2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末综合练习题（1）

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 期末综合试题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分 ） 1.用若干个大小相同的小立方块组合成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如图所示，下面所给的四个选项中，不可能是这个几何体从左面看得到的形状图的是（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用三视图相关知识解答。 【解答】C 2.编号为、、、的试管中分别装有种溶液，个试管外观完全相同，号试管溶液呈红色；号试管溶液呈蓝色；号、号试管溶液呈紫色．将个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取个试管，溶液都为紫色的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，随机选择个试管，溶液都为紫色的结果数有种， 溶液都为紫色的概率是． 故选：． 3.下列说法正确的是（    ） A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】A 【解析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理、菱形的判定定理分别进行分析． 【解答】解：．是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是正确的，符合题意； ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原来的说法错误，不符合题意； ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原来的说法错误，不符合题意； ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原来的说法错误，不符合题意． 故选：． 4.一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【解答】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除，选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除选项， 故选：． 5.若关于的一元二次方程 的一个根是，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得 【解答】 的一个根为，设另一根为 ，解得 又 故选 6.如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 选项符合题意， ， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； 故选：． 7.某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的个主干上长出个支干，每个支千上再长出个小分支．若在个主干上的主干、支干和小分支的总数是个，则下列方程中正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题暂无解析 【解答】【解答】解：依题意得： . 故选： 8.如图，把绕点旋转到，当点刚好落在上时，连结，设，相交于点，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据旋转的性质得到，，利用三角形内角和得到，则可判断；根据相似的性质得，而，则可判断；由于，，，所以，于是可判断． 【解答】把绕点旋转得到（与重合）， ，， ， ， ， 又， ， 把绕点旋转得到（与重合）， ，，， ， ， 综上，共有对相似三角形， 故选：．   9.如图，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于点，过点作于点，连接，若的面积是，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题可先利用反比例函数的性质得出相关三角形的面积关系，再结合中点的性质，通过三角形面积的比例关系求出的值． 本题主要考查了反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【解答】解：设点坐标为． 是的中点，， ， ， 点在反比例函数上， ，， ， ， 点在反比例函数上，， ， ，且， ， 解得． 故选：． 10.如图，在正方形中，对角线，交于点，在上，连接，作交于点，连接交于点，延长交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则．正确的（    ） A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 【答案】D【解析】本题考查了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，结合全等和相似三角形的判定定理进行推理计算． 根据正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质逐项进行验证． 【解答】解：如图，连接， 四边形是正方形， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，故①正确； ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ， ， ， ， 又， ，故②正确； ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，故④正确． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.台灯下数学书的影子是 ____中心_________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 根据光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影． 【解答】解：由于光源是由一点发出的，因此台灯下数学书的影子是中心投影， 故答案为：中心． 12.如果，其中，那么______________． 【答案】 【解析】根据已知条件得出，再根据，即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ； 故答案为：． 13.若实数、满足，，则的值是___________． 【答案】 【解析】由题意可知，分别是方程的两个实数根，可得．，据此即可求解． 【解答】解：， ，，， ，分别是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：． 14.如图，把矩形沿直线向上折叠，使点落在点的位置上，交于点，若，，则的长为____________． 【答案】 【解析】先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断，设，则 ，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可得出的长． 【解答】解：四边形是矩形， ， 是由折叠得到， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 故答案为∶． 15.如图，已知点、分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为________________． 【答案】 【解析】过作轴，过作轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，证明，利用反比例函数的几何意义求出与面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为与之比，设出，，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与的长，即可求出三角形的面积． 【解答】解：过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ， 点，分别分别在反比例函数与图象上， ，，即， ， 在中，设，则，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ，， 则． 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（9分）解方程 （1）； （2）； （3）（配方法）． 【答案】， ， ， 【解析】（1）先移项，再提取公因式，因式分解即可求解； （2）将方程左边进行因式分解，化为，再解一元一次方程即可求解； （3）先移项得，再把方程两边都加上得，左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解． 【解答】（1）解：， ， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， 或， 解得：，； （3）解：， ， ， ， ， ，． 17.（8分）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图： （2）如果小正方体的棱长为，则该几何体的表面积是多少？（包括底面） （3）在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加_______4____个小正方体． 【答案】见解答 【解析】（1）分别从正面、左面和上面观察几何体画出平面图形即可； （2）根据几何体表面积的定义列式计算即可； （3）以从上面看得到的形状图为参照，再标出每个位置最多添加的正方体个数即可解答． 【解答】（1）解：如图所示． （2）解：． （3）解：如图所示，从上面看形状图上的数字即为该位置增加的正方体个数，此几何体从正面、左面观察所看到的形状图不变． 所以最多还可以添加个小正方体． 故答案为：4   18.（8分）为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为个等级：．优秀；．良好；．合格；．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解答下列问题． （1）本次抽样调查的学生人数为____50人__，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中等级所对应扇形的圆心角的度数； （3）在这次劳动课程中，九班共有名学生获得了优秀，名学生中有名男生和名女生，班主任决定从这名学生中随机选出名学生在班级做心得分享，请用列表或画树状图的方法，求所选名学生恰好是男女的概率． 【答案】人，图见解答 等级所对应扇形的圆心角的度数 从这人中随机所选人中恰好是男女的概率为 【解析】（1）先由成绩优秀的学生人数除以所占百分比求出一共随机抽取的学生人数，然后用抽取学生总人数减去其余组的人数求出等级人数，据此补全条形统计图 即可解决问题； （2）根据等级人数所占的百分比乘以，求出等级所对应扇形的圆心角的度数即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，其中从这人中随机所选人恰好是一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可． 【解答】（1）解：本次抽样调查的学生人数为人， 等级人数是人， 补全条形统计图如下： （2）解：等级所对应扇形的圆心角的度数； （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中从这人中随机所选人中恰好是男女的结果有种， 从这人中随机所选人中恰好是男女的概率为． 19（8分）.如图，在中，两条对角线相交于点，，以为边向下方作菱形． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若菱形的周长为，，点是菱形的对称中心，求点、之间的距离． 【答案】四边形是矩形，理由见解析 【解析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断； （2）根据菱形的性质可知：点、之间的距离等于点到点的距离，求出即可得解． 【解答】（1）解：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形． （2）解：菱形的周长为， ，           在矩形中，，， ， ， ，           点是菱形的对称中心， 点、之间的距离等于点到点的距离， 即点、之间的距离等于2 20.（8分）如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）写出一对相似三角形，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】，理由见解析 的长是 【解析】（1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得． 【解答】（1）解：，理由： 理由：是等边三角形， ， ， ， ， ． （2）解：等边三角形，， ， ， 由可知，， ， ， 的长是． 21.（9分）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）当取最小整数时，求方程的根． （3）若方程两实数根分别为、，且满足，求实数的值． 【答案】 【解析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）先求出取最小整数为，再将代入方程，得 ，求出的值即可； （3）利用根与系数的关系可得出，，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【解答】（1）解：方程有实数根， ， 解得：； （2） 取最小整数为， 将代入方程，得 ， 即， 解得． 当取最小整数时，方程的根为． （3）方程的两个根分别为、， ，， ， ， ， ， ， 整理得，， 解得，或（舍去）， 实数的值为 22.（9分）瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 【答案】米 【解析】由题意知，，，，则，，证明，则，即，可求，同理，则，即，可求，由，可得，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，，，，，， ， ，， ， ，即， 解得，， 同理， ，即， ， ， ， 解得，， 真身宝塔的高度为米．  23.（9分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园．如图所示，墙长 ，另外三面用长的篱笆围成，其中边开有一扇宽的门(不含篱笆，其它材料制作)， （1）当矩形花园的边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为． （2）矩形花园的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 【答案】当矩形花园的边的长为时，围成的矩形花园的面积为 不能，见解答 【解析】（1）设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． （2）设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． 【解答】（1）解：设边的长为， 依题意，得：， 解得：， 不符题意，舍去． 答：当矩形花园的边的长为时，围成的矩形花园的面积为． （2）解：不能， 理由：设边的长为， 则， ， ， 方程没有实数根， 矩形花园的面积不能达到． 24.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）_______，_______ （2）当时，的取值范围是__或_____ （3）过点作轴于点，连接，过点作于点，求线段的长． 