精品解析：吉林省吉林市第七中学校 2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

九年级数学智弈之星挑战赛 本试卷共8页，满分120分 答题时间：120分钟 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 1. 点绕坐标原点旋转得到点，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，图形的旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．点绕原点旋转得到点，即点是点关于原点的对称点，根据关于原点对称的两个点的坐标特点是横坐标和纵坐标都互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：点绕坐标原点旋转得到点， 点的横坐标为，纵坐标为，即为． 故选：A． 2. 若方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键． 根据方程没有实数根，得到判别式，从而求出的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得； ∴的值可以是：， 故选：D． 3. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵正六边形ABCDEF内接于， 是等边三角形， ∵的周长是， 故选： 【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 4. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的长度． 故选：B． 5. 如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3， ∴抛物线对称轴为：， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图可知，当时，， ∴，故③正确； ∵，且，这两个点都在对称轴左侧， ∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，，④正确． 所以②③④都正确． 故选：D． 6. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C. 任意画一个三角形，其内角和是360° D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 【答案】D 【解析】 【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案． 【详解】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项错误； B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为，不符合这一结果，故此选项错误； C、任意画一个三角形，其内角和是360°的概率为：0，不符合这一结果，故此选项错误； D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为：，符合这一结果，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查频率估算概率,关键在于通过图象得出有利信息. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知，则代数式的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 8. 抛物线与轴交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线与轴的交点，即令，代入解析式，计算对应的值，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 故答案为：． 9. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，， ∴， ∴， ∴点M对应的数是：； 故答案为：． 10. 若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，圆的面积公式，掌握扇形面积是解题的关键． 设扇形的圆心角度数为，半径为，由扇形面积公式和圆的面积公式得到，即可求解． 【详解】解：设扇形的圆心角度数为，半径为， 由题意得， 解得：， 故答案为：． 11. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是___________．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式． 根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，然后根据反比例函数的性质判断其他说法即可． 【详解】解：根据题意，设， 图象过， ， ， 蓄电池的电压是，故①、②正确， 当时，，故③错误； 当时，， 由图象知：当时，，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共11题，共87分） 12. 解方程． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴， 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数． 【答案】110° 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得到∠A=∠BOD=70°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数． 【详解】∵∠BOD＝140°， ∴∠A＝∠BOD＝70°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质． 14. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用画树状图或列表求事件概率，熟练掌握用画树状图或列表求事件概率是解题的关键．根据题意列表罗列所有等可能结果，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有种，即可根据概率计算公式计算． 【详解】解：所有可能的结果列表如下： 小平 小何 A B C A B C 由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有4种， 所以，恰好有一个文件袋装有空中无人作战方队图片的概率是． 15. 如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 【答案】（1） 由题意画图如下： （2） 由题意，画图如下： 【解析】 【分析】本题考查设计轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）画一个平行四边形即可； （2）画一个等腰梯形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 【答案】（1） 证明：把顺时针旋转到的位置， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，“三角形全等，对应角和对应边相等”，则，，得证是等腰直角三角形；（2）运用勾股定理可得、的长度； 本题主要考查了正方形、旋转和三角形全等的性质、等腰直角三角形的判定和勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1），四边形的面积＝正方形的面积， 正方形的面积为， ， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，且一次函数图象与x轴交于点C． （1）求出反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集为______； （3）若点P是x轴上的一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】该题主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，再求解即可； （2）先求出交点坐标，再直接观察图象即可； （3）先求出，表示出，根据的面积为12，列出等式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， ∵在图象上， ∴， ； 【小问2详解】 解：联立和可得， 解得：或， ∴， 由图象可知：的解集为：或； 【小问3详解】 解：，令，则，解得：， ∴， 设，则：， 由题意，得：的面积， 解得：或； ∴或． 18. 已知一扇形所在圆的半径为，弧长为，面积为，若扇形的周长为． （1）当时，则扇形弧长______，扇形面积______． （2）直接写出弧长与半径的函数关系式______； （3）当半径为何值时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？写出求解过程． 【答案】（1）32，64 （2）； （3）当时，S有最大值，为100 【解析】 【分析】此题考查扇形的面积公式，二次函数的性质， （1）由题意得，，代入求出扇形面积S； （2）根据，即可得到函数关系式； （3）列函数解析式，根据二次函数的性质解答即可 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴扇形面积， 故答案为：32，64； 【小问2详解】 ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∵, ∴当时，S有最大值，为100 19. 在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在，，上，． （1）如图，点E的坐标为______； （2）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．当时，求出S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； 【答案】（1） （2）S与t的关系式为 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质及多边形面积的求解． （1）根据已知条件得出，再利用矩形的性质得出，的长度，最后利用勾股定理得出的长度，进而求得点E的坐标； （2）根据题意分析矩形平移过程，此时进行分类讨论，利用平行线的性质，解含有的直角三角形等相关性质得出不同情况下的线段长度，进而求得每种情况下的面积表达式． 【小问1详解】 解：由点，得， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴点E的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：矩形平移过程如图所示： 由平移可知，，，，设与的交点为M，与的交点为N，与的交点为P， ∵， ∴， ①当时，重叠部分即为矩形， ∴， ②当时，重叠部分为五边形， ∴五边形的面积为， ∵， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴在中，， ∴， ∴， ③当时，重叠部分为四边形， ∵，， ∴四边形为直角梯形， ∵，， ∴在中，，同理：，， ∴在中，， ∴， ④当时，重叠部分为， 同理：，， ∴在中，， ∴， 综上所述，S与t的关系式为． 20. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】（1） 描点并连线，函数图像如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：描点并连线，函数图像略 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． 【小问3详解】 解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 21. 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（A，B，D三点不共线），为的中线． 【初步尝试】 （1）如图1，小红同学发现：延长至点M，使得，连接，则与的数量关系为_____，与的位置关系为_____； 【类比探究】 （2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小红同学的思考进一步探究发现：与之间有数量关系，请写出结论并进行证明： 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，张老师提出新的探究方向：若延长与交于点G，的度数不发生变化，请猜想的度数并说明理由． 【答案】（1） （2），理由如下： 延长至点M，使得，连接，则： 由（1）知：，， ∴； ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 作于点，则：， ∴， 由（1）知：，由（2）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键： （1）证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）延长至点M，使得，连接，利用（1）中结论，结合旋转的性质，推出，得到，即可得出结论； （3）作于点，证明，得到，即可． 【详解】解：（1）延长至点M，使得，连接， ∵为的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 22. 定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， （1）证明：函数与是“关联函数”； （2）求“关联函数”与的“最优关联距离”； （3）若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，当时，；，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离” 为； 【小问3详解】 解：如图： 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，；， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为，如图： ∴， 解得 ∴“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学智弈之星挑战赛 本试卷共8页，满分120分 答题时间：120分钟 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 1. 点绕坐标原点旋转得到点，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 4. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 5. 如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 6. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C. 任意画一个三角形，其内角和是360° D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知，则代数式的值为_______． 8. 抛物线与轴交点坐标是______． 9. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 10. 若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是_______度． 11. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是___________．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 三、解答题（本题共11题，共87分） 12. 解方程． 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数． 14. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 15. 如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 16. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，且一次函数图象与x轴交于点C． （1）求出反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集为______； （3）若点P是x轴上的一动点，当时，求点P的坐标． 18. 已知一扇形所在圆的半径为，弧长为，面积为，若扇形的周长为． （1）当时，则扇形弧长______，扇形面积______． （2）直接写出弧长与半径的函数关系式______； （3）当半径为何值时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？写出求解过程． 19. 在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在，，上，． （1）如图，点E的坐标为______； （2）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．当时，求出S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； 20. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 21. 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（A，B，D三点不共线），为的中线． 【初步尝试】 （1）如图1，小红同学发现：延长至点M，使得，连接，则与的数量关系为_____，与的位置关系为_____； 【类比探究】 （2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小红同学的思考进一步探究发现：与之间有数量关系，请写出结论并进行证明： 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，张老师提出新的探究方向：若延长与交于点G，的度数不发生变化，请猜想的度数并说明理由． 22. 定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， （1）证明：函数与是“关联函数”； （2）求“关联函数”与的“最优关联距离”； （3）若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $