第30章 二次函数 专项培优习题课件 2025-2026学年冀教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数与一次函数、反比例函数图像综合判断，从二次函数系数与图像性质的基础出发，联系一次函数、反比例函数的已有认知，通过题目搭建从单一函数到多函数图像辨析的学习支架，梳理系数符号与图像特征的关联脉络。 其亮点在于通过含参数a、k的函数图像判断题（如二次函数与一次函数综合含a的图像判断，二次函数与反比例函数含k的图像辨析），结合数学思维中的推理能力和数学眼光中的几何直观，引导学生由系数符号推理图像开口方向、增减性等特征，归纳“系数→图像”的判断步骤。学生能提升几何直观与推理意识，教师可借助专项例题高效教学。

第三十章　二次函数 专项突破6 二次函数图像与字母系数的关系 1 返回 B 1. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．a＜0 B．b＝0 C．c＜0 D．a，c异号 2 返回 2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则点P(a，b)所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 返回 3. 二次函数y＝－x2＋bx－c的图像如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．b>0，c>0 B．b>0，c<0 C．b<0，c>0 D．b<0，c<0 D 返回 4. [2025安徽中考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则(　　) A．abc<0 B．2a＋b<0 C．2b－c<0 D．a－b＋c<0 C 5. [2024泰安中考]如图，这是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图像，该函数图像的对称轴是直线x＝1，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论： ①2a＋b＝0； ②方程ax2＋bx＋c＝0一定有 一个根在－2和－1之间； B 返回 7 ③方程ax2＋bx＋c－＝0一定有两个不相等的实数根； ④b－a＜2. 其中正确结论的个数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 $第三十章　二次函数 专项突破5 生活背景中的抛物线问题 1 返回 B 1. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落地点为B，网球飞行路线是一条抛物线，小明在线段AB上点C的右侧竖直向上摆放若干个无盖、直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．已知AB＝4米，AC＝ 3米，网球飞行的最大高度OM＝3米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2 返回 2. 如图，它是河北赵州桥的示意图，可以近似看作一条抛物线，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为8 m，AB＝40 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为10 m，则DE的长为________m. 60 返回 3. 如图①为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图②所示．升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线形，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面 2米高时，喷射的水柱在距升降杆1米处达到最高，高度为2.25 米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射水柱的 落地点与点O的距离为________米. 6 4. (8分) 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏． 某同学借此情境编了一道数学题， 请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长．嘉嘉在点A(6，1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2： (1)写出抛物线C1最高点的坐标，并求出a，c的值； 6 (2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值. 7 返回 y＝－x2＋x＋c＋1的一部分． 解：∵抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2， ∴抛物线C1最高点的坐标为(3，2)． ∵点A(6，1)在抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2上， ∴1＝a(6－3)2＋2，解得a＝－， ∴抛物线C1的表达式为y＝－(x－3)2＋2. 令x＝0，则y＝－×(0－3)2＋2＝1，∴c＝1. 解：∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，∴可以接到沙包的位置的纵坐标为1，横坐标的范围为5≤x≤7.当抛物线C2经过点(5，1)时，1＝－×52＋×5＋1＋1，解得n＝； 当抛物线C2经过点(7，1)时，1＝－×72＋×7＋1＋1， 解得n＝，∴≤n≤， ∴符合条件的n的整数值为4和5. $第三十章　二次函数 培优拔高练 二次函数的综合应用 1 (－4，3) 1. 2 【点拨】 如图，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵斜坡的坡度为3∶4，∴设AD＝3a m，则OD＝4a m， ∵OA＝5 m，∴(3a)2＋(4a)2＝52， 解得a＝1(负值舍去)，∴AD＝3 m，OD＝4 m， ∴点A的坐标是(－4，3)． (2)①求b，c所满足的数量关系； 4 ②当小球恰好落到原点时，求抛物线的表达式； 5 (3)如图，在点O右侧5 m处有一堵高为2 m的墙BC，若要小球能触碰到墙面，求b的取值范围. 6 2. (1)求b，c的值及点P的坐标． 9 10 (3)直线AE：y＝kx＋n(k＞0)交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半． ①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值； 12 ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值. 13 (12分)在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点A在斜坡上，OA＝5 m，从点A向右发射出的小球沿抛物线 y＝－x2＋bx＋c运动，解决下列问题． (1)点A的坐标是________； 解：∵点A在抛物线上， ∴3＝－×(－4)2－4b＋c， ∴c＝4b＋7. 解：当小球落到原点时，点O(0，0)在抛物线上， ∴c＝0. ∵c＝4b＋7， ∴b＝－，∴抛物线的表达式为y＝－x2－x. 解：根据题意知B(5，2)，C(5，0)，∵c＝4b＋7. ∴y＝－x2＋bx＋4b＋7.当抛物线过点B(5，2)时， 有2＝－×52＋5b＋4b＋7，解得b＝. 当抛物线过点C(5，0)时，有0＝－×52＋5b＋4b＋7， 解得b＝－. ∴若要小球能触碰到墙面，b的取值范围是－≤b≤. (12分)[2025河北中考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(6，3)，顶点为P.抛物线y＝a(x－3)2＋d(a＜0)经过点C.两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2. 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(6，3)， ∴解得 ∴y＝－x2＋6x＋3＝－(x－3)2＋12，∴P(3，12)． (2)点D在L1上，到x轴的距离为.判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由． 解：不能．理由如下：∵点D在L1上，到x轴的距离为，则yD＝， 在y＝－x2＋6x＋3中，当y＝时，＝－x2＋6x＋3， 解得x1＝，x2＝，∴D或. ∵抛物线y＝a(x－3)2＋d(a<0)经过点C，对称轴为直线x＝3，∴L2经过点和， ∴L2不能经过点D. 解：∵P(3，12)，∴当E，P重合时，E(3，12)． 易知M是AE的中点，∴M， ∵M恰好落在L2上，L2经过C， ∴∴a＝－. 解：k＝6－. $第三十章　二次函数 阶段练习(30.1~30.3) 1 返回 B 1. 下列函数一定是二次函数的是(　　) 一、选择题(每小题5分，共40分) 2 返回 2. 下列关于二次函数y＝－x2＋x＋2的图像和性质的说法中，正确的是(　　) A．图像开口向上 B．对称轴是直线x＝1 C．顶点坐标是(－1，2) D．点(－1，0)在此函数图像上 D 返回 3. 将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为(　　) A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2 C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2 A 返回 4. [2025威海中考]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1 C 返回 5. 已知二次函数y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 D 返回 6. [2025石家庄期中]一次函数y＝ax＋b与二次函数 y＝ax2＋bx＋b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是(　　) D 返回 7. 已知a(a＜0)，h(0＜h＜10)，k为三个常数，且二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像经过(0，5)，(10，8)两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是(　　) 结论Ⅰ：h的值可能为5； 结论Ⅱ：点P(m，n)在二次函数的图像上，若n＝8，则满足条件的点P有两个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对 C 返回 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，给出下列说法：①ac>0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＝0；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤当y>0时，－1<x<3.其中正确的说法是(　　) A．②⑤ B．③⑤ C．①③④ D．②③④ A 返回 9. 已知二次函数y＝(m＋1)x2的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是________. m＜－1 二、填空题(每小题5分，共20分) 10 返回 10. 11 返回 11. 函数y＝2x2－4x＋m(m为常数)满足以下条件：当2<x<3时，它的图像位于x轴的下方；当－2<x<－1时，它的图像位于x轴的上方，则m的值为________. －6 12 返回 12. 13 13. (10分)已知二次函数y＝2(x－1)(x－3)． (1)用配方法把这个二次函数的表达式化为顶点式的形式，并写出这个函数图像的对称轴和顶点坐标； 解：y＝2(x－1)(x－3)＝2(x2－4x＋3)＝2(x－2)2－2， ∴这个函数图像的对称轴是直线x＝2， 顶点坐标是(2，－2)． 三、解答题(共40分) (2)将这条抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为____________________________________. y＝2(x＋2)2(或y＝2x2＋8x＋8) 返回 15 14. (14分) 九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数y＝|x2－1|的图像和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝________，n＝________； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图像补充完整． 解：如图所示． (2)观察图像，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为_______________________． (3)除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图像特征或性质： ①_______________________； ②_______________________________. (4)若点(p，a)与(q，b)在函数图像上，且|q|<|p|<1，则a与b的大小关系是________. －1<x<0或x>1 函数图像是轴对称图形 函数值y都是非负数(答案不唯一) a<b 返回 18 15. (16分)[2024福建中考]如图，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图像上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标. 返回 21 A．y＝x＋ B．y＝3(x－1)2 C．y＝ax2＋bx＋c D．y＝2x＋1 一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2相同，对称轴及顶点坐标与抛物线y＝3(x－2)2相同，则该抛物线的表达式是______________. y＝(x－2)2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像过点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)，D(3，－m)，其中m，n为常数，则的值为________. － x … －2 － －1 － 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：请在如图所示的平面直角坐标系中描出点，； 解：将点A(－2，0)，C(0，－2)的坐标 分别代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2. 解：设P(m，n)，∵点P在第二象限，∴m<0，n>0. 依题意，得＝2，即＝2，∴＝2. 易得CO＝2，∴n＝2CO＝4.∵点P(m，n)在二次函数图像上， ∴m2＋m－2＝n，即m2＋m－2＝4，解得m1＝－3，m2＝2(舍去)，∴点P的坐标为(－3，4)． $第三十章　二次函数 专项突破4 与二次函数的增减性相关的最值问题 1 减小 1. 二次函数y＝x2－2x＋2的图像如图所示． (1)若－1≤x≤0，则y随x的增大而________；当x＝________时，y有最小值，为________；当x＝________时，y有最大值，为________． 0 2 －1 5 2 (2)若2≤x≤3，则y随x的增大而________；当x＝________时，y有最小值，为______；当x＝________时，y有最大值，为________． (3)若0≤x≤3，则当x＝________时，y有最小值，为________；当x＝________时，y有最大值，为________. 增大 2 2 3 5 1 1 3 5 返回 3 2. (8分)已知二次函数y＝－x2＋10x－9. (1)求该二次函数图像的顶点坐标； 解：∵y＝－x2＋10x－9＝－(x－5)2＋16， ∴该二次函数图像的顶点坐标为(5，16)． (2)当1≤x≤7时，函数的最大值和最小值分别为多少？ ∵该二次函数图像的顶点坐标为(5，16)，－1<0， ∴当x＝5时，y最大值＝16. ∵当x＝1时，y＝0，当x＝7时，y＝12，∴y最小值＝0. ∴当1≤x≤7时，函数的最大值为16，最小值为0. 返回 5 返回 3. 若二次函数y＝－x2＋ax＋1取最大值时x＝1，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 C 返回 4. 当a－2≤x≤a时，二次函数y＝x2－4x＋3的最小值为15，则a的值为(　　) A．－2或8 B．8 C．6 D．－2或6 A 返回 5. [2025邯郸期末]已知二次函数y＝ax2－2ax＋3的图像不经过第四象限，当－1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差是12，则a的值是(　　) A．－3 B．3 C．4 D．12 B 返回 6. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋ax＋6的图像关于直线x＝－2对称．若当m≤x≤0时，y有最大值6，最小值2，则m的取值范围是___________. －4≤m≤－2 返回 7. 已知二次函数y＝mx2－2mx＋2(m≠0)． (1)该二次函数图像的对称轴为直线______，与y轴的交点坐标是________； (2)当x满足－2≤x＜2时，y的最小值是－2，则m的值为________. x＝1 (0，2) 4或－ $第三十章　二次函数 专项突破7 二次函数的图像与图形的交点问题 1 2 1. 3 x1＝－1，x2＝3 2 (2)抛物线的表达式为________________； (3)不等式y1<y2的解集是______________，不等式y1＞y2的解集是____________； x<－1或x>3 －1＜x＜3 3 返回 4 2. (8分)如图，抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点，交y轴于点C. (1)求点A，B，C的坐标； 解：对于y＝x2－2x－3， 当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1， x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)． 当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)． (2)将图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原图像其余部分组成一个新图像，若直线y＝m与新图像有四个交点，直接写出m的取值范围. 解： m的取值范围为0<m<4. 返回 6 3. (12分)2024德州中考]已知抛物线y＝x2－4mx＋2m＋1，m为实数． (1)如果该抛物线经过点(4，3)，求该抛物线的顶点坐标； 解：∵该抛物线经过点(4，3)， ∴3＝42－16m＋2m＋1，解得m＝1， ∴y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴该抛物线的顶点坐标为(2，－1)． (2)如果当2m－3≤x≤2m＋1时，y的最大值为4，求m的值； 8 (3)已知点O(0，0)，点A(1，0)，如果该抛物线与线段OA(不含端点)恰有一个交点，求m的取值范围. 返回 9 (16分)如图，已知抛物线y1＝－x2＋bx＋c和直线 y2＝x＋相交于点A(－1，m)和B(n，4)． (1)m＝________，n＝________，方程x＋＝－x2＋bx＋c的解为_______________； y1＝－x2＋x＋ (4)将直线y2＝x＋沿y轴向上平移，使得平移后的直线与抛物线只有一个交点，求向上平移了多少个单位长度. 解：设平移后直线的表达式为y＝x＋＋k. 令x＋＋k＝－x2＋x＋，整理，得x2－2x＋(k－3)＝0. ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，∴Δ＝(－2)2－4×1×(k－3)＝0，解得k＝4，∴向上平移了4个单位长度． 解：∵y＝x2－4mx＋2m＋1＝(x－2m)2－4m2＋2m＋1， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝2m，开口向上． ∵当2m－3≤x≤2m＋1时，y的最大值为4， ∴易得当x＝2m－3时，y＝4， ∴4＝(2m－3－2m)2－4m2＋2m＋1，解得m＝或m＝－1. ∴m的值为或－1. 解：∵抛物线y＝x2－4mx＋2m＋1与线段OA恰有一个交点， ∴或 解得m>1或m<－. $第三十章　二次函数 专项突破3 求二次函数的表达式 1 返回 y＝－4x2＋4x＋2 1. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过(1，2)和(－1，－6)两点，且与y轴的交点坐标为(0，2)，则该抛物线的表达式为_______________. 2 2. (8分)[教材P40习题A组T1变式]已知二次函数 y＝x2＋bx＋c的图像过点(－1，0)和点(4，5)． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P(x，y)是该二次函数图像上的一点，且－4≤x≤4，请求出y的取值范围. 解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，函数有最小值－4. ∵当x＝－4时，y＝x2－2x－3＝16＋8－3＝21， 当x＝4时，y＝x2－2x－3＝16－8－3＝5， ∴当－4≤x≤4时，－4≤y≤21. 返回 4 返回 3. C 返回 4. 已知二次函数的图像经过点(－1，2)和(－3，2)，且该二次函数有最大值3，则该二次函数的表达式为________________. y＝－(x＋2)2＋3 返回 5. 