第27章 圆习题课件 2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“圆的认识”核心内容，涵盖圆的基本元素、圆心角、等圆及圆内接四边形等知识点。从基础概念辨析到性质应用，再到综合证明，构建由浅入深的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过分层题目设计，融合几何直观与推理能力，如利用勾股定理及直角三角形斜边中线性质证明四点共圆，培养学生数学思维。题型适配不同教学需求，助力学生发展应用意识，也为教师提供系统的学情检测工具。

第27章　圆 27. 2与圆有关的位置关系 3. 切线 第2课时　切线长定理与三角形的内切圆 1 返回 1. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连结AB，下列结论错误的是(　　) A．∠1＝∠2　　　　 B．PA＝PB C．AB⊥OP　　　　 D．PC＝OC D 2 返回 60° 3 返回 3. 如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．AB＝5，AC＝3，则BD＝______. 2 4 4．(4分)[教材P56习题T7变式]如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，AC分别与小圆相切于点D、E.求证：AB＝AC. 5 返回 5. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，D为切点，则点O是△ABC三条________的交点，连结OB，OD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝________. 返回 角平分线 70° 7 6．如图，点P是△ABC的内心，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1________S2＋S3.(填“<”或“＝”或“>”) ＜ 返回 8 7. [教材P55练习T2变式]如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AB＝18，BC＝28，CA＝26，则AF＝________. 返回 8 9 8．(4分)2025许昌期末如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，连结BD.求证：BD＝ID. 10 返回 证明：如图，连结BI. ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI. 又∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CBD.∴∠BID＝∠ABI＋∠BAD＝∠CBI＋∠CBD＝∠IBD.∴BD＝ID. 返回 9. 如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连结OI，OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(　　) A．15° B．17.5° C．20° D．25° C 12 返回 10．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝______. 68° 13 11．小明测量一个圆形铁环半径，他将铁环、含30°角的三角尺和直尺按如图所示方式摆放，铁环与三角尺和直尺分别相切，此时PA＝5 cm，则铁环半径为________ cm. 返回 14 返回 7 12.如图，⊙O是△ABC的内切圆，DE与⊙O相切，分别交AB，AC于点D，E，连结OD，OE，若△ABC的周长为25，BC＝9，∠A＝52°，则△ADE的周长为________，∠DOE＝________. 64° 15 13．(8分)如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，AB∥CD.连结OB、OC，延长CO交⊙O于点M，作MN∥OB交CD于点N，OB＝6，OC＝8. 16 (1)求证：MN是⊙O的切线； 17 (2)求⊙O的半径及MN的长. 18 返回 14．(8分)如图，△ABC的内切圆⊙I与AB，BC，CA分别切于点F，D，E. (1)若∠A＝60°，则∠BIC＝______， ∠FDE＝______； 120° 60° 20 (2)若∠BIC＝α，∠FDE＝β，试猜想α与β的关系，并说明理由. 解：α＝180°－β.理由如下： 连结FI，IE，则∠FIE＝2∠FDE， ∵⊙I是△ABC的内切圆， ∴∠IFA＝∠IEA＝90°，∴∠A＝180°－∠EIF＝180°－2∠FDE＝180°－2β， 21 返回 方法指导：如图，△ABC中，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，△ABC的内切圆⊙O的半径为r，△ABC的面积为S. 1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，则⊙O的半径是________． 1 2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，I为△ABC的内心，则AI＝________． 5 3．如图，点D为△ABC的内心，过点D作一条平分△ABC面积的直线，则被分成的两个图形的周长比是________． 1∶1 2．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，OP＝4，PA＝2，则∠APB＝______. 证明：如图，连结OE，OD， ∵AB，AC分别与小圆相切于点D、E， ∴OE⊥AC，OD⊥AB，AD＝AE， ∵AB，AC是大圆的弦， ∴AD＝AB，AE＝AC， ∴AB＝AC. 5 证明：根据题意，可知∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB， ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°， ∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝90°， ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°，∴∠BOM＝90°， ∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠BOM＝90°，即MN⊥MC， 又∵MO是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线． 解：如图，连结OF，则OF⊥BC， 在Rt△OBC中，BC＝＝10， ∵S△BOC＝•OB•OC＝•BC•OF， ∴6×8＝10×OF，解得OF＝4.8， 即⊙O的半径为4.8， ∵∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°， ∴△NMC∽△BOC， ∴＝，即＝， ∴MN＝9.6. ∵内心I是△ABC三条角平分线的交点， ∴∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝180°－(∠ABC＋ ∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A， ∴∠BIC＝α＝90°＋(180°－2β)，即α＝180°－β. $第27章　圆 27. 2与圆有关的位置关系 2. 直线与圆的位置关系 1 返回 1. “海上生明月，天涯共此时．”如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 B 2 返回 C 2．已知⊙O的半径是4 cm，圆心O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 3 返回 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以点A为圆心作一个半径为3的圆，则⊙A与BC所在直线的位置关系是(　　) A．相交 B．相切　 C．相离　 D．不确定 B 4 返回 4. 已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2，线段OA＝3，OB＝2，则直线AB与⊙O的位置关系为(　　) A．相离　　　　 B．相交 C．相切　　　　 D．相交或相切 D 5 5. 在平面直角坐标系中，以点(－3，4) 为圆心，3为半径的圆与x轴________，与y轴__________．(均填“相交”“相切”或“相离”) 返回 相离 相切 6 6. (6分)教材P50例1变式如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？请写出判断过程． (1)r＝2; (2)r＝2.4; (3)r＝4. 7 返回 8 7. [教材P50练习T1变式]已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O没有公共点，则d的取值范围是(　　) A．d＞3 B．d＜3 C．d≤3 D．d＝3 返回 A 9 返回 D 8．已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6 cm，则⊙O的半径可能为(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 10 返回 9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为________. 1或5 11 10．(4分)如图，∠AOB＝30°，P是OA上一点，OP＝12 cm，以点P为圆心，r为半径作⊙P，若⊙P与OB有公共点，则r应满足什么条件？ 12 返回 11．在▱ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝20.以顶点C为圆心，BC长为半径作⊙C，则⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 返回 B 14 返回 4 12．⊙O半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个根，当直线l和⊙O相切时，m＝____. 15 13．[2025鹤壁模拟]如图，以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是_________________. 返回 16 返回 14．如图，⊙O的半径为2，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.若把圆上到直线l的 距离等于1的点的个数记为m，由此可知： (1)当d＝3时，m＝________； (2)当m＝2时，d的取值范围是__________. 1 1＜d＜3 17 15．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以点C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有1个交点，求r的取值范围. 18 返回 16．(12分)设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间的距离为d. 21 (1)如图①，当r＜a时， 根据d、a、r之间关 系，将⊙O与正方形 公共点个数填入下表： 所以，当r＜a时，⊙O 与正方形公共点可能 有_______个； d、a、r之间关系 公共点个数 d＞a＋r   d＝a＋r   a－r＜d＜a＋r   d＝a－r   d＜a－r   0 1 2 1 0 0、1或2 22 (2)如图②，当r＝a时，根据d、a、r之间关系，将⊙O与正方形公共点个数填入下表： 所以，当r＝a时，⊙O与正方形公共点可能有__________个； d、a、r之间关系 公共点个数 d＞a＋r   d＝a＋r   a≤d＜a＋r   d＜a   0 1 2 4 0、1、2或4 返回 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AB＝＝＝5. ∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝＝＝2.4. (1)∵r＝2<2.4，∴⊙C与直线AB相离． (2)∵r＝2.4，∴⊙C与直线AB相切． (3)∵r＝4＞2.4，∴⊙C与直线AB相交． 解：过点P作PC⊥OB于点C，∵∠AOB＝30°， ∴PC＝OP＝×12＝6(cm)，∵⊙P与OB有公共点， ∴⊙P与OB相切或相交，∴r≥PC，∴r≥6 cm. －2＜b＜2 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°， ∴AB＝4.∴BC＝＝＝2 . ∴CD＝BC＝. 分两种情况讨论，如图： 当圆与AB所在直线相切时，r＝； 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，2＜r≤2 . 综上所述，r的取值范围是r＝或 2＜r≤2 . (3)如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a. 解：如图所示，连结OC. 则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r， 在Rt△OCF中，由勾股定理得 OF2＋FC2＝OC2，即(2a－r)2＋a2＝r2， 整理可得5a＝4r，∴r ＝a. $第27章　圆 27. 2与圆有关的位置关系 3. 切线 第1课时　切线的判定与性质 1 返回 1. 下列说法中，正确的是(　　) A．AB垂直于⊙O半径，则AB是⊙O切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 D 2 返回 ∠OAP＝90°(答案不唯一) 2．如图，点A在⊙O上，要使PA是⊙O的切线，需要添加的一个条件是_______________________. 3 返回 3．如图，已知∠AOB＝30°，M为边OB上任意一点，以M为圆心，3 cm为半径作⊙M.当OM＝________cm时，⊙M与OA相切. 6 4 4．(4分)如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC.求证：直线DE为⊙O的切线. 5 返回 证明：连结OD，如图所示， ∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD，∴AC∥OD， ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， 又∵OD是⊙O的半径，∴直线DE为⊙O的切线． 5. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB等于(　　) A．35° B．45° C．55° D．65° 返回 C 7 6．[2025安徽中考改编]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上，连结OB.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为________. 20° 返回 8 7．[2025吕梁期末]以O为中心点的量角器与直角三角尺ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角尺只有一个公共点P，若点P的读数为45°，则∠CBD的度数是________. 返回 45° 9 返回 3 8．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为__________. 10 9．(8分)2025信阳二模如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，连结CD并延长交⊙O于点E. 11 (1)尺规作图：作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F；(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图所示，EF即为所求． 12 返回 (2)求证：△DEF是等腰三角形． 证明：∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF， ∴∠OEF＝90°＝∠OEC＋∠FED， ∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C， ∵OC⊥AB，∴∠ODC＋∠C＝90°＝∠FDE＋∠C， ∴∠FED＝∠FDE，∴FE＝FD， ∴△DEF是等腰三角形． 13 返回 10. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列坐标对应的格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(　　) A．(0，3)　 　　　 　 B．(1，3)　 C．(6，0)　　　 　 　 D．(6，1) B 14 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝28°，以AB 为直径的⊙O交AC于点D，DE∥CB，连结BD.若添加一个条件，使BC是⊙O 的切线，则下列四个条件中不符合的是(　　) A．DE⊥AB　　　　 B．∠EDB＝28° C．∠ADE＝∠ABD　　 D．OB＝BC D 返回 15 返回 C 12．[2025福建中考]如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　　) A．30°　 B．45°　 C．60°　 D．75° 16 13．如图，PA与⊙O相切于点A，连结OA，OP，PO交⊙O于点B，点C在PA上，连结CB，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为________. 返回 17 返回 14．如图，正方形ABCD的边长为6，E是DC边的中点，F是BC边上的动点，连结EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F.当⊙F与正方形ABCD的边相切时，BF＝______________. 18 15．(8分)传统农具扇车是最早利用离心原理分离糠谷的农具．东东画出了风扇部分的平面图(如图)，AE为⊙O的直径，弦BC⊥AE交AE于点D， 地面上的点F在AD的延长线上， 连结CF，AB，AC，AD＝BC ＝80 cm，∠BCF＝∠BAC. 19 (1)求证：CF是⊙O的切线； 证明：如图，连结CO并延长交⊙O于点G，连结BG，  ∵∠BAC＝∠BCF，∠BGC＝∠BAC，∴∠BCF＝∠BGC， ∵CG是⊙O的直径，∴∠GBC＝90°， ∴∠BGC＋∠GCB＝90°， ∴∠BCF＋∠GCB＝90°，即∠GCF＝90°， ∴OC⊥CF，又∵OC为⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线． 20 (2)求风扇中心O到地面F的距离． 21 返回 16. 如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为__________. 23 返回 或6－3 解：∵AE为⊙O的直径，AE⊥BC，BC＝80 cm， ∴BD＝DC＝BC＝40 cm，设⊙O的半径为r cm， ∵AD＝80 cm，∴OD＝(80－r)cm. 在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2， 则2＋402＝r2，解得r＝50， ∴OC＝50 cm，OD＝AD－AO＝30 cm， ∵∠DOC＝∠COF，∠ODC＝ ∠OCF＝90°，∴△ODC∽△OCF， ∴＝，即＝，解得OF＝ cm， ∴风扇中心O到地面F的距离为 cm. 2 点拨：如图，记直线y＝x＋4与x轴，y轴分别交于点A，K，连结QM，PM，KM, 易得K(0，4)，A(－4，0)，而M，∴OA＝OK＝OM＝4，∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，易得∠AKM＝90°，∵QP与⊙M相切，∴∠PQM＝90°，∴PQ＝，∵QM＝2， ∴当PM最小时PQ最小， 当PM⊥ AK时，PM取得最小值， 易知此时点P与点K重合，在Rt△OKM中，KM＝＝4，即PM最小值为4 ，此时PQ＝＝2，即PQ的最小值为2. $第27章　圆 27．1圆的认识 2．圆的对称性 第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系 1 返回 1. [2025郑州期末]下列说法正确的是(　　) A．弧相等，它们所对的圆心角相等 B．弦相等，它们所对的弧相等 C．在同圆中，圆心角不相等，它们所对的弦不相等 D．弦相等，它们所对的圆心角相等 C 2 返回 C 3 返回 ①②③④ 4 返回 120° 5 5. 圆是中心对称图形，________是对称中心；圆又是轴对称图形，它的对称轴有________条，________________是它的对称轴. 返回 圆心 无数 直径所在的直线 6 6．如图是三个同心圆，圆心为O，AB＝4，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为___________． 返回 π 7 返回 C 8 返回 9 10 返回 12 返回 2．如图，AB是⊙O的直径，点E，D，C在⊙ O上，已知＝，＝，则∠COE等于(　　) A．80°　 B．85°　 C．90°　 D．95° 3. 如图，在⊙O中，＝，则下列结论：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝.其中正确的是________(填序号). 4. [教材P39练习T1变式]如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，则∠AOC＝________. 7. 如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是(　　) A．AB>2CD B．AB＝2CD C．AB<2CD D．以上都不正确 8．如图，⊙O的半径为1，MN是直径，点A是半圆上的一个三等分点，B是的中点，其关于MN的对称点为B′，则AB′＝________. 9．(8分)如图，在⊙O中，D，E分别是半径OA，OB的中点，C是⊙O上一点，CD＝CE.求证：＝. 证明：连结OC.∵D，E分别是半径OA，OB的中点， OA＝OB，∴OD＝OE.在△OCD和△OCE中， ∴△OCD≌△OCE(SSS)，∴∠COD＝∠COE，∴＝. 10．(4分)如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD. 证明：连结AC，BD.∵C，D是的三等分点， ∴＝＝，∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD. ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°，∠OAB＝∠OBA＝45°. ∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°. ∵OA＝OC，∠AOC＝30°， ∴∠ACE＝×(180°－30°)＝75°＝∠AEC. ∴AE＝AC.同理可得BF＝BD. ∴AE＝BF＝CD. $第27章　圆 27．1圆的认识 1.圆的基本元素 1 返回 1. 下列条件中，能确定一个圆的是(　　) A．以点O为圆心 B．以3 cm为半径 C．以点O为圆心，3 cm为半径 D．经过已知点A C 2 返回 B 2．下列图形中，∠1是圆心角的是(　　) 3 返回 3. 下列说法中，正确的是(　　) A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．半径相等的两个圆是等圆 D 4 返回 4．如图，在⊙O中，________是弦，________是直径，__________是优弧，________是劣弧． AC，AB AB 5 5．已知⊙O的半径为3，则⊙O中最长的弦的长为________. 返回 6 6 6. 如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为________. 100° 返回 7 7．如图，若BC是⊙O的弦，∠BOC＝90°，BC＝10，则⊙O的半径长为________. 返回 8 返回 84° 8．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠E＝28°，则∠AOC＝________. 9 返回 9. 如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC和四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为________. 5 10 返回 10．如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，连结AC、BC，D、E分别是AB、BC的中点，则DE的最大值为______. 6 11 11．(8分)如图，AB、AC为⊙O的弦，连结CO、BO并延长，分别交AB、AC于点E、F，CE＝BF. 12 (1)求证：∠B＝∠C； 13 返回 (2)若∠B＝20°，则∠A＝________. 40° 14 15 返回 ， ， 5 证明：∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC， 又∵BF＝CE，∴BF－OB＝CE－OC，即OF＝OE， 在△OBE和△OCF中， ∴△OBE≌△OCF(SAS)，∴∠B＝∠C. 12．(4分)如图，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5.证明：A，B，C，D四点在同一个圆上，并画出这个圆. 证明：∵∠A＝90°，AD＝5，AB＝5 ， ∴在Rt△ABD中，BD＝＝10， ∴BC2＋CD2＝100＝BD2，∴∠BCD＝90°， 如图，取BD的中点O，连结OA，OC， 则O是Rt△ABD和Rt△CBD的斜边BD的中点， ∴OA＝OB＝OD＝OC， ∴A，B，C，D四点在同一个圆上．画图如下． $第27章　圆 27. 2与圆有关的位置关系 1. 点与圆的位置关系 1 返回 1. ⊙O半径为4 cm，若PO＝2 cm，则点P在⊙O________；若PO＝4 cm，则点P在⊙O______；若PO＝6 cm，则点P在⊙O______. 