【答案】， 或 【解析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）根据反比例函数和一次函数图象交点的横坐标和图象的位置关系即可得到答案； （3）求出点到的距离，，根据即可得到． 【解答】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：，； （2）由知，， ， ， 当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方 当时，的取值范围是或； （3）轴，， ， ， 点到的距离， ，， ， ， ， ．   25.（12分）如图，正方形中，点在边上（不与端点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，设． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，画出旋转后的； （3）在的条件下连接，．当为的中点时，判断的形状，并说明理由． 【答案】 作图见解答 是等腰三角形，理由见解析 【解析】（1）对于，连接，根据对称可得，再根据正方形的性质得，然后根据等腰三角形两个底角相等得出答案； 对于，根据旋转的性质画出图形即可； 对于，作，先根据“角角边”证明，可得，再结合题意说明是的垂直平分线，则此题可解. 【解答】（1）解：连接， 点和点关于对称， 四边形是正方形， ， ， ； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：是等腰三角形. 理由如下： 过点作，交于点， 由旋转得 由对称得 四边形是正方形， ， ， ， ， 点是的中点， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 所以是等腰三角形. 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 期末综合练习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分 ） 1.用若干个大小相同的小立方块组合成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如图所示，下面所给的四个选项中，不可能是这个几何体从左面看得到的形状图的是（        ） A. B. C. D. 2.编号为、、、的试管中分别装有种溶液，个试管外观完全相同，号试管溶液呈红色；号试管溶液呈蓝色；号、号试管溶液呈紫色．将个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取个试管，溶液都为紫色的概率是（    ） A. B. C. D. 3.下列说法正确的是（    ） A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 4.一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A B. C. D. 5.若关于的一元二次方程 的一个根是，则的值为（   ） A. B. C. D. 6.如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 7.某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的个主干上长出个支干，每个支千上再长出个小分支．若在个主干上的主干、支干和小分支的总数是个，则下列方程中正确的是（        ） A. B. C. D. 8.如图，把绕点旋转到，当点刚好落在上时，连结，设，相交于点，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（      ） A. B. C. D. 9.如图，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于点，过点作于点，连接，若的面积是，则的值为（   ） A. B. C. D. 10.如图，在正方形中，对角线，交于点，在上，连接，作交于点，连接交于点，延长交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则．正确的（    ） A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.台灯下数学书的影子是 _____________投影．（填“平行”或“中心”） 12.如果，其中，那么____________． 13.若实数、满足，，则的值是__________． 14.如图，把矩形沿直线向上折叠，使点落在点的位置上，交于点，若，，则的长为___________． 15.如图，已知点、分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为______________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（9分）解方程 （1）； （2）； （3）（配方法）． 17.（8分）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图： （2）如果小正方体的棱长为，则该几何体的表面积是多少？（包括底面） （3）在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加__________个小正方体．  18.（8分）为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为个等级：．优秀；．良好；．合格；．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解答下列问题． （1）本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中等级所对应扇形的圆心角的度数； （3）在这次劳动课程中，九班共有名学生获得了优秀，名学生中有名男生和名女生，班主任决定从这名学生中随机选出名学生在班级做心得分享，请用列表或画树状图的方法，求所选名学生恰好是男女的概率． 19（8分）.如图，在中，两条对角线相交于点，，以为边向下方作菱形． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若菱形的周长为，，点是菱形的对称中心，求点、之间的距离． 20.（8分）如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）写出一对相似三角形，并说明理由； （2）若，求的长． 21.（9分）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）当取最小整数时，求方程的根． （3）若方程两实数根分别为、，且满足，求实数的值． 22.（9分）瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 23.（9分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园．如图所示，墙长 ，另外三面用长的篱笆围成，其中边开有一扇宽的门(不含篱笆，其它材料制作)， （1）当矩形花园的边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为． （2）矩形花园的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 24.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）_______，______ （2）当时，的取值范围是_____ （3）过点作轴于点，连接，过点作于点，求线段的长． 25.（12分）如图，正方形中，点在边上（不与端点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，设． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，画出旋转后的； （3）在的条件下连接，．当为的中点时，判断的形状，并说明理由． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $