4a＝2， 解得a＝－，所以y＝－(x－4)(x＋1)． 过点C y＝(x＋1)(x－2) y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2 － 解：由题意，得A，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为y＝a＋3，因为点A在抛物线上，所以a＋3＝0，解得a＝－， 所以抛物线的函数表达式为y＝－＋3. 解：当x＝0时，y＝－2＋3＝>2.44， 所以球不能被射进球门． 解：因为抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为A， 所以－＝2，所以b＝－4， 因为S△ABO＝5，所以OB·＝5，即|c|×2＝5，所以|c|＝5， 因为抛物线与y轴交于负半轴，所以c＝－5， 所以抛物线的表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9. 解：由(1)知B，A， 所以点B平移到点A，抛物线应向右平移2个单位， 向下平移4个单位，所以平移后抛物线的表达式为 y＝2－9－4＝2－13. (3)过y轴上的点E作y轴的垂线l，若直线l与抛物线y＝x2＋bx＋c在0≤x≤5部分有一个交点，直接写出n的取值范围. 1．抛物线y＝a(x－1)2＋3向右平移1个单位，向上平移2个单位后过点，则a＝________． 2．如图，抛物线 y＝(x－1)2＋2与另一条抛物线关于y轴对称，则另一条抛物线的表达式为__________________． y＝(x＋1)2＋2 $第26章　二次函数 26．2二次函数的图象与性质 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质 1 左 返回 3 下 2 2 B 返回 2．将抛物线y＝－x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为(　　) A．y＝－(x＋2)2＋1　 B．y＝－(x－2)2＋1 C．y＝－(x＋2)2－1　 D．y＝－(x－2)2－1 3 y＝3(x＋1)2－1 返回 3．已知抛物线y＝3x2，将x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为_____________. 4 下 返回 4. 抛物线y＝－(x－2)2＋1的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________，因为a＝－1<0，所以当x______时，y随x的增大而增大；当x________时，y随x的增大而减小．当x________时，y有最________值，为________. 直线x＝2 (2，1) ＜2 ＞2 ＝2 大 1 5 5．函数y＝(x＋1)2－2的大致图象是(　　) 返回 C 6 6．[教材P16练习T3变式]关于二次函数y＝2(x－3)2＋2，下列叙述正确的是(　　) A．其图象开口向下 B．y有最大值，为2 C．当x>3时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴为直线x＝3 D 返回 7 7．若二次函数y＝(x－1)2－1的图象如图所示，则坐标原点是(　　)  A．点A B．点B C．点C D．点D 返回 A 8 返回 1 8．若二次函数y＝(x－h)2＋k的图象经过点(－3，0)和(5，0)，则h的值为________. 9 返回 y1>y2 10 返回 10．[教材P16练习T4变式]为举办中国国际花炮文化节，某烟花厂制作了一种花炮，其升空高度h(m)与飞行时间t(s)之间的关系式是h＝－5t2＋30t，该花炮升空到最高点时引爆，则从发射到引爆需要的时间为________s. 3 11 2 －1 12 (2)设原函数图象与y轴的交点为P，求点P的坐标； 13 返回 (3)当1≤x≤5时，求原函数y的取值范围. 14 返回 C 15 返回 C 16 返回 14．抛物线y＝(x－3)2向下平移2个单位，再向左平移________个单位后经过点(－1，2). 2或6 17 15.已知二次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为_________________. 返回 －1＜x≤0或2≤x＜3 18 16. [2025吉林模拟]如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，过点A，B的抛物线y＝a(x－2)2＋c的顶点为E，若△ABE为等腰直角三角形，则a＝________. 返回 19 17．(8分)[2025新乡期末]在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝(x－h)2－1. (1)当x≤1时，y随着x的增大而减小，则h的最小值为________； 1 20 返回 解：当抛物线y＝(x－h)2－1经过点A(3，0)时， 易得h＝2或h＝4， 当抛物线y＝(x－h)2－1经过点B(5，0)时，易得h＝6或h＝4. 当h＝4时，抛物线y＝(x－h)2－1同时经过点A和点B， 不合题意，∴h≠4，则h的取值范围是2≤h≤6且h≠4. 21 18．(8分) 如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，并且抛物线C2的顶点也在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2关联． 关联 22 23 返回 1. 二次函数y＝(x＋3)2－2的图象是由函数y＝x2的图象向______(填“左”或“右”)平移______个单位，再向______(填“上”或“下”)平移________个单位得到的. 9．已知二次函数y＝a2＋k的图象上有A，B两点，则y1与y2的大小关系为__________．(用“＞”连接) 11．(12分)把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象． (1)填空：a＝______，h＝______，k＝______； 解：由(1)可知原函数图象的关系式为y＝(x－2)2－1， 当x＝0时，y＝×(0－2)2－1＝1， 所以点P的坐标为(0，1)． 解：因为原函数图象开口向上，顶点坐标为(2，－1)， 所以当x＝2时，y的最小值为－1. 因为当x＝1时，y＝×(1－2)2－1＝－， 当x＝5时，y＝×(5－2)2－1＝， 所以当1≤x≤5时，原函数y的取值范围为－1≤y≤. 12．[2025许昌期中]二次函数y＝a2－k的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋h的图象一定不经过(　　) A．第四象限　　　　 B．第三象限 C．第二象限　　　　 D．第一象限 13.已知点A(－2，y1)，B(4，y2)都在二次函数y＝a2－n的图象上，且y1<y2，则a的取值范围是(　　) A．－2<a<0　　　　 B．a<0 C．0<a<1　　　　　 D．a>1 (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段AB只有一个公共点，求h的取值范围． (1)已知抛物线y＝2－8和y＝－2＋1，这两条抛物线________；(填“关联”或“不关联”) (2)把抛物线L：y＝2－2绕顶点旋转180°得到抛物线M：y＝－2－2，把抛物线M先向上平移4个单位，再左右平移若干个单位得到抛物线Q，若抛物线L与Q关联，请求出抛物线Q的表达式. 解：由题意，设由抛物线M：y＝－2－2平移后得到的抛物线Q的表达式为y＝－2＋2，把抛物线L：y＝2－2的顶点坐标代入抛物线Q， 得－2＝－a2＋2，解得a＝±2， 得－2＝－a2＋2，解得a＝±2，所以抛物线Q的顶点坐标为(－3，2)或(1，2)． 因为点(－3，2)，(1，2)都在抛物线L上， 所以抛物线Q的表达式为y＝－2＋2或 y＝－＋2. $第26章　二次函数 26．2二次函数的图象与性质 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 第5课时　利用二次函数求最值 1 返回 1. [教材P20练习T1变式]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向下，顶点坐标为(－3，2)，那么该函数有(　　) A．最小值－3 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2 D 2 C 返回 2．二次函数y＝x2－2x＋6的最小值为(　　) A．－1 B．1 C．5 D．－5 3 C 返回 3．已知二次函数y＝－(x＋1)2＋3，若－3≤x≤2，则该函数的最小值和最大值分别是(　　) A．－1，3 B．0，3 C．－6，3 D．－6，－1 4 B 返回 4. [教材P20练习T2变式]为搞好环保，某公司准备修建一个长方体形状的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(　　) A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675 m2 5 5．如图，若用长10 m的铁丝借助墙AB(足够长)围成一个斜边为ED的直角三角形ECD，则所围成的△ECD的最大面积为(　　) A．5.5 m2 B．7.5 m2 C．10.5 m2 D．12.5 m2 返回 D 6 6．如图是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．4 C 返回 7 7．(8分)2025洛阳月考手工课上，小明准备做一个轴对称的四边形风筝，如图，这个风筝关于AC所在直线对称，它的两条对角线长度之和为100 cm，风筝的面积为S cm2，对角线BD＝2x cm. 8 (1)S与x的函数关系式为_______________；(不要求写出自变量x的取值范围) S＝－2x2＋100x 9 (2)当x是多少时，风筝的面积最大？最大面积是多少？ 返回 10 返回 3.75 8. 加工爆米花时，爆开且不煳粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(min)满足函数关系式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为________min. 11 返回 9．[教材P20练习T3]变式若两个负数的和为－50，则这两个负数积的最大值为________. 625 12 返回 10．[2025厦门期中]已知某烟花弹的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数关系式为h＝－2 t2＋16t＋2，且该烟花每隔1.6 s发射一枚花弹，当第一枚花弹在最高点时，第二枚花弹的飞行高度为________m. 28.88 13 返回 B 14 返回 D 12.当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为(　　) A．－1 B．2 C．0或2 D．－1或2 15 13．[教材P19例5变式]有一个铝合金窗户形状如图所示，上部分是由两个正方形组成的矩形，下部分也是一个矩形．若做该窗户共用铝合金材料6 m，则窗户透光的最大面积为________．(铝合金宽度不计) 返回 16 返回 14．[2025太原期中]如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC边上的动点，连结AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F.在点E运动的过程中，CF的最大值为________. 17 18 (1)若以28 m/s的速度行驶进行刹车测试，此时s与t之间的关系式为____________． s＝－4t2＋28t 19 (2)在(1)的条件下，若此时的刹车距离在48 m到52 m的范围为合格，请计算说明此款新型汽车刹车距离是否合格？ 20 (3)测试员驾驶该款汽车以16 m/s的速度在公路上行驶，在发现汽车正前方26 m处有一障碍物后立刻刹车，试计算在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车与障碍物相距14 m. 21 返回 23 (1)①用含x的式子表示DE的长为__________m，x的取值范围是________； ②当菜园面积为90m2时，求出此时x的值； 5≤x<11 返回 (2)求菜园面积的最大值． 25 解：易得0＜x＜50，S＝－2x2＋100x＝－2＋1 250， 因为－2＜0， 所以当x＝25时，风筝的面积最大，最大面积为1 250 cm2. 11. 定义运算：a⊗b＝(a＋2b)·(a－b)，如4⊗3＝×，则函数y＝⊗2的最小值为(　　) A．－21　　 B．－9　　 C．－7　　 D．－5 m2 15．(12分)某汽车研发中心设计了一款新型汽车，需对它的刹车性能进行测试．测试发现汽车刹车后行驶距离s(m)与刹车后行驶时间t满足关系式s＝vt－at2，v是开始刹车时的速度，a是刹车减速度，约为8 m/s2. 解：当t＝－＝时，s＝－4×2＋28×＝49， 因为48 m<49 m<52 m，所以此款新型汽车刹车距离合格． 解：由题意可知s＝16t－×8t2＝－4t2＋16t＝－4(t－2)2＋16， 因为－4<0，所以当t＝2时，s取得最大值，最大值为16，此时汽车停止，所以t≤2， 当汽车与障碍物相距14 m时，汽车刹车后行驶距离为26－14＝12(m)，令－4t2＋16t＝12，解得t1＝1，t2＝3(舍去)， 所以经过1 s，汽车与障碍物相距14 m. 16．(8分)如图，两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12 m和3 m，用一段长为23 m的篱笆围成一个矩形菜园，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2 m 的门．假设篱笆CD的长为x m，矩 形菜园的面积为S m2 . 解：②由题意，得＝90， 化简得x2－8x＋12＝0，解得x1＝6，x2＝2. 因为 5≤x<11，所以x＝2舍去，所以x＝6. 【解】由题意，可知S＝(x＋3)(22－2x)＝ －2x2＋16x＋66＝－2＋98，因为 a＝－2<0， 所以当x>4时，S随x的增大而减小， 又因为5≤x<11，所以当x＝5时， S最大＝－2＋98＝96，即菜园面积的最大值是96m2. $第26章　二次函数 26．2二次函数的图象与性质 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质 1 B 返回 1. 用配方法将二次函数y＝x2－2x－2化为y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　) A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x－2)2－3 2 返回 3 A 返回 3. 抛物线y＝x2＋2x－3的顶点坐标为(　　) A．(－1，－4)　　 B．(－1，－3) C．(1，－4)　　　 D．(1，－3) 4 D 返回 4．关于二次函数y＝－2x2－4x－2，下列说法正确的是(　　) A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线x＝1 C．其图象的最低点的坐标是(－1，0) D．当x<－1时，y随x的增大而增大 5 5．[教材P33复习题T10变式]二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： 当x＝2时，对应的函数值为(　　) A．0　　 B．－8　　　 C．－9　　　 D．－5 返回 x … －3 －2 0 1 3 5 … y … 7 0 －8 －9 －5 7 … B 6 6．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a＜0，b＜0，c＜0，此函数的大致图象是(　　) C 返回 7 返回 －2 8 返回 x＝－1 8．抛物线y＝－ax2－2ax＋4的对称轴为直线________. 9 返回 9．[2025厦门期中抛物线]y＝x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c的值为________. 16 10 10．(12分)[2025南阳期末]已知抛物线y＝x2－4x＋3. (1)求该抛物线的顶点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线； 11 解：y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－4＋3＝(x－2)2－1， 所以该抛物线的顶点坐标为(2，－1)， 画出该抛物线如图所示． y1＞y2 返回 (3)当0≤x≤a时，y的最大值为15，求a的值． 