内 上 外 2 返回 C 2．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5, 则⊙O的半径r的取值范围是(　　) A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5 3 返回 3．若⊙P半径为5，圆心P的坐标为(－3，4)，则原点O与⊙P的位置关系是(　　) A．原点O在⊙P内 B．原点O在⊙P上 C．原点O在⊙P外 D．无法确定 B 4 4．(8分)如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r. 5 返回 (1)当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？ (2)当r在什么范围时，点B在⊙C内，点A在⊙C外？ 解：当0＜r＜3时，点A，B在⊙C外． 当3＜r＜4时，点B在⊙C内，点A在⊙C外． 6 5. [2025临汾期中]下列说法错误的是(　　) A．过一点有无数个圆 B．过两点有无数个圆 C．过三点只能确定一个圆 D．过直线上两点和此直线外一点能确定一个圆 返回 C 7 6. 如图，一条圆弧过正方形网格A、B、C三点，则这条圆弧所在圆的圆心是点________． Q 返回 8 7．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为________. 返回 3 9 返回 C 8. 下列说法中，正确的是(　　) A．一个三角形有无数个外接圆 B．三角形的外心在三角形外 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 10 返回 9．如图，AC，BE是⊙O直径，弦AD与BE交于点F，外心不是点O的三角形是(　　) A．△ABE　 B．△ACF C．△ADE D．△ABD B 11 返回 10. 如图，点O是△ABC的外心，∠A＝50°，连结BO，CO，则∠BOC＝________. 100° 12 11．(8分)如图，小明家房前有一块矩形空地，空地上有三棵树A，B，C，连结AB，AC，BC，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛边上． 13 (1)请帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 解：如图，⊙O即为所求作的花坛的位置． 14 返回 (2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积. 解：∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径． 又∵AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米． ∴△ABC外接圆的半径为5米． ∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米． 15 返回 A 12．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 16 返回 D 17 返回 14.若⊙O所在平面内有一点P，点P到⊙O上点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的直径为__________. 6或10 18 15. [2025开封期末]如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是__________cm. 返回 19 16．如图，正方形纸片ABCD的中心O是△ABM的外心，则∠AMB＝________°. 135 返回 20 17．(8分)如图，矩形ABCD的边AB＝3，AD＝4. (1)以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A 的位置关系如何？ 21 解：如图，连结AC， ∵AB＝3，AD＝4，∴易得AC＝5， ∵AB＜4，AD＝4，AC＞4， ∴点B在⊙A内，点D在⊙A上， 点C在⊙A外． (2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？ 解：∵ 以点A为圆心作⊙A， 使B，C，D 三点中至少有一个点在圆内， 且至少有一个点在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围是3<r<5. 返回 18．(8分)如图，在△ABD中，AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD.延长AE交△ABD的外接圆于点C，连结CB，CD，ED. 24 (1)若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数； 解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAD＝2∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD＝40°， ∴∠BAD＝80°. 25 (2)求证：点C是△BDE的外心． 返回 19.如图，在矩形ABCD中，AB＝4米，AD＝6米．点P以每秒5米的速度从点A出发，沿折线AB→BC运动，连结PD，总有AQ⊥PD，垂足为Q.连结CQ，当CQ取得最小值时，点P运动了________秒. 返回 13.在公园的O处附近有A，B，C三棵树，位置如图所示(小正方形边长均为1米)．现计划修建一个以O为圆心，r米为半径的圆形水池．下列r的值可以保证不砍伐A，B，C三棵树的是(　　) A. B．3 C. D．1.8 证明：∵AE，BE分别平分∠BAD和∠ABD， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ABE＝∠DBE，∴＝， ∴BC＝CD，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BAC， ∵∠CBE＝∠CBD＋∠DBE，∠BEC＝∠BAC＋∠ABE， ∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∴BC＝EC＝DC，∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上，∴点C是△BDE的外心． 点拨：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4米，AD＝BC＝6米，AD∥BC. ∵总有AQ⊥PD，∴总有∠AQD＝90°. ∴点Q在以AD为直径的⊙O上， 如图，连结OQ，当C，Q，O三点共线时， CQ取得最小值． 易知OQ＝OD＝AD＝3米，∠CDO＝90°， ∴OC＝＝5(米)．∴CQ＝5－3＝2(米)． ∵CP∥OD，∴△CPQ∽△ODQ. ∴＝，即＝.∴CP＝2米． ∴点P运动了AB＋BP＝4＋(6－2)＝8(米)． 又∵点P的运动速度是每秒5米，∴点P运动了秒． $第27章　圆 27．1圆的认识 3. 圆周角 第1课时　圆周角定理 1 返回 1. 下列图形中的角是圆周角的是(　　) B 2 返回 4 ∠D，∠C ∠A，∠B 3 返回 3. 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠C＝31°，则∠B的度数是(　　) A．59° B．60° C．62° D．69° A 4 返回 4．[教材P41思考变式]如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(　　) A．58° B．60° C．64° D．68° A 5 返回 A 6 6. [2025重庆中考]如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是(　　) A．40° B．50° C．80° D．100° 返回 B 8 7．[教材P46习题T9变式]如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E.若∠A＝46°，∠AED＝87°，则∠B的度数是(　　) A．23° B．31° C．41° D．46° 返回 C 9 返回 8．[2025成都二模]如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，若∠ABD＝60°，CD＝2，则AD＝________. 10 返回 9．如图，点D在⊙O上，半径OA平分弦BC，若∠D＝35°，则∠C＝________. 20° 11 10．(8分)2025重庆期末如图，A，B，C，D是⊙O 上的四个点，AC平分∠DAB. 12 (1)求证：CD＝BC； 13 返回 (2)若∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，求∠ADB的度数． 解：∵∠DAC＝35°，∴∠DBC＝35°. ∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠DBC＝35°. ∵∠ACD＝45°，∠DAC＝35°， ∴∠ADC＝180°－45°－35°＝100°， ∴∠ADB＝∠ADC－∠CDB＝65°. 14 返回 C 15 返回 B 16 13. 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为________. 返回 55° 17 返回 14.如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°. 90 18 15．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装________台这样的监视器. 返回 4 19 20 (1)若∠EAB＝∠EBA，求∠ACD的度数； 22 返回 17．(8分)如图①，在⊙O中，弦CD⊥直径AB于点E，连结AC，DB，AC＝6，DB＝4. (1)求直径AB的长； 24 (2)小慧说：“若将条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件不变(如图②)，⊙O的直径仍不变．”小慧的说法正确吗？请说明理由． 解：小慧的说法正确．理由如下： 如图②，连结AO，延长AO交⊙O于点F，连结CF， 则AF为⊙O的直径，∴∠ACF＝90°， ∴∠ACD＋∠FCD＝90°， 又∵AB⊥CD，∴∠DBE＋∠BDE＝90°， ∵∠DBE＝∠ACD，∴∠FCD＝∠BDE， 27 返回 2．如图，圆周角共有________个，其中所对的圆周角为__________，所对的圆周角为________. 5．如图，过以AB为直径的半圆O上的一点C，作CD⊥AB于点D，若AB＝5，BC＝3，则cos∠ACD的值为(　　) A. B. C. D. 【点拨】∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ACD＋∠BCD＝90°.∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°， ∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD， ∴cos∠ACD＝cos B＝＝. 2 证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴＝，∴CD＝BC. 11．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为(　　) A. B. C. D. 12.如图，△ABC的顶点A，C分别落在表盘边框的10时和4时位置上．AB与表盘边框交于点D(2时位置)，若BD＝1，∠ACB＝90°，则表盘直径的长度为(　　) A．4 B．2 C．2 D. 16．(8分)如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，连结BD，OD，分别交AC于点E，F. 解：∵∠EAB＝∠EBA，∴＝， ∵D是的中点，∴＝，∴＝＝. 又∵AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝180°÷3＝60°， ∴∠ACD＝∠AOD＝30°. (2)若BD＝8，sin∠ABD＝，求OF的长. 解：连结AD，∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴sin∠ABD＝.∵sin∠ABD＝， ∴可设AD＝3x，则AB＝5x， ∴2＋82＝2，∴x＝2， ∴AD＝6，AB＝10，∴OD＝5， ∵D是的中点，∴OD⊥AC， ∠DAC＝∠ABD， ∴sin∠DAC＝sin∠ABD＝， ∴DF＝AD·sin∠DAC＝6×＝， ∴OF＝OD－DF＝5－＝. 解：如图①，连结AD, ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∵弦CD⊥直径AB于点E， ∴＝，∴AD＝AC＝6， ∴在Rt△ADB中，AB＝＝ ＝2. ∴＝，∴＝，∴CF＝BD＝4， ∴在Rt△ACF中，AF＝＝＝2， ∴⊙O的直径不变． $第27章　圆 27．3圆中的计算问题 第1课时　弧长与扇形的面积 1 返回 C 2 返回 150° 2．一个扇形的半径为6，弧长等于5π，则扇形的圆心角度数为________. 3 返回 3．若扇形AOB的弧长为3π，∠AOB＝90°，则扇形AOB的半径为________. 6 4 返回 4. 如图，一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升了2π cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了________°. 72 5 返回 6 返回 7 7. 一个半径为6的扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为(　　) A．6π B．3π C．2π D．π 返回 A 8 返回 C 8．已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为(　　) A．24 B．36 C．12 D．6 9 返回 9．[教材P63练习T1变式]时钟的分针长6厘米，从上午8：10到上午8：30，分针扫过的面积是________平方厘米. 12π 10 返回 10.如图是小明绘制的本校铅球场地示意图，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D.OA＝ 1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°， 则阴影部分的面积为________m2. 11π 11 11．(1)[教材P63习题T4变式]两个扇形的圆心角相等，大扇形面积是小扇形的9倍，则大扇形半径是小扇形的________倍． (2)[教材P62练习T2变式]圆的两条半径把圆分成两个扇形，面积比为7∶2，若大扇形面积为π，则圆的半径为________. 返回 3 12 13 返回 返回 A 15 返回 16 返回 17 16．如图①，在扇形OAB中，∠O＝60°，点P从点O出发，沿O→A→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B.图②是点P运动过程中，△OBP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的图象，则扇形OAB的周长是________cm. 返回 18 17.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形边长为2，则这个“莱洛三角形”的面积是________. 返回 19 18．(8分)如图，将两块量角器完全重合在一起(量角器的直径为AB，圆心为O)，保持下面一块不动，上面一块沿AB所在的直线向左平移，当圆心与点A重合时，停止平移，此时半圆O与半圆A交于点P，连结BP. 20 (1)判断BP与半圆A的位置关系，并说明理由； 解：BP与半圆A相切．理由如下： 如图，连结PA. ∵AB为半圆O的直径， ∴∠APB＝90°，即AP⊥BP. 又∵PA为半圆A的半径， ∴BP与半圆A相切． (2)若AB＝4，求图中阴影部分的面积. 返回 22 19.如图，直线y＝2x＋3与坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB(不包括点B)上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝x＋4于点Q，△OPQ绕点O按逆时 针方向旋转30°得到△ODC，边PQ扫过 区域(阴影部分)面积的最大值是_______. 23 返回 25 1. [2024安徽中考]若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为(　　) A．2π B．3π C．4π D．6π 5．如图，⊙O半径为2，点A，B，C在⊙O上，若∠B＝30°，则的长为________. π 6. 抖空竹在我国历史悠久，是国家非物质文化遗产之一．如图，AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，延长AC、BD交于点P.若∠P＝120°，⊙O的直径为10 cm，则的长为________ cm. π 12．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2 ，以点A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点E，求图中阴影部分的面积. 解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝2 ， ∴AB＝＝4，易得∠B＝30°，∠A＝60°. 由题意得AD＝AC＝2，∴BD＝AB－AD＝4－2＝2. ∴阴影部分的面积＝S△ABC－S扇形CAD－S扇形DBE＝ ×2×2 －－＝2 －π. 13．[2025吉林模拟]数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形铁丝框(铁丝的粗细忽略不计)，则所得扇形DAB的面积是(　　) A．1　　　 B．1.5　　　 C．2　　 D. π 14．[2025许昌模拟]如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，格点A，B，C均在上，点E是上一点，若∠BCE＝30°，则的长为__________. 15．[2024河南中考改编]如图，⊙O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连结BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为______. 2π－2 解：如图，连结PO.易知△PAO为等边三角形， ∴∠PAO＝∠POA＝60°. ∵S阴影＝S扇形PAO＋S扇形POA－S△POA， OA＝AB＝2，∴S阴影＝＋－×2×＝＋－＝－. 【点拨】设P(m，2m＋3)，则Q(m，m＋4)，易知－≤m<0. ∴OP2＝|m|2＋(2m＋3)2＝5m2＋12m＋9， OQ2＝|m|2＋(m＋4)2＝2m2＋8m＋16. ∵△OPQ绕点O按逆时针方向旋转30°得到△ODC， ∴△OPQ≌△ODC，∠QOC＝∠POD＝30°. ∴易得边PQ扫过区域(阴影部分)面积S＝S扇形COQ－S扇形POD＝－＝×(OQ2－OP2)＝×(－3m2－4m＋7)＝－＋. ∴当m＝－时，S有最大值，为. $第27章　圆 27．1圆的认识 3. 圆周角 第2课时　圆周角定理的推论 1 返回 1. [教材P44练习T3变式]用曲尺检查某弧形工件，则下列能判断该工件为半圆的是(　　) B 2 返回 A 2．[教材P43思考变式]如图所示，每一张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是(　　) 3 返回 3. 丽丽的圆形镜子摔碎了，为了配一面同样大的镜子，她测量镜面半径如下：将三角尺的直角顶点C放在镜子圆框上，两直角边分别与圆框交于点A，B(如图)，测得CA＝8 cm，CB＝6 cm.由此可知该镜面的半径是________cm. 5 4 返回 4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O. (1)若∠A＝50°，则∠C的度数是________； (2)若四边形ABCD的一个外角∠CBE＝70°， 则∠D的度数是________. 130° 70° 5 5. [2025南阳期末]如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝∠B，则AB与CD的位置关系是__________. 返回 AB∥CD 6 6．[教材P46习题T10变式]四边形ABCD内接于⊙O，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° C 返回 7 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的大小是(　　) A．90° B．100°　 C．110°　　 D．120° 返回 C 8 返回 B 9 9．(4分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，连结AC，BD，若DA＝DB，求证：CD平分∠ACE. 10 返回 证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB＋∠DCB＝180°. ∵∠DCE ＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE. ∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DCE. ∵∠DBA与∠DCA是同弧所对的圆周角，∴∠DBA＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠DCE，即CD平分∠ACE. 返回 C 12 11．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________. 返回 215° 13 返回 60°或120° 14 13．如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝28°，则∠A＝______. 返回 62° 15 返回 14. 如图，点A，B，C均在破损量角器的圆周上，对应的刻度分别是55°，100°，135°，则∠ABC＝________. 140° 16 15．[2025洛阳模拟]如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则⊙O的半径为__________. 返回 17 16．(8分)如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC. 18 (1)求证：∠ABE＝∠ACD； 证明：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形， ∴∠ABD＋∠ACD＝180°. ∵∠ABE＋∠ABD＝180°，∴∠ABE＝∠ACD. 返回 (2)连结BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD. 解：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. ∴∠CAD＋∠BAD＝90°.∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°， ∴∠EAB＋∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠CAD. 20 17．(12分)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F. 21 (1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC； 证明：∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB， ∠ADC＝∠E＋∠ECD，∠ABC＝∠F＋∠FCB， ∴∠ADC＝∠ABC. (2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数； 解：由(1)知∠ADC＝∠ABC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°. ∴∠A＝90°－∠F＝48°. (3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小. 解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A＋∠BCD＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵∠ECD＋∠BCD＝180°，∴∠ECD＝∠A. ∴∠BCF＝∠ECD＝∠A. 24 返回 8．[2025吉林二模]如图，四边形ABCD内接于⊙O，＝，连结AC.若∠CAD＝33°，则∠B的度数为(　　) A．60° B．66°　 C．70°　 D．74° 10. 如图，⊙C经过原点O，与y轴交于点A，B是圆上一点，若C，则sin∠OBA＝(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 12.已知BC是半径为2的圆内的一条弦，点A为圆上除点B，C外任意一点，若BC＝2 ，则∠BAC＝________. 在△ABE与△ACD中， ∴△ABE≌△ACD.∴BE＝CD. ∵∠ECD＋∠E＝∠ADC， ∠BCF＋∠F＝∠ABC， ∴2∠A＋α＋β＝180°. ∴∠A＝90°－. $第27章　圆 27．1圆的认识 2．圆的对称性 第2课时　垂径定理及其推论 1 返回 BE ∠BOC 2 返回 6 2．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，ON⊥AB于点N，则ON＝________. 3 返回 3．[教材P40练习T2变式]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径为________. 4 返回 C 5 5. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC＝________. 返回 48° 6 3 cm 返回 7 7. 如图，从半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弦AB＝______ cm. 返回 24 8 返回 6 9 9．(4分) “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5 m，地面入口宽为1 m，求该门洞的半径. 10 返回 返回 B 12 11.⊙O的半径为13 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB和CD之间的距离为____________. 返回 7 cm或17 cm 13 返回 25 14 返回 15 16 (1)求∠BAO的大小； 17 (2)若点E在⊙O上，BE∥AO，求BE的长． 解：如图，连结OB，OE， ∵BE∥OA，∴∠ABE＝∠OAD＝30°， 易知∠OBA＝30°，∴∠OBE＝60°， 又∵OB＝OE，∴△BOE是等边三角形， ∴BE＝OB＝OA＝2. 返回 18 15．(8分)如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝20 m，∠BAD＝15°. (1)CD的长为________m； 19 (2)矩形MNPQ是一艘船水面以上部分的截面图，宽NP＝10 m，高PQ＝2 m．若该船随水面上升1 m，请说明该船能否通过该桥洞. 20 解：如图①，连结OD，过点O作OH⊥MQ， 分别交CD，MQ于点E，F，交半圆O于点H， 则OD＝OH＝10 m，EF＝PQ＝2 m， ∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠DAB＝15°， 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝15°， 返回 90° 返回 24 1．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若CD＝8，OE＝3，则AC＝________． 2．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，点E是BO的中点，⊙O的半径是4，若∠AED＝45°，则CD＝________． 8 1. 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，连结OA，OB，AC，BC，由垂径定理可得AE＝________，＝________，＝________，∠AOC＝________. 4 4. 如图，⊙O的直径CD＝20，弦AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB 的长为(　　) A．8　 B．12　 C．16　 D．2 6．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E是的中点，OE交弦AC于点D.若AC＝8 cm，DE＝2 cm，则OD＝________. 8.如图①是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．如图②，截面圆中弦AB的长为12cm，半径为9 cm，则瓶内液体的最大深度CD＝________cm. 解：连结OA，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，则DC＝2.5 m，设门洞的半径为x m. 则OC＝(2.5－x)m，易知AC＝AB＝0.5 m， 在Rt△AOC中，根据勾股定理，得x2＝2＋0.52， 解得x＝1.3，即该门洞的半径为1.3 m. 10．如图，两圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C，D，若AC＝2，则BD等于(　　) A．1　 B．2　　 C. D．0.5 12.如图，测一个残缺圆形工件的半径，先在圆弧上取点A，B并连结，再作AB的中垂线交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则该工件的半径为______ cm. 13．[2025临汾期末]如图，半径为5的⊙E与y轴交于点A，B，与x轴交于点C，D，则点D的坐标为_____________. 14．(8分)如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且＝，连结AO，CO，延长CO交AB于点D，AB＝2，CD＝3. 解：∵＝，CD过圆心O，∴CD⊥AB，AD＝BD＝ AB＝，设OA＝x，则OD＝3－x， 在Rt△AOD中，由勾股定理，得()2＋(3－x)2＝x2，解得x＝2, ∴AO＝2. ∵在Rt△AOD中，cos∠BAO＝＝， ∴∠BAO＝30°. 10 ∴∠CDO＝30°，∴OE＝DO＝5 m， ∴HF＝OH－EF－OE＝3 m， ∴该船随水面上升1 m，点H到MQ的距离为2 m. 若该船刚好能通过该桥洞，情形如图②，过点O作 OH⊥MQ于点G，交半圆O于点H，连结OM， 则MG＝QG＝5 m，OH＝OM＝10 m. ∴OG＝＝＝5(m)， ∴HG＝m. ∵10－5<2，∴该船能通过该桥洞． 16.如图，B为⊙O上一点，C为上一动点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，连结DE.当DE取得最大值时，∠AOB＝________. 4 2 3．如图，在半径为5的⊙O中，OD⊥AB于点C，若AD＝2，则AB＝________． $第27章　圆 27．4正多边形和圆 1 返回 1. 如图，正五边形ABCDE的内切圆是小⊙O，点F是切点，外接圆是大⊙O，则正五边形ABCDE的中心是点______，半径是________，中心角是________，边心距是______. O OB(或OC) ∠BOC OF 2 返回 D 2．下列说法不正确的是(　　) A．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆 B．各边相等的圆内接多边形是正多边形 C．各角相等的圆外切多边形是正多边形 D．圆内接正多边形一定是中心对称图形 3 返回 3. 正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是(　　) A．12 B．10 C．8 D．6 A 4 返回 4．[2024南阳模拟]如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OC，OD，则∠BAE－∠COD等于(　　) A．60° B．54° C．48° D．36° D 5 返回 A 6 6．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线AE为⊙O直径，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝________. 22.5° 返回 7 7．若正方形的边长为8，则其外接圆半径与内切圆半径分别为____________. 返回 8 返回 8．如图，⊙O的内接正方形和外切正方形的边长之比为________. 9 9．(4分)如图，正六边形ABCDEF的顶点都在以原点为圆心，半径为2的圆上．求正六边形ABCDEF各顶点的坐标. 解：由题意可知OB＝OE＝2，∴B(0，2)，E(0，－2)， 如图，连结AO，过A作AH⊥OB于点H， 10 返回 返回 10.在半径为R的圆上依次截取长为R的弦，顺次连结各分点得到的多边形是(　　) A．正三角形　　　　 B．正四边形　 C．正五边形 　　　 D．正六边形 D 12 11．(4分)[教材P67习题T1变式]用圆规、直尺、量角器画出半径为2 cm的圆的内接正五边形. 解：如图，先作半径为2 cm的圆，再依次作72°的圆心角，与圆交于A，B，C，D，E，依次连结圆上各点，从而作出正五边形ABCDE. 返回 13 返回 12．(4分)如图，已知⊙O，点A在圆上，用尺规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求． 14 13．蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 返回 C 15 14. 如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC .甲、乙两人的作法分别是： 甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；②连结AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点； ②连结AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 16 返回 对于两人的作法，判断正确的是(　　) A．甲、乙均正确　　 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 A 17 返回 15 18 3.12 返回 19 20 返回 18．(12分)如图①②③，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON. 22 (1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； 90° 72° 返回 (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)． 25 5．如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，⊙O的半径是12，则△ABC 的边心距为(　　) A．6 B．6 　 C．3 D．3 4、4 1∶ ∵∠AOB＝＝60°，OA＝OB＝2， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2，∴OH＝BH＝OB＝1， ∴AH＝＝，∴A(，， 同理可得C(－，，D(－，－1)，F(，－1)． 15．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝________. 16.古代数学家刘徽在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．若圆内接正二十边形周长为C，圆的直径为d，则π≈＝ ________．(结果精确到0.01，sin 9°＝cos 81°≈0.156，sin 81°＝cos 9°≈0.988) 17．(5分)某相机快门打开过程中，光圈大小会产生变化，绘制成图形如图所示. ⊙O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，圆的半径OC＝6 cm，AB＝BC，求阴影部分的面积. 解：如图，连结OA，OB，则∠AOB＝＝60°，OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠OBA＝60°，OA＝OB＝AB，又AB＝BC，∴AC＝2AB＝2AO，BO＝BC， ∴∠BCO＝∠BOC＝∠ABO＝30°，∴∠AOC＝90°， ∴AC2＝AO2＋CO2，即4AO2＝AO2＋108，∴AO＝6 cm(负值舍去)，∴阴影部分的面积为6S△AOB＝6× AB·OA·sin 60°＝54(cm2)． 解：如图，连结OB，OC.∵三角形ABC为正三角形， ∴∠ABC＝∠BCA＝60°.∵∠BOC＝＝120°，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCN＝＝30°. ∴∠OBM＝∠ABC－∠OBC＝30°.∴∠OBM＝∠OCN. ∵OB＝OC，BM＝CN，∴△OBM≌△OCN. ∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON＝∠BOC＝120°. 解：∠MON＝. $第27章　圆 27．3圆中的计算问题 第2课时　圆锥的侧面展开图 1 返回 1. 下列图形中，是圆锥侧面展开图的是(　　) B 2 返回 C 2．圆锥的底面半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是(　　) A．90° B．100° C．120° D．150° 3 返回 B 4 返回 4．若圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则该圆锥的底面半径是______. 3 5 5．如图，用一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，那么这个圆锥的高为________. 返回 6 6. [2025周口期末]如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是(　　) A．80 cm2 B．40 cm2 C．80π cm2 D．40π cm2 D 返回 7 7．已知圆锥侧面展开图是一个半径为5 cm，弧长为6π cm的扇形，则圆锥全面积是(　　) A．15π cm2　　　　　 B．15 cm2　 C．24π cm2　　　　　　 D．124 cm2 返回 C 8 返回 A 9 返回 9．如图，AB是圆锥的母线，BC 为底面直径．已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则sin∠ABC 的值为________. 10 10．如图是一顶近似圆锥形的帐篷，其侧面展开后是一个半径为3 m、圆心角为120°的扇形，制作这顶帐篷(侧面与底面)需要多少平方米的材料？(结果保留π) 11 返回 11.如图，从矩形铁皮上剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成一个圆锥模型．设扇形半径为R、圆形半径为r，则R与r之间的关系对应的图象大致为(　　) 返回 C 13 返回 12.如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，上面圆锥侧面积为1，则下面圆锥侧面积为________. 14 13．如图，从一块直径为8 m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形并围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是________m. 返回 15 返回 14．如图，圆锥底面圆直径BC长是6 cm，母线AC长是6 cm，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到AC的中点D，最短路径长是________cm. 16 15．(8分)如图是一个纸杯，母线AC和EF延长后形成的立体图是圆锥，其侧面展开图是扇形AOB.纸杯上开口圆的直径AE＝6 cm，下底面直径CF＝4 cm，母线长EF＝8 cm. 17 (1)求扇形AOB的圆心角； 18 (2)求这个纸杯的表面积(计算结果用π表示). 返回 19 16．(8分)综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图①所示：①一张直径为10 cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线长均为7 cm的圆锥形过滤漏斗． 20 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中． 21 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π) 24 返回 3．一个圆锥的底面半径为4 cm，高为8 cm，则该圆锥的母线长是(　　) A．8 cm　 B．12 cm C．16 cm　 D．24 cm 4 8. 把一个两边长分别为3，4的直角三角形，绕其较短的直角边旋转360°后得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是(　　) A．12π或20π B．4π或20π C．15π或20π D．4π或12π 解：由题意，得帐篷的侧面需要的材料为＝3π(m2)． 设帐篷的底面半径为r m，则2πr＝×3π，解得r＝1， ∴帐篷的底面需要的材料为πr2＝π×12＝π(m2)． ∴制作这顶帐篷(侧面与底面)需要3π＋π＝4π(m2)的材料． 3 解：由题意可知＝6π cm，＝4π cm， 设∠AOB＝n°，AO＝R cm，则CO＝(R－8)cm. 由弧长公式得解得 所以扇形AOB的圆心角为45°. 解：由(1)知AO＝24 cm，则CO＝16 cm，所以S扇形COD＝ ×4π×16＝32π(cm2)，S扇形AOB＝×6π×24＝72π(cm2)． 所以纸杯的侧面积＝S扇形AOB－S扇形COD＝ 72π－32π＝40π(cm2)． 又因为纸杯的底面积＝π·＝4π(cm2)， 所以这个纸杯的表面积＝40π＋4π＝44π(cm2)． 解：滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下： 作出如图所示的示意图． 由题意知AB＝AC＝BC＝7 cm， CD＝CE＝×10＝5(cm)． ∵圆锥形滤纸的底面周长＝×10π＝5π(cm)， ∴DE·π＝5π cm，∴DE＝5 cm， ∴＝＝，∴△CDE∽△CAB， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁． 解：由(1)知CD＝DE＝CE＝5 cm， ∴∠CDE＝60°， 如图，过点C作CF⊥DE于点F， 则DF＝DE＝ cm. 在Rt△CDF中，CF＝＝ cm， ∴V＝π×××＝π(cm3)． 答：滤纸围成圆锥形的体积是π cm3. $