2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第1讲二次函数的图象和性质

这是一份初中数学期末复习课件，围绕二次函数的图象和性质展开，提供知识归纳（含不同形式函数的图象特点、性质及平移规律）、题型探究（典型例题解析）和变式跟进练习等学习支架，助力学生系统梳理核心内容。 资料特色鲜明，知识体系化（如对比不同形式二次函数的性质），问题解决分层（例题覆盖图象性质、平移、信息获取、最值等题型，变式题针对性巩固），通过几何直观（平移中阴影面积计算）和分类讨论（最值问题分对称轴位置讨论）培养数学眼光与思维，结合例3从图象获取信息判断结论提升数学语言表达能力，能帮助学生夯实基础、提升解题能力，为教师教学提供系统素材。 九年级学生面临升学考试，需重点掌握二次函数等核心知识，提升综合解题能力，本资料通过系统归纳和分层练习，帮助学生巩固考点，适应考试要求。

第1讲 二次函数的图象和性质 诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖． 第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖． 二次函数的图象和性质 图1－1－1 【思路生成】设点A坐标为(0，a)，利用两个函数解析式求出点B，C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出点D的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解． 二次函数的图象 二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象是抛物线，它有如下特点： (1)a＞0，开口向上；a＜0，开口向下； (2)对称轴是平行于y轴的直线x＝m； (3)顶点坐标是(m，k)． 1．二次函数y＝x2＋bx＋c，若b＋c＝0，则它的图象一定过点 (　 　) A．(－1，－1)　　　　 B．(1，－1)　　　　 C．(－1，1)　　　　 D．(1，1) 【解析】 对二次函数y＝x2＋bx＋c，将b＋c＝0代入可得y＝x2＋b(x－1)，则它的图象一定过点(1，1)． D 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图1－1－2，关于该二次函数，下列说法错误的是 (　 　) 图1－1－2 D 3．已知二次函数y＝x2－4x＋3. (1)用配方法求其函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； (2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积． 解：(1)y＝x2－4x＋3 ＝x2－4x＋4－1 ＝(x－2)2－1. ∴函数的顶点C的坐标为(2，－1)， ∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质 (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；当a＜0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸； 二次函数的平移 例2　在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是 (　 　) 【解析】 函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y＝2(x－2)2＋4(x－2)－3－1，即 y＝2(x－1)2－6，顶点坐标是(1，－6)． C 【思路生成】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得目标函数图象． 4．将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 (　 　) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 B A．2 B．4 C．8 D．16 B 图1－1－3 变式跟进5答图 6．如图1－1－4，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为______． 图1－1－4 12 【解析】 如答图，连结AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D. 由题意可得出AP∥A′P′，AP＝A′P′， ∴四边形APP′A′是平行四边形． ∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴 变式跟进6答图 交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′ (2，－2)， 二次函数的平移 从函数图象中获取信息 图1－1－5 ③④ 【思路生成】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断． 【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确； 例3答图 ∴点D的坐标为(1，－2)， ∴AE＝2，BE＝2，DE＝2， ∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形， ∴△ABD为等腰直角三角形， 故④正确； 同理当AB＝AC＝4时， ∵AO＝1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|， ∴c2＝42－12＝15. 同理当AC＝BC时， 在△AOC中，AC2＝12＋c2， 在△BOC中，BC2＝c2＋32， ∵AC＝BC， ∴1＋c2＝c2＋9，此方程无解． 经讨论可知只有两个a值满足条件，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是③④. 从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴) 正(c＞0) 下(抛物线与y轴的交点在y轴负半轴) 负(c＜0) a＋b＋c的符号： 当x＝1时，看y的值是正的还是负的． a－b＋c的符号： 当x＝－1时，看y的值是正的还是负的． 2a＋b的符号： 7．已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是 (　 　) D A．b＝2a＋k B．a＝b＋k C．a>b>0 D．