解：易知抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上， 所以当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，由图象可知，当x＝0时，y＝3， 所以当0≤x≤a时，在对称轴右侧，y才能取得最大值15， 即当x＝a时，y＝15，所以a2－4a＋3＝15， 解得a＝6或a＝－2(舍去)，故a的值为6. 14 11．[2025成都期末]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，则下列结论中错误的是(　　) A．abc>0　　　　　 B．b＝－2a C．c＞－1　　　　　 D．a－b＋c＜0 返回 D 15 返回 D 16 13.已知二次函数y＝x2＋(a－1)x－a＋2，当x＜－1时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________. 返回 a≤3 17 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋4上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为________. 3 18 返回 【点拨】因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝BD. 因为y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，所以抛物线的顶点坐标为(1，3)．易知当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为3，所以对角线BD的最小值为3. (1)b＝________，c＝________； 4 －6 20 (2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； 21 (3)设对称轴与x轴交于点C，则S△ABC＝________； 6 22 (4)若点D为抛物线与x轴的另一个交点，M为抛物线上一点，且△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，请求出点M的坐标． 23 返回 1 0 25 (3)若对于－2<b<－1，都有y1<y2，求a的取值范围． 又因为a>0，所以0<a≤2； ②若a<0，则二次函数图象开口向下， 若对于－2＜b＜－1，都有y1＜y2， 则易得1＋a≤－2或1＋a≥4， 解得a≤－3或a≥3，又因为a<0，所以a≤－3. 综上所述，a的取值范围为0<a≤2或a≤－3. 返回 1．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，则该抛物线的顶点坐标为________． (1，4) 2．如图，菱形ABCD的三个顶点在抛物线y＝ax2＋2ax＋2上，点A，B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为________． ＜ 4．已知抛物线y＝a(x＋1)2＋4与x轴的两交点的距离为6，则a的值为________． 5．如图，两条抛物线的顶点P，Q在x轴上，平行于x轴的直线与抛物线交于点A，B，C，D, AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ＝________. 8 2．将二次函数y＝－x2＋3x＋化成y＝a(x－h)2＋k的形式为_______________. y＝－(x－3)2＋6 7．若二次函数y＝x2－mx＋m2－4的图象经过原点，则m的值为________. (2)已知点A，B都在此抛物线上，则y1，y2的大小关系是________； 12．把抛物线y＝－x2＋4x－3先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线经过下面的点(　　) A．(－2，3)　 B． C．　 D．(－1，－4) 15.(16分)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(2，0)，B(0，－6)两点. 解：由(1)知抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－6，所以抛物线的对称轴为直线x＝－＝4，当x＝4时，y＝－×16＋4×4－6＝2，所以抛物线的顶点坐标为. 解：因为抛物线的对称轴为直线x＝4，A(2，0)， 所以由对称性可知D，所以AD＝6－2＝4. 设△ADM的边AD上的高为h，由题意得6×2＝×4×h，解得h＝6，因为抛物线的顶点坐标为， 所以点M只能在x轴的下方， 当y＝－6时，－x2＋4x－6＝－6，解得x1＝0，x2＝8， 所以点M的坐标为(0，－6)或(8，－6)． 16．(12分)在平面直角坐标系中，点A，B是抛物线y＝ax2－2ax上不重合的两点. (1)抛物线的对称轴为直线x＝________； (2)当a＝1，y1＝y2时，b的值为________； 解：由(1)知抛物线y＝ax2－2ax的对称轴为直线x＝1. ①若a>0，则二次函数图象开口向上， 若对于－2<b<－1，都有y1<y2， 则易得－1≤1＋a≤3，解得－2≤a≤2， 3．[2025新乡月考]抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－4，1)，B，C(－5，y1)，D，则y1与y2的大小关系是y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”) － $第26章　二次函数 26．2二次函数的图象与性质 1. 二次函数y＝ax2的图象与性质 1 1.下列选项中可能是二次函数y＝2x2的图象的是(　　) C 返回 2 B 返回 3 C 返回 3．已知抛物线y＝(m＋1)x2的开口向上，则m的取值范围是(　　) A．m＜－1 B．m＜1 C．m＞－1 D．m＞－2 4 (1，－1) 返回 4．下列各点：(1，－1)，(1，1)，(－2，4)，(3，9)，不在函数y＝x2图象上的是________. 5 6 (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝2x2 …           … y＝－x2 …           … 8 2 0 8 2 －2 0 －2 7 (2)在图中描点、连线． 【解】描点、连线如图所示． 8 ≠0 (3)由图象可知，开口较大的抛物线是________； 返回 下 9 6. 已知二次函数y＝x2，当x＜0时，y随x的增大而______；当x＞0时，y随x的增大而______．此函数图象有最______点，即当x＝______时，y有最______值，为______. 减小 增大 低 0 小 0 返回 10 7．已知抛物线y＝－2x2过A(－2，y1)，B(－1，y2)两点，则y1，y2，0之间的大小关系是________．(用“＜”连接) 返回 y1＜y2＜0 11 返回 8．已知点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为____________．(用“＞”连接) y1＜y2＜0 12 返回 9．抛物线y＝(m－4)x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为________. m＜4 13 10．(12分)已知A(3，m)是抛物线y＝－x2上的一点. (1)m的值为________； (2)当x>0时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)； －9 减小 14 (3)点A关于x轴的对称点B的坐标为______，点A关于y轴的对称点C的坐标为__________，点A关于原点O的对称点D的坐标为________； (4)直接写出在点B，C，D中，哪些点在抛物线y＝－x2上，哪些点在抛物线y＝x2上； (3，9) (－3，－9) (－3，9) 点C在抛物线y＝－x2上，点B，D在抛物线y＝x2上． 15 返回 (5)拓展设问若点(m，n)在抛物线y＝－x2上，则点(m，－n)，(－m，n)，(－m，－n)，(n，m)中一定在该抛物线上的是________． (－m，n) 16 返回 D 17 返回 D 12．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　) 18 返回 D 19 返回 14．二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为____________．(用“＞”连接) a1＞a2＞a3 20 15．[2025重庆期中]对于二次函数y＝ax2和y＝bx2，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，则m＝________，d－c＝________. 返回 1 x －1 m(m≠－1) y＝ax2 c c y＝bx2 c＋3 d 3 21 16. [2025长春期末]如图，Rt△OAB的顶点A(－3，6)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与抛物线交于点P，则点P的坐标为 ________. 返回 22 17．(12分)已知函数y＝(k＋2)xk2＋k－4是关于x的二次函数. (1)求k的值； 解：根据题意得k＋2≠0且k2＋k－4＝2， 解得k1＝－3，k2＝2. 23 (2)当该函数图象有最低点时，k＝________，此时若y随x的增大而增大，则x的取值范围是________； 2 x＞0 返回 (3)当该函数有最大值时，k＝____，此时若点P(m，n)是该二次函数图象上一点，则当－2≤m≤1时，求n的取值范围． －3 解：当k＝－3时，y＝－x2， 所以当x＝0时，y最大，为0. 因为当x＝－2时，y＝－4； 当x＝1时，y＝－1，所以n的取值范围为－4≤n≤0. 25 18.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A 返回 26 2．关于函数y＝－3x2的图象，说法错误的是(　　) A．开口向下 B．顶点坐标为 C．过原点　　　 　 D．对称轴为y轴 5．(12分)教材P7练习T2变式在同一平面直角坐标系中，画出y＝2x2和y＝－x2的图象. － － (4)观察图象，当x________时，抛物线y＝2x2上的点都在x轴上方；除顶点外，抛物线y＝－x2上的点都在x轴的________方． y＝－x2 11．已知点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m－3)在同一个函数的图象上，则这个函数可能是(　　) A．y＝2x－3 B．y＝－ C．y＝－2x2 D．y＝－x2 13. 定义运算“※”为a※b＝则函数y＝2※x的图象大致是(　　) A.≤a≤3 B.≤a≤1 C.≤a≤3 D.≤a≤1 $第26章　二次函数 26．2二次函数的图象与性质 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 第1课时　二次函数y＝ax2＋k 的图象与性质 1 上 返回 2 下 2 2 C 返回 3 B 返回 3．将抛物线y＝2x2向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为(　　) A．y＝2x2＋3 B．y＝2x2－3 C．y＝2(x－3)2 D．y＝2(x＋3)2 4 y＝－2x2 返回 4．把抛物线向上平移3个单位得到新抛物线y＝－2x2＋3，则原抛物线的表达式是________. 5 5. 抛物线y＝－x2＋1的开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______，因为a＝－1<0，所以当x________时，y随x的增大而增大；当x________时，y随x的增大而减小．当x________时，y有最________值，为________. 返回 下 y轴 (0，1) ＜0 ＞0 ＝0 大 1 6 6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2＋1的大致图象是(　　) A 返回 7 7．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0<x1<x2，则y1>y2 D．若x1<x2<0，则y1>y2 返回 D 8 返回 －1(答案不唯一) 8. 已知关于x的二次函数y＝－x2＋c的图象不经过第一、二象限，则常数c的值可以为_______________. 9 2 10 (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝ax2＋c的图象； 11 列表如下： 描点、连线可得图象，如图． 返回 (3)写出函数y＝ax2＋c的三条性质． ①函数图象的开口向下；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③当x>0时，y随x的增大而减小．(答案合理即可) 14 返回 B 15 11.已知二次函数y＝x2－1，当－1≤x≤2时，函数值y的取值范围是(　　) A．－1≤y≤3　　　　　 B．－1≤y≤0 C．0≤y≤1　　　　　 　 D．0≤y≤3 返回 A 16 返回 A 12.已知y＝ax2＋k的图象上有A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)三点，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 17 返回 3 18 返回 14. 将x轴向上平移3个单位，抛物线y＝2x2＋2保持不动，则在新直角坐标系下的抛物线表达式为________. y＝2x2－1 19 返回 8 20 16．[2025南阳模拟]如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋6上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，则m－n＝________. 1 返回 21 17．(8分)2025太原期中已知抛物线的对称轴是y轴，且该函数的最大值是3，点(1，1)在该抛物线上． (1)求此抛物线的函数表达式； 解：由题意可设y＝ax2＋3， 把点(1，1)的坐标代入，得1＝a＋3， 所以a＝－2，所以此抛物线的函数表达式为y＝－2x2＋3. 22 返回 (2)把此抛物线向下平移1个单位后所得的抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，在新抛物线上有点C(－2，m)，求△ABC的面积. 由题意可知，新抛物线的函数表达式为y＝－2x2＋2， 令y＝0，得x＝±1，所以A(－1，0)，B(1，0)，所以AB＝2. 23 18.如图，将二次函数y＝x2－4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新的函数图象(图中实线). 24 (1)当x＝－3时，新函数值为________，当x＝1时，新函数值为________； (2)当x＝________时，新函数取最小值； (3)当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是_______________； 5 3 －2或2 －2<x<0或x>2 返回 a>4或a＝0 26 1. 如图，将抛物线y＝x2向______平移________个单位得到抛物线y＝x2＋2；将抛物线y＝x2向______平移________个单位得到抛物线y＝x2－2. 2．函数y＝x2＋2与y＝x2的图象的不同之处是(　　) A．对称轴 B．开口方向 C．顶点坐标 D．形状 9．(12分)[教材P10做一做变式]函数y＝ax2＋c的图象的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与y＝－x2的图象相同. (1)a＝________，c＝________； － 解：由(1)可知，这个函数的表达式为y＝－x2＋2. x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 2 0 … 10．函数y＝与y＝kx2－k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　) 13．对于二次函数y＝ax2＋3(a≠0)，当x取x1，x2时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为 __________. 15．[2025吉林模拟]如图，将抛物线y1＝－x2＋4(－2≤x≤2)向下平移2个单位得抛物线y2，则阴影部分的面积为________. 把点C(－2，m)的坐标代入y＝－2x2＋2中， 得m＝－6.所以C(－2，－6)． 所以S△ABC＝·AB·＝×2×＝6. (4)若关于x的方程＝a有且只有两个解，则a的取值范围是______________． $第26章　二次函数 26．3实践与探索 第1课时　探索抛物线形问题 1 返回 1. 如图，已知实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－(x－1)2＋4，则该同学此次投掷实心球的成绩是(　　) A．2 m　　 B．3 m C．3.5 m　　 D．4 m B 2 返回 2 2．如图，以一定速度将小球按一定角度击出，小球的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间为________s. 3 返回 3．[2025大同期中]如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1 m处 达到最高点C，点C的高度为3 m，水柱 落地点D离池中心A处3 m，则水管AB 的长为________m. 2.25 4 返回 B 5 返回 16 6 6．[2025吉林期末]某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门，现把该拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN.若抛物线形拱门的跨度ON＝12 m， 拱高PE＝4 m，则抛物线的函数 表达式为______________. 返回 7 7．(8分)[教材P28上方练习变式]如图，隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形长16 m，宽6 m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8 m. 8 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； 9 (2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7 m，宽为4 m，如果该隧道内设双向行车道，请计算说明这辆货车能否安全通过. 返回 解：根据题意，把x＝±4代入抛物线表达式，得y＝7.5. 因为7.5 m>7 m，所以这辆货车能安全通过． 10 返回 11 返回 9．花园点O处竖直安装一水管，其喷头上下移动，喷出的抛物线形水柱也随之平移，水柱落点与点O在同一水平面．喷头在不同高度时，水柱落点 与O点的距离如图所示，则水柱落 点距O点2 m时，喷头高________m. 12 10．(8分)如图①所示的藉车是中国古代一种远程火攻武器，将藉车置于山坡底部O处，建立平面直角坐标系如图②所示，物体从藉车竖直方向上的点C处被抛出，OC＝ 5 m，其飞行路线可看作抛 物线的一部分，当其飞行 的水平距离为50 m时，达 到最大高度25 m. (1)抛物线的表达式为___________________； 13 (2)在斜坡(坡比i＝1∶6.25)上的点A处建有防御工事M，其最高点B与O点的水平距离为45 m，与斜坡的竖直距离AB＝16 m，试说明抛出物能否飞越防御工事M. 14 返回 11．(8分)2025西安一模如图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6 m的E处，测得桥面到拱桥的距离EF为 1.5 m，以拱桥顶点O为原点，桥面 为x轴建立平面直角坐标系. 16 (1)求拱桥顶部O离水面的距离； 17 (2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1 m. 18 ①求出其中一条钢缆所在抛物线的表达式； 19 ②为庆祝节日，在钢缆和拱桥之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值． 返回 20 4. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13 cm的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝x2＋6的一部分，则杯口的口径AC的长为(　　) A．6 cm　　 B．7 cm C．8 cm　　 D．9 cm 5．某涵洞的截面是抛物线形状，其在如图所示的平面直角坐标系中对应的函数表达式为y＝－x2，当涵洞水面宽AB为16 m时，涵洞顶点O至水面的距离为________m. y＝－2＋4 解：由题意，设该抛物线的表达式为y＝ax2＋8， 易知抛物线过点B1(8，6)， 所以6＝64a＋8，解得a＝－， 所以y＝－x2＋8. 8．有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的坐标系中，大棚跨度OK＝8 m．最大高度为3 m，现借助横梁ST建一个高1.5 m的门，则横梁ST＝______m. 4 y＝－2＋25 解：延长BA与x轴交于点D， 根据题意，可知OD＝45 m，i＝AD∶OD＝1∶6.25， 所以AD＝45÷6.25＝7.2(m)， 当x＝45时，y＝－2＋25＝24.8(m)， 因为24.8－7.2＝17.6(m)>16 m， 所以抛出物能够飞越防御工事M. 解：设题图①中拱桥所在抛物线的表达式为y1＝a1x2， 由题意易得F(6，－1.5)， 所以－1.5＝36a1，所以a1＝－，所以y1＝－x2， 当x＝12时，y1＝－×122＝－6， 所以拱桥顶部O离水面的距离为6 m. 解：由题意得右边的钢缆所在抛物线的顶点为(6，1)， 所以设此抛物线为y2＝a2(x－6)2＋1， 因为H(0，4)在该抛物线上，所以4＝a2(0－6)2＋1， 所以a2＝，所以y2＝(x－6)2＋1. (左边钢缆所在抛物线的表达式为y′＝(x＋6)2＋1) 解：设一条彩带的长度为h m， 则h＝y2－y1＝(x－6)2＋1－＝x2－x＋4＝ (x－4)2＋2， 所以当x＝4时，h最小，最小值为2. 答：一条彩带长度的最小值是2 m. $第26章　二次函数 26．3实践与探索 第2课时　探索二次函数与利润问题 1 返回 1. 若一种服装的销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数关系式y＝－x2＋2x＋10，则盈利的(　　) A．最大值为9万元 B．最大值为11万元 C．最小值为9万元 D．最小值为11万元 B 2 返回 125 2．大理洱海乘船游览项目深受游客喜爱，某游船公司调研发现，当船票单价为x元时，日销量为(－2x＋500)张，则当x＝________时，日售船票总收入最大. 3 返回 3．便民商店经营一种商品，在销售中发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2x2＋80x＋758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润________元. 1 556 4 4．(8分)五一期间，某影城开业，影城每天运营成本为1 000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y(张)与电影票售价x(元/张)之间满足一次函数关系：y＝－4x＋220(10≤x≤50，且x是整数)，设影城每天的利润为w(元)(利润＝票房收入－运营成本)． 5 (1)试求w与x之间的函数关系式； 解：根据题意，得w与x之间的函数关系式为w＝(－4x＋220)x－1 000＝－4x2＋220x－1 000(10≤x≤50，且x是整数)． 6 解：因为w＝－4x2＋220x－1 000＝ －4(x－27.5)2＋2 025(10≤x≤50，且x是整数)，－4<0， 所以当x＝27或28时，w取得最大值，最大值为－4×0.25＋2 025＝2 024. 答：影城将电影票售价定为27元/张或28元/张时， 每天获利最大，最大利润是2 024元． 返回 (2)影城将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 7 5. 将进货单价为30元的某种商品按零售价100元卖出时，每天能卖出20件．若该商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润决定降价x元(零售价不小于进货单价)． 8 (1)每件商品的利润为__________元，每日销售量为__________件； (2)每日的利润y＝______________，其中自变量x的取值范围为____________； (3)当每件降价________元时，可获得最大利润，最大利润是________元. 返回 (70－x) (20＋x) －x2＋50x＋1 400 0≤x≤70 25 2 025 9 6．(8分)色彩艳丽、小巧精美的傣族花包以独有的民族特色成为游客首选的纪念品．每个花包的成本为10元，某老板发现，当售价定为12元/个时，每天的销售量为200个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个. (1)当每个花包的售价定为16元时，每天的销售量为________个；当每个花包的售价定为x元时，每天的销售量为____________个； 160 (－10x＋320) 10 (2)当花包的售价定为多少时，该老板每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：设该老板每天获得的利润为W元，则W＝(x－10)(－10x＋320)＝－10x2＋420x－3 200＝－10(x－21)2＋1 210， 因为－10＜0，所以当x＝21时，W取得最大值，为1 210. 答：当花包的售价定为21元/个时，该老板每天获得的利润最大，最大利润是1 210元． 返回 11 7．某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y(万元)和销售时间第x天(1≤x≤30且x为整数)之间满足二次函数关系y＝－(x－h)2＋k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第________天的销售额最大. 返回 16 12 返回 5 8. 某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图①所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图②所示，则________月出售这种蔬菜，每千克的收益最大. 13 9．(8分) [2025成都一模]2025年春节，奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，销售一款成本为20元/件的哪吒模型．经销售发现，当售价为30元/件时，日销量为100件；售价每上涨2元，日销量减少4件；售价每下降1元，日销量增加5件．设该模型的售价为x元/件(x为整数且20<x≤50)，日销量为y件． 14 (1)求出y与x的函数关系式； 15 (2)该模型售价定为多少时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：设商家获得的利润为w元， 当30<x ≤ 50时，w＝(－2x＋160)×(x－20)＝－2x2＋200x－3 200＝－2(x－50)2＋1 800， 因为30<x≤50且x为整数，所以此时w随x的增大而增大， 所以当x＝50时，w取得最大值，最大值为1 800； 16 返回 当20<x≤30时，w＝(－5x＋250)×(x－20)＝ －5x2＋350x－5 000＝－5(x－35)2＋1 125， 因为20<x≤30且x为整数， 所以此时w随x的增大而增大， 所以当x＝30时，w取得最大值，最大值为1 000. 综上所述，当售价定为50元/件时，商家每天获得的销售利润最大，最大利润为1 800元． 17 10．(10分)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量)．经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外的其他成本为8元/件． 18 (1)该产品第一年的利润w(万元)与售价x(元/件)之间的函数关系式为_________________； (2)该产品第一年的利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件． ①该产品第一年的售价为________元/件； w＝－x2＋32x－252 16 19 ②若第二年售价不高于第一年，且销售量不超过13万件，则第二年的利润最少是多少万元？ 20 返回 解：当30<x ≤ 50时，y＝100－×(x－30)＝－2x＋160； 当20<x≤30时，y＝100＋5(30－x)＝－5x＋250， 所以y＝ 解：因为第二年售价不高于第一年，且销售量不超 过13万件，所以解得11≤x≤16. 设第二年的利润为w′(万元)，则 w′＝[x－(8－2)](24－x)－4＝－x2＋30x－148. 因为－1<0，对称轴为直线x＝－＝15， 所以当x＝11时，w′有最小值，最小值为 －112＋30×11－148＝61. 答：第二年的利润最少是61万元． $第26章　二次函数 26．1二次函数 1 2 返回 1.函数y＝x2＋3x－1中，自变量x的最高次数是________，该函数是________函数，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________. 二次 1 3 －1 2 C 返回 3 B 返回 3．若y关于x的函数y＝3xm－1－x＋1是二次函数，则m的值为(　　) A．2 B．3 C．0 D．－1 4 1 返回 4.已知y＝(m＋1)x|m|＋1＋2x－3是二次函数，则m的值为________. 5 a≠2，b为任意实数 a＝2且b≠－2 5. [2025南阳联考]已知关于x的函数y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当_________________时，此函数是二次函数； (2)当____________时，此函数是一次函数． 返回 6 6．(12分)教材P4习题T3变式已知二次函数y＝ax2＋bx，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝－6. 7 (1)求a，b的值； 8 (2)当x＝3时，求y的值； 解：由(1)可知二次函数的表达式为y＝－4x2＋5x， 所以当x＝3时，y＝－4×32＋5×3＝－21. 9 (3)当y＝－6时，求x的值. 返回 10 7. 如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为(　　) A．正比例函数关系　 B．反比例函数关系 C．一次函数关系　　 D．二次函数关系 返回 D 11 返回 y＝38(1＋x)2 8．目前，3D打印技术在医学领域应用广泛．报告显示2024年全球医疗3D打印应用的市场规模约为38亿美元，若2026年的市场规模约为y亿美元，且年均增长率为x，则y与x之间的函数关系式为______________. 12 返回 9．菱形两条对角线的长度和为24 cm，则菱形的面积S(cm2)与其中一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为____________. 13 返回 10．[2025莆田质检]已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数关系式为____________． 14 11．(8分)[教材P4习题T4变式]如图，一个窗户的上部是由4个扇形组成的半圆，下部是由4个边长相同的小正方形组成的正方形. 15 (1)求窗户面积S(m2)与小正方形边长a(m)之间的函数关系式； 16 返回 (2)当a＝4时，求窗户的面积．(结果保留π) 17 返回 C 12．下列一定是关于x的二次函数的是(　　) A．y＝(m＋1)2x2　　 　 B．y＝(x＋1)x－x2 C．y＝(m2＋1)x2　　　 D．y＝ax2＋bx＋c 18 13．如图，正方形ABCD和圆O的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(　　) A．反比例函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 返回 D 19 返回 14．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6，AD＝4，点E，F分别在线段AD，DC上(不与端点重合)，若∠BEF＝120°，AE＝x，DF＝y，则y关于x的函数关系式为________________. 20 15．[教材P2问题1变式]如图，用24 m的篱笆围一个中间隔有一道篱笆的矩形花圃，一边靠墙(墙长10 m)，中间篱笆垂直于墙．设AB为x m，花圃的面积为S m2，则S与x之间的函数关系式及自变量取值范围为________________________. 返回 21 16．(8分)洛邑古城的《永远的盛唐》沉浸式XR体验项目，因使人有“身临”盛唐时代的震撼效果而持续火爆．该项目体验成本为25元/次，场馆日固定成本为6 000元．定价为89元/次时，日均客流量为200人．为响应文旅惠民行动，运营方要降低价格，且每次降价不超过20元，调研发现，每次每降价1元，日客流量可增加8人. 22 (1)若每次降价x元时日利润为y元，求y与x的函数关系式； 解：每次降价x元时，每次利润为89－x－25＝(64－x)元， 日均接待游客(200＋8x)人， 由题意，得y＝ (64－x)( 200＋8x)－6 000＝ －8x2＋312x＋6 800. 返回 (2)要使日利润为9 600元，每次应降价多少元？ 解：由题意，得－8x2＋312x＋6 800＝9 600， 整理，得x2－39x＋350＝0， 解得x＝14或x＝25， ∵每次降价不超过20元，∴x＝14. 答：要使日利润为9 600元，每次应降价14元． 24 17．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动 到点C时，两点停止运动．设运动时间为 x s，多边形APQC的面积为y cm2. 25 (1)y与x之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围为________； y＝x2－6x＋24 0≤x≤4 返回 (2)多边形APQC的面积能否等于14 cm2？若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由． 解：不能，理由：令x2－6x＋24＝14， 即x2－6x＋10＝0， 因为Δ＝(－6)2－4×1×10＝－4<0， 所以该方程无实数根， 所以多边形APQC的面积不能等于14 cm2. 27 2．[2025晋中期末]下列函数一定为二次函数的是(　　) A．y＝2x＋1　　　　　 B．y＝ C．s＝3－2t2　　　　 D．y＝x2＋ 解：将x＝1，y＝1；x＝2，y＝－6代入y＝ax2＋bx， 得解得 解：由于二次函数的表达式为y＝－4x2＋5x，所以当y＝－6时，－4x2＋5x＝－6，解得x＝2或x＝－. S＝－x2＋12x m＝n2－n 解：S＝πa2＋2＝πa2＋4a2. 【解】当a＝4时，S＝π×42＋4×42＝8π＋64. 答：这个窗户的面积是(8π＋64)m2. y＝－x2＋x S＝－3x2＋24x $第26章　二次函数 26．2二次函数的图象与性质 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 第2课时　二次函数y＝a(x－h)2 的图象与性质 1 y＝(x＋1)2 返回 1. 将抛物线y＝x2向左平移1个单位得到的抛物线的表达式为________；将抛物线y＝x2向右平移1个单位得到的抛物线的表达式为________，简称为“左______右______”. y＝(x－1)2 加 减 2 D 返回 2．关于抛物线y＝－5(x＋4)2与y＝－5x2，下面说法正确的是(　　) A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相反 D．顶点都在x轴上 3 3 返回 3．将抛物线y＝－3(x＋a)2向右平移3个单位，得到抛物线y＝－3x2，则a＝________. 4 C 返回 5 D 5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是(　　) 返回 6 6．抛物线y＝2(x＋1)2不经过的象限是(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 C 返回 7 7．对于二次函数y＝－(x－1)2，说法错误的是(　　) A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线x＝1 C．图象的顶点坐标为(1，0) D．当x＜1时，y随x的增大而减小 返回 D 8 返回 B 8．若点A(－2，y1)与点B(－3，y2)都在抛物线y＝(x＋1)2上，则y1和y2的大小关系是(　　) A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 9 返回 9．已知二次函数y＝a(x－1)2，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是__________. a＜0 10 返回 10．已知二次函数y＝3(x－a)2，当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_____________． a≤3 11 12 (1)该函数图象的开口向________，顶点坐标为________，对称轴为________； 上 (3，0) 直线x＝3 14 返回 (3)根据图象说明：①当x取何值时，y随x的增大而减小？②当x取何值时，y有最大(小)值？最大(小)值是多少？ 【解】①当x<3时，y随x的增大而减小．②当x＝3时，y有最小值，最小值为0. 16 返回 D 12．若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是(　　) A．(m，n＋1) B．(m＋1，n) C．(m，n－1) D．(m－1，n) 17 13．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋h与二次函数y＝a(x－h)2的图象不可能是(　　) 返回 C 18 返回 C 19 15.已知抛物线y＝－(x－h)2，当自变量x的值满足3≤x≤7时，与其对应的函数的最大值是－1，则h的值为________. 返回 8或2 20 4 返回 21 22 (1)求这个二次函数的表达式； (2)点B(2，－2)在这个函数图象上吗？若不在，请通过左右平移该函数图象，使它过点B，并写出平移方案. 24 返回 26 (1) 写出该抛物线的对称轴及点A，B的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28 返回 4. 下列抛物线中，对称轴为直线x＝的是(　　) A．y＝x2＋ B．y＝x2 C．y＝ D．y＝ 11．(12分)教材P13做一做变式在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝(x－3)2的图象，然后回答以下问题. 解：函数y＝(x－3)2的图象如图所示． (2)试说明该函数图象与二次函数y＝x2的图象之间的关系； 【解】二次函数y＝(x－3)2的图象向左平移3个单位得到二次函数y＝x2的图象． 14.已知函数y1＝－2，y2＝－2，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A，B，下列说法一定正确的是(　　) A．若1<m<n，则a1<a2 B．若m<1<n，则a1<a2 C．若m<n<1，则a1<a2 D．若m<1<n，则a1>a2 16．[2025太原开学考]如图，抛物线y＝2与x轴的公共点为M，与平行于x轴的直线l交于点A，B，AB＝4，则点M到直线l的距离为________. 17．(8分)已知二次函数y＝a(x＋m)2的图象的顶点坐标为(－1，0)，且过点A. 解：因为二次函数y＝a(x＋m)2的图象的顶点坐标为(－1，0)，所以m＝1.把点A的坐标代入y＝a(x＋1)2，得－＝a(－2＋1)2，解得a＝－，则这个二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2. 解：把x＝2代入y＝－(x＋1)2， 得y＝－×(2＋1)2＝－≠－2， 所以点B(2，－2)不在这个函数的图象上． 根据题意设平移后图象对应的函数表达式为 y＝－(x＋1＋n)2， 把(2，－2)代入，得－2＝－×(2＋1＋n)2，解得n1＝－1，n2＝－5，所以将该函数图象向右平移1个单位或向右平移5个单位，即可过点B. 18．(8分)[2025信阳模拟]如图，抛物线y＝2与x轴的公共点为点A，与y轴交于点B. 解：因为y＝2，所以对称轴为直线x＝－2. 当x＝0时，y＝4，所以B，当y＝0时， 2＝0，解得x1＝x2＝－2，所以A. 【解】存在．设P， 因为A，B，O，所以AP∥OB， 所以当AP＝OB时，以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，所以＝4，所以m＝±4， 所以P或P. $第26章　二次函数 26．3实践与探索 第3课时　探索二次函数与一元二次 方程、一元二次不等式的关系 1 返回 1. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是(－6，0)和(4，0)，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是_____________. x1＝－6，x2＝4 2 返回 B 2．如表是二次函数y＝ax2＋bx－5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx－5＝0的一个根所在的范围是(　　) A．1～1.1 B．1.1～1.2 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4 x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 3 返回 3．抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C 4 返回 4．抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为________. 2 5 5．[2025驻马店期中]关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为－3和1，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线________. 返回 x＝－1 6 6．[2025吉林期中]抛物线y＝2x2－4x＋m的部分图象如图所示，则一元二次方程2x2－4x＋m＝0的解是______________. x1＝－1，x2＝3 返回 7 7．如图，二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m的图象交于A，B两点，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解是________________． 返回 x1＝－1，x2＝3 8 返回 1 8．[2024徐州中考]在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－2 023)(x－2 024)＋5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P，Q，则PQ＝________. 9 10 返回 返回 x＞3或x＜－1 －1＜x＜3 12 0＜x＜2 x＜0 返回 13 返回 C 12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为2，则(　　) A．a＞0，b2－4ac＞0　　 B．a＜0，b2－4ac＞0 C. a＞0，b2－4ac＜0　　 D．a＜0，b2－4ac＜0 14 13.已知函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为__________. 返回 －1或2或1 易错点睛：本题易忽略函数为一次函数的情况． 15 14. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式a(x－2)2＋b(x－2)＋c＜0的解集为____________. x＜3或x＞5 16 返回 【点拨】由题中函数图象可知，当x＝1或x＝3时，y＝0， 所以当a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0时，x－2＝1或x－2＝3，所以a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0的解为x1＝3，x2＝5， 易得不等式a(x－2)2＋b(x－2)＋c＜0的解集为x＜3或x＞5. 15．如图为抛物线y＝ax2＋bx－3，则一元二次方程ax2＋bx＝0的根为________________. 返回 x1＝－3，x2＝0 18 16．(12分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(1，0)，(3，0)，顶点为(2，2)，根据图象解答下列问题： 19 (1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为____________，不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为________； (2)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________； x1＝1，x2＝3 x≤1或x≥3 k<2 返回 (3)若关于x的方程ax2＋bx＋c－t＝0在1<x<4的范围内有实数根，求t的取值范围． 解：因为二次函数图象的顶点坐标为(2，2)， 所以设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋2， 把点(1，0)的坐标代入，得0＝a＋2，所以a＝－2， 所以二次函数的表达式为y＝－2(x－2)2＋2， 把x＝4代入，得y＝－6，观察题中图象可知， 当1＜x＜4时，－6＜y≤2，所以t的取值范围是－6<t≤2. 21 17．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴交于A，B(3，0) 两点，与直线AM：y＝kx＋b交于A，M(4，5) 两点，点C为抛物线顶点. 22 (1)求抛物线的表达式及顶点C和点A的坐标； (2)由图象可知不等式ax2－2x＋c>kx＋b的解集为____________； x<－1或x>4 (3)将直线AM向下平移，在平移过程中与抛物线BC 部分图象有交点时(包含B，C端点)，请求出b 的取值范围． 25 设直线AM向下平移后的表达式为y＝x＋b， 当直线AM向下平移经过点B(3，0) 时， 则3＋b＝0，解得b＝－3； 当直线AM向下平移经过点C(1，－4) 时， 则1＋b＝－4，解得b＝－5. 返回 1．[2025陕西中考]在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(　　) A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于－3 D．当x＝2时，y＜0 D 2≤m<7 3．抛物线y＝－x2＋m2x和y＝x2－m2与x轴均有两个交点，每相邻两交点的距离都相等，则两条抛物线对称轴间的距离为________． 2 4．抛物线y＝x2＋2x－n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2－2x－n与x轴交于C，D两点，若AD＝2BC，n＞0，则n＝________． 8 9．(4分)[教材P30习题T4变式]利用图象求方程组的解： 解：①－②，得2x2＋4x－6＝0.令y＝ 2x2＋4x－6，画出其图象如图，则方程2x2＋4x－6＝0的解为x1＝－3，x2＝1.把x＝－3代入②，得y＝15；把x＝1代入②，得y＝3.所以方程组的解为 10.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是_____________；当函数值y＜0时，x的取值范围是______________. 11．如图，直线y1＝kx＋2和抛物线y2＝x2＋bx＋c都经过点A和点B，当y1＞y2时，x的取值范围是__________；当0＜y1＜y2时，x的取值范围是________. 解：因为 点B(3，0)，M(4，5) 是抛物线上的点， 所以 解得 所以抛物线的表达式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4＝(x－3)(x＋1)，所以顶点C的坐标为(1，－4)，点A的坐标为(－1，0)． 解：因为 点A(－1，0)和点M(4，5)在直线AM 上， 所以解得 所以直线AM的表达式为y＝x＋1， 当直线AM向下平移后与抛物线y＝x2－2x－3只有一个交点时，联立得x2－3x－3－b＝0， 则Δ＝9－4(－3－b)＝0，解得b＝－， 所以b的取值范围是－≤b≤－3. 2．抛物线y＝－x2＋4x－2向上平移m个单位后，在－1<x<4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是________． $