吉林省吉林市第七中学校 2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

九年级数学智弈之星挑战赛 本试卷共8页，满分120分 答题时间：120分钟 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 1. 点绕坐标原点旋转得到点，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 4. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 5. 如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 6. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C. 任意画一个三角形，其内角和是360° D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知，则代数式的值为_______． 8. 抛物线与轴交点坐标是______． 9. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 10. 若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是_______度． 11. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是___________．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 三、解答题（本题共11题，共87分） 12. 解方程． 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数． 14. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 15. 如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 16. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，且一次函数图象与x轴交于点C． （1）求出反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集为______； （3）若点P是x轴上的一动点，当时，求点P的坐标． 18. 已知一扇形所在圆的半径为，弧长为，面积为，若扇形的周长为． （1）当时，则扇形弧长______，扇形面积______． （2）直接写出弧长与半径的函数关系式______； （3）当半径为何值时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？写出求解过程． 19. 在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在，，上，． （1）如图，点E的坐标为______； （2）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．当时，求出S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； 20. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 21. 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（A，B，D三点不共线），为的中线． 【初步尝试】 （1）如图1，小红同学发现：延长至点M，使得，连接，则与的数量关系为_____，与的位置关系为_____； 【类比探究】 （2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小红同学的思考进一步探究发现：与之间有数量关系，请写出结论并进行证明： 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，张老师提出新的探究方向：若延长与交于点G，的度数不发生变化，请猜想的度数并说明理由． 22. 定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， （1）证明：函数与是“关联函数”； （2）求“关联函数”与的“最优关联距离”； （3）若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 九年级数学智弈之星挑战赛 本试卷共8页，满分120分 答题时间：120分钟 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 二、填空题（每小题3分，共15分） 【7题答案】 【答案】3 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（本题共11题，共87分） 【12题答案】 【答案】 ， 【13题答案】 【答案】110° 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】（1） 由题意画图如下： （2） 由题意，画图如下： 【16题答案】 【答案】（1） 证明：把顺时针旋转到的位置， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）或 【18题答案】 【答案】（1）32，64 （2）； （3）当时，S有最大值，为100 【19题答案】 【答案】（1） （2）S与t的关系式为 【20题答案】 【答案】（1） 描点并连线，函数图像如图所示． （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2），理由如下： 延长至点M，使得，连接，则： 由（1）知：，， ∴； ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 作于点，则：， ∴， 由（1）知：，由（2）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【22题答案】 【答案】（1） 证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $