第31章 随机事件的概率 专项培优习题课件 2025-2026学年冀教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“概率与其他知识的结合”，系统整合概率与代数（分式、方程）、几何（平行四边形、坐标）及跨学科（生物基因、化学酸碱）的综合应用，通过基础概率问题导入，逐步过渡到多领域情境，搭建从单一到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于跨学科融合与情境化设计，以生物基因遗传（父母Rr基因子女卷舌概率）、化学酸碱检测（石蕊试液变蓝概率）等实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理计算（如列表法求概率）、用数学语言表达规律。既提升学生知识迁移能力，又为教师提供丰富素材，助力高效教学。

第三十一章　随机事件的概率 专项突破8 概率与其他知识的结合 1 返回 B 1. 从2，a(a≠0)，π这三个数中，随机抽取两个数作为分子与分母，则所得式子为分式的概率是(　　) 2 返回 2. 返回 3. 小强同学从－1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数作为x的值，满足不等式x＋1＜2的概率是(　　) C 返回 4. 若a是从－1，0，1，2这四个数中任取的一个数，则关于x的方程(a－1)x2＋x－3＝0为一元二次方程的概率是(　　) A 返回 5. 在一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，小球上标的数分别为2，－3，5，若随机摸出一个小球，记下数，不放回，再随机摸出一个小球，记下数，把两次记下的数分别作为点P的横坐标、纵坐标，则点P在第四象限的概率是(　　) C 返回 6. 如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1，2，3，4，若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作a，b(若指针指向分割线，则需重转)，把a，b作为点A的横、纵坐标．则点A(a，b)在函数y＝2x的图像上的概率为________. 返回 7. [2024东营中考]如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB＝BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为(　　) A 8. (8分)有三张不透明的卡片，正面分别绘制如图所示的图案． (1)图案是中心对称图形的卡片有________张； 2 (2)已知这三张卡片的反面完全相同，把这三张卡片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，求抽到的两张卡片的图案均为中心对称图形的概率. 10 返回 9. (8分)[2024广州中考改编]善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下(单位：分)： A组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 B组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 12 (1)A组同学得分的中位数是________； (2)现从A，B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率. 85分 13 返回 返回 10. 据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌各用上、中、下三匹马比赛，在同等级的马中，齐威王的马比田忌的马跑得快，但每人较高等级的马都比对方较低等级的马跑得快．双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马只赛一次，赢得两局者为胜．如果齐威王首局出上马，田忌首局出下马，那么田忌获胜的概率是(　　) B 15 返回 11. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D，1个电源和 1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可使小灯泡发光，若随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为________. 16 返回 12. 通常情况下紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损而无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A.盐酸(呈酸性)，a.白醋(呈酸性)，B.氢氧化钠溶液(呈碱性)，b.氢氧化钙溶液(呈碱性)中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为________. 17 返回 13. “学史明智”，历史是最好的教科书．在如图所示的四张无差别卡片上分别写有不同的历史事件，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则所抽取的事件都发生于中华人民共和国成立以后的概率为________. 返回 14. 元音字母指的是26个字母当中的a，o，e，i，u这5个元音字母，这些元音字母融汇了所有的元音，并不是所有的元音字母都只发一个音，它有可能会发多个音．英语单词“good”表示“你真棒”的意思，如果从组成该单词的所有字母中同时随机抽取两个字母，则取到元音字母的概率是________. 返回 15. 生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的．如人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有RR，Rr，rr三种，其中基因为RR和Rr的人能卷舌，基因为rr的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是Rr，则他们的子女可以卷舌的概率为________. A. B. C. D. [2024雅安中考]将－2，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是______. A. B. C. D. A. B. C. D．1 A. B. C. D. A. B. C. D. 解：将这三张卡片依次记为A，B，C. 画树形图如下： 由树形图可知，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片的图案均为中心对称图形的结果有2种， ∴P(抽到的两张卡片的图案均为中心对称图形)＝＝. 解：由题意可知A，B两组得分超过90分的同学各有2名，将A组的2名同学记为A1，A2，B组的2名同学记为B1，B2，画树形图如下： 由树形图可知，共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有4种， ∴这2名同学恰好来自同一组的概率为＝. A.　　　 B.　　 　C.　　 　D. $第三十一章　随机事件的概率 微专项4 概率中的“放回”与“不放回”问题 1 1. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为(　　) D 2 2. 一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是________． 3. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出1个棋子，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是________． 4. 某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是________． A. B. C. D. $第三十一章　随机事件的概率 章末整合练 1 返回 A 1. “购买1张彩票，中奖”这个事件是(　　) A．随机事件 B．必然事件 C．确定事件 D．不可能事件 2 返回 2. [2024内江中考]下列事件是必然事件的是(　　) A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次月背采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 B 返回 3. 下列事件中，属于随机事件的是(　　) A．标准大气压下，水加热到100 ℃时沸腾 B．测量某天的最低气温，结果为－150 ℃ C．一个袋子中装有5个黑球，从中摸出1个是黑球 D．足球队员在执行罚球时，未射中 D 返回 4. 下列说法正确的是(　　) A．“明天下雨的概率为80%”意味着明天有80%的时间下雨 B．到达有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，可能遇到黄灯，也可能遇到绿灯 C．“某彩票中奖概率是1%”表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上 B 返回 5. 一副不含大小王的扑克牌共有52张，从中随机抽取 1张，下列事件发生的概率最大的是(　　) A．抽到的牌是“K” B．抽到的牌是“红桃K” C．抽到的牌是“黑桃Q” D．抽到的牌是黑桃 D 返回 6. 太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形(一黑一白)．如图，在正方形ABCD的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是(　　) B 7. (12分)[2025邢台模拟]下面是小华同学分解因式a3－9a的过程： 解：原式＝a(a2－9)……① ＝a(a－3)2……② ＝a(a－3)(a－3)．……③ (1)以上解答过程从第________步开始出现错误；(填序号) (2)请你直接写出正确的结果：____________； ② a(a＋3)(a－3) (3)从a，a－3，a＋3中任取两个不同的因式，请在表格中补全选取两个因式和的所有可能结果(化为最简)，并求出和为单项式的概率. 因式一 和 因式二 a a－3 a＋3 a /   2a＋3 a－3 2a－3 /   a＋3   2a / 9 因式一 和 因式二 a a－3 a＋3 a / 2a－3 2a＋3 a－3 2a－3 / 2a a＋3 2a＋3 2a / 返回 8. (8分)[2025邯郸模拟]如图①，会议室还余有4个空座位，编号分别为1，2，3，5，甲、乙、丙三人同时进入会议室，每人随机选择一个座位坐下． (1)求甲坐在奇数座位号的概率； (2)若甲没有坐到3号座位，佳佳用画树形图法求丙坐到3号座位的概率，树形图的部分图形如图②，请你补全树形图，并求丙坐到3号座位的概率. 12 返回 返回 9. 在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中黄球的个数可能是(　　) A．4 B．6 C．9 D．10 C 14 返回 10. 行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．下图是一批国槐树苗移植成活的频率统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为(　　) A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 B 15 A. B. C. D. 解：补全表格如下： 由表格可知，共有6种等可能的结果，其中和为单项式的结果有2a，2a，共2种，∴和为单项式的概率为＝. 解：甲坐在奇数座位号的概率为. 解：补全树形图如图所示． 共有18种等可能的结果，其中丙坐到3号座位的结果有6种， ∴丙坐到3号座位的概率为＝. $第三十一章　随机事件的概率 河北特色题型专练三 1 D 1. 一个不透明的盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是(　　) A．摸到白球的可能性最大 B．摸到红球和黄球的可能性相同 2 2. (8分)[2024河北中考]甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a＋b，2a＋b，a－b，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝－2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简)，并求出和为单项式的概率. 第一次 和 第二次 a＋b 2a＋b a－b a＋b 2a＋2b   2a 2a＋b       a－b 2a     5 解：补全表格如下： 第一次 和 第二次 a＋b 2a＋b a－b a＋b 2a＋2b 3a＋2b 2a 2a＋b 3a＋2b 4a＋2b 3a a－b 2a 3a 2a－2b 3. (12分)一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步．如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)，每次棋子 按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点，则视为通过游戏．比如：如果第一次转动转盘指针所指的数字为3，则棋子从起点前进3步到达C，第二次转动转盘指针所指的数字为2，则棋子从C前进2步到达E，…，直到棋子到达终点或超过终点时停止． (1)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向3”这一事件是________(填序号)． ①不可能事件；②必然事件；③随机事件． ③ 9 (2)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向2”这一事件的概率为________． (3)补全如图③所示的树形图，并求转动转盘两次能通过游戏的概率．说明：能通过游戏用“√”表示，不能通过游戏用“×”表示. 10 C．摸到白球的可能性为 D．摸到白球、红球、黄球的可能性都为 解：当a＝1，b＝－2时，a＋b＝－1，2a＋b＝0， a－b＝3. 从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种， ∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为. 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有2a，3a，2a，3a，共4种， ∴和为单项式的概率为. 解：补全树形图如图所示． 由树形图知，共有16种等可能的结果，其中转动转盘两次能通过游戏的结果有(3，4)，(4，3)，共2种， ∴转动转盘两次能通过游戏的概率为＝. $第三十一章　随机事件的概率 培优拔高练 利用概率判断游戏规则的公平性 1 1. (12分)嘉嘉和淇淇玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”中的任意一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”，其他情况则为平局．例如，嘉嘉说“老虎”，淇淇说“公鸡”，则嘉嘉胜；又如，两人同时说“小虫”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局． 2 (1)每一次嘉嘉说出“老虎”的概率是________； 3 (2)如果用A，B，C，D分别表示嘉嘉说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”；用A1，B1，C1，D1分别表示淇淇说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”，那么某一次说出时嘉嘉胜淇淇的概率是多少？用列表法或画树形图法加以说明； 4 列表如下： 淇淇 嘉嘉　　 A1 B1 C1 D1 A (A，A1) (A，B1) (A，C1) (A，D1) B (B，A1) (B，B1) (B，C1) (B，D1) C (C，A1) (C，B1) (C，C1) (C，D1) D (D，A1) (D，B1) (D，C1) (D，D1) (3)你认为这个游戏规则公平吗？为什么？ 7 2. (8分)为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育办公厅于2021年1月15日发布了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》(以下简称《通知》)．为贯彻《通知》精神，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过一个游戏来决定谁去参赛． 游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的容器，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球(如图)．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，再从容器中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．请问此游戏公平吗？并说明理由. 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中嘉嘉胜淇淇的结果有4种，∴某一次说出时嘉嘉胜淇淇的概率为＝.(用画树形图法也可) 解：公平．理由：由表格可知某一次说出时淇淇胜嘉嘉的概率为＝， ∵＝，∴两人获胜的概率相等， ∴这个游戏规则公平． 解：公平．理由：画树形图如图． 由图可知，共有9种等可能的结果，其中两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种， ∴P(两数字之和大于6)＝，P(两数字之和小于6)＝，∴此游戏公平． $