a>k>0 图1－1－6 D 二次函数的最值问题 例4　当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为 (　 　) 【思路生成】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可. 【解析】 二次函数的对称轴为直线x＝m， ①当m＜－2时，当x＝－2时，二次函数有最大值， 此时－(－2－m)2＋m2＋1＝4， C 二次函数的最值问题 解答这类最大值或最小值问题，要注意根据自变量取值范围和二次函数的增减性求最大值或最小值． 9．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数； (2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值. 解：(1)答案不唯一．如y＝x2和y＝2x2； (2)将点A(1，1)代入y1＝2x2－4mx＋2m2＋1，得2－4m＋2m2＋1＝1， 解得m＝1，∴y1＝2x2－4x＋3，则y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4) x＋8. ∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1， ∴y1的顶点坐标为(1，1)， ∴y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8的顶点坐标为(1，1)， ∴y2＝5x2－10x＋5＝5(x－1)2. ∵0≤x≤3，∴当x＝3时，y2最大值＝5×(3－1)2＝20. B A选项中，如答图，作TE⊥x轴，TG⊥y轴，易得△GTF ≌△ETD，故阴影部分面积为1×1＝1； 例1　如图1－1－1，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于E，则＝__________． 3－ 【解析】 设点A的坐标为(0，a)(a＞0)，则x2＝a，解得x＝， ∴点B的坐标为(，a)， ∴AB＝. ＝a， 则x＝， ∴点C(，a)． ∵CD∥y轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴y1＝()2＝3a， ∴点D的坐标为(，3a)． ∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a， ∴＝3a. 解得x＝3， ∴DE＝3－， ＝＝3－. A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝ C．当x＜时，y随x的增大而减小 D．当－1＜x＜2时，y＞0 (2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3， ∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)； 当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)． ∴AB＝＝2. 过点C作CD⊥x轴于点D， ∴CD＝1， ∴△ABC的面积＝AB·CD＝×2×1＝1. (2)对称轴是x＝－，顶点坐标是； (3)当a＞0时，在对称轴的左侧，即x＜－时，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，即x＞－时，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左侧，即x＜－时，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，即x＞－时，y随x的增大而减小； (4)当a＞0时，抛物线有最低点，即当x＝－时，y有最小值；当a＜0时，抛物线有最高点，即当x＝－时，y有最大值. A.　　B.　　C.　　D. 5．如图1－1－3，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为 (　 　) 【解析】 如答图，过顶点C作CA⊥y轴于点A， ∵抛物线y＝x2－2x＝(x2－4x)＝(x2－4x＋4)－2＝(x－2)2－2， ∴顶点坐标为C(2，－2)， 对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为2×2＝4. ∴PO＝＝2，∠AOP＝45°，P′P＝4. 又∵AD⊥OP，∴△AOD是等腰直角三角形， ∴AD＝DO＝， ∴抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为4×＝12. 例3　如图1－1－5，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是_______．(只填序号) ∴对称轴x＝－＝1， ④当a＝时，则b＝－1，c＝－，对称轴x＝1与x轴的交点为E，如答图， ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－， 把x＝1代入得y＝－1－＝－2， ⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC， 当AB＝BC＝4时， ∵AO＝1，△BOC为直角三角形， 又∵OC的长即为， ∴c2＝42－32＝7， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＝－，与2a＋b＝0，a－b＋c＝0联立组成方程组，解得a＝； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＝－. 与2a＋b＝0，a－b＋c＝0联立组成方程组，解得a＝； (2)越大，抛物线的开口越小． 看对称轴x＝－大于1还是小于1. 2a－b的符号： 看对称轴x＝－大于－1还是小于－1. 8．一次函数y＝ax＋b(a>0)、二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象如图1－1－6所示，A点的坐标为(－2，0)，则下列结论中，正确的是 (　 　) A．－ B.或－ C．2或－ D．2或－或－ 解得m＝－，与m＜－2矛盾，故m值不存在； ②当－2≤m≤1时，当x＝m时，二次函数有最大值， 此时m2＋1＝4， 解得m＝－，m＝(舍去)； ③当m＞1时，当x＝1时，二次函数有最大值， 此时－(1－m)2＋m2＋1＝4， 解得m＝2. 综上所述，m的值为2或－. ∴解得 例5　下列图中阴影部分面积与算式＋＋2－1的结果相同的是 (　 　) 【解析】 原式＝＋＋＝＝. B选项中，当x＝1时，y＝3，阴影部分面积为1×3×＝； C选项中，当y＝0时，x＝±1，当x＝0时，y＝－1， 阴影部分面积为[1－(－1)]×1×＝1； D选项中，阴影部分面积为xy＝×2＝1. 故选B. $