抛物线与x轴交于点(－3，0)和(1，0)，且与y轴交于点(0，3)，则该抛物线的表达式为(　　) A．y＝x2－2x＋3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝－x2＋2x＋3 D．y＝－x2－2x＋3 D 返回 6. 已知某二次函数图像的对称轴是直线x＝1，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点(0，－6)，若AB＝4，则该二次函数的表达式为____________. y＝2x2－4x－6 返回 7. D 8. (2)若把它的图像绕x轴翻折，求所得图像的函数表达式. 返回 11 解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图像过点(－1，0)和点(4，5)， ∴解得∴该二次函数的表达式为y＝x2－2x－3. [2025保定月考]顶点为(－5，－1)，且开口方向、形状与函数y＝－x2的图像相同的抛物线是(　　) A．y＝(x－5)2＋1 　 B．y＝－(x－5)2＋1 C．y＝－(x＋5)2－1 　D．y＝(x＋5)2－1 如图，将函数y＝(x＋3)2＋1的图像沿y轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A(－5，m)，B(－1，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为16(图中的阴影部分)，则新图像对应的函数表达式是(　　) A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋7 C．y＝(x＋3)2－3 D．y＝(x＋3)2＋5 (8分)已知二次函数y＝x2－3x＋1. (1)若把它的图像绕它的顶点旋转180°，求所得图像的函数表达式； 解：y＝x2－3x＋1＝(x－3)2－. 因为该函数图像绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图像开口向下，所以所得图像的函数表达式为y＝－(x－3)2－＝－x2＋3x－8. 解：因为y＝(x－3)2－的图像绕x轴翻折所得图像的顶点坐标为，开口向下， 所以所得图像的函数表达式 为y＝－(x－3)2＋＝－x2＋3x－1. $第三十章　二次函数 章末整合练 1 返回 B 1. 函数y＝ax2－2x＋1(a≠0)在平面直角坐标系中的图像可能是(　　) 2 返回 2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点(2，0)，(4，0)，则当y随x的增大而增大时，x的取值范围是(　　) A．x＞3 B．x＞2 C．x＜3 D．x＜6 A 返回 3. 若A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)为二次函数 y＝x2＋2x＋c图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 A 返回 4. [2025保定一模]现要在抛物线y＝(m＋3)x2＋(m＋2)x－2(m为常数，m≠－3)上找点P(k，2k－1)，所能找到点P的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 B 返回 5. [2025浙江中考]为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图①，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图②，y关于x的函数图像与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．下列选项正确的是(　　) A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240　 D．点(15，85)在该函数图像上 D 返回 6. 将二次函数y＝x2＋2x的图像向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图像的顶点坐标是________. (0，1) 7. (16分)如图，x轴上依次有A，B，D，C四个点，且 AB＝BD＝DC＝2，从点A处向右上方沿抛物线 y＝－(x＋2)(x－6)发出一个带光的点P. (1)求点A的横坐标，并在图中补画出y轴； 解：令y＝0，则－(x＋2)(x－6)＝0， 解得x＝－2或x＝6， ∴点A的横坐标为－2.y轴如图所示． (2)通过计算说明点P是否会落在点C处，并补全抛物线； 解：由(1)可知抛物线与x轴的两个交点为A(－2，0)，(6，0)， ∴点P落在x轴上点(6，0)处． ∵AB＝BD＝DC＝2， ∴C(4，0)，∴点P不会落在点C处． 补全抛物线如图所示． 10 (3)求抛物线的顶点坐标和对称轴； 解： ∵y＝－(x＋2)(x－6)＝－(x－2)2＋16， ∴抛物线的顶点坐标为(2，16)，对称轴为直线x＝2. 11 (4)在x轴上从左到右有两点E，F，且EF＝2，从点F向上作GF⊥x轴，且GF＝1.连接GE，在△GFE沿x轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P能落在边EG(包括端点)上，直接写出点G的横坐标的最大值与最小值. 返回 12 返回 8. 已知二次函数的图像以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，则这个二次函数的表达式为________________. y＝－x2－2x＋3 9. (12分)已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0. (1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图像，指出此时y的最小值，并写出t的值； 14 解：∵抛物线y＝ax2＋bx和它的对称轴经过点A， ∴点A(－3，－3)为抛物线的顶点． 由题图可知a>0， ∴y的最小值为－3. 易得点P和点O关于直线x＝－3对称，∴t＝－6. (2)若t＝－4，求抛物线的表达式，并指出此时抛物线的开口方向； 16 (3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值. －1(答案不唯一)． 返回 17 返回 10. [2025保定二模]已知抛物线y＝x2＋2x－4与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)，则(a＋1)·(b＋1)的值为(　　) A．－5 B．－1 C．3 D．7 A 18 返回 11. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图像如图所示，对称轴为直线x＝－1，则当y＜0时，x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＞－1 C．－3＜x＜1 D．－4≤x≤1 C 19 返回 12. 已知抛物线y＝x2－mx＋m－3. (1)若抛物线关于y轴对称，则抛物线与y轴的交点坐标为________． (2)若抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点，则m的取值范围是________. (0，－3) m≤3 20 13. [2025石家庄月考]图①是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB＝8 cm，杯底CD＝4 cm，且AB∥CD，杯深12 cm.如图②，将盛有部分水的水杯倾斜45°(即∠ABP＝45°)，水面正好经过点B.嘉淇在图①中建立了平面直角坐标系(抛物线的顶点在y轴上)，对于下列结论， 判断正确的是(　　) B 结论Ⅰ：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的表达式为y＝x2－16； 结论Ⅱ：图②中，点P到杯口AB的距离为5 cm. A．Ⅰ不对，Ⅱ对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 返回 22 14. (8分)[2025陕西中考]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线形，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系． (1)求抛物线L1的表达式； 24 返回 25 解：点G的横坐标的最大值为8，最小值为2＋. 解：分别将(－4，0)和(－3，－3)的坐标代入 y＝ax2＋bx，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2＋4x. ∵1>0，∴抛物线的开口向上． 解：∵BO＝4 m，∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0，4)， 设抛物线L1的表达式为y＝ax2＋4，∵AC＝16 m， ∴易得A(－8，0)，C(8，0)， 将C(8，0)的坐标代入y＝ax2＋4， 得0＝64a＋4，解得a＝－， ∴抛物线L1的表达式为y＝－x2＋4. (2)已知抛物线L3的表达式为y＝－(x－4)2，NQ＝ m，求MN的长. 解：由(1)知抛物线L1的表达式为y＝－x2＋4，设ON＝x m. ∵MN∥AC，NQ⊥AC，且抛物线L3的表达式为y＝－(x－4)2， ∴NQ＝yN－yQ＝－x2＋4－＝， 整理得x2－12x＋36＝0，解得x1＝x2＝6，∴ON＝6 m， ∵L2，L3关于BO所在直线对称，∴MN＝2×6＝12(m)． $第三十章　二次函数 微专项2 抛物线对称性的应用 1 C 1. 已知A(2，m)，B(－4，m)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上两点，则该抛物线的对称轴为(　　) A．y轴 B．直线x＝1 C．直线x＝－1 D．直线x＝－2 2 2. 已知点A(－2，a)在抛物线y＝x2－4x－10上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为(　　) A．(0，2)　 B．(5，2)　 C．(6，0)　 D．(6，2) D 3. A 4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x和函数y的几组对应值如下表：   (1)这个二次函数的图像的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当0<x<3时，y的取值范围为________． x＝2 x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 －1 0 m 8 … 3 －1≤y＜3 5 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝，且经过点A(3，0)，则4a－2b＋c的值为(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．－3 $第三十章　二次函数 河北特色题型专练二 1 1. 2 4 2. (16分)如图，已知b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴的右交点为D. (1)若AB＝8，则b的值为________，此时L的对称轴与a的交点坐标为________； 4 (2，－2) (2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； 7 (3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离； 8 (4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝ 2 019.5时“美点”的个数. 解：当b＝2 019时，“美点”的个数为4 040， 当b＝2 019.5时，“美点”的个数为1 010. 9 (8分) 如图，点P(a，6)是抛物线C：y＝(x＋2)2＋2上位于第二象限内的一点，点A是抛物线C与y轴的交点． (1)写出C的对称轴和顶点坐标，并求a的值； 解：由抛物线C的表达式知，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，2)， 将点P(a，6)的坐标代入y＝(x＋2)2＋2， 得6＝(a＋2)2＋2， 解得a＝－6或a＝2(舍去)， ∴a的值为－6. (2)某同学设计了一个程序：数对[m，n]表示输入m和n的值，可将抛物线C沿x轴方向向右(m>0)或向左(m<0)平移|m|个单位长度，再沿y轴方向向上(n>0)或向下(n<0)平移|n|个单位长度得到抛物线C′.若抛物线C平移后的抛物线C′：y＝x2－x－2与y轴交于点A′，求数对[m，n]及△AA′P的面积. 解：抛物线C′：y＝x2－x－2可整理为y＝(x－2)2－3，相当于把抛物线C：y＝(x＋2)2＋2先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，∴m＝4，n＝－5，∴[m，n]为[4，－5]． 对于抛物线C：y＝(x＋2)2＋2，当x＝0时，y＝3，∴A(0，3)． 对于抛物线C′：y＝x2－x－2，当x＝0时，y＝－2， ∴A′(0，－2)，∴AA′＝3－(－2)＝5， ∴△AA′P的面积＝AA′·|xP|＝×5×6＝15. 解：∵y＝－x2＋bx＝－＋，∴抛物线L的顶点C的坐标为. ∵点C在l下方， ∴点C与l的距离＝b－＝－(b－2)2＋1， ∴点C与l距离的最大值为1. 解：∵y3是y1，y2的平均数，∴y1＋y2＝2y3， ∴b＋x0－b＝2(－x02＋bx0)，解得x0＝0或x0＝b－. ∵x0≠0，∴x0＝b－.对于y＝－x2＋bx，当y＝0时， 0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)，解得x1＝0，x2＝b. ∵b＞0，∴右交点D的坐标为(b，0)， ∴点(x0，0)与点D间的距离＝b－＝. $第三十章　二次函数 微专项3 函数值的大小比较 1 A 1. 若二次函数y＝x2＋1的图像过点(1，y1)和点(2，y2)，则y1，y2的大小关系为(　　) A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 2 2. 若点(0，a)，(－1，b)，(4，c)均在抛物线y＝－2(x－1)2＋3上，则a，b，c的大小关系为________．(用“<”连接) c＜b＜a 3. 已知抛物线y＝x2－2x＋c，若点(－1，y1)，(0，y2)，(4，y3)都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是________．(用“＜”连接) y2<y1<y3 4. 已知点(3，y1)，(－2，y2)，(0，y3)都在抛物线y＝mx2－4mx＋n(m＜0)上，则y1，y2，y3的大小关系为________．(用“＜”连接) y2＜y3＜y1 5. 已知点A(0，y1)，B(1，y2)，C(5，y3)在抛物线y＝ax2－2ax－5(a为常数且a＜0)上，则y1，y2，y3的大小关系是________．(用“＜”连接) y3<y1<y2 6. 已知点A(－2，a)，B(－1，b)，C(5，c)都是二次函数 y＝mx2－2mx＋n(m＜0)图像上的点，则a，b，c的大小关系为________．(用“＜”连接) c＜a＜b $第三十章　二次函数 专项突破2 根据函数性质判断函数图像 1 返回 C 1. 二次函数y＝ax2＋4x＋1和一次函数y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　) 2 返回 2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx的图像可能是(　　) D 返回 3. C 返回 4. 一次函数y＝ax＋b的图像如图所示，则二次函数 y＝ax2＋bx的图像大致是(　　) A 返回 5. 已知二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图像如图所示，则一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图像大致为(　　) C 返回 6. A 函数y＝kx2－2与y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图像大致是(　　) [2025保定期末]如图，若抛物线y＝－x2＋2.5与x轴围成的封闭区域(包括边界)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝(x＞0)的图像是(　　) $